§2 复数的四则运算
2.1 复数的加法与减法
【课前预习】
知识点一
1.(1)复数 实部的和 虚部的和 (a+c)+(b+d)i
(2)复数 实部的差 虚部的差 (a-c)+(b-d)i
2.(1)z1+(z2+z3) (2)z2+z1
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)× [解析] (3)两个虚数的差可以等于实数,当然可以比零大,但是两个虚数是不能比较大小的.
2.-2+2i [解析] (-3-4i)+(2+i)-(1-5i)=-3+2-1+(-4+1+5)i=-2+2i.
知识点二
1.(a+c,b+d) (a+c)+(b+d)i
2.(a-c,b-d) (a-c)+(b-d)i
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√
【课中探究】
探究点一
探索 解:两个或两个以上的复数相加就是把它们的实部与实部、虚部与虚部分别相加.
例1 (1)2-i (2)+i [解析] (1)(-1+i)+(3-2i)=(-1+3)+(-2)i=2-i.
(2)--=+i=+i.
(3)解:因为z1=x+2i,z2=3-yi,z1+z2=5-6i,所以(x+3)+(2-y)i=5-6i,所以解得所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=(2-3)+[2-(-8)]i=-1+10i.
变式 (1)B (2)9-5i [解析] (1)设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,由-z=2i可得-2bi=2i,则b=-1,即z的虚部为-1,故选B.
(2)因为z+1+2i=10-3i,所以z=(10-3i)-(1+2i)=9-5i.
探究点二
例2 解:(1)因为=-,所以对应的复数为-3-2i.
(2)因为=-,所以对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i,所以|AC|==.
(3)因为=+,所以对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,所以|OB|==.
变式 解:(1)因为与对应的复数分别为3+2i与1+4i,所以=(3,2),=(1,4).在平行四边形ABCD中,=+,则=-=(1,4)-(3,2)=(-2,2),所以对应的复数是-2+2i.
(2)=-=(3,2)-(-2,2)=(5,0),
所以对应的复数是5.
探究点三
探索 解:满足|z|=1的所有复数z对应的点的集合是以原点为圆心,1为半径的圆.满足|z-z0|=r(r>0)的所有复数z对应的点的集合是以z0对应的点为圆心,r为半径的圆.
例3 (1)1 [解析] 若 |z|=2,则复数z在复平面内对应的点Z在以原点O为圆心,2为半径(记为r)的圆上.|z-1|表示该圆上的点到点A(1,0)的距离,由|AO|=1得|z-1|的最小值为|r-|AO||=1.
(2)解:方法一:在复平面内分别作出z1,z2对应的向量,,并作向量,使+=(其中O为坐标原点),连接Z1Z,Z2Z,Z1Z2.
∵|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,∴,不共线.
∵|z1|=|z2|=1,∴四边形OZ1ZZ2为菱形,
又|z1+z2|=,∴∠Z1OZ2=90°,
∴四边形OZ1ZZ2为正方形,∴|z1-z2|=.
方法二:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).
由题知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2.
∵(a+c)2+(b+d)2=a2+2ac+c2+b2+2bd+d2=2,
∴2ac+2bd=0,∴|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-(2ac+2bd)=2,∴|z1-z2|=.
变式 C [解析] 根据复数模的几何意义可知,|z-1+2i|=1表示复平面内与复数z对应的点构成以(1,-2)为圆心,1为半径的圆,如图所示,|z|表示该圆上的点到原点的距离,
由图可知,|z|min=-1=-1.故选C.§2 复数的四则运算
2.1 复数的加法与减法
1.A [解析] 原式=(1-2)+(-1-1+3)i=-1+i.
2.C [解析] 由题可知z=1-i,则|+1+2i|=|1+i+1+2i|=|2+3i|==.故选C.
3.D [解析] 2+2i-|+i|=2+2i-=2+2i-2=2i.故选D.
4.B [解析] 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,由2(z-)+12=3(z+)+8i可得12+4bi=6a+8i,所以解得a=b=2,因此,复数z的虚部为2.故选B.
5.A [解析] 因为z1+z2=a+2+(4+b)i为实数,所以b=-4.因为z1-z2=a-2+(4-b)i为纯虚数,所以a=2.所以a+b=-2.故选A.
6.B [解析] 设复数z=a+bi(a,b∈R),因为z-=(a+bi)-(a-bi)=2bi=-2i,所以b=-1,又|z|==,所以a=±1,因为复数z在复平面内对应的点位于第四象限,所以a=1,所以z=1-i.故选B.
7.A [解析] 由题意得z0=6=3-3i,因为|z-z0|=1,所以在复平面内,复数z对应的点的轨迹是以(3,-3)为圆心,1为半径的圆,又点(3,-3)到坐标原点的距离为=6,所以|z|的最大值为6+1=7.故选A.
8.AD [解析] 对于A,z2=2i,其实部为0,虚部不为0,是纯虚数,A正确;对于B,z1-z2=2-3i,其在复平面内对应的点为(2,-3),在第四象限,B错误;对于C,z1+z2=2+i,则|z1+z2|==,C错误;对于D,z1=2-i,则=2+i,D正确.故选AD.
9.BD [解析] 对于A,由z1=1+2i,得=1-2i,故A错误;对于B,由z1=1+2i,z2=2-i,得|z1|=,|z2|=,则|z1|=|z2|,故B正确;对于C,z1+z2=3+i,为虚数,故C错误;对于D,z1-z2=-1+3i,在复平面内对应的点为(-1,3),在第二象限,故D正确.故选BD.
10.13-i [解析] 原式=2+7i-++3-8i=2+7i-5+13+3-8i=13-i.
11.+i [解析] 设z=a+bi,a,b∈R,因为z+|z|=2+i,所以a++bi=2+i,则解得所以z=+i.
12.[2,4] [解析] |z|=1表示z在复平面内对应的点在单位圆上,|z-2-i|表示单位圆上的点与点(2,)之间的距离,所以|z-2-i|的最大值为+1=4,最小值为-1=2,则|z-2-i|的取值范围为[2,4].
13.解:(1)+(2-i)-=+i=1+i.
(2)因为z1=2+3i,z2=-1+2i,所以z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.
14.解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),则由|z|2+2z-2i=0,得a2+b2+2(a+bi)-2i=0,即a2+b2+2a+(2b-2)i=0,所以解得所以z=-1+i.
(2)|z|+|z+3i|=|-1+i|+|-1+4i|=+,|2z+3i|=|-2+5i|=,
因为(+)2-()2=19+2-29=-10>0,所以+>,
所以|z|+|z+3i|>|2z+3i|.
15.B [解析] 由题意不妨设z1=a+bi,z2=c+di,其中a,b,c,d∈R,若z1+z2是实数,则z1+z2=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i∈R,故b+d=0,即b=-d,因为a,c不一定相等,所以z1,z2不一定互为共轭复数,故充分性不成立;若z1,z2互为共轭复数,则z2=a-bi,故z1+z2=2a∈R,故必要性成立.因此“z1+z2是实数”是“z1,z2互为共轭复数”的必要不充分条件.故选B.
16.解:(1)依题意知z1-z2=(m2-m)+(m2-2)i,因为z1-z2在复平面内对应的点位于第三象限,所以解得0(2)依题意知=(m2+m,m2-1),=(2m,1),
由·=0,得2m(m2+m)+m2-1=(m+1)2(2m-1)=0,解得m=或m=-1.当m=-1时,A(0,0),与原点重合,不符合题意,因此m=,则z1=-i,z2=1+i,则=1-i,所以|z1-|==.§2 复数的四则运算
2.1 复数的加法与减法
【学习目标】
1.掌握复数代数表示式的加、减运算法则,并能熟练地进行运算.
2.了解复数加、减运算的几何意义,并能利用几何意义解决简单数学问题.
◆ 知识点一 复数的加、减法运算
1.复数的加法与减法
(1)复数的加法:两个复数的和仍是一个 ,两个复数的和的实部是它们的 ,两个复数的和的虚部是它们的 .即(a+bi)+(c+di)=
(a,b,c,d∈R).
(2)复数的减法:两个复数的差仍是一个 ,两个复数的差的实部是它们的 ,两个复数的差的虚部是它们的 .即(a+bi)-(c+di)=
(a,b,c,d∈R).
2.复数加法的运算律
(1)结合律:(z1+z2)+z3= .
(2)交换律:z1+z2= .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)复数与复数相加、减后结果仍为复数. ( )
(2)复数加法的运算律类同于实数加法的运算律. ( )
(3)若复数z1,z2满足z1-z2>0,则z1>z2. ( )
2.(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)= .
◆ 知识点二 复数加法与减法的几何意义
1.复数加法的几何意义:如图,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)分别与向量=(a,b),=(c,d)对应,根据平面向量的坐标运算,得+= ,即两个向量,的和就是与复数 对应的向量.复数的加法可以按照向量的加法来进行,这就是复数加法的几何意义.
2.复数减法的几何意义:如图,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)分别与向量=(a,b),=(c,d)对应,根据平面向量的坐标运算,得-= ,即两个向量,的差就是与复数
对应的向量.复数的减法可以按照向量的减法来进行,这就是复数减法的几何意义.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)复数加、减法的几何意义类同于向量加、减法运算的几何意义. ( )
(2)|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是复数z在复平面内对应的点Z到复数z0在复平面内对应的点Z0之间的距离. ( )
(3)已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则在复平面内这两个复数对应的点之间的距离为8. ( )
◆ 探究点一 复数的加、减法运算
[探索] 两个实数可以相加,那么两个或两个以上的复数相加,具体怎么运算呢
例1 (1)(-1+i)+(3-2i)= ;
(2)--= ;
(3)设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,求z1-z2.
变式 (1)已知复数z满足-z=2i,则z的虚部为 ( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
(2)已知复数z满足z+1+2i=10-3i,则z= .
[素养小结]
复数代数形式的加、减法运算技巧:
(1)对于复数代数形式的加、减法运算,只要把实部与实部、虚部与虚部分别相加、减即可.类比实数的加减运算,若有括号,先计算括号内的;若没有括号,可从左到右依次进行计算.
(2)算式中若出现字母,首先确定其是否为实数,再确定复数的实部与虚部,最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加、减.
◆ 探究点二 复数加、减法的几何意义
例2 如图所示,在复平面内,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复数0,3+2i,-2+4i.求:
(1)向量对应的复数;
(2)向量对应的复数及A,C两点之间的距离;
(3)向量对应的复数及O,B两点之间的距离.
变式 已知平行四边形ABCD在复平面内,与对应的复数分别是3+2i与1+4i.
(1)求对应的复数;
(2)求对应的复数.
[素养小结]
复数与复平面内向量的对应关系的两个关注点:
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)与以原点为起点,Z(a,b)为终点的向量一一对应.
(2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终点所对应的复数可能改变.
◆ 探究点三 |z-z0|(z,z0∈C)的几何意义
的应用
[探索] 在复平面内,满足|z|=1与|z-z0|=r(r>0)的所有复数z对应的点分别构成什么图形
例3 (1)若复数z满足|z|=2,则|z-1|的最小值是 .
(2)设z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.
变式 设z是复数且|z-1+2i|=1,则|z|的最小值为 ( )
A.1 B.-1
C.-1 D.
[素养小结]
|z1-z2|表示z1,z2在复平面内对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而数形结合,把复数问题转化为几何问题求解.§2 复数的四则运算
2.1 复数的加法与减法
一、选择题
1.复数(1-i)-(2+i)+3i等于 ( )
A.-1+i B.1-i
C.i D.-i
2.已知复数z在复平面内对应的点为(1,-1),则|+1+2i|= ( )
A. B.3
C. D.5
3.复数2+2i-|+i|= ( )
A.0 B.2
C.-2i D.2i
4.设2(z-)+12=3(z+)+8i(i为虚数单位),则复数z的虚部为 ( )
A.2i B.2
C.-2i D.-2
5.设z1=a+4i,z2=2+bi,其中a,b∈R,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则实数a+b= ( )
A.-2 B.0
C.2 D.4
6.复数z满足z-=-2i,|z|=,复数z在复平面内对应的点位于第四象限,则z= ( )
A.1-2i B.1-i
C.-1-i D.2-i
7.[2024·河北沧州高一期中] 已知复数z0=6,复数z满足|z-z0|=1,则|z|的最大值为 ( )
A.7 B.6
C.4 D.6
8.(多选题)设复数z1=2-i,z2=2i,其中i为虚数单位,则下列结论中正确的为 ( )
A.z2是纯虚数
B.z1-z2在复平面内对应的点位于第二象限
C.|z1+z2|=3
D.=2+i
9.(多选题)[2023·长春八十七中高一期中] 已知i为虚数单位,复数z1=1+2i,z2=2-i,则 ( )
A.z1的共轭复数为-1+2i
B.|z1|=|z2|
C.z1+z2为实数
D.z1-z2在复平面内对应的点在第二象限
二、填空题
10.计算:(2+7i)-|-3+4i|+|5-12i|+3-8i= .
11.复数z满足z+|z|=2+i,则z= .
12.已知复数z满足|z|=1,则|z-2-i|的取值范围为 .
三、解答题
13.(1)计算:+(2-i)-.
(2)已知z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2.
14.[2024·浙江绍兴高一期中] 已知复数z满足|z|2+2z-2i=0.
(1)求z;
(2)比较|z|+|z+3i|与|2z+3i|的大小.
15.若z1,z2为复数,则“z1+z2是实数”是“z1,z2互为共轭复数”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
16.已知m∈R,复数z1=(m2+m)+(m2-1)i,z2=2m+i.
(1)若z1-z2在复平面内对应的点位于第三象限,求m的取值范围;
(2)设O为坐标原点,z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B(不与O重合),若·=0,求|z1-|.(共33张PPT)
2 复数的四则运算
2.1 复数的加法与减法
探究点一 复数的加、减法运算
探究点二 复数加、减法的几何意义
探究点三 的几何意义的
应用
【学习目标】
1.掌握复数代数表示式的加、减运算法则,并能熟练地进行运算.
2.了解复数加、减运算的几何意义,并能利用几何意义解决简单
数学问题.
知识点一 复数的加、减法运算
1.复数的加法与减法
（1）复数的加法：两个复数的和仍是一个______，两个复数的和的
实部是它们的__________，两个复数的和的虚部是它们的_________.
即_________________ .
复数
实部的和
虚部的和
（2）复数的减法：两个复数的差仍是一个______，两个复数的差的
实部是它们的__________，两个复数的差的虚部是它们的_________.
即_________________ .
复数
实部的差
虚部的差
2.复数加法的运算律
（1）结合律： _____________.
（2）交换律： ________.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）复数与复数相加、减后结果仍为复数.( )
√
（2）复数加法的运算律类同于实数加法的运算律.( )
√
（3）若复数,满足,则 .( )
×
[解析] 两个虚数的差可以等于实数，当然可以比零大，但是两个虚
数是不能比较大小的.
2. _________.
[解析] .
知识点二 复数加法与减法的几何意义
1.复数加法的几何意义：如图,设 ,
分别与向量 ,
对应，根据平面向量的坐标运算，得
_____________，即两个向量,
的和就是与复数_________________对应的向量.复数的加法可以按照向
量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义.
2.复数减法的几何意义：如图,设 ,
分别与向量, 对应，
根据平面向量的坐标运算，得 _____________，即两个
向量, 的差就是与复数_________________对应的向量.复数的
减法可以按照向量的减法来进行，这就是复数减法的几何意义.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）复数加、减法的几何意义类同于向量加、减法运算的几何意义.
( )
√
（2）的几何意义是复数在复平面内对应的点 到
复数在复平面内对应的点 之间的距离.( )
√
（3）已知复数， ，则在复平面内这两个复数
对应的点之间的距离为8.( )
√
探究点一 复数的加、减法运算
［探索］ 两个实数可以相加,那么两个或两个以上的复数相加,具体
怎么运算呢
解：两个或两个以上的复数相加就是把它们的实部与实部、虚部与
虚部分别相加.
例1（1） ________;
[解析] .
（2） _ ________;
[解析] .
（3）设，,且 ,求
.
解：因为，， ，
所以，
所以解得
所以 .
变式（1） 已知复数满足，则 的虚部为( )
A.1 B. C.2 D.
[解析] 设，则，
由 可得,则，即的虚部为 ，故选B.
√
（2）已知复数满足，则 ________.
[解析] 因为 ，
所以 .
［素养小结］
复数代数形式的加、减法运算技巧：
（1）对于复数代数形式的加、减法运算,只要把实部与实部、虚部与
虚部分别相加、减即可.类比实数的加减运算,若有括号,先计算括号内
的;若没有括号,可从左到右依次进行计算.
（2）算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实
部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加、减.
探究点二 复数加、减法的几何意义
例2 如图所示,在复平面内,平行四边形 的顶点
,,分别对应复数0,, .求:
（1）向量 对应的复数;
解：因为,所以对应的复数为 .
（2）向量对应的复数及， 两点之间的距离；
解：因为,
所以 对应的复数为，
所以 .
（3）向量对应的复数及， 两点之间的距离.
解：因为,
所以 对应的复数为，
所以 .
变式 已知平行四边形在复平面内，与 对应的复数分别是
与 .
（1）求 对应的复数；
解：因为与对应的复数分别为与 ，
所以，.
在平行四边形中， ，
则，
所以 对应的复数是 .
（2）求 对应的复数.
解： ，
所以 对应的复数是5.
［素养小结］
复数与复平面内向量的对应关系的两个关注点：
（1）复数与以原点为起点， 为终点的向
量一一对应.
（2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所
对应的复数可能改变.
探究点三 的几何意义的应用
［探索］ 在复平面内，满足与 的所有复数
对应的点分别构成什么图形？
解：满足的所有复数 对应的点的集合是以原点为圆心，1为
半径的圆.满足的所有复数 对应的点的集合是以
对应的点为圆心， 为半径的圆.
例3（1） 若复数满足，则 的最小值是___．
1
[解析] 若，则复数在复平面内对应的点在以原点 为圆心，
2为半径（记为）的圆上.
表示该圆上的点到点 的距离，
由得的最小值为 .
（2）设，，已知， ，求
.
解：方法一：在复平面内分别作出，对应的向量， ，
并作向量，使（其中为坐标原点），
连接 ，， .
，，， 不共线.
， 四边形 为菱形，
又， ，
四边形为正方形， .
方法二：设， .
由题知，， .
，
，
，
.
变式 设是复数且，则 的最小值为( )
A.1 B. C. D.
[解析] 根据复数模的几何意义可知，
表示复平面内与复数 对应的点构
成以为圆心，1为半径的圆，
如图所示， 表示该圆上的点到原点的距离，
由图可知， .故选C.
√
［素养小结］
表示， 在复平面内对应的两点间的距离.利用此性质，可
把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而数形结合，
把复数问题转化为几何问题求解.
1.两个实数的差是实数，但是两个虚数的差不一定是虚数，例如
.
2.把复数的代数形式看成关于“ ”的多项式，则复数的加、减法类似
于多项式的加、减法，只需要“合并同类项”就可以了.
3.根据复数的几何意义，复数的加、减法运算可以转化为点的坐标运
算或向量的加、减法运算，复数的加、减法运算用向量进行时，同
样满足平行四边形法则和三角形法则.
4.复数及其加、减法运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用
提供了可能，对于一些比较复杂的复数运算问题,特别是与模有关的
问题,将复数转化为点或向量有助于问题的解决.
5.几何意义:的几何意义为复数在复平面内对应的点 到复
数在复平面内对应的点的距离;中 在复平
面内对应的点的集合为以复数在复平面内所对应的点为圆心, 为半
径的圆.
6.复数与平行四边形的关系
在复平面内，，对应的点分别为，，对应的点为，
为坐标原点，则四边形 为平行四边形.
若，则四边形 为矩形；
若，则四边形 为菱形；
若且，则四边形 为正方形.
复数模的应用
涉及复数模的问题，可以通过模的计算公式即两点间的距离公式入
手进行代数运算，也可以赋予几何解释，通过几何方法进行求解.这
里体现了数形结合思想方法的运用.
1.判断图形
例1 已知，，求复数 在复平面内对应的点
的轨迹.
解：复数在复平面内对应的点为,
表示复数在复平面内对应的点与点之间的距离为，
所以复数 在复平面内对应的点的轨迹为以点为圆心， 为半径
的圆.
2.求最值
例2 复数 ，，则 的最大值为
( )
A. B. C. D.
[解析]
. ，
.故选D.
√
