滚动习题(三)
[范围§1~§4]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.[2024·广东阳山南阳中学高一月考] 在下列各组向量中,满足{e1,e2}是平面向量的一组基的是 ( )
A.e1=(-1,3),e2=(4,9)
B.e1=(0,0),e2=(1,-2)
C.e1=(-2,3),e2=
D.e1=(2,9),e2=(4,18)
2.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点M,若=a,=b,则= ( )
A.a+b
B.a-b
C.-a-b
D.-a+b
3.设i,j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,O为坐标原点,若=i+2j,=3i+4j,则3+2的坐标是 ( )
A.(8,11) B.(9,14)
C.(7,6) D.(-5,-2)
4.已知非零向量a,b不共线,且λa+b与a+(2λ-1)b的方向相反,则实数λ的值为 ( )
A.1 B.-
C.1或- D.-1或-
5.已知e1,e2是两个不共线的向量,a=e1-2e2,b=2e1+ke2.若a与b是共线向量,则实数k= ( )
A.2 B.-2
C.4 D.-4
6.[2024·湖南涟源高一期中] 已知A(2,4),B(-4,6),若=,=,则的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.[2024·河北邯郸大名一中高一月考] 下列说法中正确的有 ( )
A.若与是共线向量,则A,B,C,D四点共线
B.若++=0,则M,N,P三点共线
C.对于非零向量a,若|λ|>1,则|λa|>|a|
D.平面内任意一个向量都可以用另外两个不共线向量表示
8.生于瑞士的数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一句话:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这条直线就是三角形的欧拉线.在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,则下列结论中正确的是 ( )
A.GH=2OG
B.++=0
C.AH=3OD
D.S△ABG=S△BCG=S△ACG
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.若向量a=(2,-1),b=(-1,1),则a-2b=.
10.已知向量=(2,1),=(7,m),=(3,-1),若A,B,D三点共线,则m= .
11.已知P为△ABC内一点,2+3+5=0,则△APC,△BPC的面积的比值为 .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)已知A(0,5),B(-1,0),C(3,4),点D是线段BC上一点,且△ACD的面积是△ABC面积的.
(1)求△ABC的重心G的坐标;
(2)求点D的坐标.
13.(15分)已知向量a=(-1,4),b=(2,3).
(1)若ka-2b与a+2b共线,求实数k的值;
(2)若=3a-2b,=-2a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值.
14.(15分)如图,在平行四边形ABCD中,=,N为边CD的中点,E为线段MN上的点且=2.
(1)若=λ+μ,其中λ,μ∈R,求λμ的值;
(2)延长MN,AD交于点P,点F在线段NP上,若=t+(1-t),求实数t的取值范围.滚动习题(三)
1.A [解析] 对于A,≠,所以此时e1与e2不平行,满足题意;对于B,易知e1与e2平行,不满足题意;对于C,e1=4e2,则e1与e2平行,不满足题意;对于D,e1=e2,则e1与e2平行,不满足题意.故选A.
2.D [解析] ∵平行四边形ABCD的对角线相交于点M,∴点M为BD的中点,∴=,又=-=b-a,∴=-a+b.故选D.
3.B [解析] 根据题意得,=(1,2),=(3,4),∴3+2=(3,6)+(6,8)=(9,14).故选B.
4.B [解析] ∵λa+b与a+(2λ-1)b的方向相反,且a,b不共线,∴存在μ<0,使a+(2λ-1)b=μ(λa+b),∴(μ<0),消去μ得λ=-.故选B.
5.D [解析] 由已知得a≠0,∵a与b是共线向量,∴存在λ∈R,使b=λa,又a=e1-2e2,b=2e1+ke2,∴2e1+ke2=λ(e1-2e2),∴2e1+ke2=λe1-2λe2,∴消去λ得k=-4.故选D.
6.D [解析] 设C(x1,y1),D(x2,y2),由=可得(x1-2,y1-4)=(-6,2)=(-9,3),得x1=-7,y1=7,即C(-7,7).由=可得(x2+4,y2-6)=(6,-2)=,得x2=4,y2=,即D.于是=.故选D.
7.CD [解析] 对于A,共线向量所在直线可能重合,也可能平行,所以选项A错误;对于B,当M,N,P三点不共线时,++=0也成立,所以选项B错误;对于C,因为|λ|>1,|a|>0,所以|λ||a|>|a|,即|λa|>|a|,所以选项C正确;对于D,根据平面向量基本定理,可以判断该选项正确.故选CD.
8.ABD [解析] 在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,连接DG,延长AH,交BC于N,如图所示.对于选项B,根据三角形的重心性质可得G为AD的一个三等分点,且=-2,又D为BC的中点,∴+=2,∴++=-2+2=0,故选项B正确;对于选项A,C,∵O为△ABC的外心,D为BC的中点,∴OD⊥BC,∵H为△ABC的垂心,∴AH⊥BC,∴AH∥OD,∴△AHG∽△DOG,∴===2,∴GH=2OG,AH=2OD,故选项A正确,选项C错误;对于选项D,过点G作GE⊥BC,垂足为E,∴△DEG∽△DNA,则==,
∴S△BGC=×BC×GE=×BC××AN=S△ABC,同理,S△AGC=S△AGB=S△ABC,选项D正确.故选ABD.
9.(4,-3) [解析] 因为向量a=(2,-1),b=(-1,1),所以a-2b=(2-2×(-1),-1-2×1)=(4,-3).
10.6 [解析] 因为=(7,m),=(3,-1),所以=+=(10,m-1),又=(2,1),且A,B,D三点共线,即∥,所以2(m-1)-1×10=0,解得m=6.
11. [解析] 取AC的中点F,BC的中点G,连接PF,PG,如图所示,由P为△ABC内一点,2+3+5=0,可得2(+)=-3(+),则2=-3,所以===.
12.解:(1)连接AG,因为G是△ABC的重心,所以=×(+)=(+),记O为坐标原点,则-=(-+-),即=(++),所以xG==,yG==3,
所以△ABC的重心G的坐标为.
(2)由题意得S△ACD=S△ABC,所以CD=CB,则==(-4,-4)=(-1,-1),所以=+=(-1,-1)+(3,4)=(2,3),所以点D的坐标为(2,3).
13.解:(1)∵ka-2b=(-k-4,4k-6),a+2b=(3,10),且ka-2b与a+2b共线,
∴10(-k-4)=3(4k-6),解得k=-1.
(2)∵=3a-2b=(-7,6),=-2a+mb=(2+2m,3m-8),且A,B,C三点共线,∴∥,
∴-7(3m-8)=6(2+2m),解得m=.
14.解:(1)根据题意可得=++=++=++(+)=++=+,
又=λ+μ,所以λ=,μ=,所以λμ=.
(2)由题意可得=.因为点F在线段NP上,所以设=m(0≤m≤1),
则=m(0≤m≤1),所以=+=+(1+m)=+(1+m)(-)=-m+(1+m),又=t+(1-t),所以t=-m,所以t的取值范围是[-1,0].
