本章总结提升
【知识辨析】
1.× [解析] 规定a,b都为实数才行.
2.× [解析] 两个虚数不能比较大小.
3.× [解析] 实数的共轭复数是其本身,两数之差为零,是实数.
4.× [解析] z的虚部大于零,但是实部可正、可负、也可以为零.
5.√ 6.√ 7.√
8.× [解析] 由题意可得|z|==5,=4-3i,则==-i.
9.√ [解析] z=+i=2=2.
【素养提升】
题型一
例1 解:(1)复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-8)i(m∈R)的实部为m2+5m+6,虚部为m2-2m-8,
由z是实数,得m2-2m-8=0,解得m=4或m=-2,所以当m=4或m=-2时复数z为实数.
(2)由z是虚数,得m2-2m-8≠0,解得m≠4且m≠-2,所以当m≠4且m≠-2时复数z为虚数.
(3)由z是纯虚数,得解得m=-3,所以当m=-3时复数z为纯虚数.
(4)由z=0,得解得m=-2,所以当m=-2时复数z=0.
变式 (1)ABC (2) [解析] (1)由题可知z===1-i,则z的虚部为-1,|z|=|1-i|=,z2=(1-i)2=1-2i-1=-2i,为纯虚数,z的共轭复数为1+i.故选ABC.
(2)因为复数z=m+(2m-1)i的模是,且其虚部大于0,所以=且2m-1>0,解得m=.
题型二
例2 解:(1)====-1-3i.
(2)====+i.
(3)+=+=+=i6+i=i2+i=-1+i.
变式 (1)C (2)B (3)D (4)A [解析] (1)由题可得z=(1+i)(z-1),则z==1-i.
(2)由(3-4i)z=|4+3i|,得z====+i,所以=-i,故的虚部为-.故选B.
(3)由z(2-i3)=3-i,得z(2+i)=3-i,则z====1-i,所以复数z的虚部是-1.故选D.
(4)因为z=5+i,所以=5-i,z+=10,则i(+z)=10i,故选A.
题型三
例3 (1)D (2)C [解析] (1)令z=x+yi,x,y∈R,则z在复平面内对应的点为(x,y).由|z-3+4i|=1,得(x-3)2+(y+4)2=1,则点(x,y)在以(3,-4)为圆心,1为半径的圆上,位于第四象限,故选D.
(2)因为=-=-(+),所以对应的复数为3+2i-[(-2+i)+(1+5i)]=4-4i.故选C.
变式 (1)A (2)B [解析] (1)因为(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以(1+3i)(3-i)在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限,故选A.
(2)由题意知A(1,-1),B(2,-1),C(3,1),设点D(x,y),则=(1,0),=(3-x,1-y),因为四边形ABCD是平行四边形,所以=,则解得则D(2,1),点D对应的复数为2+i.故选B.
例4 2 [解析] 方法一:设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=+i-(a+bi)=(-a)+(1-b)i,
故
即又z1-z2=(2a-)+(2b-1)i,∴|z1-z2|2=(2a-)2+(2b-1)2=4a2+4b2-4a-4b+4=2(a2+b2)+2(a2+b2-2a-2b)+4=2×4+4=12,∴|z1-z2|=2.
方法二:在复平面内,设z1,z2对应的向量分别为a,b,则|a|=|b|=2,且a+b=(,1).∵(a+b)2+(a-b)2=2|a|2+2|b|2,∴4+(a-b)2=16,得|a-b|=2,即|z1-z2|=2.
变式 A [解析] |z|=2表示复平面内复数z对应的点的轨迹为以原点O为圆心,2为半径的圆,|z+3+4i|=|z-(-3-4i)|表示该圆上的点到复数-3-4i对应的点A(-3,-4)的距离,易知|OA|==5>2,所以|z+3+4i|的最小值是|OA|-2=3.故选A.
题型四
例5 (1)A [解析] z1z2=2(cos π+isin π)×=2(cos π+isin π)×=2×=2=2=2=-+i,故选A.
(2)解:由复数乘法的几何意义得z1=z2.∵z2=-1-i =2,∴z1==
2=2=-+i,z1的辐角的主值为.
变式 (1)C [解析] 由(cos x+isin x)n=cos nx+isin nx,可得=cos+isin=cos+isin=-cos-isin,因为-cos<0,-sin<0,所以复数在复平面内所对应的点位于第三象限.故选C.
(2)解:z1=-1-i=(cos 225°+isin 225°).
根据题设条件得z2=(cos 225°+isin 225°)×2(cos 135°+isin 135°)=2[cos(225°+135°)+isin(225°+135°)]=2(cos 360°+isin 360°)=2,z2的辐角的主值为0°.本章总结提升
判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
1.形如a+bi的数叫作复数,其中a,b分别是它的实部和虚部. ( )
2.4+2i>3-i. ( )
3.互为共轭复数的两复数之差一定是纯虚数. ( )
4.设z=(t2+5t-3)+(t2-2t+3)i(t∈R),则z在复平面内对应的点Z在第一象限. ( )
5.复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|==||,它表示复平面内点Z(a,b)到原点O的距离.一般地,|z1-z2|表示z1与z2在复平面内对应的两点间的距离. ( )
6.若复数z满足iz=2+4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是(4,-2). ( )
7.若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=0. ( )
8.若z=4+3i,则=+i. ( )
9.复数z=+i的三角形式为z=2. ( )
◆ 题型一 复数的概念与分类
[类型总述] (1)设z=a+bi(a,b∈R),则①z是虚数 b≠0;②z是纯虚数 ③z是实数 b=0.(2)掌握复数相等的充要条件和共轭复数的概念.
例1 求实数m的取值,使复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-8)i分别是:
(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)0.
变式 (1)(多选题)若复数z=,其中i为虚数单位,则下列结论中正确的是 ( )
A.z的虚部为-1
B.|z|=
C.z2为纯虚数
D.z的共轭复数为-1-i
(2)已知m∈R,复数z=m+(2m-1)i的模是,且其虚部大于0,则m= .
◆ 题型二 复数代数形式的四则运算
[类型总述] (1)复数代数形式的加减乘除运算;(2)in(n∈N)的周期性.
例2 计算下列各题:
(1);
(2);
(3)+.
变式 (1)[2024·新课标Ⅰ卷] 若=1+i,则z= ( )
A.-1-i B.-1+i
C.1-i D.1+i
(2)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则的虚部为 ( )
A.-4 B.- C.4 D.
(3)已知复数z满足z(2-i3)=3-i,则复数z的虚部是 ( )
A. B.i C.1 D.-1
(4)[2024·全国甲卷] 若z=5+i,则i(+z)= ( )
A.10i B.2i C.10 D.2
◆ 题型三 复数的几何意义及其应用
[类型总述] (1)复数的几何意义;(2)复数的模;(3)复数加、减法的几何意义.
例3 (1)已知复数z满足|z-3+4i|=1,则z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)在复平面内,O是原点,,,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,i为虚数单位,那么对应的复数为 ( )
A.4+7i B.1+3i
C.4-4i D.-1+6i
变式 (1)[2023·新课标Ⅱ卷] 在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)在复平面内,点A,B,C对应的复数分别为1-i,2-i,3+i,若四边形ABCD为平行四边形,则点D对应的复数为 ( )
A.2 B.2+i
C.1 D.1+i
例4 设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|= .
变式 已知复数z满足|z|=2,则|z+3+4i|的最小值是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
◆ 题型四 复数三角形式的乘、除运算及其几何意义
[类型总述] (1)复数三角形式的乘、除运算法则;(2)复数三角形式乘、除运算的几何意义.
例5 (1)若复数z1=2(cos π+isin π),复数z2=,则z1z2= ( )
A.-+i B.-i
C.+i D.-i
(2)把复数z1与z2在复平面内对应的向量,(O为坐标原点)分别按逆时针方向旋转和后,都得到向量,已知z2=-1-i,求复数z1的代数形式和它的辐角的主值.
变式 (1)已知(cos x+isin x)n=cos nx+isin nx(其中i为虚数单位),那么复数在复平面内所对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)设z1=-1-i在复平面内对应的向量为,将绕原点O按逆时针方向旋转135°,并将其模变为原来的2倍,求所得向量对应的复数z2,并指出其辐角的主值.(共33张PPT)
本章总结提升
题型一 复数的概念与分类
题型二 复数代数形式的四则运算
题型三 复数的几何意义及其应用
题型四 复数三角形式的乘、除运算及其
几何意义
判断下列说法是否正确.（请在括号中填写“√”或“×”）
1.形如的数叫作复数,其中, 分别是它的实部和虚部.( )
×
[解析] 规定, 都为实数才行.
2. .( )
×
[解析] 两个虚数不能比较大小.
3.互为共轭复数的两复数之差一定是纯虚数.( )
×
[解析] 实数的共轭复数是其本身，两数之差为零，是实数.
4.设,则 在复平面内对应的
点 在第一象限.( )
×
[解析] 的虚部大于零，但是实部可正、可负、也可以为零.
5.复数的模 ,它表示复平面
内点到原点的距离.一般地,表示与 在复平面内对
应的两点间的距离.( )
√
6.若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是 .
( )
√
7.若为实数,且,则 .( )
√
8.若,则 .( )
×
[解析] 由题意可得, ,
则 .
9.复数的三角形式为 .( )
√
[解析] .
题型一 复数的概念与分类
［类型总述］
（1）设,则是虚数; 是纯虚数
是实数 .（2）掌握复数相等的充要条件和共轭
复数的概念.
例1 求实数的取值，使复数
分别是：
（1）实数；
解：复数 的实部为
，虚部为 ，
由是实数，得，解得或 ，
所以当或时复数 为实数.
（2）虚数；
解：由是虚数，得，解得且 ，
所以当且时复数 为虚数.
（3）纯虚数；
解：由是纯虚数，得解得 ，
所以当时复数 为纯虚数.
（4）0.
解：由，得解得，
所以当 时复数 .
变式（1） （多选题）若复数,其中 为虚数单位,则下列结论
中正确的是( )
A.的虚部为 B.
C.为纯虚数 D.的共轭复数为
[解析] 由题可知,则的虚部为 ,
,,为纯虚数,
的共轭复数为.故选 .
√
√
√
（2）已知，复数的模是 ，且其虚部大
于0，则 __.
[解析] 因为复数的模是 ，且其虚部大于0，
所以且,解得 .
题型二 复数代数形式的四则运算
［类型总述］
（1）复数代数形式的加减乘除运算;（2） 的周期性.
例2 计算下列各题：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） .
解： .
变式（1） [2024· 新课标Ⅰ卷]若,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可得,则 .
√
（2）若复数满足，则 的虚部为( )
A. B. C.4 D.
[解析] 由 ，
得，所以，
故 的虚部为 .故选B.
√
（3）已知复数满足，则复数 的虚部是( )
A. B. C.1 D.
[解析] 由，得 ，
则，所以复数的虚部是 .故选D.
√
（4）[2024·全国甲卷]若，则 ( )
A. B. C.10 D.2
[解析] 因为,所以，，则 ,
故选A.
√
题型三 复数的几何意义及其应用
［类型总述］
（1）复数的几何意义;（2）复数的模;（3）复数加、减法的几何意义.
[解析] 令,,，则在复平面内对应的点为 .
由，得，
则点在以 为圆心，1为半径的圆上，位于第四象限，故选D.
例3（1） 已知复数满足，则 在复平面内对应的点
位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
√
（2）在复平面内，是原点，，， 对应的复数分别为
,,，为虚数单位，那么 对应的复数为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，
所以 对应的复数为 .
故选C.
√
变式（1） [2023· 新课标Ⅱ卷]在复平面内， 对应的点
位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 因为 ，
所以在复平面内对应的点为 ，位于第一象限，
故选A.
√
（2）在复平面内，点,,对应的复数分别为,, ，若四
边形为平行四边形，则点 对应的复数为( )
A.2 B. C.1 D.
[解析] 由题意知,,，
设点 ，则,，
因为四边形 是平行四边形，
所以，则解得则 ，
点D对应的复数为 .故选B.
√
例4 设复数,满足,,则
_____.
[解析] 方法一：设 ,
则 ,
故
即
又 ,
, .
方法二：在复平面内，设,对应的向量分别为, ，
则 ,且
,
,得，即 .
变式 已知复数满足，则 的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 表示复平面内复数对应的点的轨迹为以原点 为圆心，
2为半径的圆，
表示该圆上的点到复数对应的
点 的距离，
易知，
所以 的最小值是 .
故选A.
√
题型四 复数三角形式的乘、除运算及其几何意义
［类型总述］
（1）复数三角形式的乘、除运算法则;（2）复数三角形式乘、除运
算的几何意义.
例5（1） 若复数 ,复数
，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析]
，故选A.
（2）把复数与在复平面内对应的向量,（ 为坐标原点）
分别按逆时针方向旋转和后,都得到向量,已知 ,
求复数 的代数形式和它的辐角的主值.
解：由复数乘法的几何意义得.
,
,
的辐角的主值为 .
变式（1） 已知（其中 为虚数单
位），那么复数 在复平面内所对应的点位于
( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 由 ，可得
，
因为，，所以复数 在复平
面内所对应的点位于第三象限.故选C.
√
（2）设在复平面内对应的向量为,将绕原点 按逆
时针方向旋转 ,并将其模变为原来的2倍,求所得向量对应的复数
,并指出其辐角的主值.
解： .
根据题设条件得
,的辐角的主值为 .
