1.1 探索勾股定理 课件(共23张PPT)2025--2026学年北师大版八年级数学上册

(共23张PPT)
第1章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
导入新课
据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角．
这种方法对吗？
探究新知
【探究1】拼图验证勾股定理
1. 准备四个全等的直角三角形
（设直角边分别为 a，b，斜边为 c）
2. 你能用这四个直角三角形拼成正方形吗？
a
b
c
新知初探
探究一：勾股定理的初步认识
贰
（图中每一格代表
一平方厘米）
（1）正方形P的面积是 平方厘米；
（2）正方形Q的面积是 平方厘米；
（3）正方形R的面积是 平方厘米.
1
2
1
SP+SQ=SR
R
Q
P
A
C
B
AC2+BC2=AB2
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
做一做：观察正方形瓷砖铺成的地面.
新知初探
贰
填一填：观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）.
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
4
？
怎样计算正方形C的面积呢？
9
16
9
新知初探
贰
c
a
b
c
a
b
验证方法二：赵爽弦图
b
c
a
b
c
大正方形的面积可以表示为 ;
也可以表示为 .
∵ c2= 4 ab +(b-a)2
=2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2
∴ a2+b2=c2
c2
4 ab+(b- a)2
新知初探
贰
b
c
a
b
c
a
A
B
C
D
如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得
化简,得
验证方法三：美国总统证法
协作破冰
追问1：你怎样计算正方形ABCD的面积？动手试一试.
方法一：将正方形ABCD，分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，可得：
3×4+=25
追问1：你怎样计算正方形ABCD的面积？动手试一试.
方法二：将正方形ABCD，补成四个全等的直角三角形和一个大正方形，可得：
- 3×4=25
求右图三角形C的面积
新知讲解
新知讲解
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4 9 13
右图 16 9 25
　　结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
分析表中数据，你发现了什么？
2.下列说法中,正确的是 (　　)
A.若a,b,c是三角形的三边长,则a2+b2=c2
B.若a,b,c是直角三角形的三边长,则a2+b2=c2
C.若a,b,c是Rt△ABC中∠A,∠B,∠C所对的边,且∠C=90°,则a2+b2=c2
C
3.　　　 　 如图1-1-1所示,在边长均为1的小正方形组成的网格中,A,B都是格点,则线段AB的长是 (　　)
A.5
B.6
C.7
D.9
A
图1-1-1
4.(教材随堂练习T1变式)如图1-1-2,两个大正方形的面积分别为132和108,则小正方形M的面积为 (　　)
A.14
B.22
C.20
D.24
D
图1-1-2
5.在△ABC中,∠C=90°,AB=3,则AB2+BC2+AC2的值为　　　　.
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归纳总结
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2+b2=c2.
a
b
c
C
课堂作业
【综合实践类作业】
如图，所有的四边形都是正方形，
所有的三角形都是直角三角形，其中
最大的正方形的边长是a，则图中所
有正方形的面积之和是 。
3a
课堂总结
知识：勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么 .
方法： 1. 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用。
2. “割、补、拼、接”法.
思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想。
这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
方法总结
题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况.如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形.
【解析】因为AE＝BE，所以S△ABE＝AE·BE＝AE2.又因为AE2＋BE2＝AB2，
所以2AE2＝AB2，所以S△ABE＝AB2＝；
同理可得S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2.
又因为AC2＋BC2＝AB2，所以阴影部分的面积为AB2＝.
例4.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB＝3，则图中△ABE的面积为________，阴影部分的面积为________.
典例精析
知识点1 勾股定理的验证
1.［教材习题 变式］用4个如图①所示的直角三角形可以摆成如图
②所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理。
（1）图②中大正方形的边长为______，里面
小正方形的边长为___；
（2）大正方形的面积可以表示为_________，
也可以表示为__________；
（3）对比这两种表示方法，可得出_________
_____________，整理，得_____________。
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知识点2 勾股定理的简单应用
（第2题）
2.［教材习题变式］ 如图，一棵高为 的大树被
台风刮断，若大树在离地面的点 处折断，则树顶端
离树底部( )
A
A. B. C. D.
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