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专题4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移
1、感受坐标平面内图形变化相应的坐标变化；
2、了解关于坐标轴对称的两个点的坐标关系；会求与已知点关于坐标轴对称的点的坐标；
3、根据图形变换（如平移、轴对称）写出对应点的坐标变化（如平移后点的坐标计算）；
4、利用关于坐标轴对称的两个对称点的坐标关系，求作轴对称图形。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点01 已知平移方式确定点的坐标 2
考点02 由平移后点的坐标求原坐标 3
考点03 由平移前后点的坐标确定平移方式 5
考点04 平移与几何性质综合 7
考点05 关于x轴、y轴对称的点的坐标 11
考点06 关于原点对称的点的坐标（补充） 12
考点07 坐标系中的平移、轴对称作图 13
考点08 图形变换与坐标的变化规律问题 16
考点09 图形变换与坐标的新定义问题 20
考点10 图形变换与几何综合问题 23
考点11. 两个重要的公式（补充） 26
模块3：培优训练 30
1．坐标系中的对称：
1）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点是，关于y轴的对称点是。
总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．
拓展（其他相关对称结论）：
2）点关于坐标原点的对称点是。
3）点关于点的对称点是．
4）点关于的对称点是．
5）点关于的对称点是．
6）点关于一三象限的平分线的对称点为．
7）点关于二四象限的平分线的对称点为．
2．坐标系中的平移：
（1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或．
（2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或．
总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减．
3.两个公式
（1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为：；
（2）两点距离公式：已知两点：、，则．
考点01 已知平移方式确定点的坐标
例1.（24-25七年级下·河北张家口·期末）若点在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵点在x轴上，∴，解得，∴，
∵将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，
∴点的纵坐标为，横坐标为，∴点的坐标为．故选：D．
变式1.（2024·云南曲靖·模拟预测）已知点A的坐标为，将点A向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵点A的坐标为，∴将点A向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点的坐标是，即．故选：A．
变式2.（24-25八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】向左平移2个单位：横坐标减少2，原横坐标为3，平移后横坐标为：；
向上平移4个单位：纵坐标增加4，
原纵坐标为，平移后纵坐标为：；则平移后点B的坐标为，故选：A．
变式3.（24-25七年级下·吉林白山·期末）在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点A重合，则点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵将点向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点A重合，
∴所求点A的横坐标为：，纵坐标为，∴所求点的坐标为．故选B．
考点02 由平移后点的坐标求原坐标
例1.（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：由题知，将点向上平移3个单位长度后，所得点的坐标为，
再将点向右平移4个单位长度后，所得点的坐标为，即点的坐标是．故答案为：．
变式1.（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，
∴点的坐标为，即．故选：C．
变式2.（24-25七年级下·河南安阳·期中）将点向左平移个单位长度得到点，且在轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：将点向左平移个单位长度后点的坐标为
点在轴上，即，则点的坐标为．故选：．
变式3.（2025·河南驻马店·三模）在平面直角坐标系中，若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为，
∴将坐标为的点先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度可得到点，
∴点坐标为，即．故选：A．
变式4.（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点与点重合，点的对应点分别是点．
(1)请画出平移后的，并写出点的坐标_________；(2)点是内的一点，当平移到后，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为__________．(3)求出三角形的面积．
【答案】(1)图见解析，；(2) (3)
【详解】（1）解：由题意得：先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到，
平移后的，如图所示：点的坐标是；
（2）解：由题意得：先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到，
∵点的对应点的坐标为，∴点的坐标为；
（3）解：
考点03 由平移前后点的坐标确定平移方式
例1.（24-25八年级上·山东东营·期中）把点平移到点，则下列平移路线正确的是（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位
【答案】B
【详解】解：点平移到点，表示点A向右平移3个单位，再向下平移2个单位．
故选：B．
变式1.（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【详解】解：点A的坐标为，点A平移到点，
故平移的方法为：向右平移2个单位，向上平移4个单位，
故将点向右平移2个单位，向上平移4个单位后，坐标为，故选：B．
变式2.（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，点A，B分别在x轴和y轴上，，若将线段平移至线段的位置，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【详解】解：∵点A，B分别在x轴和y轴上，，∴点，
∵，∴点A向右平移3个单位到达点，点B向下平移1个单位到达点，
∴线段向右平移3个单位，再向下平移1个单位至线段的位置，
∴，∴．故选：B
变式3.（24-25八年级上·山东烟台·期末）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是，，，，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是 （写出一种方法即可）．
【答案】将灯笼B向左平移个单位或将灯笼D向左平移个单位
【详解】解：∵A，B，C，D的坐标分别是，，，，
∴这四个灯笼在一条直线上，这条直线平行于轴，∵，，∴、关于轴对称，
∴平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是将灯笼B向左平移5.5个单位，或将灯笼D向左平移个单位；故答案为：将灯笼B向左平移5.5个单位或将灯笼D向左平移个单位．
变式4.（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）三角形是由三角形平移得到的，点的对应点为，则三角形内部点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵点的对应点为，，
∴三角形先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到三角形，
∴三角形内部点的对应点的坐标为，即；故选B．
考点04 平移与几何性质综合
例1.（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，的边在轴的正半轴上，点的坐标为，把沿轴向右平移个单位长度，得到，连接，，若的面积为，则的面积为 ．
【答案】6
【详解】解：设，，，由平移的性质可知，，，
，，．故答案为：．
变式1.（24-25七年级下·重庆丰都·期末）如图，点，，将线段平移后得到线段，点A的对应点C恰好落在y轴上，且四边形的面积为48，则D点坐标为 ．
【答案】
【详解】解：由平移可知，，，则四边形是平行四边形．
又因为四边形的面积为48，所以点D到x轴的距离为：，
所以点D的坐标为，故答案为：．
变式2.（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，中，A，B两点的坐标分别为，，为上一点，平移后，的对应点的坐标为，则A，B的对应点分别为，．(1)，两点的坐标分别为（______，______），（______，______）．(2)若与y轴交于点C，求的面积．(3)若P点的坐标为，且，求m的取值范围．
【答案】(1)，(2)(3)且
【详解】（1）解：∵为上一点，平移后，的对应点的坐标为，
∴平移方式是向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度，
∵A，B两点的坐标分别为，，∴，，
即，，故答案为：，3，3，1；
（2）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴的平行线，交于点，过点作于点，
∴，，，，
∵，，∴，，∴，，，，
∴，即，得，
∵，∴，∴，
∵，，，，
∵，即，∴；
（3）解：如图，过点作轴于点，过点作延长线于点，
，，
∴，，，，
∵，即，∴，
∵，∴，∴，
∵若P点的坐标为，∴点P在过点且垂直于轴的直线上，
设所在直线交于点，交轴于点，
∵，即，解得：，
∴，∴，∴，
当点在上方时，即时，得，解得：，则；
当点在上时，此时不存在，即；
当点在下方时，即时，得，解得：则；
综上，且．
变式3.（24-25七年级下·云南昆明·期中）法国数学家、哲学家笛卡尔发明了平面直角坐标系平面直角坐标系的意义在于它提供了一种统一、精确的方法把几何与代数紧密的结合在一起来分析和解决问题，同时为实际问题的解决提供了强大的工具，推动了数学和相关学科的发展．
如图，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，且平移后点的对应点的坐标为．
(1)点的坐标为______，点的坐标为______；(2)在四边形中，点从点出发，沿“”运动若点的运动速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题：
当时，设，，，试问三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由；当时，存在点运动到某一位置时，直线将把四边形的面积分成：的两部分，请求出此时点的坐标．
【答案】(1)，(2)正确，理由见解析或
【详解】（1）解：由图可知，从平移到，纵坐标没有变化，
，，向右平移了个单位长度，
，，，；故答案为：，；
（2）解：①正确，理由如下：，，，
当时，，在上，过作，如图：
，，，，
，，，即；
②当时，在上，设，，，
，，
：：或：，解得：或，或．
考点05 关于x轴、y轴对称的点的坐标
例1.（25-26八年级上·广东·期中）已知点和关于x轴对称，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．无法确定
【答案】B
【详解】解：∵点和关于x轴对称，
∴，解得，∴，故选：B．
变式1.（25-26八年级上·浙江·随堂练习）如果点和点关于x轴对称，那么 ．
【答案】9
【详解】解：∵点和点关于x轴对称，
，，∴．故答案为：9．
变式2.（24-25八年级下·湖南郴州·期中）已知点，关于y轴对称，则 ．
【答案】
【详解】解：点，关于y轴对称，
，，故答案为：
变式2.（25-26八年级上·重庆·单元测试）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：将点向右平移3个单位长度得到点，则点，
则点关于轴的对称点的坐标为．故答案为： ．
变式4.（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，直线经过点且垂直于轴，若点与点关于直线对称，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：点与点关于直线对称，如图所示：
，解得，，故答案为：．
考点06 关于原点对称的点的坐标（补充）
例1.（24-25八年级下·河北石家庄·期中）点关于原点中心对称的点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标为，
∴点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，即． 故选：C．
变式1.（24-25八年级上·山东淄博·期末）点和点在坐标平面内的关系是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称关系
【答案】C
【详解】解：∵点和点的横坐标和纵坐标都互为相反数，
∴点和点在坐标平面内的关系是关于原点对称．故选：C
变式2.（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）在直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为 ．
【答案】3
【详解】解：由题意得，，，，故答案为：3．
变式3.（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：点关于原点的对称点为，
，，解得：，，则的值为：．故答案为：12．
变式4.（24-25八年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则 ．
【答案】
【详解】解：点和点关于原点对称，
，解得：，．故答案为：．
考点07 坐标系中的平移、轴对称作图
例1.（24-25七年级下·广东汕头·期末）如图，小正方形的网格的边长为1，直角坐标系中有．
(1)平移，使点A在y轴上，且点C在x轴上，写出平移后B点的坐标．(2)求的面积．
【答案】(1)图见解析，(2)
【详解】（1）解：∵平移，使点A在y轴上，且点C在x轴上，
∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，
画出平移后的图形如图所示：由图可得，平移后B点的坐标为；
（2）解：的面积．
变式1．（24-25·山东德州·七年级期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．(1)在平面直角坐标系中画出；(2)平移，使点A与点重合，写出点、点平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程．(3)求的面积
【答案】(1)见解析 (2)；；将向下平移4个单位，再向左平移2个单位得到新的三角形（答案不唯一） (3)
【解析】（1）如图，即为所求；
（2）由图可知，点B平移后对应的坐标为：；点C平移后对应的坐标为：；
平移方式：将向下平移4个单位，再向左平移2个单位得到新的三角形（或将向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到新的三角形；或将沿AO方向平移个单位长度得到新的三角形；答案不唯一）；
（3）．
变式2.（24-25·云南·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．
(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△．
(2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ．
(3)求△ABC的面积．(4)在x轴上画出点P，使QA＋QC最小．
【答案】(1)见解析(2)（1，2）(3)4(4)见解析
【解析】（1）解：如图所示，△即为所求；
；
（2）解：点C关于y轴的对称点的坐标为（1，2）；故答案为：（1，2）；
（3）解：△ABC的面积=3×3-×1×3-×1×3-×2×2=4；
（4）解：如图．点Q即为所求．
变式3．（24-25·甘肃·八年级期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上．(1)写出点A、B、C的坐标；(2)写出△ABC关于x轴对称的的顶点、、的坐标；(3)求．
【答案】(1)A（1，3），B（﹣1，2），C（2，0） (2)，， (3)
【解析】（1）解：根据图形可知：A（1，3），B（﹣1，2），C（2，0）；
（2）解：关于x轴对称的点的坐标：，，；
（3）解：.
考点08 图形变换与坐标的变化规律问题
例1.（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知，规定“先作点关于轴对称，再将对称点向左平移个单位”为一次变换．那么连续经过次变换后，点的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴第一次变换后点的坐标变为；
第二次变换后点的坐标变为；第三次变换后点的坐标变为；
第四次变换后点的坐标变为；；
∴奇数次变换点在轴下方纵坐标为，横坐标为“减去次数”，偶数次变换点在轴上方，纵坐标为，横坐标为“减去次数”，
∴第次变换后的点在轴下方，点的纵坐标为，横坐标为，
∴点的坐标变为，故选：．
变式1.（2025·江苏徐州·三模）如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为2的等边与O重合，将沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，每次翻转，经过2019次翻滚后，点B的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：第一次点B坐标为，第二次点B坐标为，第三次点B坐标为，
第四次点B坐标为，第五次点B坐标为，第六次点B坐标为，…
第（m为正整数）次，点B坐标为，据此，因为，
所以经过2019次翻转之后，点B的坐标为即，故答案为：．
变式2.（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把先向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点；把先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点；把先向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点，…，按此规律依次进行下去，则点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；
把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；
把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；
把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，
第n次变换时，即把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向上平移n个单位得到下一个点，
到是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，
到是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，
到是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，
到是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，
到是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，
可以看作每四次坐标变换为一个循环，点的坐标为，
，点的坐标为，点的坐标为．故答案为：．
变式3.（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别是、、，点在轴上，且坐标为．点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，按此规律进行下去，则点的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：根据题意画图，如图所示，点与点P重合，即每6次对称进行一次循环，
，点是第337循环组的第4个点，与点重合，
点的坐标为．故答案为：．
变式4.（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2025次变换后点A的对应点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：点A第1次关于y轴对称后的对应点在第一象限，坐标为，
第2次关于x轴对称后的对应点在第四象限，坐标为，
第3次关于y轴对称后的对应点在第三象限，坐标为，
第4次关于x轴对称后的对应点在第二象限，坐标为，
即点A回到了原始位置，∴每4次对称变换为一个循环．
∵，∴经过第2025次变换后点A的对应点与第1次变换后的位置相同，在第一象限，坐标为．故答案为：
考点09 图形变换与坐标的新定义问题
例1.（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，定义一种变换：将点）变换为，其变换规则为，其中为常数．我们则称是的“变点”．(1)已知点是点的“变点”，①求的算术平方根；②已知点经过变换后得到点，再将点先向左移1个单位，再向上移5个单位得到点，若点落在坐标轴上，求点的坐标；(2)约定：如果一个点的纵坐标比横坐标的2倍还多4，我们就称这个点为“美点”，已知点是点的“变点”，若点就是一个“美点”，且是的“变点”，求的坐标．
【答案】(1)①4；②或(2)
【详解】（1）解：∵点是点的“变点”，，解得：，
①，∴的算术平方根为 4 ；
②，
∴，，
∵点C在坐标轴上，∴或，∴或7，∴或；
（2）解：∵点是点的“变点”，，
∵点就是一个“美点”，，，设，
∵是的“变点”，，解得：，．
变式1.（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，我们称点是点的等距平移点，其中为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点为．(1)①当等距平移常量时，点坐标为，则它的等距平移点的坐标为________；②若点坐标为，它的等距平移点的坐标为，则等距平移常量________．
(2)若点在轴上，且它的等距平移点的坐标为，其中为等距平移常量，为坐标原点，求的面积；(3)点的等距平移点是，其中为等距平移常量，若，且其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍，求的值．
【答案】(1)①，②(2)(3)或或或3
【详解】（1）解： ①由定义，N的坐标为：，
故N的坐标为；故答案为：，
根据定义：，，解得；
检验：当时，，成立，故答案为：3．
（2）设M为，根据定义，N的坐标为：，解得，
，，解得，， ，的坐标为，
，即N为，
O为原点，．
（3）N的坐标为，，
，；，
验证：，符合题意，
其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍， |或，
因，分情况讨论：
情况一： 即，分四种情况：
①：且（即），方程变为，解得 ，符合题意；
②：且（即） ，此时，
方程为：解得，，符合题意；
③：且（即） 此时，
方程为：，解得， 不合题意，舍去；
④：且（即且），矛盾，无解；
综上，情况一所有可能的a值为．
情况二： 即|，分四种情况：
①：且（即） ，方程变为，解得 ，符合题意；
②：且（即） 此时，
方程为：，解得，不合题意，舍去；
③：且（即） 此时，方程为：，解得， 符合题意；
④：且（矛盾），无解，
综上，情况二解为或．综上所述，的值为或或或3．
变式2.（2025·山东德州·一模）平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标都是整数，且横，纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点的坐标为 ．
【答案】或
【详解】解：根据已知：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，先向右平移个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移；
若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则按照“和点”反向运动次即可，可以分为两种情况：
①先向右个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，应该是向右平移个单位得到，故矛盾，不成立；
②先向下个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，则应该向上平移个 单位得到，故符合题意，
点先向下平移，再向右平移，当平移到第次时，共计向下平移了次，向右平移了次，此时坐标为，即，
最后一次若向右平移则为，若向左平移则为，故答案为：或．
变式3.（24-25八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，先将某点向左平移5个单位长度，再将所得的点作关于轴的对称点，我们把这个过程称为点的“优化变换”．若点经过“优化变换”后得到的点与点重合，我们称点为不动点．(1)点经过“优化变换”后的坐标为_____；
(2)请判断点，是否为不动点？说明理由；(3)已知点为不动点，求的值．
【答案】(1)(2)点不是不动点；点是不动点(3)
【详解】（1）点向左平移5个单位长度为；点关于轴的对称点为；
（2）解：把向左平移5个单位，可得对应点坐标为，即；
∵关于轴的对称点的坐标为：，∴与不重合，不是不动点；
把向左平移5个单位，可得对应点坐标为，即；
∵关于轴的对称点的坐标为：，∴与重合，是不动点；
（3）解：点向左平移5个单位，可得对应点坐标为，
∵关于轴的对称点的坐标为：，而点为不动点，∴，解得：．
考点10 图形变换与几何综合问题
例1.（24-25七年级下·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．
(1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）．(2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？(3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【答案】(1)，3；，(2)秒(3)见解析
【详解】（1）解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，
可得：，，故答案为：，3；，；
（2）设秒后轴，则有；解得，时，轴；
（3）①如图1中，当点在直线的左侧或上时，，．
②如图2中，当点在直线的右侧且在直线的右侧时，，
③如图3中，当点在直线的右侧时，，．
综上所述，与的关系为：或或．
变式1.（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，且为轴上一动点．连接，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段，则下列结论：①；②；③若的面积为6，则点的坐标为或；④若点不在直线上，面积为面积为，四边形面积为，则．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【详解】解：，由平移性质得：，，故正确，
如图，延长交于点．∵，，
，，
，故正确 ，∵
设，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段，
∴到的距离为，则有，解得或，
则点或；故正确，结论错误，
理由：当点在的上方或的下方时，结论成立，
当点在与之间时，则有 故正确的有：，故选：A
变式2.（24-25七年级下·重庆江津·期末）如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．且a，b满足，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC，BD，CA的延长线交y轴于点K．
(1)点P是线段CK上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ，PO，当点P在线段CA上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论．
(2)连接AD，在坐标轴上是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)，证明见详解 (2)存在，M点坐标为，，，
【详解】（1）解：，证明如下：
证明：∵∴，，解得，，∴，，
∵将点A、B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到对应点C、D，∴，，
过点P作，由平移的性质可得，
∴，∴，，
∴，即．
（2）解：存在，M点坐标为，，，．理由如下：的面积为，
①M在x轴上，根据的高与相等的高，
∴，∴点M坐标为，，
②M在y轴上，的高为，的面积为5，即∴
又∵，∴点M坐标为，．
故存在符合条件的M点坐标为，，，．
考点11. 两个重要的公式（补充）
例1．（24-25八年级上·浙江·专题练习）（1）已知点，，，，在如图所示的平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和的中点，，则点的坐标为_____，点的坐标为_____；
（2）①结合（1），我们可以发现若线段的两个端点坐标分别为，，则这条线段的中点坐标为_____；②若点，，用上述结论直接写出线段的中点坐标．
【答案】（1）见解析，，；（2）①；②
【详解】解：（1）如图所示： ， ，
（2）① ②线段的中点坐标为，即．
变式1．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）在平面直角坐标系中，以任意两点，为端点的线段的中点坐标为，现有，，三点，点为线段的中点，点为点关于原点对称的点，求线段的中点坐标．
【答案】的中点坐标．
【详解】解：∵点为线段的中点，∴，即，
∵点为点关于原点对称的点，，∴，
∴线段的中点坐标，∴线段的中点坐标．
变式2.（25-26八年级上·江苏·单元测试）如图，点A的坐标为，点C的坐标为，以点A为圆心、长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，∴，
∵以点A为圆心、长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，∴，
在中，，∴点B的坐标为，故选：D
变式3.（24-25七年级下·河北廊坊·期末）在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段的中点坐标为．例如：点，则线段的中点坐标为．
请利用以上结论解决问题：(1)若点，，则以点和点为端点的线段的中点坐标为_____．
(2)已知点，若为线段的中点，求点的坐标．
(3)已知点和点的坐标分别为，线段与轴平行，且．若线段的中点与线段的中点在第一象限重合，直接写出点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：∵，，
∴以点和点为端点的线段的中点坐标为，即，故答案为：；
（2）解：设点的坐标为，由题意得，解得，点的坐标为；
（3）解：点，线段与轴平行，且的中点在第一象限，
∴点在第一象限，且纵坐标为，∵，点的坐标为，
线段的中点坐标为，线段的中点坐标为，
点的坐标为，∴点的坐标为．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1.（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，的顶点，将平移得到，点A，B，C分别对应D，E，F，若点，则点F的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵向右平移2个单位，向下平移1个单位得到，
∴向右平移2个单位，向下平移1个单位得到．故选：B．
2．（24-25八年级上·广东珠海·期中）直角坐标系中，点A (﹣2，1)与点B (2，﹣1)关于 （ ）
A．x轴轴对称 B．y轴轴对称
C．原点中心对称 D．以上都不对
【答案】C
【详解】解：点A (﹣2，1)与点B (2，﹣1)关于原点中心对称，故选：C．
3．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直角三角形在平面直角坐标系内，点，，的坐标分别为，，，将三角形平移得到三角形，（1）如果与原点重合，则点的坐标为；（2）三角形向左平移了3个单位长度，点与原点重合；（3）点与原点重合时，扫过的面积为20．下列说法正确的是（ ）
A．（1）（2）是真命题，（3）是假命题 B．（1）（3）是真命题．（2）是假命题
C．（1）（2）（3）都是真命题 D．（1）（2）（3）都是假命题
【答案】B
【详解】解：（1）∵，平移后点与原点重合，
∴向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到，
∵，∴．故（1）是真命题．
（2）三角形向左平移了3个单位长度，，
∴，不与原点重合．故（2）是假命题．
（3）如图，四边形为线段扫过的图形．
∵，，，∴，，∴．
过点作轴于点D，∵点与原点重合时，点的坐标为，
∴，∴，∴．故（3）是真命题．
综上，（1）（3）是真命题．故选：B
4．（2024·山东·一模）如图，先绕点C逆时针旋转，后再沿y轴负方向移动1个单位，得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，
∴点的坐标为．故选：B．
5．（24-25八年级上·江苏·专题练习）如图是三色鹭在水面照镜子的画面，点和点关于水面所在直线对称．若将水面看作平行于轴且过点的直线，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设点的坐标为，
点和点关于水面所在直线对称，将水面看作平行于轴且过点的直线，
，解得，点的坐标为，故选：B．
6．（2025·江苏·模拟预测）如图，的边在x轴的正半轴上，点B的坐标为，把沿x轴向右平移2个单位长度，得到，连接，，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【详解】解：设，∵，∴，由平移的性质可知，，∴，
∵，∴，∴，故选：A．
7．（24-25七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动一个单位长度，其行走路线如图所示，第一次移动到，第二次移动到，．．．，第n次移动到，则的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，，，，，，…，
结合坐标变化规律与图象特征，可知移动4次完成一个循环，
，的坐标为，则的坐标是．故选：A．
8．（24-25七年级下·广东·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为个单位长度，，，，均在格点上，其顺序按图中“”方向排列．如：，，，，，，，根据这个规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，，，，，，
∴下标为的倍数的点在第四象限的角平分线上，被除余的点在第三象限的角平分线上，被除余的点在第二象限的角平分线上，被除余的点在第一象限的角平分线上，横坐标和纵坐标的绝对值都为下标除以的商，∴，
∴的坐标在第三象限的角平分线上，横坐标和纵坐标都为，
∴的坐标为，故选：．
9．（24-25八年级上·江苏·专题练习）已知点，规定1次变换是先作点关于轴对称的点，再将对称点向左平移1个单位长度．连续经过2025次变换后，点的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：第一次变换的坐标为；
第二次变换的坐标为；第三次变换的坐标为；...
当翻折次数为奇数时，纵坐标为，翻折次数为偶数时，纵坐标为，
连续经过2025次变换后，点的纵坐标变为，
连续经过2025次变换后，点的横坐标变为，
∴第2025次变换的坐标为；故选：B．
10．（2025·吉林松原·三模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点、均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：作，交y轴于点F，的坐标为∴，
是等边三角形，，∴是的角平分线，，，
在中，，即，解得，，
∵是等边三角形，∴∴
∴，∴∴．故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·陕西安康·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为．故答案为：．
12．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图：，若将线段平移至，则的值为 ．
【答案】2
【详解】解：∵，，，，
∴平移规律为向右个单位，向上个单位，
∴，∴．故答案为：2．
13．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）点关于轴的对称点是，则 ．
【答案】
【详解】解：∵点关于轴的对称点是，
∴，∴，故答案为：．
14．（24-25九年级下·北京·阶段练面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点进行求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
15．（23-24八年级上·广东茂名·期末）点和点的中点坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵点和点∴，，
∴点和点的中点坐标为．故答案为：．
16．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）王老师要求同学们观察生活中的现象编写一个数学问题，小颖同学观察台球比赛台球撞击台球桌时受到启发，把它抽象成数学问题：如图，已知长方形，小球从出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等
于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为，当小球第次碰到长方形的边时，点的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：如图可知小球的运动轨迹，第6次回到出发点．
由碰触长方形边的点位置可知，：，余数为；
：，余数为；：，余数为；：，余数为；
：，余数为；：，余数为；，余数为，
的位置与的位置相同，即位置为．故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，三角形在平面直角坐标系中．
(1)请写出三角形各点的坐标；(2)将三角形平移，得到三角形，其中三角形中任意一点平移后的对应点为．请画出平移后三角形，并写出的坐标．
【答案】(1)，，(2)见解析，，
【详解】（1）解：由图可得，，；
（2）解：∵三角形中任意一点平移后的对应点为．
∴将三角形向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到三角形，
故平移后三角形如图所示，由图知，，．
18．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别是，，．
(1)画出平移后的；(2)直接写出点，，的坐标；(3)求的面积．
【答案】(1)见解析(2)，，(3)4
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由图可得，，，．
（3）解：．
19．（24-25八年级上·江苏·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．
(1)在网格中作出关于y轴对称的图形（不写画法）；
(2)请直接写出下列各点的坐标：_________；_________；_________；
(3)若网格上每个小正方形的边长为1，则三角形的面积为：__________．
【答案】(1)答案见详解(2)，，．(3)
【详解】（1）解：如图，即为所求作；
．
（2）解：，，，故答案为：，，；
（3）解：如图所示作图：
．
20．（24-25八年级下·绵阳市·期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．
(1)把向上平移个单位后得到对应的，画出；
(2)以原点为对称中心，画出与关于原点对称的；
(3)写出，点的坐标．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)，
【详解】（1）解：如图所示：，即为所求；
（2）解：如图所示，，即为所求；
（3）解：，．
21．（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题：
(1)在图中建立平面直角坐标系；
(2)若体育馆位置坐标为，请在坐标系中标出体育馆的位置；
(3)顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到三角形，求三角形的面积．
(4)若三角形内部有一点，经过平移后的对应点的坐标为，且的对应点分别为，请说明三角形是如何由三角形平移得到（沿网格线平移）．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)(4)三角形是由三角形向右平移1个单位长度，向下平移2个单位得到的
【详解】（1）解：建立直角坐标系，如图所示；
（2）解：如图所示；
（3）解：如图所示：
三角形的面积为．
（4）解：∵点，经过平移后的对应点的坐标为，
∴三角形是由三角形向右平移1个单位长度，向下平移2个单位得到的．
22．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，已知点，满足，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接．
(1)请直接写出点A、B、C和D的坐标；(2)点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正方向平移运动，设运动时间为t秒，问当t值是多少时，的面积是12平方单位？
【答案】(1)，，，(2)
【详解】（1）解：∵，∴，
∴∴∴∴，，
∵线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，
∴，，
（2）即：，；解：由题意得：，，
由（1）得，，∴轴，即，则三角形的面积，
∵的面积是12平方单位，∴，解得，
即当秒时，的面积是12平方单位
23．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）已知点，；
(1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；(2)若点A，B关于y轴对称，求的值．
【答案】(1)，(2)1
【详解】（1）解：∵点A、B关于x轴对称，
∴，解得，∴，；
（2）解：∵点A、B关于y轴对称，
∴，解得，∴．
24．（24-25七年级下·山东济宁·期末）【探究】点是平面直角坐标系中任意一点，将点A向左平移t个单位长度得到点，将点A向右平移t个单位长度得到点，根据线段中点的定义可知，点A是线段的中点．（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ，点与点的横坐标之和为 ；
【归纳】（2）若平行于x轴的线段的一个端点的坐标为，另一个端点的横坐标为，则用含有，和b的式子表示线段的中点坐标为 ；
（3）请利用类似的方法探究并归纳：若平行于y轴的线段的一个端点的坐标为，另一个端点的纵坐标为，则用含有，和c的式子表示线段的中点坐标为 ；
【应用】（4）已知点M的坐标为，点N的坐标为，点P的坐标为，点Q的坐标为，且线段和线段的中点重合，求m和n的值．
【答案】（1）；；；（2）；（3）；（4），
【详解】解：（1）根据平移可得，点的坐标为，点的坐标为，
点与点的横坐标之和为．故答案为：；；
（2）由题意可得，，，∵轴，∴线段的中点的纵坐标为b，
设点向右平移t个单位长度，点向左平移t个单位长度均得到线段的中点，
∴，∴，∴中点的横坐标为，
∴线段的中点的坐标为．故答案为：
（3）由题意可得，，，∵轴，∴线段的中点的横坐标为c，
设点向上平移t个单位长度，点向下平移t个单位长度均得到线段的中点，
∴，∴，∴中点的纵坐标为，
∴线段的中点的坐标为．故答案为：
（4）∵，，∴线段的中点坐标为，即；
∵，，∴线段的中点坐标为，即，
∵线段和线段的中点重合，∴，解得．
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专题4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移
1、感受坐标平面内图形变化相应的坐标变化；
2、了解关于坐标轴对称的两个点的坐标关系；会求与已知点关于坐标轴对称的点的坐标；
3、根据图形变换（如平移、轴对称）写出对应点的坐标变化（如平移后点的坐标计算）；
4、利用关于坐标轴对称的两个对称点的坐标关系，求作轴对称图形。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点01 已知平移方式确定点的坐标 2
考点02 由平移后点的坐标求原坐标 3
考点03 由平移前后点的坐标确定平移方式 5
考点04 平移与几何性质综合 7
考点05 关于x轴、y轴对称的点的坐标 11
考点06 关于原点对称的点的坐标（补充） 12
考点07 坐标系中的平移、轴对称作图 13
考点08 图形变换与坐标的变化规律问题 16
考点09 图形变换与坐标的新定义问题 20
考点10 图形变换与几何综合问题 23
考点11. 两个重要的公式（补充） 26
模块3：培优训练 30
1．坐标系中的对称：
1）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点是，关于y轴的对称点是。
总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．
拓展（其他相关对称结论）：
2）点关于坐标原点的对称点是。
3）点关于点的对称点是．
4）点关于的对称点是．
5）点关于的对称点是．
6）点关于一三象限的平分线的对称点为．
7）点关于二四象限的平分线的对称点为．
2．坐标系中的平移：
（1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或．
（2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或．
总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减．
3.两个公式
（1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为：；
（2）两点距离公式：已知两点：、，则．
考点01 已知平移方式确定点的坐标
例1.（24-25七年级下·河北张家口·期末）若点在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2024·云南曲靖·模拟预测）已知点A的坐标为，将点A向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（24-25八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式3.（24-25七年级下·吉林白山·期末）在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点A重合，则点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
考点02 由平移后点的坐标求原坐标
例1.（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ．
变式1.（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式2.（24-25七年级下·河南安阳·期中）将点向左平移个单位长度得到点，且在轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式3.（2025·河南驻马店·三模）在平面直角坐标系中，若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式4.（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点与点重合，点的对应点分别是点．
(1)请画出平移后的，并写出点的坐标_________；(2)点是内的一点，当平移到后，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为__________．(3)求出三角形的面积．
考点03 由平移前后点的坐标确定平移方式
例1.（24-25八年级上·山东东营·期中）把点平移到点，则下列平移路线正确的是（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位
变式1.（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
变式2.（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，点A，B分别在x轴和y轴上，，若将线段平移至线段的位置，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
变式3.（24-25八年级上·山东烟台·期末）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是，，，，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是 （写出一种方法即可）．
变式4.（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）三角形是由三角形平移得到的，点的对应点为，则三角形内部点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
考点04 平移与几何性质综合
例1.（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，的边在轴的正半轴上，点的坐标为，把沿轴向右平移个单位长度，得到，连接，，若的面积为，则的面积为 ．
变式1.（24-25七年级下·重庆丰都·期末）如图，点，，将线段平移后得到线段，点A的对应点C恰好落在y轴上，且四边形的面积为48，则D点坐标为 ．
变式2.（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，中，A，B两点的坐标分别为，，为上一点，平移后，的对应点的坐标为，则A，B的对应点分别为，．(1)，两点的坐标分别为（______，______），（______，______）．(2)若与y轴交于点C，求的面积．(3)若P点的坐标为，且，求m的取值范围．
变式3.（24-25七年级下·云南昆明·期中）法国数学家、哲学家笛卡尔发明了平面直角坐标系平面直角坐标系的意义在于它提供了一种统一、精确的方法把几何与代数紧密的结合在一起来分析和解决问题，同时为实际问题的解决提供了强大的工具，推动了数学和相关学科的发展．
如图，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，且平移后点的对应点的坐标为．
(1)点的坐标为______，点的坐标为______；(2)在四边形中，点从点出发，沿“”运动若点的运动速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题：
当时，设，，，试问三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由；当时，存在点运动到某一位置时，直线将把四边形的面积分成：的两部分，请求出此时点的坐标．
考点05 关于x轴、y轴对称的点的坐标
例1.（25-26八年级上·广东·期中）已知点和关于x轴对称，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．无法确定
变式1.（25-26八年级上·浙江·随堂练习）如果点和点关于x轴对称，那么 ．
变式2.（24-25八年级下·湖南郴州·期中）已知点，关于y轴对称，则 ．
变式2.（25-26八年级上·重庆·单元测试）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标为 ．
变式4.（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，直线经过点且垂直于轴，若点与点关于直线对称，则的值为 ．
考点06 关于原点对称的点的坐标（补充）
例1.（24-25八年级下·河北石家庄·期中）点关于原点中心对称的点的坐标为( )
A． B． C． D．
变式1.（24-25八年级上·山东淄博·期末）点和点在坐标平面内的关系是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称关系
变式2.（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）在直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为 ．
变式3.（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为 ．
变式4.（24-25八年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则 ．
考点07 坐标系中的平移、轴对称作图
例1.（24-25七年级下·广东汕头·期末）如图，小正方形的网格的边长为1，直角坐标系中有．
(1)平移，使点A在y轴上，且点C在x轴上，写出平移后B点的坐标．(2)求的面积．
变式1．（24-25·山东德州·七年级期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．(1)在平面直角坐标系中画出；(2)平移，使点A与点重合，写出点、点平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程．(3)求的面积
变式2.（24-25·云南·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△．
(2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ．
(3)求△ABC的面积．(4)在x轴上画出点P，使QA＋QC最小．
变式3．（24-25·甘肃·八年级期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上．(1)写出点A、B、C的坐标；(2)写出△ABC关于x轴对称的的顶点、、的坐标；(3)求．
考点08 图形变换与坐标的变化规律问题
例1.（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知，规定“先作点关于轴对称，再将对称点向左平移个单位”为一次变换．那么连续经过次变换后，点的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2025·江苏徐州·三模）如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为2的等边与O重合，将沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，每次翻转，经过2019次翻滚后，点B的坐标为 ．
变式2.（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把先向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点；把先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点；把先向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点，…，按此规律依次进行下去，则点的坐标为 ．
变式3.（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别是、、，点在轴上，且坐标为．点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，按此规律进行下去，则点的坐标是 ．
变式4.（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2025次变换后点A的对应点的坐标为 ．
考点09 图形变换与坐标的新定义问题
例1.（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，定义一种变换：将点）变换为，其变换规则为，其中为常数．我们则称是的“变点”．(1)已知点是点的“变点”，①求的算术平方根；②已知点经过变换后得到点，再将点先向左移1个单位，再向上移5个单位得到点，若点落在坐标轴上，求点的坐标；(2)约定：如果一个点的纵坐标比横坐标的2倍还多4，我们就称这个点为“美点”，已知点是点的“变点”，若点就是一个“美点”，且是的“变点”，求的坐标．
变式1.（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，我们称点是点的等距平移点，其中为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点为．(1)①当等距平移常量时，点坐标为，则它的等距平移点的坐标为________；②若点坐标为，它的等距平移点的坐标为，则等距平移常量________．
(2)若点在轴上，且它的等距平移点的坐标为，其中为等距平移常量，为坐标原点，求的面积；(3)点的等距平移点是，其中为等距平移常量，若，且其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍，求的值．
变式2.（2025·山东德州·一模）平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标都是整数，且横，纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点的坐标为 ．
变式3.（24-25八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，先将某点向左平移5个单位长度，再将所得的点作关于轴的对称点，我们把这个过程称为点的“优化变换”．若点经过“优化变换”后得到的点与点重合，我们称点为不动点．(1)点经过“优化变换”后的坐标为_____；
(2)请判断点，是否为不动点？说明理由；(3)已知点为不动点，求的值．
考点10 图形变换与几何综合问题
例1.（24-25七年级下·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．
(1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）．(2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？(3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
变式1.（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，且为轴上一动点．连接，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段，则下列结论：①；②；③若的面积为6，则点的坐标为或；④若点不在直线上，面积为面积为，四边形面积为，则．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
变式2.（24-25七年级下·重庆江津·期末）如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．且a，b满足，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC，BD，CA的延长线交y轴于点K．
(1)点P是线段CK上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ，PO，当点P在线段CA上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论．
(2)连接AD，在坐标轴上是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由．
考点11. 两个重要的公式（补充）
例1．（24-25八年级上·浙江·专题练习）（1）已知点，，，，在如图所示的平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和的中点，，则点的坐标为_____，点的坐标为_____；
（2）①结合（1），我们可以发现若线段的两个端点坐标分别为，，则这条线段的中点坐标为_____；②若点，，用上述结论直接写出线段的中点坐标．
变式1．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）在平面直角坐标系中，以任意两点，为端点的线段的中点坐标为，现有，，三点，点为线段的中点，点为点关于原点对称的点，求线段的中点坐标．
变式2.（25-26八年级上·江苏·单元测试）如图，点A的坐标为，点C的坐标为，以点A为圆心、长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式3.（24-25七年级下·河北廊坊·期末）在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段的中点坐标为．例如：点，则线段的中点坐标为．
请利用以上结论解决问题：(1)若点，，则以点和点为端点的线段的中点坐标为_____．
(2)已知点，若为线段的中点，求点的坐标．
(3)已知点和点的坐标分别为，线段与轴平行，且．若线段的中点与线段的中点在第一象限重合，直接写出点的坐标．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1.（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，的顶点，将平移得到，点A，B，C分别对应D，E，F，若点，则点F的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·广东珠海·期中）直角坐标系中，点A (﹣2，1)与点B (2，﹣1)关于 （ ）
A．x轴轴对称 B．y轴轴对称
C．原点中心对称 D．以上都不对
3．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直角三角形在平面直角坐标系内，点，，的坐标分别为，，，将三角形平移得到三角形，（1）如果与原点重合，则点的坐标为；（2）三角形向左平移了3个单位长度，点与原点重合；（3）点与原点重合时，扫过的面积为20．下列说法正确的是（ ）
A．（1）（2）是真命题，（3）是假命题 B．（1）（3）是真命题．（2）是假命题
C．（1）（2）（3）都是真命题 D．（1）（2）（3）都是假命题
4．（2024·山东·一模）如图，先绕点C逆时针旋转，后再沿y轴负方向移动1个单位，得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·江苏·专题练习）如图是三色鹭在水面照镜子的画面，点和点关于水面所在直线对称．若将水面看作平行于轴且过点的直线，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·江苏·模拟预测）如图，的边在x轴的正半轴上，点B的坐标为，把沿x轴向右平移2个单位长度，得到，连接，，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．
7．（24-25七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动一个单位长度，其行走路线如图所示，第一次移动到，第二次移动到，．．．，第n次移动到，则的坐标是( )
A． B． C． D．
8．（24-25七年级下·广东·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为个单位长度，，，，均在格点上，其顺序按图中“”方向排列．如：，，，，，，，根据这个规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25八年级上·江苏·专题练习）已知点，规定1次变换是先作点关于轴对称的点，再将对称点向左平移1个单位长度．连续经过2025次变换后，点的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·吉林松原·三模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点、均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·陕西安康·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为 ．
12．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图：，若将线段平移至，则的值为 ．
13．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）点关于轴的对称点是，则 ．
14．（24-25九年级下·北京·阶段练面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
15．（23-24八年级上·广东茂名·期末）点和点的中点坐标为 ．
16．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）王老师要求同学们观察生活中的现象编写一个数学问题，小颖同学观察台球比赛台球撞击台球桌时受到启发，把它抽象成数学问题：如图，已知长方形，小球从出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等
于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为，当小球第次碰到长方形的边时，点的坐标是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，三角形在平面直角坐标系中．
(1)请写出三角形各点的坐标；(2)将三角形平移，得到三角形，其中三角形中任意一点平移后的对应点为．请画出平移后三角形，并写出的坐标．
18．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别是，，．
(1)画出平移后的；(2)直接写出点，，的坐标；(3)求的面积．
19．（24-25八年级上·江苏·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．
(1)在网格中作出关于y轴对称的图形（不写画法）；
(2)请直接写出下列各点的坐标：_________；_________；_________；
(3)若网格上每个小正方形的边长为1，则三角形的面积为：__________．
20．（24-25八年级下·绵阳市·期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．
(1)把向上平移个单位后得到对应的，画出；
(2)以原点为对称中心，画出与关于原点对称的；
(3)写出，点的坐标．
21．（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题：
(1)在图中建立平面直角坐标系；(2)若体育馆位置坐标为，请在坐标系中标出体育馆的位置；
(3)顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到三角形，求三角形的面积．
(4)若三角形内部有一点，经过平移后的对应点的坐标为，且的对应点分别为，请说明三角形是如何由三角形平移得到（沿网格线平移）．
22．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，已知点，满足，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接．
(1)请直接写出点A、B、C和D的坐标；(2)点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正方向平移运动，设运动时间为t秒，问当t值是多少时，的面积是12平方单位？
23．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）已知点，；
(1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；(2)若点A，B关于y轴对称，求的值．
24．（24-25七年级下·山东济宁·期末）【探究】点是平面直角坐标系中任意一点，将点A向左平移t个单位长度得到点，将点A向右平移t个单位长度得到点，根据线段中点的定义可知，点A是线段的中点．（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ，点与点的横坐标之和为 ；
【归纳】（2）若平行于x轴的线段的一个端点的坐标为，另一个端点的横坐标为，则用含有，和b的式子表示线段的中点坐标为 ；
（3）请利用类似的方法探究并归纳：若平行于y轴的线段的一个端点的坐标为，另一个端点的纵坐标为，则用含有，和c的式子表示线段的中点坐标为 ；
【应用】（4）已知点M的坐标为，点N的坐标为，点P的坐标为，点Q的坐标为，且线段和线段的中点重合，求m和n的值．
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