滚动习题(七)
[范围§1~§2]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.[2024·重庆一中高一期中] 已知i为虚数单位,复数z=3+4i,则复数z的共轭复数的虚部为 ( )
A.4 B.-4
C.4i D.-4i
2.已知z=,则= ( )
A.+i B.-i
C.+i D.-i
3.若复数z=(其中i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知i是虚数单位,复数z1=3-4i,若在复平面内,复数z1与z2对应的点关于虚轴对称,则z1·z2= ( )
A.-25 B.25
C.-7 D.7
5.若复数z=(a-i)·i,|z|≤2,则实数a的取值范围是 ( )
A.[-,]
B.[-1,1]
C.(-∞,-]∪[,+∞)
D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
6.设z1,z2均是复数,则下列命题中正确的是 ( )
A.若z1-z2>0,则z1>z2
B.若+=0,则z1=z2=0
C.若|z1|=|z2|,则=
D.若z1+z2是虚数,则z1不是z2的共轭复数
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知复数z满足(1-i)=z+,则 ( )
A.z=-4+i
B.在复平面内对应的点在第一象限
C.z=17
D.z的实部与虚部之积为-4
8.若复数z1,z2满足|z1|=1,|z2|=3,则下列结论正确的是 ( )
A.|z1+z2|的最小值为2
B.|z1+z2|的最大值为4
C.|z1z2|=3
D.|z1·|=
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.已知i为虚数单位,复数z=1+i,则|3+iz|= .
10.复数z=(3+i)m-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限,则实数m的取值范围是 .
11.设复数z满足|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值是 .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)[2024·四川南充高一期中] 设复数z1=1-ai(a∈R),z2=3-4i.
(1)在复平面内,复数z1-z2对应的点在第二象限,求a的取值范围;
(2)若是纯虚数,求|z1|.
13.(15分)已知2+i是关于x的方程x2-mx-n=0(m,n∈R)的一个根,其中i为虚数单位.
(1)求m+2n的值;
(2)记复数z=m+ni,求复数的模.
14.(15分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部为2.
(1)求复数z;
(2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积.滚动习题(七)
1.B [解析] 因为z=3+4i,所以=3-4i,所以复数z的共轭复数的虚部为-4.故选B.
2.D [解析] 因为z===+i,所以=-i.故选D.
3.A [解析] 复数z====1+i,所以z在复平面内对应的点为(1,1),该点位于第一象限.故选A.
4.A [解析] ∵复数z1=3-4i,且在复平面内,复数z1与z2对应的点关于虚轴对称,∴z2=-3-4i,则z1·z2=(3-4i)(-3-4i)=-25.故选A.
5.A [解析] 依题意,复数z=1+ai,因为|z|≤2,所以≤2,解得-≤a≤,所以实数a的取值范围是[-,].故选A.
6.D [解析] 对于A,若z1=3+i,z2=1+i,则满足z1-z2>0,不满足z1>z2,故A不正确;对于B,若z1=1+i,z2=1-i,则满足+=(1+i)2+(1-i)2=0,不满足z1=z2=0,故B不正确;对于C,若z1=i,z2=1,则|z1|=|z2|=1,而=i2=-1,=1,所以≠,故C不正确;对于D,假设z1是z2的共轭复数,设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,可得z1+z2=2a,显然z1+z2是实数,与已知条件矛盾,故假设不成立,命题正确,故D正确.故选D.
7.ACD [解析] 设z=x+yi(x,y∈R),则由已知得(x-yi)(1-i)=x+yi+,即x-y-(x+y)i=x-1+(y+2)i,所以解得所以z=-4+i,故A选项正确;=-4-i,则在复平面内对应的点为(-4,-1),在第三象限,故B选项错误;z=(-4+i)(-4-i)=17,故C选项正确;z的实部为-4,虚部为1,所以z的实部与虚部之积为-4,故D选项正确.故选ACD.
8.ABC [解析] 设在复平面内z1,z2对应的向量分别为,,则由向量的加法法则得|||-|||≤|+|≤||+||,当,反向和同向时分别取得等号,则||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|,∴|z1+z2|的最小值为2,最大值为4,故A,B正确.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则|z1|==1,|z2|==3,∵z1z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i,∴|z1z2|==
=
=3,故C正确.∵=c-di,∴z1·=(a+bi)(c-di)=ac+bd+(bc-ad)i,∴|z1·|==
=
=3,故D错误.故选ABC.
9. [解析] |3+iz|=|3+i(1+i)|=|2+i|==.
10. [解析] 由题知z=(3m-2)+(m-1)i,其在复平面内对应的点的坐标为(3m-2,m-1).∵z在复平面内对应的点在第三象限,∴3m-2<0且m-1<0,解得m<.
11.3 [解析] 由|z+2-2i|=1可得|z-(-2+2i)|=1,则z在复平面内对应的点的轨迹是一个以(-2,2)为圆心,以1为半径的圆,如图所示,|z-2-2i|表示圆上的点到点(2,2)的距离.由图可知|z-2-2i|的最小值为3.
12.解:(1)由z1=1-ai,z2=3-4i,得z1-z2=-2+(4-a)i,
则复数z1-z2在复平面内对应的点为(-2,4-a),由题意得4-a>0,解得a<4,所以a的取值范围是(-∞,4).
(2)===,因为是纯虚数,所以解得a=-,则z1=1+i,所以|z1|==.
13.解:(1)方法一:由题意得(2+i)2-m(2+i)-n=0,
即4+4i+i2-2m-mi-n=0,
所以3-2m-n+(4-m)i=0,所以3-2m-n=0,4-m=0,解得m=4,n=-5,即m+2n=-6.
方法二:由已知得,这个方程的另一个根是2-i,由根与系数的关系可知2+i+2-i=m,(2+i)·(2-i)=-n,解得m=4,n=-5,所以m+2n=-6.
(2)由(1)知z=4-5i,则=4+5i,则===,所以===.
14.解:(1)设z=a+bi(a,b∈R).
由已知可得即解得 或故z=1+i或z=-1-i.
(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,则A(1,1),B(0,2),C(1,-1),故△ABC的面积S=×2×1=1;
当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,则A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),故△ABC的面积S=×2×1=1.
综上,△ABC的面积为1.
