第五章 复数
§1 复数的概念及其几何意义
1.1 复数的概念
【课前预习】
知识点一
1.(1)-1 i2=-1 (2)加法、乘法
2.z=a+bi(a,b∈R) 实部 Re z 虚部 Im z
知识点二
1.(b=0) (b≠0) 2.(1)全体复数 C
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)当b=0时,复数z=bi是实数.
(2)该方程在复数范围内有解.
(3)依据复数的分类可知,当z=0时,a=b=0,故a+b=0.
2.
知识点三
a=c且b=d
诊断分析
1.(1)√ (2)× [解析] (1)如果两个复数的实部的差和虚部的差都为0,那么这两个复数的实部和虚部分别相等,故这两个复数相等.
(2)两个复数相等,当且仅当这两个复数的实部与虚部分别相等.
2.解:由题意得a=1,b=3,所以a+b=4.
【课中探究】
探究点一
例1 AB [解析] 对于A,实数集是复数集的真子集,A正确;对于B,若z是虚数,则z一定不是实数,B正确;对于C,复数a+i(a∈R)的虚部是1,C错误;对于D,-1的平方根为±i,D错误.故选AB.
变式 A [解析] 复数z=3-4i的实部为3,虚部为-4,则z的实部与虚部的和为3-4=-1.
探究点二
例2 (1)D [解析] 由a,b∈R,i为虚数单位,z1=z2,可得2-ai=b-1+2i,则解得故选D.
(2)解:∵x,y∈R,且x2-y2+2xyi=2i,
∴解得或
变式 (1)7 [解析] 因为x+(y-1)i=3+xi,x,y∈R,所以x=3,y-1=x,即x=3,y=4,所以x+y=7.
(2)解:设方程的实数根为x=m,
则3m2-m-1=(10-m-2m2)i,
∴解得或
故实数a的值为11或-.
探究点三
探索 解:当b=0时,a+bi是实数;当b≠0时,a+bi是虚数;当a=0,b≠0时,a+bi是纯虚数.
例3 解:(1)因为z=(m2-1)+(m-1)i为实数,所以m-1=0,解得m=1.
(2)因为z=(m2-1)+(m-1)i为虚数,所以m-1≠0,解得m≠1.
(3)因为z=(m2-1)+(m-1)i为纯虚数,
所以解得m=-1.
变式 解:(1)由z∈R,得解得m=-3.
(2)由z是虚数,得m2+2m-3≠0,且m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.
(3)由z是纯虚数,得解得m=0或m=-2.第五章 复数
§1 复数的概念及其几何意义
1.1 复数的概念
1.B [解析] 复数z=1-i的实部为1,虚部为-,故选B.
2.B [解析] 因为z=m2-1+(m+i2)i=m2-1+(m-1)i表示纯虚数,所以解得m=-1.故选B.
3.B [解析] 复数包含虚数和实数,虚数包含纯虚数和非纯虚数.因此只有B正确.故选B.
4.B [解析] 因为复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,所以解得m=3.故选B.
5.B [解析] 由题意得可得m=-1,故选B.
6.A [解析] 由题意知b2+4b+4+(a+b)i=0,∴解得则z=2-2i.
7.B [解析] 由题意得则又θ∈(0,π),∴θ=.
8.AB [解析] 对于A,当a=0且b≠0时,a+bi为纯虚数,故A中结论错误.对于B,若两个复数相等,则这两个复数的实部和虚部分别相等,所以a=3,b=-2,故B中结论错误.由复数的相关概念知选项C,D中的结论都正确.故选AB.
9.AC [解析] 因为z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i(m,n∈R),且z1=z2,所以解得或所以m+n=4或m+n=0.故选AC.
10.-1 [解析] 由题意可得-(a-1)=2,解得a=-1.
11.0 [解析] 由z1>z2,得解得
解得a=0.
12.-1 [解析] 由M∩N={3},知3∈M,则(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i=3,所以可得a=-1.
13.解:(1)复数z=(x2+x-2)+(x2-3x+2)i是实数等价于x2-3x+2=0,解得x=1或x=2.
(2)复数z=(x2+x-2)+(x2-3x+2)i是虚数等价于x2-3x+2≠0,解得x≠1且x≠2.
(3)复数z=(x2+x-2)+(x2-3x+2)i是纯虚数等价于解得x=-2.
14.解:(1)∵x,y∈R,∴由复数相等的定义得解得
(2)∵x∈R,∴由复数相等的定义得解得∴x=3.
15.D [解析] 由题意得z==cos+isin=+i,则复数z的虚部为.故选D.
16.解:(1)由z1为纯虚数,得可得m=-2.
(2)由z1=z2,得∴λ=4-cos2θ-2sin θ=sin2θ-2sin θ+3=(sin θ-1)2+2.
∵-1≤sin θ≤1,∴当sin θ=1时,λmin=2,当sin θ=-1时,λmax=6,∴实数λ的取值范围是[2,6].第五章 复数
§1 复数的概念及其几何意义
1.1 复数的概念
【学习目标】
1.了解引进复数的必要性,了解数系扩充的方法,通过方程的解认识复数.
2.理解复数的基本概念,理解复数的代数表示式,掌握复数的分类,理解两个复数相等的充要条件.
◆ 知识点一 复数的概念
1.虚数单位:引进一个新数i,叫作虚数单位,并规定:
(1)它的平方等于 ,即 ;
(2)实数与它进行四则运算时,原有的 运算律仍然成立.
2.复数的定义:形如a+bi(其中a,b∈R)的数叫作复数, 通常用字母z表示,即 ,其中a称为复数z的 ,记作 , b称为复数z的 ,记作 .
◆ 知识点二 复数的分类
1.根据复数中a,b的取值不同,复数可以有以下分类:
复数a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)
2.复数集
(1)定义: 构成的集合称为复数集,记作 .
(2)用图示法表示复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系,如图所示.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知i为虚数单位,则复数z=bi是纯虚数. ( )
(2)方程x2+1=0无解. ( )
(3)若复数z=a+bi(a,b∈R),且z=0,则a+b的值为0. ( )
2.用 或 填空:N* N Z Q R C.
◆ 知识点三 复数相等
两个复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等的定义:
它们的实部相等且虚部相等,即a+bi=c+di当且仅当 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等. ( )
(2)若a+bi=c+di(a,b,c,d∈R),则a=c或b=d. ( )
2.若复数z1=3+ai(a∈R),z2=b+i(b∈R),满足z1=z2,则a+b的值为多少
◆ 探究点一 复数的概念
例1 (多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.若x是实数,则x是复数
B.若z是虚数,则z不是实数
C.复数a+i(a∈R)的虚部是i
D.-1没有平方根
变式 设复数z=3-4i,则z的实部与虚部的和为 ( )
A.-1 B.1 C.5 D.7
[素养小结]
(1)对于复数的代数形式z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大组成部分.
◆ 探究点二 复数的相等及其应用
例2 (1)已知复数z1=2-ai,z2=b-1+2i(a,b∈R,i为虚数单位),且z1=z2,则 ( )
A.a=-1,b=1 B.a=2,b=-3
C.a=2,b=3 D.a=-2,b=3
(2)已知x,y∈R,且满足x2-y2+2xyi=2i,求x,y的值.
变式 (1)x,y∈R,若x+(y-1)i=3+xi,其中i是虚数单位,则x+y= .
(2)已知a∈R,关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根,求实数a的值.
[素养小结]
(1)必须将复数写成代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解.
(2)根据复数相等的条件,可将复数问题转化为实数问题,这是复数问题实数化的体现.
◆ 探究点三 复数的分类应用
[探索] 当a,b满足什么条件时,复数z=a+bi(a,b∈R)是实数、虚数、纯虚数
例3 求实数m的取值,使复数z=(m2-1)+(m-1)i分别是:
(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
变式 已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时:
(1)z∈R (2)z是虚数 (3)z是纯虚数
[素养小结]
复数分类问题的求解方法与步骤:
(1)化标准式:先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式(即代数形式),以确定实部与虚部;
(2)定条件求解:根据所给的条件列出实部和虚部满足的方程(组)或不等式(组),求解即可.
特别注意:复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0.第五章 复数
§1 复数的概念及其几何意义
1.1 复数的概念
一、选择题
1.复数z=1-i,则 ( )
A.z的实部为-1
B.z的虚部为-
C.z的虚部为-i
D.z的虚部为1
2.已知复数z=m2-1+(m+i2)i(m∈R)表示纯虚数,则m= ( )
A.1 B.-1
C.1或-1 D.2
3.设集合A={虚数},B={纯虚数},C={复数},则A,B,C间的关系为 ( )
A.A B C
B.B A C
C.B C A
D.A C B
4.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则m的值为 ( )
A.-2 B.3
C.-3 D.±3
5.已知复数z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i,m为实数,若z1=z2,则m的值为 ( )
A.4 B.-1
C.6 D.0
6.已知关于x的方程x2+4x+4+(a+x)i=0(a∈R)有实根b,且z=a+bi,则复数z等于 ( )
A.2-2i B.2+2i
C.-2+2i D.-2-2i
7.若复数z=3-4sin2θ+(1+2cos θ)i为纯虚数,θ∈(0,π),则θ= ( )
A. B. C. D.或
8.(多选题)对于复数z=a+bi(a,b∈R),下列结论错误的是 ( )
A.若a=0,则a+bi为纯虚数
B.若a-bi=3+2i,则a=3,b=2
C.若b=0,则a+bi为实数
D.i2=-1
9.(多选题)若z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i(m,n∈R),且z1=z2,则m+n的值可能是 ( )
A.4 B.2
C.0 D.-2
二、填空题
10.已知复数z=2-(a-1)i(a∈R),且Im z=2,则a的值是 .
11.[2024·江苏无锡高一期中] 已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,z1>z2,则a的值为 .
12.已知集合M={1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i},N={-1,3},若M∩N={3},则实数a= .
三、解答题
13.求实数x的取值,使复数z=(x2+x-2)+(x2-3x+2)i分别是:
(1)实数;
(2)虚数;
(3)纯虚数.
14.分别求满足下列条件的实数x,y的值:
(1)2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i;
(2)+(x2-2x-3)i=0.
15.据记载,欧拉公式eix=cos x+isin x(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x=π时,得到一个令人着迷的优美恒等式eπi+1=0,它将数学中五个重要的数(自然对数的底数e,圆周率π,虚数单位i,0和自然数的单位1)联系到了一起,有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式,复数z=的虚部为 ( )
A.i B. C.i D.
16.已知复数z1=4-m2+(m-2)i,z2=λ+2sin θ+(cos θ-2)i(其中i是虚数单位,m,λ,θ∈R).
(1)若z1为纯虚数,求实数m的值;
(2)若z1=z2,求实数λ的取值范围.(共31张PPT)
复数的概念及其几何意义
1.1 复数的概念
探究点一 复数的概念
探究点二 复数的相等及其应用
探究点三 复数的分类应用
【学习目标】
1.了解引进复数的必要性,了解数系扩充的方法,通过方程的解认
识复数.
2.理解复数的基本概念,理解复数的代数表示式,掌握复数的分类,
理解两个复数相等的充要条件.
知识点一 复数的概念
1.虚数单位：引进一个新数 ，叫作虚数单位，并规定：
（1）它的平方等于____，即________；
（2）实数与它进行四则运算时，原有的____________运算律仍然成立.
加法、乘法
2.复数的定义:形如（其中, ）的数叫作复数, 通常用字母
表示,即___________________,其中称为复数 的______，记作
_____，称为复数 的______，记作_____.
实部
虚部
知识点二 复数的分类
1.根据复数中, 的取值不同，复数可以有以下分类:
复数（,， 为虚数单位）
实数________；
虚数________.（当 时为纯虚数）
2.复数集
（1）定义:__________构成的集合称为复
数集，记作___.
（2）用图示法表示复数集、实数集、虚
数集和纯虚数集之间的关系,如图所示.
全体复数
C
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知为虚数单位，则复数 是纯虚数. ( )
×
[解析] 当时，复数 是实数.
（2）方程 无解.( )
×
[解析] 该方程在复数范围内有解.
（3）若复数,且,则 的值为0. ( )
√
[解析] 依据复数的分类可知，当时，，故 .
2.用 或 填空:_______________ .
知识点三 复数相等
两个复数与 相等的定义：
它们的实部相等且虚部相等，即 当且仅当__________
______.
且
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复
数相等.( )
√
[解析] 如果两个复数的实部的差和虚部的差都为0，那么这两个复数
的实部和虚部分别相等，故这两个复数相等.
（2）若，则或 .( )
×
[解析] 两个复数相等，当且仅当这两个复数的实部与虚部分别相等.
2.若复数,,满足,则 的
值为多少
解：由题意得,,所以 .
探究点一 复数的概念
例1 （多选题）下列说法中正确的是( )
A.若是实数，则是复数 B.若是虚数，则 不是实数
C.复数的虚部是 D. 没有平方根
[解析] 对于A，实数集是复数集的真子集，A正确；
对于B，若 是虚数，则一定不是实数，B正确；
对于C，复数 的虚部是1，C错误；
对于D，的平方根为，D错误.
故选 .
√
√
变式 设复数，则 的实部与虚部的和为( )
A. B.1 C.5 D.7
[解析] 复数的实部为3，虚部为，
则 的实部与虚部的和为 .
√
［素养小结］
（1）对于复数的代数形式,只有当,时,才是 的实
部,才是的虚部,且注意虚部不是,而是 .
（2）不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复
数的两大组成部分.
探究点二 复数的相等及其应用
例2（1） 已知复数,（,， 为虚数
单位），且 ，则( )
A., B.,
C., D.,
[解析] 由,，为虚数单位，，可得 ，
则解得 故选D.
√
（2）已知,，且满足，求， 的值.
解：,，且 ，
解得或
变式（1） ,，若，其中 是虚数单位，则
___.
7
[解析] 因为，,，所以, ，
即,，所以 .
（2）已知，关于的方程 有实
根，求实数 的值．
解：设方程的实数根为 ，
则 ，
解得或
故实数的值为11或 .
［素养小结］
（1）必须将复数写成代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚
部相等列方程组求解.
（2）根据复数相等的条件,可将复数问题转化为实数问题,这是复数
问题实数化的体现.
探究点三 复数的分类应用
［探索］ 当,满足什么条件时,复数 是实数、虚
数、纯虚数
解：当时,是实数;
当时,是虚数;
当, 时, 是纯虚数.
例3 求实数的取值，使复数 分别是：
（1）实数；
解：因为为实数，所以 ，
解得 .
（2）虚数；
解：因为为虚数，所以 ，
解得 .
（3）纯虚数．
解：因为 为纯虚数，
所以解得 .
变式 已知，复数，当 为何值
时：
（1）
解：由，得解得 .
（2） 是虚数？
解：由是虚数，得，且，
解得 且 .
（3） 是纯虚数？
解：由是纯虚数，得解得或 .
［素养小结］
复数分类问题的求解方法与步骤：
（1）化标准式：先看复数是否为 的形式（即代数形
式），以确定实部与虚部;
（2）定条件求解：根据所给的条件列出实部和虚部满足的方程（组）
或不等式（组），求解即可.
特别注意：复数为纯虚数的充要条件是 且
.
1.数系逐步扩充的过程
数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，例如，
计数的需要 自然数（正整数和零）；
负数；
分数（分数集 循环小数集）；
无理数（无理数集 无限不循环小数集）；
复数.
2.自然数、整数、有理数、实数和复数,用图形表示包含关系如下:
3.虚数单位 是数学家想象出来的,由此可以得到复数集.实数恰可以看
成是特殊的复数（虚部为零）,另外,由复数相等的意义可以知道复数
由实部和虚部唯一确定.
4.注意分清复数分类中的条件：
设复数 ，则
为实数；为虚数；为纯虚数 且
；且 .
5.复数相等的定义是求复数和在复数集中解方程的重要依据，一般地，
两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，如与
不能比较大小.若两个复数能比较大小，则这两个复数必定都为实数.
1.复数与常用逻辑用语
利用复数的概念和分类标准，可以解决常用逻辑用语中的充分必要
条件问题.
例1 [2024·辽宁大连高一期中] 设，则“ ”是“复数
为纯虚数”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若复数为纯虚数，则解得，
所以 是复数 为纯虚数的充要条件.故选A.
√
2.复数与方程
复数的产生与解方程有着密切联系，解关于复数的方程一般与复数
相等紧密结合，由实部与实部相等，虚部与虚部相等建立方程（组）
求解即可.
例2 若关于的方程有实根,求实数
的值.
解：设原方程的实根为 ,
则 ,
所以解得或
