滚动习题(四)
[范围§3~§5]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.已知向量a=(3,6),c=(m,-1),若a⊥(a-c),则实数m的值为 ( )
A.9 B.17
C.7 D.21
2.若|a|=6,|b|=1,a·b=-9,则a与b的夹角为 ( )
A.120° B.150°
C.60° D.30°
3.已知a,b均为单位向量,且a+b=(,-1),则|a-b|=( )
A.1 B.
C. D.2
4.已知向量a=(2,3),b=(4,2),那么向量a-b与a( )
A.平行 B.垂直
C.夹角是锐角 D.夹角是钝角
5.[2024·海口海南中学高一月考] 若向量a,b满足a=(1,1),|b|=1,且a在b上的投影向量为-b,则(a+b)·b= ( )
A.-1 B.0 C.-2 D.2
6.已知在△OAB中,OA=OB=2,AB=2,动点P位于边AB上,当· 取得最小值时,向量 与的夹角的正弦值为 ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知向量a=(1,-2),b=(λ,1),记向量a与b的夹角为θ,则 ( )
A.当λ>2时,θ为锐角
B.当λ<2时,θ为钝角
C.当λ=2时,θ为直角
D.当λ=-时,θ为平角
8.给出下列说法,其中正确的有 ( )
A.若|a|=|b|=|a+b|=2,则|a-b|=2
B.在△ABC中,若(+)·=0,则△ABC为等腰三角形
C.若等边三角形ABC的边长为2,则·=2
D.已知a=(1,2),b=(1,1)且a与a+λb的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.设向量a,b的夹角为θ,且a=(5,5),2b-a=(-1,1),则cos θ= .
10.已知在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点P是斜边AB的中点,则·+·= .
11.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的最大值是 ,最小值是 .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
13.(15分)已知向量a和b的夹角为60°,且|a|=3,|b|=4.
(1)求|a+b|;
(2)若|ka-b|≥,求实数k的取值范围.
14.(15分)已知向量=(1,-1),=(-2,3),非零向量=m+n(其中m,n∈R,O为坐标原点).
(1)当m=2,n=-1时,=λ,求实数λ的值;
(2)当(2+)⊥时,求m(n+1)的最小值.滚动习题(四)
1.B [解析] 根据题意得a-c=(3-m,7),因为a⊥(a-c),所以a·(a-c)=3(3-m)+42=0,解得m=17.故选B.
2.B [解析] 设a与b的夹角为θ,则cos θ===-,∵θ∈[0°,180°],∴θ=150°.故选B.
3.A [解析] 因为a,b均为单位向量,且a+b=(,-1),所以(a+b)2=a2+2a·b+b2=()2+(-1)2=3,所以2a·b=1,所以|a-b|==1.故选A.
4.D [解析] 因为a=(2,3),b=(4,2),所以(a-b)·a=a2-a·b=22+32-(2×4+3×2)=13-14=-1<0,a-b=(-2,1),所以2×1-3×(-2)≠0,即a-b与a不平行,所以向量a-b与a的夹角为钝角.
5.B [解析] 由题意知,a在b上的投影向量为·=-b,因为|b|=1,所以a·b=-1,所以(a+b)·b=a·b+b2=-1+|b|2=0.故选B.
6.B [解析] 以A为原点,AB所在直线为x轴,AB所在直线的垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),O(,1).设P(x,0),x∈[0,2],向量与的夹角为θ,可得·=(-x,0)·(-x,1)=-x(-x)=x2-x=-,故当x=时,·取得最小值,最小值为-,此时||=,||=,则cos θ==-,∴sin θ==,故选B.
7.ACD [解析] 根据题意,向量a=(1,-2),b=(λ,1),则a·b=λ-2.对于A,当a·b>0且a,b不共线时,θ为锐角,则有解得λ>2,故A正确;对于B,当a·b<0且a,b不共线时,θ为钝角,则有解得λ<2且λ≠-,故B错误;对于C,当λ=2时,a·b=λ-2=0,即θ为直角,故C正确;对于D,当λ=-时,b=,则a=-2b,所以θ=180°,故D正确.故选ACD.
8.AB [解析] 对于A,若|a|=|b|=|a+b|=2,则|a|2=|b|2=|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=4,所以2a·b=-4,所以|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=4+4+4=12,则|a-b|=2,故A正确;对于B,因为(+)·=0,所以(+)·(-)=-=0,即||=||,即△ABC为等腰三角形,故B正确;对于C,若等边三角形ABC的边长为2,则·=||·||cos=-2,故C不正确;对于D,若a与a+λb的夹角为锐角,则a·(a+λb)=(1,2)·(1+λ,2+λ)=1+λ+4+2λ=5+3λ>0,且λ≠0,解得λ>-且λ≠0,故D不正确.故选AB.
9. [解析] ∵a=(5,5),2b-a=(-1,1),∴2b=(5,5)+(-1,1)=(4,6),即b=(2,3).∴|a|=5,|b|=,且a·b=(5,5)·(2,3)=25,∴cos θ===.
10.4 [解析] 由题意,以C为坐标原点,CA,CB所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,可得C(0,0),A(2,0),B(0,2),P(1,1),则=(1,1),=(2,0),=(0,2),∴+=(2,0)+(0,2)=(2,2),故·+·=·(+)=2+2=4.
11.1 [解析] 以A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则D(0,1),C(1,1),设E(t,0),t∈[0,1],∴·=(t,-1)·(t-1,-1)=t(t-1)+1=+.设f(t)=+,t∈[0,1],则函数f(t)在上单调递减,在上单调递增,∴当t=时,f(t)取得最小值,最小值为f=.又f(0)=f(1)=1,∴f(t)的最大值为1.故·的最大值为1,最小值为.
12.解:(1)设向量c=(x,y),因为a=(1,2),|c|=2,c∥a,所以解得或
所以c=(2,4)或c=(-2,-4).
(2)因为a+2b与2a-b垂直,所以(a+2b)·(2a-b)=2a2+3a·b-2b2=0,又|b|=,|a|=,所以2×5+3a·b-2×=0,解得a·b=-,
所以cos θ===-1,又θ∈[0,π],故θ=π.
13.解:(1)因为向量a和b的夹角为60°,且|a|=3,|b|=4,所以a2=9,b2=16,a·b=3×4×cos 60°=6,所以|a+b|====.
(2)因为|ka-b|≥,即(ka-b)2≥13,即k2a2-2ka·b+b2≥13,整理得9k2-12k+16≥13,即(k-1)(3k-1)≥0,解得k≤或k≥1,
所以实数k的取值范围为∪[1,+∞).
14.解:(1)当m=2,n=-1时,=2-,可得2-=2-,即-=2(-),则=2,即=,又因为=λ,所以λ=-.
(2)因为向量=(1,-1),=(-2,3),所以=m+n=m(1,-1)+n(-2,3)=(m-2n,3n-m),2+=2(1,-1)+(-2,3)=(0,1).
因为(2+)⊥,所以(2+)·=3n-m=0,即m=3n,所以m(n+1)=3n(n+1)=3n2+3n=3-,故当n=-时,m(n+1)取得最小值-.
