滚动习题(五)
[范围§6]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于 ( )
A.4 B.4 C.4 D.4
2.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则C= ( )
A.45° B.60° C.120° D.150°
3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos B+bcos A=a,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰钝角三角形
4.已知两个大小相等的力F1,F2作用于同一质点,当它们的夹角为90°时,合力大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力大小为 ( )
A.40 N B.10 N
C.20 N D.40 N
5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=135°,a=c,b=3,则△ABC的面积为 ( )
A.9 B.6 C. D.
6.如图,要测量河对岸的某铁塔AB的高度,在此岸选择C,D两观测点(B,C,D在同一水平面上),且在C,D两点测得塔顶A的仰角分别为45°,30°.在水平面上测得∠BCD=120°,C,D两地相距300 m,则铁塔AB的高度是 ( )
A.60 m B.240 m
C.120 m D.300 m
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.在△ABC中,∠ABC=,AB=8,AC=7,则边BC的长可能为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
8.对于△ABC,下列说法正确的有 ( )
A.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形
B.若sin A=cos B,则△ABC为直角三角形
C.若sin2A+sin2B+cos2C<1,则△ABC为钝角三角形
D.若AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积为或
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.在△ABC中,若a=4,b=5,c=6,则cos A= .
10.[2024·河北大名一中高一月考] 设t为实数,满足以t,t+1,t+2为三边边长的三角形ABC为钝角三角形,则t的取值范围为 .
11.某教师组织本班学生开展课外实地测量活动,如图,要测山高MN,现选择点A和另一座山的山顶(点C)作为测量观测点,从A测得点M的仰角∠MAN=45°,点C的仰角∠CAB=30°,测得∠MAC=75°,∠MCA=60°,已知另一座山高BC=300米,且两山山底与A在同一水平面上,则山高MN= 米.
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=,△ABC的面积为,bsin2A=acos Asin B,求:
(1)角A的大小;
(2)△ABC的周长.
13.(15分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且sin Acos B=(2-cos A)sin B.
(1)若b+c=a,求A;
(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.
14.(15分)某公司设计的太阳能面板构件的剖面图为三角形,设其顶点分别为A,B,C,已知AB=2AC,且BC=4 m.
(1)若cos C=,求△ABC的周长.
(2)根据某客户的需求,△ABC的面积至少为6 m2,那么该公司设计的太阳能面板构件能否满足该客户的需求 请说明理由.滚动习题(五)
1.C [解析] 易知A=45°,由正弦定理得=,得b===4.
2.C [解析] 因为sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,且由正弦定理得sin A=,sin B=,sin C=,其中R为△ABC外接圆的半径,所以∶∶=3∶5∶7,即a∶b∶c=3∶5∶7.不妨令a=3t,b=5t,c=7t(t>0),则由余弦定理得cos C===-,因为C∈(0°,180°),所以C=120°.故选C.
3.A [解析] 由acos B+bcos A=a及余弦定理得a·+b·=a,整理可得c=a,所以△ABC为等腰三角形.故选A.
4.B [解析] 在平面内任取一点O,作=F1,=F2,如图,以,为邻边作平行四边形AOBC,则=F1+F2.由题意,易知当F1与F2的夹角为90°时,||=|F1|=|F2|=20(N),∴|F1|=|F2|=10 N.当F1与F2的夹角为120°时,平行四边形AOBC为菱形,且与的夹角为60°,此时||=|F1|=10 N.
5.C [解析] 由余弦定理可知b2=a2+c2-2accos B,则45=2c2+c2-2×c·c·,解得c=3(负值舍去),则a=c=3,所以△ABC的面积为acsin B=×3×3×=.故选C.
6.D [解析] 设AB=x,则BC=x,BD=x,在△BCD中,由余弦定理知cos 120°===-,可得x=300,故铁塔AB的高度为300 m.故选D.
7.BD [解析] 由余弦定理得AB2+BC2-2AB·BCcos B=AC2,即64+BC2-8BC=49,解得BC=3或BC=5.经检验,均满足题意.故选BD.
8.ACD [解析] 对于A,∵sin2A=sin2B,∴A=B,则△ABC是等腰三角形,A正确;对于B,∵sin A=cos B,∴A-B=或A+B=,∴△ABC不一定是直角三角形,B错误;对于C,∵sin2A+sin2B<1-cos2C=sin2C,∴a2+b2AC,∴C=60°或C=120°,∴A=90°或A=30°,当A=90°,C=60°时,S△ABC=×1×=,当A=30°,C=120°时,S△ABC=×1××sin 30°=,综上,S△ABC=或S△ABC=,D正确.故选ACD.
9. [解析] cos A===.
10.(1,3) [解析] 易知t>0.不妨设△ABC的内角C为最大角,则cos C=<0,即t2-2t-3<0,可得01.综上可得111.300 [解析] 在Rt△ABC中,∠CAB=30°,BC=300米,所以AC===600(米).在△MAC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,所以∠AMC=180°-75°-60°=45°,由正弦定理可得=,即=,所以AM=300米.在Rt△AMN中,∠MAN=45°,所以MN=AM·sin∠MAN=300×=300(米).
12.解:(1)由bsin2A=acos Asin B及正弦定理可得sin Bsin2A=sin Acos Asin B,因为sin Asin B≠0,所以sin A=cos A,即tan A=,
又A∈(0,π),所以A=.
(2)因为A=,所以△ABC的面积为bcsin A=bc=,所以bc=4.
由余弦定理可得a2=13=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-12,可得b+c=5,
所以△ABC的周长为a+b+c=5+.
13.解:(1)∵sin Acos B=(2-cos A)sin B,
∴a·=b·,
化简得c=2b,代入b+c=a,得a=b.
由余弦定理知,cos A===,
∵A∈(0,π),∴A=.
(2)由(1)知,c=2b,由余弦定理知,cos A===-,
∵A∈(0,π),∴sin A>0,∴S△ABC=bcsin A=b2=b2·=
b2·==
,
∴当b2=,即b=时,S△ABC取得最大值.
14.解:(1)因为cos C=,所以AB2=AC2+BC2-2AC·BC·,所以3AC2+2AC-16=0,可得AC=2 m,
所以AB=4 m,则△ABC的周长为10 m.
(2)设AC=x m,则AB=2x m,
由余弦定理得cos A==,因为A∈(0,π),所以sin A=,
故S△ABC=×2x·x·=
=
≤,当且仅当x=时,等号成立.因为<6,所以该公司设计的太阳能面板构件不能满足该客户的需求.
