*§3 复数的三角表示
3.1 复数的三角表示式
3.2 复数乘除运算的几何意义
【学习目标】
1.通过复数的几何意义,了解复数的三角形式,了解辐角、辐角的主值的概念.
2.了解复数的代数形式与三角形式之间的关系,会进行代数形式与三角形式的互化.
3.了解复数乘、除运算的三角形式,并能够进行简单的运算.
4.了解复数乘、除运算的三角形式的几何意义,并能够进行简单的应用.
◆ 知识点一 复数的三角表示式
1.定义:如图,以原点O为顶点,x轴的非负半轴为始边,向量所在的射线为终边的角θ,称为复数z=a+bi的 .z=r(cos θ+isin θ)称为复数z=a+bi(a,b∈R)的 ,简称 .为了与三角形式区分,a+bi称为复数的代数表示式,简称 .
2.辐角的主值:满足条件 的辐角值称为辐角的主值,记作 ,即0≤arg z<2π.
3.每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值,并且可由它的模与辐角的主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的 与 分别相等.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)z=r(cos θ+isin θ)是复数的三角形式,其中θ的值有无数个. ( )
(2)复数z=2的辐角的主值为. ( )
(3)两个非零复数相等当且仅当它们的辐角的主值相等. ( )
◆ 知识点二 复数的代数形式与三角形式的互化
1.复数的两种形式: 代数形式为z=a+bi(a,b∈R); 三角形式为z=r(cos θ+isin θ).
2.复数的两种形式的互化:
(1)在a+bi=r(cos θ+isin θ)中,r= ,cos θ= ,sin θ= .
(2)在r(cos θ+isin θ)=a+bi中,a= ,b= .
◆ 知识点三 复数三角形式的乘法运算及其几何意义
1.复数三角形式的乘法运算
若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+
isin θ2)= .这就是说,两个复数相乘,积的模等于它们的 ,积的辐角等于它们的 .
2.复数三角形式乘法的几何意义
两个复数z1,z2相乘时,如图所示,先画出它们分别对应的向量,,然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转角 (若θ2<0,就要把绕原点O按顺时针方向旋转角 ),再把它的模变为原来的 倍,所得向量就表示复数z1,z2的乘积.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2-isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]. ( )
(2)若z1=2,z2=2,则z1z2的辐角的主值是. ( )
◆ 知识点四 复数三角形式的除法运算及其几何意义
1.设z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z2≠0,则== .
这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
2.复数三角形式除法的几何意义
两个复数z1,z2进行除法运算时,如图所示,先画出它们分别对应的向量,,然后把向量绕原点O按顺时针方向旋转角 (若θ2<0,就要把绕原点O按逆时针方向旋转角 ),再把它的模变为原来的 ,所得向量就表示复数z1,z2的商.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),z1≠0,则=[cos(θ2-θ1)+isin(θ2-θ1)]. ( )
(2)若z1=2,z2=2,则的辐角的主值是. ( )
◆ 探究点一 复数三角形式的有关概念
例1 (1)-1-i的三角形式是 ( )
A.-2
B.2
C.2
D.2
(2)复数z=2(cos 30°-isin 30°)的辐角的主值是( )
A.30° B.150° C.210° D.330°
(3)下列复数的表示形式为三角形式的是 ( )
A.z=(cos 60°-isin 60°)
B.z=(sin 60°+icos 60°)
C.z=(cos 30°+isin 60°)
D.z=(cos 30°+isin 30°)
[素养小结]
要严格按照复数的三角表示式来判断复数的三角形式与求解复数的辐角的主值.对于不是以复数的三角形式表示的式子,要先根据复数三角形式的定义将其转化,再进一步判断.
◆ 探究点二 复数的代数形式与三角形式的互化
[探索] 将复数的代数形式化为三角形式时,一定要用辐角的主值吗
例2 画出下列复数对应的向量,并把这些复数表示成三角形式(辐角取主值):
(1)4;(2)-i;(3)2+2i;(4)--i.
例3 分别指出下列复数的模和一个辐角,在复平面内作出它们对应的向量,并表示成代数形式:
(1)cos+isin;(2)2.
变式 (1)复数z=3+i的三角形式为 ( )
A.z=2
B.z=2
C.z=4
D.z=4
(2)复数z=4的代数形式为( )
A.z=2+2i B.z=-2+2i
C.z=2-2i D.z=-2-2i
[素养小结]
1.将复数z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式z=r(cos θ+isin θ)时,要注意:
(1)r=;
(2)cos θ=,sin θ=,其中θ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同.当a=0,b>0时,arg z=.
2.将复数的三角形式r(cos θ+isin θ)化为代数形式a+bi(a,b∈R)时,a=rcos θ,b=rsin θ.
◆ 探究点三 复数的乘法运算
例4 计算下列各式,并把结果化成代数形式:
(1)2×3;
(2)16×2.
变式 计算:
(1)3×2;
(2)×;
(3)(1+i)6.
[素养小结]
对于两个(或多个)复数相乘,一定要注意其表示形式,符合三角形式才可以使用三角形式的乘法运算法则.
◆ 探究点四 复数的除法运算
例5 计算:÷,并把结果化为代数形式.
变式 计算:
(1)÷;
(2)(1-i)÷.
[素养小结]
对于两个复数的除法运算,一定要注意其表示形式,符合三角形式才可以使用三角形式的除法运算法则.对于运算结果,当不要求把结果化为代数形式时,也可以用三角形式表示.
◆ 探究点五 复数乘、除法的几何意义的应用
[探索] 把复数1+i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转,所得的向量对应复数的代数形式是 .
例6 如图所示,在复平面内,四边形ABCD是矩形,点A和点B对应的复数分别为-1+2i,1+i,并且|BA|∶|DA|=1∶,求点C和点D对应的复数.*§3 复数的三角表示
3.1 复数的三角表示式
3.2 复数乘除运算的几何意义
一、选择题
1.-6的辐角的主值为 ( )
A.0 B. C.π D.-
2.若a<0,则a的三角形式为 ( )
A.a(cos 0+isin 0)
B.a(cos π+isin π)
C.-a(cos π+isin π)
D.-a(cos π-isin π)
3.复数-+i的三角形式(辐角取主值)是 ( )
A.cos 60°+isin 60°
B.-cos 60°+isin 60°
C.cos 120°+isin 60°
D.cos 120°+isin 120°
4.复数2的辐角的主值是 ( )
A. B. C. D.
5.若|z|=2,arg z=,则复数z= ( )
A.3+i B.+3i
C.3-i D.-3i
6.[2024·广东深圳高一期中] 已知复数z满足|z|=1,且=+ai,则|a|= ( )
A. B. C. D.
7.棣莫弗公式(cos x+isin x)n=cos nx+isin nx(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667-1754)发现的,根据棣莫弗公式可知,复数在复平面内所对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8.(多选题)在复平面内,已知复数z对应的向量为,复数z1=(-1-i)z对应的向量为,复数z2=z对应的向量为,则下列说法正确的是 ( )
A.将的模扩大为原来的2倍,再逆时针旋转可得到
B.将的模扩大为原来的2倍,再顺时针旋转可得到
C.将的模缩小为原来的,再逆时针旋转可得到
D.将的模缩小为原来的,再顺时针旋转可得到
9.(多选题)已知复数z=-+i(i为虚数单位),则下列说法中正确的是 ( )
A.z3=1
B.z2=z
C.z2+z+1=0
D.z+z2+…+z2021=0
二、填空题
10.已知z=a+bi=r(cos θ+isin θ),用复数的三角形式表示它的共轭复数= .
11.若复数z1=2,z2=,则z1z2的辐角的主值为 .
12.设复数z=r(cos θ+isin θ)(r>0,0≤θ<2π),其中i为虚数单位,若z满足z2+z+1=0,则tan θ= .
三、解答题
13.计算下列各式,并用三角形式表示:
(1)×;
(2)2;
(3)8(cos 240°+isin 240°)÷2(cos 210°-isin 210°).
14.(1)在复平面内画出复数2-2i所对应的向量,并将其表示成三角形式(辐角取主值).
(2)在复平面内画出复数--i所对应的向量,并将其表示成三角形式(辐角取主值).
15.设45°<α<90°,把复数z1=2sin α+icos α在复平面内对应的向量按照顺时针方向旋转135°后得到的向量对应的复数为z2=r(sin β+icos β),那么tan β= ( )
A. B.
C. D.
16.已知复数z1=1-i,z2=m-i,m∈R,i为虚数单位.
(1)若z1在复平面内对应的向量为,将绕点O按顺时针方向旋转60°得到的向量对应的复数为z3,求|z3|·;
(2)若z2是关于x的方程x2-nx+10=0(n∈R)的一个根,求实数m与n的值.(共48张PPT)
复数的三角表示
3.1 复数的三角表示式
3.2 复数乘除运算的几何意义
探究点一 复数三角形式的有关概念
探究点二 复数的代数形式与三角形式
的互化
探究点三 复数的乘法运算
探究点四 复数的除法运算
探究点五 复数乘、除法的几何意义的
应用
【学习目标】
1.通过复数的几何意义,了解复数的三角形式,了解辐角、辐角的
主值的概念.
2.了解复数的代数形式与三角形式之间的关系,会进行代数形式
与三角形式的互化.
3.了解复数乘、除运算的三角形式,并能够进行简单的运算.
4.了解复数乘、除运算的三角形式的几何意义,并能够进行简单
的应用.
知识点一 复数的三角表示式
1.定义:如图,以原点为顶点， 轴的非负半轴为始
边,向量所在的射线为终边的角 ,称为复数
的______. 称为复数
辐角
三角表示式
三角形式
代数形式
的____________,简称___________.为了与三角形式
区分, 称为复数的代数表示式,简称__________.
2.辐角的主值：满足条件___________的辐角值称为辐角的主值，记
作______，即 .
3.每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值，并且可由它的模与辐角
的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的____与
____________分别相等.
模
辐角的主值
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）是复数的三角形式,其中 的值有无数个.
( )
√
（2）复数的辐角的主值为 .( )
×
[解析] 复数 的辐角的主值为
，故错误.
（3）两个非零复数相等当且仅当它们的辐角的主值相等.( )
×
[解析] 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
知识点二 复数的代数形式与三角形式的互化
1.复数的两种形式： 代数形式为 ； 三角形式为
.
2.复数的两种形式的互化：
（1）在中，_________， __，
__.
（2）在中，_______， _______.
知识点三 复数三角形式的乘法运算及其几何意义
1.复数三角形式的乘法运算
若, ,则
_________________
_________________.这就是说，两个复数相乘，积的模等于它们的
________，积的辐角等于它们的__________.
模的积
辐角的和
2.复数三角形式乘法的几何意义
两个复数, 相乘时，如图所示，先画出它
们分别对应的向量,，然后把向量
绕原点按逆时针方向旋转角___（若 ，
就要把绕原点 按顺时针方向旋转角____），
再把它的模变为原来的___倍，所得向
量就表示复数， 的乘积.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若, ，则
.( )
×
[解析] ,
，
.
（2）若,,则 的辐角的
主值是 .( )
√
知识点四 复数三角形式的除法运算及其几何意义
1.设,,且 ,则
_____________________________.
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，
商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
2.复数三角形式除法的几何意义
两个复数, 进行除法运算时，如图所示，先画
出它们分别对应的向量， ，然后把向量
绕原点按顺时针方向旋转角___（若 ，
就要把绕原点 按逆时针方向旋转角_____），
再把它的模变为原来的___，所得向量就表示复数， 的商.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若,， ,则
.( )
√
（2）若,，则 的辐角的主
值是 .( )
√
探究点一 复数三角形式的有关概念
例1（1） 的三角形式是( )
A. B.
C. D.
[解析] ，
故B正确；
经检验，A，C，D都错误.故选B.
√
（2）复数 的辐角的主值是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，
所以其辐角的主值是 .故选D.
√
（3）下列复数的表示形式为三角形式的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 根据复数的三角形式的特点可知只有
是复数的三角形式.故选D.
√
［素养小结］
要严格按照复数的三角表示式来判断复数的三角形式与求解复数的
辐角的主值.对于不是以复数的三角形式表示的式子，要先根据复数
三角形式的定义将其转化，再进一步判断.
探究点二 复数的代数形式与三角形式的互化
［探索］ 将复数的代数形式化为三角形式时，一定要用辐角的主值吗？
解：不一定.在复数的三角形式中，辐角 可以
取辐角的主值，也可以取其他辐角值.
如 .
例2 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式
（辐角取主值）
（1）4；
解：复数4对应的向量如图所示，
则.
因为与4对应的点在 轴正半轴上，
所以.于是 .
（2） ；
解：复数 对应的向量如图所示，
则.
因为与对应的点在 轴负半轴上，
所以 .
于是 .
（3） ；
解：复数 对应的向量如图所示，
则， .
因为与 对应的点在第一象限，
所以 .
于是 .
（4） .
解：复数 对应的向量如图所示，
则, .
因为与 对应的点在第三象限，
所以 .
于是 .
例3 分别指出下列复数的模和一个辐角，在复平面内作出它们对应
的向量，并表示成代数形式：
（1） ；
解：复数的模，一个辐角 ，
所以 .
所以在复平面内对应的向量如图所示.
（2） .
解：复数的模，一个辐角 ，
所以 .
所以在复平面内对应的向量如图所示.
变式（1） 复数 的三角形式为( )
A. B.
C. D.
[解析] .故选B.
√
（2）复数 的代数形式为( )
A. B.
C. D.
[解析]
.
故选D.
√
［素养小结］
1.将复数化为三角形式 时，
要注意：
（1） ；
（2），，其中 的终边所在
象限与点所在象限相同.当，时， .
2.将复数的三角形式化为代数形式
时， ， .
探究点三 复数的乘法运算
例4 计算下列各式，并把结果化成代数形式：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
变式 计算：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） .
解：因为 ，
所以 .
［素养小结］
对于两个（或多个）复数相乘,一定要注意其表示形式,符合三角形式
才可以使用三角形式的乘法运算法则.
探究点四 复数的除法运算
例5 计算： ，并把结果化
为代数形式.
解： .
变式 计算：
（1） ；
解： .
（2） .
解： .
［素养小结］
对于两个复数的除法运算,一定要注意其表示形式,符合三角形式才可
以使用三角形式的除法运算法则.对于运算结果,当不要求把结果化为
代数形式时,也可以用三角形式表示.
探究点五 复数乘、除法的几何意义的应用
［探索］ 把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转 ，所得
的向量对应复数的代数形式是______.
[解析] .
例6 如图所示，在复平面内，四边形 是矩形，
点和点对应的复数分别为， ，并且
，求点和点 对应的复数.
解：连接，，要求点对应的复数，
即求向量 对应的复数，
因为 ，所以可以先求向量 对应的复数.
向量可以看作向量的长度扩大为原来的倍，并绕点 按顺时针
方向旋转 后得到的，
因为向量 对应的复数为，
所以向量 对应的复数为
，
于是点 对应的复数为 .
同理可得点对应的复数为 .
1.（1）复数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一.
（2）复数三角形式的特点：非负、同角、加号、前余后正.
（3）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
2.任何一个不为零的复数的辐角都有无限多个值，且这些值相差
的整数倍，但辐角的主值只有一个.例如，复数 的辐角是
， 其中 可以取任何整数.几类特殊复数的辐角的主值，一
定要在理解的基础上记熟.如：当为正实数时，有 ,
, , .
3.对于复数0,因为它对应着零向量,而零向量的方向是任意的,所以复
数0的辐角也是任意的.不讨论它的辐角的主值.
4.与代数形式中有序实数对确定复数 一样，复数的三角形
式实质上是用一个有序实数对来确定一个复数 ，
此式即为三角形式.要准确地掌握它，必须注意其下述三个特征：（1）
模；（2）的实部是 ，虚部是 ；（3） 与
之间用加号连接.
5.需要注意一些含有正弦或余弦函数的代数形式,将它们转化为三角
形式时要利用诱导公式,如 ,有
;
;
;
.
6.复数模的性质: .
7.辐角的性质:
积的辐角等于各因数辐角的和;商的辐角等于被除数的辐角减去除数
的辐角所得的差;一个复数次幂 的辐角等于这个复数辐角的
倍.
注意:（1）辐角与辐角的主值的区别,特别是解题过程中的不同点.如
下面两个问题:
若 , ,求 的值.
若 , ,求 的值
.
（2）两个复数乘积的辐角的主值不一定等于两个辐角的主值的和,两
个复数的商的辐角的主值不一定等于被除数的辐角的主值减去除数
的辐角的主值所得的差.
8.利用复数三角形式乘、除运算的几何意义,可解决向量或图形的旋
转问题,如等腰三角形、直角三角形、平行四边形顶点间的几何关系
都可利用复数的乘、除运算来表示.
9.复数的三角形式较之代数形式,在乘、除运算中非常方便,可顺利解
决多项相乘（乘方）、相除及乘除混合运算等问题.
1.求解复数的辐角的主值
例1 [2024· 福建泉州高一期中]复数 的辐角的主值
为( )
A. B. C. D.
[解析] ，
则的辐角的主值为 ，故选C.
√
2.利用三角公式将复数化为三角形式
例2 将复数 化成三角形式，辐角取主值.
解： .
3.复数的模与辐角的主值
例3 将复数的共轭复数 表示成代数形式，并
写出 的模和辐角的主值.
解：因为 ，
所以，的模，辐角的主值 .*§3 复数的三角表示
3.1 复数的三角表示式
3.2 复数乘除运算的几何意义
【课前预习】
知识点一
1.辐角 三角表示式 三角形式 代数形式
2.0≤θ<2π arg z 3.模 辐角的主值
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× [解析] (2)复数z=2的辐角的主值为-+2π=,故错误.
(3)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
知识点二
2.(1) (2)rcos θ rsin θ
知识点三
1.r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] 模的积 辐角的和
2.θ2 |θ2| r2
诊断分析
(1)× (2)√ [解析] (1)∵z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2-isin θ2)=r2[cos(-θ2)+isin(-θ2)],∴z1z2=r1r2[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].
知识点四
1.[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)] 2.θ2 |θ2|
诊断分析
(1)√ (2)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)D (3)D [解析] (1)-1-i=2=2,故B正确;经检验,A,C,D都错误.故选B.
(2)因为z=2(cos 30°-isin 30°)=2(cos 330°+isin 330°),所以其辐角的主值是330°.故选D.
(3)根据复数的三角形式的特点可知只有z=(cos 30°+isin 30°)是复数的三角形式.故选D.
探究点二
探索 解:不一定.在复数的三角形式z=r(cos θ+isin θ)中,辐角θ可以取辐角的主值,也可以取其他辐角值.如1-i==.
例2 解:(1)复数4对应的向量如图所示,
则r=4.因为与4对应的点在x轴正半轴上,所以arg 4=0.于是4=4(cos 0+isin 0).
(2)复数-i对应的向量如图所示,
则r==1.因为与-i对应的点在y轴负半轴上,所以arg(-i)=.于是-i=cos+isin.
(3)复数2+2i对应的向量如图所示,
则r==4,cos θ=.因为与2+2i对应的点在第一象限,所以arg(2+2i)=.于是2+2i=4.
(4)复数--i对应的向量如图所示,
则r==1,cos θ=-.
因为与--i对应的点在第三象限,
所以arg=.
于是--i=cos+isin.
例3 解:(1)复数cos+isin的模r=1,一个辐角θ=,
所以cos+isin=0+i=i.
所以在复平面内对应的向量如图所示.
(2)复数2的模r=2,一个辐角θ=,
所以2=2cos+i=2×+2×i=+i.
所以在复平面内对应的向量如图所示.
变式 (1)B (2)D [解析] (1)z=3+i=2=2.故选B.
(2)z=4=4×+4×i=-2-2i.故选D.
探究点三
例4 解:(1)原式=6=6=6=3+3i.
(2)原式=16×2=32=16+16i.
变式 解:(1)3×2=6×=6=6.
(2)×=×=cos+isin=i.
(3)因为1+i=2,所以(1+i)6==26=64(cos 2π+isin 2π)=64.
探究点四
例5 解:÷=×=4=-4i.
变式 解:(1)÷=÷==i.
(2)(1-i)÷=÷==×=-i.
探究点五
探索 1-i [解析] (1+i)×=×===1-i.
例6 解:连接OC,OB,要求点C对应的复数,即求向量对应的复数,因为=+,所以可以先求向量对应的复数.
向量可以看作向量的长度扩大为原来的倍,并绕点B按顺时针方向旋转90°后得到的,因为向量对应的复数为(-1+2i)-(1+i)=-2+i,所以向量对应的复数为(-2+i)××[cos(-90°)+isin(-90°)]=+2i,于是点C对应的复数为(+2i)+(1+i)=(+1)+(2+1)i.
同理可得点D对应的复数为(-1)+(2+2)i.*§3 复数的三角表示
3.1 复数的三角表示式
3.2 复数乘除运算的几何意义
1.C [解析] -6=6(cos π+isin π),其辐角的主值为π.故选C.
2.C [解析] ∵a<0,∴a的辐角的主值为π,则其三角形式为-a(cos π+isin π).故选C.
3.D [解析] 令z=-+i=r(cos θ+isin θ)(r>0,0°≤θ<360°),则r=|z|=1,所以因为0°≤θ<360°,所以θ=120°,所以-+i的三角形式是cos 120°+isin 120°.故选D.
4.C [解析] 2=2,则其辐角的主值为,故选C.
5.A [解析] z=r(cos θ+isin θ)=2=3+i,故选A.
6.B [解析] 令z=cos θ+isin θ≠-1,则=cos θ-isin θ≠-1,所以====cos θ+isin θ=+ai,则故|a|==.故选B.
7.C [解析] 由已知得=cos+isin=cos+isin=-cos-isin=--i,∴复数在复平面内所对应的点的坐标为,该点位于第三象限.故选C.
8.AD [解析] 因为z1=(-1-i)z=2z=2z,z2=z=z·=z·,所以将的模扩大为原来的2倍,再逆时针旋转可得到,将的模缩小为原来的,再顺时针旋转可得到.故选AD.
9.AC [解析] z=-+i=cos+isin.z3=cos 2π+isin 2π=1,A正确;z2=cos+isin=-cos-isin=--i≠z,B错误;由B知z2+z+1=--i-+i+1=0,C正确;z+z2+…+z2021=(z+z4+…+z2017+z2020)(1+z+z2)-z2022=-(z3)674=-1,D错误.故选AC.
10.r[cos(-θ)+isin(-θ)] [解析] 因为z=a+bi=r(cos θ+isin θ)=rcos θ+irsin θ,所以=a-bi=rcos θ-irsin θ=r(cos θ-isin θ)=r[cos(-θ)+isin(-θ)].
11. [解析] 因为z1z2=2×=cos+isin=cos+isin,所以z1z2的辐角的主值为.
12.± [解析] 由z2+z+1=0,得=-,即z=-±i,因为z=r(cos θ+isin θ)(r>0,0≤θ<2π),所以tan θ===±.
13.解:(1)原式==.
(2)原式=2.
(3)8(cos 240°+isin 240°)÷2(cos 210°-isin 210°)==4(cos 450°+isin 450°)=4(cos 90°+isin 90°).
14.解:(1)在复平面内,复数2-2i所对应的向量如图①所示,则r==2.
因为2-2i对应的点在第四象限,所以arg(2-2i)=,所以2-2i=2.
①
(2)在复平面内,复数--i所对应的向量如图②所示,则r==2.
②
因为--i对应的点在第三象限,所以arg(--i)=,所以--i=2.
15.B [解析] 根据复数乘法的几何意义可得r(sin β+icos β)=(2sin α+icos α),则r(sin β+icos β)=(2sin α+icos α)=-sin α+cos α+i,故tan β==,故选B.
16.解:(1)依题意可知z1=1-i=[cos(-45°)+isin(-45°)],∴z3=[cos(-45°)+isin(-45°)][cos(-60°)+isin(-60°)]=[cos(-105°)+isin(-105°)]=-i,
∴|z3|·==+i.
(2)由条件可知(m-i)2-n(m-i)+10=0,整理得(m2-nm+9)-(2m-n)i=0,
∵m,n∈R,∴
解得或
