(共31张PPT)
2 复数的四则运算
2.2 复数的乘法与除法
*2.3 复数乘法几何意义初探
探究点一 复数的乘法运算
探究点二 复数的除法运算
探究点三 复数范围内的方程根的问题
*探究点四 复数乘法的几何意义初步
应用
【学习目标】
掌握复数代数表示式的乘、除运算法则,并能熟练地进行计算.
知识点一 复数的乘法
1.复数的乘法法则
对任意两个复数, ,定义复数的乘
法如下：
_____________________.
2.复数乘法的运算律
对任意，， ，有
交换律 _______
结合律 ____________
乘法对加法的分配律 ______________
3.复数的乘方
（1）定义：对于复数，定义它的乘方 _ ____________.
（2）运算性质：______，_____，
_______，其中,,是复数，, 是正整数.
（3）的乘方：对任意自然数,有___，__，
____， ____.
1
4.共轭性质
文字语 言 互为共轭复数的两个复数的乘积是______，等于这个复
数（或其共轭复数）模的平方
符号表 示 若，则
实数
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）互为共轭复数的两个复数的和与乘积都是实数.( )
√
（2）若，，且，则 .( )
×
[解析] 例如，,,满足，但不满足 .
（3） .( )
×
[解析] 例如,，而 .
（4）若（为虚数单位），则 .( )
×
[解析] 因为 ，
所以
.
知识点二 复数的除法
1.倒数
给定复数，若存在复数，使得___，则称是 的倒数，记
作 ___.
1
2.复数的除法法则
对任意的复数和非零复数 ，
规定复数的除法： ,即除以一个复数，等于乘这个复数的倒
数.因此 ______________.
【诊断分析】
复数的除法与实数的除法有何不同
解：实数的除法可以直接约分化简得出结果,但复数的除法中分母为复
数,一般不能直接约分化简.由于两个共轭复数的乘积是一个实数,因此,
两个复数相除时,可以先把它们的商写成分式的形式,然后把分子、分
母同乘分母的共轭复数（注意是分母的共轭复数）,再把结果化简即可.
*知识点三 复数乘法几何意义初探
设复数所对应的向量为 .
若所对应的向量为，则是 与__的
______，即是将沿原方向______ 或______
倍得到的.
所对应的向量为，则 是将_____逆时针旋转__
得到的.
数乘
伸长
压缩
探究点一 复数的乘法运算
例1 计算：
（1） ；
解： .
（2） .
解： .
变式（1） 已知，为虚数单位，若 为纯虚数，
则 ( )
A. B. C.2 D.6
[解析] ，
根据题意可得可得 故选B.
（2） ____.
[解析] 因为 ，
所以 .
√
［素养小结］
1.两个复数代数表示式的乘法运算的一般步骤：
（1）按多项式的乘法展开；
（2）将换成 ；
（3）进行复数的加、减运算.
2.两个复数代数表示式的乘法运算的常用公式：
（1） ；
（2） ；
（3） .
探究点二 复数的除法运算
例2 计算：
（1） ；
解： .
（2） .
解：
.
变式（1） 已知复数满足，则 ____.
[解析] 由题意得 ,
则 .
（2）若复数，则 的虚部为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得，
故复数 的虚部为 .故选C.
√
［素养小结］
1.两个复数代数表示式的除法运算的一般步骤：
（1）将除式写为分式；
（2）将分子、分母同乘分母的共轭复数；
（3）将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数表示式.
2.常用公式：
（1）；（2）；（3） .
探究点三 复数范围内的方程根的问题
［探索］ 在复数范围内解方程 .
解：由，得，则 ，
解得，即，所以原方程的解是 .
例3 在复数范围内解方程 .
解：由，得 ，
即，解得或或 ，
所以原方程的解是或或 .
变式 [2024·浙江宁波高一期中] 若（为虚数单位）是关于 的
实系数一元二次方程的一个虚根，则实数 ____.
[解析] 因为是关于的实系数一元二次方程 的一
个虚根，
所以也是关于的实系数一元二次方程 的一个虚根，
则，解得 .
［素养小结］
在复数范围内,实系数一元二次方程,, ,且
的解法：
1.求根公式法：
（1）当时, ;
（2）当时, .
2.利用复数相等的充要条件求解.
注意：与在实数范围内对比,在复数范围内解决实系数一元二次方程
问题,根与系数的关系和求根公式仍然适用,但是用判别式判断方程根
的功能就发生改变了.
*探究点四 复数乘法的几何意义初步应用
例4 在复平面内，复数， ，它们分别对应的
向量为， ，则下列说法正确的是( )
A.是将沿原方向伸长3倍，再逆时针旋转 得到的
B.是将沿原方向压缩，再逆时针旋转 得到的
C.是将沿原方向伸长3倍，再逆时针旋转 得到的
D.是将沿原方向压缩，再逆时针旋转 得到的
√
[解析] 由，得 ，
所以，，
结合复数乘法的几何意义可得 是将沿原方向伸长3倍，再逆时
针旋转 得到的.
故选C.
1.复数的乘法与多项式的乘法的区别
复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同，即必须在所得结
果中把换成 ，再把实部、虚部分别合并.
2.复数代数形式的除法运算的实质是分母“实数化”,即分子以及分母
同乘分母的“实数化”因式，即分母的共轭复数.类似于以前所学的把
分母“有理化”.
3.有关虚数单位 的运算
虚数的乘方及其规律:,,,,, ,
,, .可见,, ,
,即 的乘方具有周期性且最小正周期为4.
4.复数常见运算小结论
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
5.常用公式
； ；
.
6.（1）设出复数的代数形式 以代入法解题是一
种基本而常用的方法;
（2）复数的相等 是实
现复数运算转化为实数运算的重要方法.
这两种方法必须切实掌握.
1.共轭复数及其应用
（1） ，利用这个性质可证明一个复数为实数.
（2）且，则 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个
复数为纯虚数.
（3） .
例1 [2024·吉林长春高一期中] 已知复数满足
（为虚数单位），则 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 由，得 ，
则，所以在复平面内对应的点为 ，该点位于第一象限.
故选A.
√
2.复数与方程
例2 若关于的方程 有实数根,
求锐角 的值,并求出方程的所有根.
解：原方程可化为 ,
, ,
解得,.
又 为锐角， .2.2 复数的乘法与除法
*2.3 复数乘法几何意义初探
【课前预习】
知识点一
1.(ac-bd)+(ad+bc)i
2.z2·z1 z1·(z2·z3) z1·z2+z1·z3
3.(1) (2)zm+n zmn ·
(3)1 i -1 -i
4.实数
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)× [解析] (2)例如,z1=1,z2=i,满足+=0,但不满足z1=z2=0.
(3)例如,|i|2=1,而i2=-1.
(4)因为ω=,所以ω3=×=×=×==-i.
知识点二
1.1 2.-i
诊断分析
解:实数的除法可以直接约分化简得出结果,但复数的除法中分母为复数,一般不能直接约分化简.由于两个共轭复数的乘积是一个实数,因此,两个复数相除时,可以先把它们的商写成分式的形式,然后把分子、分母同乘分母的共轭复数(注意是分母的共轭复数),再把结果化简即可.
知识点三
c 数乘 伸长 压缩
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)(1+2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.
(2)(1+2i)(3-4i)(-2-i)=(11+2i)(-2-i)=-20-15i.
变式 (1)B (2)-4 [解析] (1)(1-2i)(a+i)=a+i-2ai+2=(a+2)+(1-2a)i,根据题意可得可得a=-2.故选B.
(2)因为(1-i)2=1-2i+i2=-2i,所以(1-i)4=[(1-i)2]2=(-2i)2=-4.
探究点二
例2 解:(1)=====+i.
(2)===
===1-i.
变式 (1) (2)C [解析] (1)由题意得z====2+i,则|z|==.
(2)由题得z====+i,故复数z的虚部为.故选C.
探究点三
探索 解:由3x2+3x+2=0,得x2+x=-,则=-,解得x+=±i,即x=-±i,所以原方程的解是-±i.
例3 解:由x3+x2+x+1=0,得x2(x+1)+(x+1)=0,即(x+1)(x2+1)=0,解得x=-1或x=i或x=-i,所以原方程的解是-1或i或-i.
变式 -2 [解析] 因为1+i是关于x的实系数一元二次方程x2+kx+2=0的一个虚根,所以1-i也是关于x的实系数一元二次方程x2+kx+2=0的一个虚根,则1+i+(1-i)=-k,解得k=-2.
探究点四
例4 C [解析] 由z1=2+2i,得z2=z1·(3i)=-6+6i,所以=(2,2),=(-6,6),结合复数乘法的几何意义可得是将沿原方向伸长3倍,再逆时针旋转得到的.故选C.2.2 复数的乘法与除法
*2.3 复数乘法几何意义初探
1.B [解析] 因为===-2-i,所以其共轭复数是-2+i,故选B.
2.A [解析] 因为z=i+=i+=2-i,所以复数z=i+在复平面内对应的点为(2,-1).故选A.
3.C [解析] i2023-i2024=i3-1=-i-1.故选C.
4.A [解析] 因为z2=-8+6i=(3+4i)·2i,即z2=z1·2i,所以按逆时针旋转,再伸长2倍得到.故选A.
5.B [解析] ∵==+i为实数,∴a+1=0,解得a=-1.故选B.
6.B [解析] 因为|1-i|-i=2-i=z(1+i),所以z====-i,所以z的虚部为-.故选B.
7.B [解析] z1==,z2=z1i=,∴=,=,∴·=0,故选B.
8.BC [解析] 对于选项A,因为|z1|==,|z2|=1,所以|z1|≠|z2|,故A错误;对于选项B,因为z1z2=(3-i)i=1+3i,所以z1z2的共轭复数为1-3i,故B正确;对于选项C,因为===-+i,所以的虚部为,故C正确;对于选项D,因为2z1-z2=2(3-i)-i=6-3i,所以复数2z1-z2在复平面内对应的点为(6,-3),位于第四象限,故D错误.故选BC.
9.AD [解析] 令z=a+bi(a,b∈R),则由===∈R,得b=0,所以z∈R,故A为真命题;当z=i时,z2=i2=-1∈R,而z=i R,故B为假命题;当z1=z2=i时,满足z1·z2=-1∈R,但z1≠,故C为假命题;实数的共轭复数是它本身,也属于实数,故D为真命题.故选AD.
10.-1±2i [解析] 由x2+2x+5=0得(x+1)2=-4,所以x=-1±2i.
11.1 [解析] 由题意可得(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c-1)+(2+b)i=0,所以b+c-1=0,即b+c=1.
12.2 [解析] 设z=bi(b∈R且b≠0),则===,由题意得2-b=0,解得b=2,所以|z|=|2i|=2.
13.解:(1)===1-i.
(2)===-1-3i.
14.解:(1)z1z2=(5+10i)(3-4i)=15-20i+30i-40i2=55+10i.
(2)因为=+=,
所以z======5-i.
15.-1 [解析] 因为z====i,i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=0(n∈N),所以z+z2+z3+…+z99=i+i2+i3+i4+…+i93+i94+i95+i96+i97+i98+i99=(i+i2+i3+i4)+…+(i93+i94+i95+i96)+i97+i98+i99=i+i2+i3=-1.
16.解:(1)因为===是实数,
所以-(2m+3)=0,解得m=-.
(2)由(1)知在复平面内对应点的坐标为,因为该点在第三象限,
所以解得-*2.3 复数乘法几何意义初探
【学习目标】
掌握复数代数表示式的乘、除运算法则,并能熟练地进行计算.
◆ 知识点一 复数的乘法
1.复数的乘法法则
对任意两个复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),定义复数的乘法如下:
(a+bi)(c+di) = .
2.复数乘法的运算律
对任意z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1·z2=
结合律 (z1·z2)·z3=
乘法对加法的分配律 z1·(z2+z3)=
3.复数的乘方
(1)定义:对于复数z,定义它的乘方zn= .
(2)运算性质:zm·zn= ,(zm)n= ,(z1·z2)n= ,其中z,z1,z2是复数,m,n是正整数.
(3)i的乘方:对任意自然数n,有i4n= ,i4n+1= ,i4n+2= ,i4n+3= .
4.共轭性质
文字语言 互为共轭复数的两个复数的乘积是 ,等于这个复数(或其共轭复数)模的平方
符号表示 若z=a+bi(a,b∈R),则z·=|z|2=||2=a2+b2
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)互为共轭复数的两个复数的和与乘积都是实数. ( )
(2)若z1,z2∈C,且+=0,则z1=z2=0. ( )
(3)|z|2=z2. ( )
(4)若ω=(i为虚数单位),则ω3=1. ( )
◆ 知识点二 复数的除法
1.倒数
给定复数z2,若存在复数z,使得z2·z= ,则称z是z2的倒数,记作z= .
2.复数的除法法则
对任意的复数z1=a+bi(a,b∈R)和非零复数z2=c+di(c,d∈R),规定复数的除法:=z1·,即除以一个复数,等于乘这个复数的倒数.因此= = .
【诊断分析】 复数的除法与实数的除法有何不同
◆ *知识点三 复数乘法几何意义初探
设复数z1=a+bi(a,b∈R)所对应的向量为.
若z2=(a+bi)·c(c>0)所对应的向量为,则是与 的 ,即是将沿原方向 (c>1)或 (0z3=(a+bi)·i所对应的向量为,则是将 逆时针旋转 得到的.
◆ 探究点一 复数的乘法运算
例1 计算:(1)(1+2i)2;
(2)(1+2i)(3-4i)(-2-i).
变式 (1)已知a∈R,i为虚数单位,若(1-2i)(a+i)为纯虚数,则a= ( )
A.-6 B.-2 C.2 D.6
(2)(1-i)4= .
[素养小结]
1.两个复数代数表示式的乘法运算的一般步骤:
(1)按多项式的乘法展开;
(2)将i2换成-1;
(3)进行复数的加、减运算.
2.两个复数代数表示式的乘法运算的常用公式:
(1)(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b∈R);
(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
(3)(1±i)2=±2i.
◆ 探究点二 复数的除法运算
例2 计算:(1);
(2).
变式 (1)已知复数z满足(1+i)z=1+3i,则|z|= .
(2)若复数z=,则z的虚部为 ( )
A.- B. C. D.i
[素养小结]
1.两个复数代数表示式的除法运算的一般步骤:
(1)将除式写为分式;
(2)将分子、分母同乘分母的共轭复数;
(3)将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数表示式.
2.常用公式:
(1)=-i;(2)=i;(3)=-i.
◆ 探究点三 复数范围内的方程根的问题
[探索] 在复数范围内解方程3x2+3x+2=0.
例3 在复数范围内解方程x3+x2+x+1=0.
变式 [2024·浙江宁波高一期中] 若1+i(i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程x2+kx+2=0的一个虚根,则实数k= .
[素养小结]
在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0)的解法:
1.求根公式法:
(1)当Δ≥0时,x=;
(2)当Δ<0时,x=.
2.利用复数相等的充要条件求解.
注意:与在实数范围内对比,在复数范围内解决实系数一元二次方程问题,根与系数的关系和求根公式仍然适用,但是用判别式判断方程根的功能就发生改变了.
◆ *探究点四 复数乘法的几何意义初步应用
例4 在复平面内,复数z1=2+2i,z2=z1·(3i),它们分别对应的向量为,,则下列说法正确的是 ( )
A.是将沿原方向伸长3倍,再逆时针旋转得到的
B.是将沿原方向压缩,再逆时针旋转得到的
C. 是将沿原方向伸长3倍,再逆时针旋转得到的
D. 是将沿原方向压缩,再逆时针旋转得到的2.2 复数的乘法与除法
*2.3 复数乘法几何意义初探
一、选择题
1.复数的共轭复数是 ( )
A.i+2 B.i-2
C.-2-i D.2-i
2.[2024·河北保定高一期末] 复数z=i+(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点为 ( )
A.(2,-1) B.(2,1)
C.(-2,-1) D.(-2,1)
3.i2023-i2024= ( )
A.1+i B.1-2i
C.-1-i D.1-i
4.在复平面内,设复数z1=3+4i对应的向量为,复数z2=-8+6i对应的向量为,则 ( )
A.按逆时针旋转,再伸长2倍得到
B.按顺时针旋转,再伸长2倍得到
C.按逆时针旋转,再压缩得到
D.按顺时针旋转,再压缩得到
5.已知i为虚数单位,a∈R,若为实数,则a等于 ( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
6.已知复数z满足|1-i|-i=z(1+i),则z的虚部为 ( )
A.-i B.-
C. D.2
7.设复数z1=,z2=z1i,z1,z2在复平面内对应的向量分别为,(O为坐标原点),则·= ( )
A.- B.0
C. D.
8.(多选题)已知i为虚数单位,复数z1=3-i,z2=i,则下列说法正确的是 ( )
A.|z1|=|z2|
B.z1z2的共轭复数为1-3i
C.的虚部为
D.在复平面内,复数2z1-z2对应的点位于第二象限
9.(多选题)下列命题中的真命题为 ( )
A.若复数z满足∈R,则z∈R
B.若复数z满足z2∈R,则z∈R
C.若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=
D.若复数z∈R,则∈R
二、填空题
10.在复数范围内方程x2+2x+5=0的根是 .
11.若1+i是关于x的方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个复数根,则b+c= .
12.已知z是纯虚数,是实数,那么|z|= .
三、解答题
13.计算:
(1);
(2).
14.[2024·湖南张家界高一期中] 已知z1=5+10i,z2=3-4i.
(1)求z1z2;
(2)设=+,求z.
15.[2024·福建龙岩高一期中] 若复数z=,则z+z2+z3+…+z99= .
16.已知复数z1=m-3i(m∈R),z2=1+2i.
(1)若是实数,求m的值;
(2)若复数在复平面内对应的点在第三象限,且|z1|≥5,求实数m的取值范围.
