立体几何组合问题的处理方法

立体几何组合问题的处理方法
与立体几何有关的组合问题，以灵活、有一定难度等特点使学生不易掌握.现结合具体例子谈谈这类问题的几种处理方法.
1.直接求解
例1.从平面上取6点，从平面上取4点，这10个点最多可以确定多少个三棱锥？
“和”的思路：要想使这10个点构成的三棱锥最多，除上6点共面，上4点共面外，应再无四点共面及三点共线.所以可从平面上6个点中任取一个与平面上4个点中任取3个构成三棱锥，有个；也可以从平面上6个点中任取2个与平面上4个点中任取2个构成三棱锥，有个；还可从平面上6个点中任取3个与平面上4个点中任取1个构成三棱锥，有个.根据加法原理共有=194（个）.
“差”的思路：先不考虑共面的点，从10个点中任取4点，可构成C个三棱锥，去掉在平面上有C个，在平面上有C个，要想达到最多应再无四点共面及三点共线，故最多可构成C=194（个）.
2.结合立几概念
例2.空间10个点，无三点共线，其中有六个点共面，此外设有任四个点共面，则这些点可以组成四棱锥的个数有多少个.
错解一（“和”的思路）：依题意，可从共面六个点中任取1个、2个、3个、4个点与从另外4个点中任取4个、3个、2个、1个点都可构成四棱锥，所以共有=264（个）.
错解二（“差”的思路）：先不考虑共面，从10个点中任取5个点，可构成C个，去掉六点共面有C个，故有C－C=246（个）.
正解：由立几中四棱锥的定义知：四棱锥的底面是平面四边形.故四棱锥底面的四点，只能从共面的6个点中选取，有C种，顶点可从另外4个点任取一个，有C种，由乘法原理有CC=60（个）.
3.结合立几图形
例3.（1991年全国高考题）如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（
）
A.12对
B.24对
C.36对
D.48对
解：结合六棱锥图形知：六棱锥的6条侧棱交于一点，底面六边形的6条边共面，因而只能将侧棱与底边相搭配，从6条侧棱中任取一条有C种.再从底面6条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条，有C种，由乘法原理共有CC=24对，选B.
例4.（1990年全国高考题）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（
）
A.70个
B.64个
C.58个
D.52个
解：先不考虑四点共面的情况，从正方体8个顶点中任取4个有C种取法，再结合图形去掉四点共面的情况.易知有6个表面，6个对角面，故所求四面体个数为C－12=58个，选C.
例5.用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥？
此题笔者见许多资料中都给出110个，这答案是错的.现结合图形给出正解.
解：结合正五棱柱的图形，以不同类型的四棱锥的底面分类可得：
（1）以棱柱底面为四棱锥底面的共有2C；
（2）以棱柱的侧面为四棱锥底面的共有；
（3）以棱柱的对角面为四棱锥底面的共有；
（4）以如图中ADC1B1（为等腰梯形）为四棱锥底面的共有2，所以可构成的四棱锥共有
2C+++2=170（个）.
4.构造几何模型
例6.与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个？
解：由题设条件，空间不共面的四点可构成四
( http: / / www.21cnjy.com )面体，考虑四面体的四个顶点在所求平面两侧的分布，易知当所求平面位于三棱锥的顶点与底面之间时有4个；当所求平面位于三棱锥相对棱之间时有3个.故共有7个平面.
例7.在正方体八个顶点的所有连线中，有多少对异面直线？
解：因四面体的6条棱可构成3对异面直线，故可构造四面体，为此只需求出正方体八个顶点可构成多少个四面体即可，而这恰是例4.故可得（C－12）×3=174对异面直线.