单元素养测评卷(二)
1.C [解析] 向量是既有大小又有方向的量,大小相等的两个向量,方向不一定相同或相反,故A不正确;当b=0时,a与c不一定平行,故B不正确;尽管两个向量的模有大小之分,但两个向量是不能比较大小的,故D不正确;由平行向量的定义知C正确,故选C.
2.C [解析] 因为a∥b,所以1×(m+3)=2×m,解得m=3.
3.C [解析] 由题意知||=||=1,且,的夹角是120°,所以|3+4|====,故选C.
4.D [解析] 根据题意得=+=+(+)=+×+=+.故选D.
5.C [解析] 因为=,所以=,即a=c,又4c2=3b2,所以b=c,所以cos A==-,又A∈(0,π),所以A=.
6.C [解析] ∵矩形ABCD为黄金矩形,BC=-1,AB>BC,∴AB=2,则·=||·||·
cos∠BAC=||2=4.
7.A [解析] 由(-)·(+-2)=0,得·(-+-)=0,则(-)·(+)=-=0,所以||=||,所以△ABC是等腰三角形.故选A.
8.D [解析] 由正弦定理得2c2=(a+b)(b-a),即b2-a2=2c2,则cos C==≥=,当且仅当3a2=b2,即b=a时等号成立,则cos C的最小值为,从而C的最大值为.当C=时,由b=a,b2-a2=2c2,可得3a2-a2=2c2,则a=c,所以A=C=,从而B=π-A-C=π.故选D.
9.BD [解析] 根据单位向量的概念,易知选BD.
10.BCD [解析] 因为点D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,所以==-,故A不正确;=(+)=+=-+,故B正确;=-=++=++=++=+++=+,故C正确;由题意知,点G为△ABC的重心,所以++=++=×(+)+×(+)+×(+)=0,即++=0,故D正确.故选BCD.
11.BC [解析] 易知-=,故A错误;设θ为向量与的夹角,因为·=||·||·cos θ,且-1
0,但△ABC为钝角三角形,故D错误.故选BC.
12.-e [解析] 由|a-e|=|a+2e|得(a-e)2=(a+2e)2,所以|a|2-2a·e+1=|a|2+4a·e+4,解得a·e=-,所以向量a在e上的投影向量为e=-e.
13. [解析] 如图,连接AC.因为E为BC的中点,所以=(+),又=+,且AB∥CD,AB=2CD,所以=+,所以==+,所以由=x+y,得x=,y=,所以x+y=.
14.15 [解析] 设OP=h米,因为∠PAO=30°,∠PBO=60°,∠PCO=45°,所以OA===3h(米),OB===h(米),OC==h(米).在△OBC中,OC2=OB2+BC2-2OB·BC·cos∠OBC,即3h2=h2+752-2×75hcos∠OBC①.在△OAB中,OA2=OB2+AB2-2OB·AB·cos∠OBA,即9h2=h2+752-2×75hcos∠OBA②.因为cos∠OBC+cos∠OBA=0,所以①②两式相加可得12h2=2h2+2×752,可得h=15,则OP=h=15(米).
15.解:(1)因为e1=(1,0),e2=(0,1),所以a=3e1-2e2=(3,-2),b=4e1+e2=(4,1),
所以a·b=(3,-2)·(4,1)=12-2=10.
因为a+b=(7,-1),所以|a+b|==5.
(2)由(1)可知,|a|=,|b|=.
设a与b的夹角为θ,则cos θ===.
16.解:(1)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
因为sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,
所以由正弦定理可得b2+c2-a2=bc,
所以由余弦定理可得cos A==.
又0(2)因为a=3,A=,a2=b2+c2-2bccos A,所以9=b2+c2-bc,所以b2+c2=9+bc≥2bc(当且仅当b=c时,等号成立),所以bc≤9,所以S△ABC=bcsin A≤×9×=,
即△ABC面积的最大值为.
17.解:(1)因为a=(1,0),b=(2,1),所以ka+b=(k+2,1),
因为(ka+b)∥c,所以-4(k+2)=3,解得k=-.
(2)由题可知=2a+3b=(8,3),=a+mb=(1+2m,m),
因为A,B,C三点共线,所以∥,
所以8m=3(1+2m),解得m=.
18.解:(1)因为s·t=4cos A-3sin A=0,所以tan A=,
因为0又因为·=bccos A=6,所以bc=10,
所以△ABC的面积S=bcsin A=×10×=4.
(2)由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A=49-20-12=17,所以a=.
19.解:(1)选择①∠CDE=.在△BCD中,由正弦定理得=,可得BD==6(km).
因为∠BDC=π--=,∠CDE=,所以∠BDE=.
在Rt△BDE中,BE==10(km).
选择②cos∠DBE=.在△BCD中,由正弦定理得=,可得BD==6(km).
在△BDE中,由余弦定理得DE2=BD2+BE2-2BD·BE·cos∠DBE,即64=36+BE2-2×6×BE×,整理得5BE2-36BE-140=0,可得BE=10 km.
(2)在△ABE中,由余弦定理得BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos =AB2+AE2+AB·AE,即(AB+AE)2=100+AB·AE≤100+,当且仅当AB=AE=时取等号,
则(AB+AE)2≤,所以AB+AE≤.
故当AB=AE= km时,折线赛道BAE最长,最长为 km.单元素养测评卷(二)
第二章
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法中正确的是 ( )
A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b
B.若a∥b,b∥c,则a∥c
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D.若|a|>|b|,则a>b
2.已知向量a=(1,2),b=(m,m+3),若a∥b,则m= ( )
A.-7 B.-3
C.3 D.7
3.[2024·重庆乌江高一期末] 已知等边三角形ABC的边长为1,则|3+4|= ( )
A. B. 5 C. D.7
4.如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点,则= ( )
A.+
B.+
C.+
D.+
5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知4c2=3b2,=,则A= ( )
A. B. C. D.
6.宽与长的比值为≈0.618的矩形叫作黄金矩形,它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中.在黄金矩形ABCD中,BC=-1,AB>BC,那么·的值为 ( )
A.-1 B.+1
C.4 D.2+2
7.[2024·四川绵阳南山中学高一月考] 若O为△ABC所在平面内一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形 B. 直角三角形
C. 正三角形 D. 等腰直角三角形
8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2csin C=(a+b)(sin B-sin A),则当C取得最大值时,B= ( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列数学符号可以表示单位向量的是 ( )
A. B.(sin α,cos α)
C. D.·a(a≠0)
10.在△ABC中,点D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,AD,BE,CF交于点G,则 ( )
A.=-
B.=-+
C.+=
D.++=0
11.在△ABC中,下列结论正确的是 ( )
A.-=
B.·<||·||
C.若(+)·(-)=0,则△ABC为等腰三角形
D.若·>0,则△ABC为锐角三角形
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知单位向量e满足|a-e|=|a+2e|,则向量a在e上的投影向量为 .
13.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E为BC的中点,若=x+y,则x+y= .
14.滕王阁,江南三大名楼之一,因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而闻名于世.如图,为测得滕王阁的高度OP,在滕王阁旁地面上共线的三点A,B,C处测得阁顶P的仰角分别为30°,60°,45°,且AB=BC=75米,则滕王阁的高度OP= 米.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知向量a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1).
(1)求a·b,|a+b|;
(2)求a与b的夹角的余弦值.
16.(15分)在△ABC中,sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C.
(1)求A的大小;
(2)若BC=3,求△ABC面积的最大值.
17.(15分)[2024·宁夏石嘴山三中高一月考] 已知a=(1,0),b=(2,1),c=(3,-4),
(1)若 (ka+b)∥c,求k的值;
(2)若 =2a+3b,=a+mb,且A,B,C三点共线, 求m的值.
18.(17分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,·=6,向量s=(cos A,sin A)与向量t=(4,-3)互相垂直.
(1)求△ABC的面积;
(2)若b+c=7,求a的值.
19.(17分)现要规划某公路自行车比赛赛道,该赛道的平面示意图为如图所示的五边形ABCDE,运动员的公路自行车在比赛中如出现故障,可以从本队的器材车、公共器材车或收容车上获得帮助,此外服务人员还需要运送一些补给物品,例如食物、饮料、工具和配件,所以项目设计需要预留出BD,BE为赛道内的两条服务通道(不考虑宽度),ED,DC,CB,BA,AE为赛道,∠BCD=∠BAE=,∠CBD=,CD=2 km,DE=8 km.
(1)从以下两个条件中任选一个条件,求服务通道BE的长度.
①∠CDE=;②cos∠DBE=.
(2)在(1)的条件下,应该如何设计,才能使折线赛道BAE最长(即BA+AE最大),最长为多少
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.