单元素养测评卷(四)
第五章
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知z(1-i)=2+2i,则||= ( )
A.2 B.2
C.1 D.
2.已知z=2-i,则z(+i)= ( )
A.6-2i B.4-2i
C.6+2i D.4+2i
3.复数z=的共轭复数在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知复数z=,则将复数z对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转,所得向量对应的复数为 ( )
A. B.i
C.1 D.i
5.已知复数z满足z=2023-2023i,则z的三角形式为(辐角取主值) ( )
A.z=2023
B.z=2023
C.z=2023
D.z=2023
6.如图,在复平面内,一个正方形OACB的三个顶点A,O,B对应的复数分别是1+2i,0,-2+i,那么这个正方形的顶点C对应的复数为 ( )
A.3+i B.3-i
C.1-3i D.-1+3i
7.已知i是虚数单位,i-1是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,则p+q= ( )
A.4 B.-4
C.2 D.-2
8.如果复数z满足|z-2i|=1,i为虚数单位,那么|z+1+i|的最小值是 ( )
A.-1 B.-1 C.+1 D.+1
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是 ( )
A.复数z0=-2-i的共轭复数为=-2+i
B.设复数z满足(1-i)z=1+i,则|z|=1
C.已知z1,z2均为复数,且z1=a+2i(a∈R),z2=b+2i(b∈R),若aD.复数2-i在复平面内对应的点在第二象限
10.已知复数z1,z2,z3,则下列说法中错误的是 ( )
A.若z1>z2,则z1+z3>z2+z3
B.若z1·z2=z2·z3,则z1=z3
C.若|z1|2=|z2|2,则|z1|=|z2|
D.若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3
11.已知复数z1=2-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1,复数z2满足|z2-i|=1,则下列结论正确的是 ( )
A.点P1的坐标为(2,-2)
B.=2+2i
C.|z2-z1|的最大值为+1
D.|z2-z1|的最小值为2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.在复平面内,复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,则A,B两点间的距离为 .
13.设z∈C,若|z|=2,则|z+i|的最大值为 .
14.[2023·长郡中学高一期中] 定义:在复平面内,O为原点,向量=(a,b)(a∈R,b∈R)对应的复数为a+bi,将绕O点沿逆时针方向旋转,且将向量的模变为原来的倍,得到向量,此时向量对应的复数为(a+bi)·(1+i)=a-b+(a+b)i.现有一平行四边形ABCD,如图,A(1,1),B(3,2),|AD|=|AB|,∠BAD=,则点D的坐标为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)若复数z=(m2+m-6)+(m2-m-2)i,分别求满足下列条件的实数m的值.
(1)z是实数;
(2)z是纯虚数.
16.(15分)在复平面内,设复数z1,z2对应的向量分别为,,O为原点,且z1=-1+i,若把绕原点按逆时针方向旋转,把绕原点按顺时针方向旋转,所得两向量恰好重合,求复数z2.
17.(15分)已知复数z=+m(m∈R),z的共轭复数为.
(1)若m=1,求z·;
(2)若z·>5|z|,求m的取值范围.
18.(17分)[2024·河南濮阳高一期中] 已知复数z在复平面内对应的点位于第三象限,|z|=,且z的虚部是实部的2倍.
(1)求z;
(2)若复数w满足zw-5为纯虚数,则复数w在复平面内对应的点的集合是什么图形
19.(17分)已知复数z=(a+i)2,w=4-3i,其中a是实数.
(1)若复数z在复平面内对应的点位于第一象限,求a的取值范围.
(2)若是纯虚数,a是正实数.
①求a的值;
②计算+++…+.单元素养测评卷(四)
1.B [解析] 因为z(1-i)=2+2i,所以z===2i,所以=-2i,则||=2.故选B.
2.C [解析] 因为z=2-i,所以=2+i,所以z(+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.故选C.
3.A [解析] z====3-2i,∴=3+2i,∴在复平面内对应的点的坐标为(3,2),该点位于第一象限.故选A.
4.A [解析] z====1-i,将复数z对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转,则旋转后得到的向量对应的复数为(1-i)=(1-i)=.故选A.
5.D [解析] z=2023-2023i=2023=2023.故选D.
6.D [解析] 连接OC,在复平面内,因为=+,对应的复数为1+2i,对应的复数为-2+i,所以对应的复数为1+2i-2+i=-1+3i,所以顶点C对应的复数为-1+3i.故选D.
7.A [解析] 因为i-1是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,所以方程的另一个根为-1-i,所以-1+i+(-1-i)=-p,q=(-1+i)·(-1-i)=2,即p=2,q=2,所以p+q=4.故选A.
8.A [解析] 因为|z-2i|=1,所以复数z在复平面内对应的点Z在以(0,2)为圆心,1为半径的圆上.因为|z+1+i|表示点Z与定点(-1,-1)之间的距离,且点Z与定点(-1,-1)之间的距离的最小值等于圆心(0,2)与点(-1,-1)之间的距离减去圆的半径,所以|z+1+i|min=-1=-1.故选A.
9.AB [解析] 对于A,显然复数z0=-2-i的共轭复数为=-2+i,故A正确;对于B,(1-i)z=1+i,则z=====i,可得|z|==1,故B正确;对于C,由题意知z1,z2都是虚数,而虚数无法比较大小,故C错误;对于D,复数2-i在复平面内对应的点为(2,-1),该点在第四象限,故D错误.故选AB.
10.ABD [解析] 对于A,不妨取z1=1>z2=-2,z3=i,满足z1>z2,但此时z1+z3,z2+z3都不是实数,不能比较大小,故A中说法错误;对于B,不妨取z2=0,z1=1,z3=3,满足z1·z2=z2·z3=0,但此时z1≠z3,故B中说法错误;对于C,因为|z1|2=|z2|2,且|z1|≥0,|z2|≥0,所以|z1|=|z2|,故C中说法正确;对于D,不妨取z1=1+i,z2=0,z3=-1+i,满足(z1-z2)2+(z2-z3)2=(1+i)2+(1-i)2=2i-2i=0,但此时z1,z2,z3两两互不相等,故D中说法错误.故选ABD.
11.ABC [解析] 因为复数z1=2-2i在复平面内对应的点为P1,所以点P1的坐标为(2,-2),故A正确;因为z1=2-2i,所以=2+2i,故B正确;设z2=x+yi(x,y∈R),其在复平面内对应的点为P,A(0,1),因为|z2-i|=1,所以点P(x,y)到点A的距离为1,因此点P(x,y)的轨迹是以A(0,1)为圆心,1为半径的圆,|z2-z1|表示圆A上的点到点P1的距离,因此|z2-z1|max=||+1=+1=+1,|z2-z1|min=||-1=-1=-1,故C正确,D不正确.故选ABC.
12.2 [解析] 设A,B两点间的距离为d,由题可知,A(-3,-1),B(5,1),由两点间的距离公式得d=||===2,所以A,B两点间的距离为2.
13.3 [解析] 由|z|=2,可知复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上,|z+i|表示复数z和复数-i在复平面内对应的点之间的距离,所以|z+i|的最大值为圆心(0,0)与点(0,-1)之间的距离加上半径2,即为1+2=3.
14.(2,4) [解析] 由题意可得=(2,1),对应的复数为2+i,所以向量对应的复数为(2+i)(1+i)=1+3i,则=(1,3),所以=+=(1,1)+(1,3)=(2,4),故点D的坐标为(2,4).
15.解:(1)由题意可得m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.
(2)由题意可得m2+m-6=0且m2-m-2≠0,解得m=-3.
16.解:由题意得(-1+i)=,
所以z2=(-1+i)=2=2=2=-+i.
17.解:(1)z=+m=+m=1+m+3i,
当m=1时,z·=(2+3i)(2-3i)=13.
(2)由z·>5|z|,得(1+m)2+9>5,整理得(1+m)2>16,解得m>3或m<-5,
所以m的取值范围为(-∞,-5)∪(3,+∞).
18.解:(1)因为z的虚部是实部的2倍,所以设z=a+2ai(a∈R),
又|z|=,所以=,所以a=±1.
因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限,所以a<0,即a=-1,所以z=-1-2i.
(2)设复数w=x+yi(x,y∈R),因为zw-5=(-1-2i)(x+yi)-5=-x-yi-2xi-2yi2-5=(-x+2y-5)+(-y-2x)i为纯虚数,所以
由解得所以等价于y=x+且(x,y)≠(-1,2),所以复数w在复平面内对应的点的集合为去掉点(-1,2)的直线y=x+.
19.解:(1)因为z=(a+i)2=a2-1+2ai在复平面内对应的点为(a2-1,2a),该点位于第一象限,所以解得a>1,
所以a的取值范围是(1,+∞).
(2)①由是纯虚数,可设=bi,b∈R且b≠0,
则a2-1+2ai=(4-3i)bi=3b+4bi,
由a,b∈R可得消去b得a=2或a=-,
因为a>0,所以a=2.
②由①知b=1,可得=i,所以+++…+=i-1-i+1+i-1-i+1+…+i-1=-1+i.
