2026年中考数学一轮复习练 突破二 中档解答题 讲义（含答案） (河南)
文档属性
| 名称 | 2026年中考数学一轮复习练 突破二 中档解答题 讲义（含答案） (河南) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-11 08:39:38 | ||
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文档简介
突破二 中档解答题
题型二 统计题
1．[2025河南模拟]菲菲从某省的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量.
【数据收集与整理】
A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
每天可分拣的快递数量/万件 16 17 20 22 23
机器人台数/台 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如表：
众数/万件 中位数/万件 平均数/万件
型号 14和16 15
型号 20
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1） _ _ _ _ ，_ _ _ _ ；
（2） 请计算表中的值；（需要写出计算过程）
（3） 若该省投放市场的型号智能机器人有80台，型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件.
2．[2025濮阳二模]为了解城市和的快递企业运营情况，相关机构对两城市各随机抽取25家快递企业，并对收入数据（单位：百万元）进行调查以及深入分析.
基于上述背景，研究人员获得了以下部分数据：
.城市快递企业4月份收入的频数分布直方图如下：
.城市快递企业4月份收入的数据在这一组的是，，，，，，，.
，两城市快递企业4月份收入的平均数和中位数如下表所示：
平均数/百万元 中位数/百万元
城市 10.8
城市 11.0 11.5
请根据以上信息，回答下列问题：
（1） _ _ _ _ .
（2） 在城市抽取的快递企业中，将4月份收入高于平均数（百万元）的企业的个数记为.同样，在城市抽取的快递企业中，将4月份收入高于平均数（百万元）的企业的个数记为.请比较和的大小，并说明理由.
（3） 假设城市共有200家快递企业，请根据样本数据估计城市所有快递企业在4月份的总收入.
3．[2025鹤壁模拟]综合与实践
某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园.在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考.
【数据收集与整理】
从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个.在技术人员指导下测量每个柑橘的直径作为样本数据.柑橘直径用（单位：）表示.
将所收集的样本数据进行如下分组：
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下：
图1 图2
任务1：．求图1中的值.
【数据分析与运用】
任务2：．，，，，五组数据的平均数分别取4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数.
任务3：．下列结论一定正确的是_ _ _ _ （填正确结论的序号）.
①两园样本数据的中位数均在组；
②两园样本数据的众数均在组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等.
任务4：．结合市场情况，将，两组的柑橘认定为一级，组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次.试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由.
4．[2025郑州高新区模拟]随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活.市场上也涌现出了各类人工智能产品.经过市场调研，小罗决定从，两个人工智能产品中选择一个进行使用.以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对，两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下：
信息一：语言交互能力得分（满分10分）.
信息二：数据分析能力得分（如图）（满分10分）.
信息三：语言交互能力和数据分析能力得分统计表.
语言交互能力得分 数据分析能力得分
平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差
8 8 7.0
7.7 7.5 6.9 7
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 填空：_ _ _ _ ，_ _ _ _ ，_ _ _ _ ，_ _ _ _ （填“ ”或“ ”）.
（2） 通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品？至少从两个角度说明理由.
（3） 你认为小罗还需要了解哪些信息？举例说明（列出一条即可）.
5．某工厂生产A,B,C,D四种产品.为提升产品的竞争力,该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程,降低成本；对其他种类的产品增加研发投入,提升品质.经研究,该工厂做出了甲、乙两种调整方案,这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响.
下面是该工厂这四种产品的部分信息:
.调整前,各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）.
图1 图2
.各产品单件成本的核算情况统计表及说明.
A B C D
调整前单件成本/元 18 26 20 36
调整后单件成本/元 方案甲 13 22 40
方案乙 16 18 32
说明:对于统计表中的数据,方案甲的平均数与调整前的相同,方案乙的中位数与调整前的相同.
根据以上信息,解答下列问题:
（1） 求调整前A产品的年产量；
（2） 直接写出,的值;
（3） 若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同,请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低.
6．为了解中学生对我国国防安全的知晓情况，某中学在本校七、八年级学生中开展了“国防安全”的知识竞赛，并将最终成绩分为A，B，C，D，五个等级，相应等级得分分别为5分，4分，3分，2分，1分.校团委在七、八年级学生答卷中各随机抽取50人的成绩进行分析，并将抽取出来的成绩整理并绘制成统计图如下.
根据以上信息回答下列问题：
（1） 分别求出七年级和八年级的平均成绩.
（2） 从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何评价这两个年级的成绩？（写出一条即可）
（3） 若该校七、八年级学生各有1 200人，请估计该校七、八年级共有多少名学生获得A等级.
7．[2025新乡模拟]【项目背景】
为了解学生对校园安全的认识和掌握情况，某地对甲、乙两校的部分学生进行了调查统计，为校园安全质量的提升提供一些参考.
【数据收集与整理】
从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行测试（满分100分），测试后对学生的成绩（单位：分）进行了整理和分析.部分信息如下：
信息一：根据学生的成绩绘制了两幅不完整的统计图.（数据分组：A组，；B组，；C组，；D组，）
信息二：甲校学生的测试成绩在C组的是80，，，85，87，89，，，85.
信息三：甲、乙两校学生的测试成绩的平均数、中位数、众数如下表.
平均数 中位数 众数
甲 84.2 82.5
乙 81.6 81 80
任务1：．补全频数分布直方图.
【数据分析与运用】
任务2：．乙校学生的测试成绩位于C组的人数为_ _ _ _ ，表格中_ _ _ _ .
任务3：．在此次测试中，甲校小明和乙校小华的成绩均为82.5分，则两位同学谁在各自学校测试成绩中的排名更靠前？请说明理由.
8．[2024南阳二模]某学校在“体育节”期间举行投篮比赛活动.学校在每班随机抽取10名学生参加，规定每人投篮10次.下面对八年级（3）班10名参赛学生的投中次数进行了收集、整理和分析.
【收集数据】3，2，1，4，3，5，6，4，3，5.
【整理数据】
投中次数 1 2 3 4 5 6
频数 1 2 2 1
根据上面整理的数据，制作了不完整的扇形统计图如图.
【分析数据】
平均数 中位数 众数 方差
八年级（3）班 3 2.04
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1） _ _ _ _ ，_ _ _ _ ，_ _ _ _ .
（2） 根据扇形统计图，将投中次数所占百分比不低于的记为“最多投中数”，学校通过“最多投中数”来评估八年级（3）班学生的投篮情况.若八年级（3）班共有40名学生，估计全班学生能达到“最多投中数”的有多少名.
【数据应用】
（3） 八年级（6）班10名参赛学生的投中次数的相关信息如表：
平均数 中位数 众数 方差
八年级（6）班 3.6 4 2 3.64
根据以上两个班投中次数的统计量，你认为哪个班学生的投篮水平更高一些？并给出一条合理的解释.
题型三 反比例函数综合题
类型1 反比例函数的图象与性质
1．[2025许昌一模]如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且与轴交于点，第一象限内的点在反比例函数的图象上，且以点为圆心的圆与轴，轴分别相切于点，.
（1） 求和的值；
（2） 根据图象，当时，直接写出的取值范围.
2．[2025郑州高新区模拟]如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的坐标是.
（1） 求反比例函数的表达式；
（2） 设直线与反比例函数的图象的交点横坐标分别为，，与直线的交点横坐标为，若，求的取值范围.
类型2 反比例函数与几何图形结合
3．[2025新乡二模]一次函数的图象经过点，交反比例函数的图象于点.
（1） 求，，的值；
（2） 点在反比例函数的图象上，若，直接写出的横坐标的取值范围.
4．[2025郑州模拟]如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点.
（1） 求反比例函数和一次函数的解析式；
（2） 根据图象直接写出不等式的解集；
（3） 设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出面积的最大值.
5．[2025郑州金水模拟]如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于点，，点在第一象限，点是轴正半轴上一点，菱形的边与反比例函数的图象交于点，且.
（1） 利用无刻度的直尺在反比例函数的图象上作出点，使（不写作法，保留作图痕迹）；
（2） 求的值和反比例函数的表达式；
（3） 将菱形向下平移，当点落在反比例函数的图象上时，平移的距离为_ _ _ _ _ _ .
类型3 反比例函数图象中的阴影部分面积问题
6．[2024安阳一模]如图所示，矩形的边在轴上，在轴上，点的坐标是.反比例函数的图象经过点，以点为圆心，长为半径作交边于点，连接.
（1） 求反比例函数的解析式；
（2） 求的度数；
（3） 请直接写出图中阴影部分的面积.
7．[2024安阳二模]如图，菱形的顶点为坐标原点，点在轴上，点，，点为反比例函数图象上一点.
（1） 求的值；
（2） 将菱形以点为旋转中心逆时针旋转，使点的对应点落在轴负半轴上，求扇形的圆心角的度数；
（3） 在（2）的条件下，请直接写出图中阴影部分的面积.
8．[2025洛阳模拟]如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过上的点，已知.
（1） 求的值；
（2） 连接，以点为圆心，长为半径画弧，求图中阴影部分的面积.
题型四 尺规作图题
类型1 基本尺规作图
1．[2025安阳滑县二模]如图，在四边形中，，.
（1） 请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）的条件下，连接，证明：四边形是菱形.
2．[2025许昌一模]如图，是等腰直角三角形， .
（1） 尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）所作的图形中，延长至点，使，连接，求证：.
3．[2025新乡模拟]如图，是矩形的对角线， .
（1） 尺规作图：作和的平分线，分别交，于点，（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；
（2） 在（1）的条件下，判断四边形的形状，并加以证明.
4．[2025平顶山一模]如图，在中，，点是延长线上一点，点，分别是，的中点.
（1） 请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）的条件下，连接并延长交于点，证明：；
（3） 当 ，时，直接写出的长为_ _ _ _ _ _ .
5．[2025郑州中原模拟]如图，.
（1） 请用无刻度的直尺和圆规作边的垂直平分线，交边于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）的条件下，若，求证： .
6．[2025河南模拟]如图，在中， ，点是的中点.
（1） 尺规作图：以线段为直径作，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）的条件下，连接，，若 ，，求弧的长度.
7．[2025信阳模拟]【操作与发现】
如图，在中， ，，点，分别是，上的点，且.
（1） 尺规作图：请根据下列要求完成作图，并标出相应的字母.（保留作图痕迹）
①作线段的垂直平分线交于点；
②在边上取一点，使得；
③连接.
【观察与思考】
（2） 在（1）的条件下，线段，，之间满足怎样的等量关系？请直接写出你发现的结论.
8．[2025郑州中原模拟]如图，在中， ，点是上一点，且，连接，点是的中点，连接.
（1） 尺规作图：作线段的垂直平分线，与的交点为.
（2） 在（1）的基础上，连接，.
① 求证：四边形是平行四边形；
② 若，，直接写出线段的长.
9．[2025洛阳三模]如图，一次函数的图象过点，与轴交于点，将线段向右平移，使点落在点处，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上.
（1） 求和的值；
（2） 点在射线上，请用无刻度的直尺和圆规作的平分线交轴于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（3） 在（2）的条件下，求证：.
类型2 与圆有关的尺规作图
10．[2025许昌模拟]如图，直线和相交，交点分别为，.
（1） 请用无刻度的直尺和圆规过点作直线的垂线（保留作图痕迹，不写作法）.
（2） 点是外一点，分别连接，，交于点，连接中所作垂线和交于点，若，且，求的度数.
11．[2025安阳滑县一模]如图，在矩形中，连接对角线.
（1） 尺规作图：根据下列要求作出.（保留作图痕迹，不写作法）
①圆心在边上；
②与边，相切.
（2） 在（1）的条件下，连接交于点，若，猜想线段和的数量关系，并证明.
12．[2025南阳一模]某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
（1） 尺规作图：请找出截面的圆心（不写作法，保留作图痕迹）；
（2） 若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为，求这个圆形截面的半径.
13．[2025驻马店驿城二模]
（1） 如图1，有一个残缺圆，请作出残缺圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）.
图1
（2） 如图2，设是该残缺圆的直径，是圆上一点，的平分线交于点，过作的切线交的延长线于点.
图2
① 求证：；
② 若，，求残缺圆的半圆面积.
类型3 尺规作图综合应用
14．[2025洛阳二模]如图，在中， .
（1） 请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在边右上方确定点，使，且满足（不写作法，保留作图痕迹）；
（2） 在（1）的条件下，连接，若，试探究和的关系，并说明理由.
15．[2025新乡二模]如图，已知及边上一点.
（1） 用无刻度的直尺和圆规在射线上求作点，使得（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）的条件下，以点为圆心，以长为半径的圆交射线于点，用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交射线于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（3） 在的条件下，若，，求的半径.
题型五 方程、不等式、函数应用题
类型1 方程、不等式的实际应用问题
1．[2025南阳一模]近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：
短款 长款
进货价/（元/件） 80 90
销售价/（元/件） 100 120
（1） 该服装店第一次用4 300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数.
（2） 第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16 800元.服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？
2．[2024河南模拟]为了加强大家的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水的收费标准（水费按月份结算）如表：
每月用水量 价格/（元/立方米）
不超出6立方米的部分 2
超出6立方米但不超出10立方米的部分 4
超出10立方米的部分 8
例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费（元）.请根据表格的内容解答下列问题：
（1） 若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费多少元？
（2） 若某户居民4月份用水立方米，请用含的代数式表示应收水费多少元.（结果需化简）
（3） 若某户居民3月份的水费为60元，则该户居民3月份用水多少立方米？
3．[2025周口项城三模]2025年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”.已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少3小时.
（1） 分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：/小时）.
（2） 现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用9小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？
4．信阳毛尖是中国十大名茶之一：春茶鲜嫩，清香高雅，适合喜欢清爽口感的人；秋茶叶老深沉，沉香味较重，适合喜欢浓重口感的人.用1 920元从信阳某茶园购进的春茶与用1 440元购进的秋茶的质量相同，每千克春茶进价比每千克秋茶进价多80元.
（1） 求每千克春茶，秋茶的进价各是多少元.
（2） 某茶叶商店计划用不超过14 400元的总费用购进春茶和秋茶共50千克进行销售，每千克春茶售价为400元，每千克秋茶售价为300元.解决下列问题：
① 怎样进货才能使销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
② 按①中的方案购进茶叶，全部销售完后的利润率是多少？
5．综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒.
【任务要求】
任务一：设计无盖长方体收纳盒.如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒.
任务二：设计有盖长方体收纳盒.如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分.
【问题解决】
图1 图2
（1） 若任务一中设计的收纳盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少厘米？
（2） 若任务二中设计的收纳盒的底面积为.
① 该收纳盒的高是多少厘米？
② 请判断能否把一个如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由.
图3
类型2 函数的实际应用问题
6．[2025安阳模拟]共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享.某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有，两种品牌的共享电动车可选择.已知品牌电动车骑行分钟，收费元，且；品牌电动车骑行分钟，收费元，且，两种品牌电动车所收费用（元）与骑行时间（分钟）之间的函数图象如图所示.
（1） 说明图中函数与图象的交点表示的实际意义.
（2） 已知王老师家与学校的距离为9千米，且王老师骑电动车的平均速度为300米/分，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由.
（3） 请直接写出当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元.
7．[2025洛阳一模]学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）.
（1） 设自行车车棚的面积为平方米，车棚的宽度为米，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围.
（2） 若车棚面积需达到108平方米，求此时自行车车棚的长和宽.
（3） 学校在规划自行车车棚时，考虑到体育馆旁的空间利用以及未来的使用便捷性，经过测量与讨论，发现当车棚的宽度为8米时，既能最大程度契合现有的场地条件，又能满足预期的停车及充电区域划分需求.已知此时停车区的宽度是充电区宽度的1.5倍，问停车区和充电区的面积各是多少？
8．如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为.设动力为（单位：），动力臂长为（单位：）.（杠杆平衡时，动力×动力臂阻力×阻力臂，撬棍本身所受的重力忽略不计）
（1） 求关于的函数表达式.
（2） 小明若想使动力不超过，在动力臂最长为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由.
题型六 解直角三角形应用题
类型1 仰角、俯角
1．[2025河南模拟]嵩岳寺塔位于河南省郑州市登封市嵩山南麓嵩岳寺内，建于北魏正光年间.某数学兴趣小组想测量塔的高度，点为塔楼底面中心，在处测得塔楼顶端的仰角为 ，沿方向前进35米到达处，又测得塔楼顶端的仰角为 ，测角仪高度米，求塔的高度.（结果精确到1米；参考数据：，，）
2．[2025安阳滑县二模]羑里城又称文王庙，是周易文化发祥地.羑里城遗址内耸立着一尊文王铜塑（如图1）.某数学兴趣小组利用测角仪和卷尺测量文王铜塑的高度.如图2，在处用测角仪测得铜塑底部的仰角 ，沿方向前进到达点处，又测得铜塑顶端的仰角 .已知铜塑底部距离水平地面的高度为，若测角仪和的高度均为，测量点，与点在同一水平线上，求文王铜塑的高度.（结果保留整数.参考数据：，，，，，）
图1 图2
3．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下，请你帮助兴趣小组解决问题.
实践报告
活动课题 测量两幢楼楼顶之间的距离
活动工具 测角仪、皮尺等
测量过程 【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端与两幢楼的底部，在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶的仰角 ，楼顶的仰角 ； 【步骤三】利用皮尺测出，
解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶，之间的距离
（参考数据：，，，）
4．梵净山位于贵州省铜仁市，其主要景点红云金顶海拔2 336米，是武陵山脉的主峰，常年云雾缭绕，被誉为现实版的“天空之城”.某校综合与实践小组利用无人机测量红云金顶峰脚到峰顶的垂直高差，制成了以下不完整的报告：
测量对象 红云金顶峰脚到峰顶的垂直高差
测量目的 运用三角函数相关知识解决生活实际问题
测量工具 无人机
测量方案 第一步：将无人机上升到距峰脚高的点处，此时测得峰顶点的俯角是 ； 第二步：控制无人机水平移动至点处，此时测得峰顶点的俯角为 ，图中各点均在同一竖直平面内
测量示意图
根据以上测量数据，求红云金顶峰脚到峰顶的垂直高差.（结果精确到.参考数据：，，）
类型2 方向角
5．[2025河南模拟]下表是有关部门对甲岛东、西两端的距离的测量方案：
测量项目 测量甲岛东、西两端的距离
测量过程 【步骤一】一艘海监船从点沿正北方向巡航，测得其航线距甲岛（，分别为该岛的西、东两端点，，，在同一条直线上）的最近距离为12海里（即海里）
【步骤二】在点测得甲岛的西端点在东北方向
【步骤三】海监船行驶4海里后到达点，测得甲岛的东端点在北偏东 方向
根据以上内容，解决问题：
（1） 求出，之间的距离；
（2） 求出甲岛东、西两端的距离.（结果保留根号）
6．[2025河南模拟]如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线：
路线一：在点登船，沿水路游览沿途风光；
路线二：先坐观光车从至，沿途游览，再在点登船，沿水路游览沿途美景.
已知点在点的东北方向，点在点的北偏东 方向，点在点的南偏西 方向，点在点的南偏东 方向，，相距20千米.（参考数据：，，）
（1） 求，之间的距离（结果保留根号）.
（2） 小聪和小明同时从点出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船的速度为10千米/小时，观光车的速度为20千米/小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点？请说明理由.
类型3 综合应用
7．[2025南阳一模]单摆是一种能够往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆有关的实验探究，并撰写实验报告如下.
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动.（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，， ，.当摆球运动至点时， ，（点，，，，，在同一平面内）
实验图示 图1 图2
解决问题：根据以上信息，求的长.
（参考数据：，，）
8．[2025河南模拟]几位同学在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动.
活动主题 研究篮球架的结构
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 篮球架（如实物图所示）的结构示意图如下： 立柱垂直于地面，横梁平行于地面，篮圈与横梁在同一直线上，点、、在同一条垂直于地面的直线上
测绘过程与数据信息 ①用测角仪在处测得后拉杆与水平面的夹角 ，在处测得伸臂与水平面的夹角 ； ②用皮尺测得后拉杆的长为，伸臂的长为，箱体的高度为； ③用计算器计算得到，，，，，
请根据表格中提供的信息，解决下列问题.（结果精确到）
（1） 求立柱的高度；
（2） 已知墩墩站立时手臂举至最高处，指尖距地面的最大高度为，若墩墩想摸到篮圈，他至少要跳多高？
题型七 二次函数的图象与性质
类型1 二次函数的图象与性质
1．[2024驻马店新蔡二模]在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，，且抛物线的对称轴为直线．
（1） 若抛物线经过点，求的值；
（2） 若对于，，都有，求的取值范围．
2．[2025郑州金水模拟]已知抛物线的对称轴为直线.
（1） 求的值；
（2） 当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求的值；
（3） 当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围.
3．[2025信阳模拟]如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点的右边），.
（1） 求抛物线的表达式；
（2） 为抛物线上任意一点，将点向上平移2个单位长度得到点，若点关于原点的对称点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标；
（3） 将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，求的取值范围.
4．已知二次函数（为常数）.
（1） 当时，
① 若，二次函数的最大值记作，最小值记作，求的值；
② 若抛物线经过点，，求证：.
（2） 两位同学尝试代入不同的值后，提出了两个观点.
甲说：“不论取何值，抛物线必过一个定点.”
乙说：“不论取何值，抛物线的顶点都在一条固定的抛物线上运动.”
请你依次判断这两个观点是否正确，并说明理由.
类型2 二次函数的实际应用
5．[2025河南模拟]根据实心球项目的评分标准，男生的投掷成绩是大于或等于10米时获得满分10分.如图，实心球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分.男生小刚利用录像设备记录了自己某次投掷练习中实心球从出手到着陆的过程，通过测量得到实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的部分数据如表所示.
水平距离 米 0 1 3.5 7
竖直高度 米 1.8 2.4 3.025 1.8
（1） 求实心球运动轨迹所在抛物线的解析式.
（2） 小刚在此次训练中能否得到满分？请说明理由.
（3） 体育老师根据视频给小刚提出了“出手高度和力度已经达到极限，要调整出手角度”的建议，体现在抛物线的解析式上可以理解为保持，的值不变，调整的值.求能使小刚得到满分的的取值范围.
6．[2025郑州二模]数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代，而智能温室大棚将成为现代农业发展进程中重要的参与者之一.某种植户对自己的温室大棚进行改造时，先将大门进行了装修，如图2所示，该大门示意图由矩形和抛物线的一部分组成，测得，，.以水平线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系.
图1 图2
（1） 求抛物线的表达式.
（2） 改造时，为了加固，要在棚内梁的四等分点，处焊接两排镀锌管支撑大棚，已知镀锌管成品每根长，问是否需要截取？若需要，应该截掉多少？
7．[2025郑州中原模拟]图1是某大型文化主题乐园中的过山车项目实景图.过山车的一部分轨道可以看成一段抛物线，以为原点，竖直方向为轴，水平方向为轴建立平面直角坐标系，其图象如图2所示，其中米，米（轨道厚度忽略不计）.
图1 图2
（1） 求左侧过山车轨道所在抛物线的函数表达式.
（2） 在轨道距离地面4.5米处有两个点和（点在点的左侧），过山车运动到点处后，平行于地面向前运动了5米至点，又进入下坡段.已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求的长.
8．[2025新乡模拟]小华家安装了一个截面为抛物线形的遮阳棚，在学习完二次函数知识后，小华想借助这个遮阳棚进行探究活动，通过测量、计算，将相关信息整理如下，请仔细阅读，并完成相应的任务.
素材一：如图1，曲线为遮阳棚，为支架，为落地窗（，，三点共线），，，，遮阳棚的跨度.已知曲线所在的抛物线与抛物线的形状相同，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
素材二：如图2，为加固遮阳棚，要安装支撑架和，其中点在上，点在曲线上，且.
图1 图2
任务1：．求素材一中曲线所在抛物线的函数表达式.
任务2：．小华的爸爸找来一根长的木棍作为支撑架，是否符合素材二中的要求？若符合，请通过计算加以说明；若不符合，请说明理由.
中档题型组合练9 （河南中档解答题6选4）
1．实验中学九年级（1）班和（2）班进行了一次数学测试，两班前5名的成绩分别是：
九（1）班：92，86，85，85，77；
九（2）班：92，89，85，85，79.
两班前5名成绩的有关统计数据如表：
平均数 中位数 众数
九（1）班 85 85
九（2）班 85 85
请解决下列问题：
（1） 填空：_ _ _ _ ，_ _ _ _ ；
（2） 计算九年级（2）班前5名成绩的方差；
（3） 已知九年级（1）班前5名成绩的方差为，根据以上信息，说明哪个班前5名的整体成绩比较好.
2．如图，四边形中，，平分.
（1） 尺规作图：过点作，交于；（不写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）的条件下，求证：四边形是菱形.
3．小星在阅读《天工开物》时,看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①）,有一横杆固定于桔槔上点,并可绕点转动.在横杆处连接一竹竿,在横杆处固定的物体,且.若图中人物竖直向下施加的拉力为,当改变点与点的距离时,横杆始终处于水平状态,小星发现与有一定的关系,记录了拉力的大小与的变化,如下表:
点 与点 的距离 1 1.5 2 2.5 3
拉力的大小 300 200 150 120
图① 图②
（1） 表格中的值是_ _ _ _ .
（2） 小星通过分析表格数据发现,用函数可以刻画与之间的关系.在如图②所示的平面直角坐标系中,描出表中对应的点,并画出这个函数的图象.
（3） 根据以上数据和图象判断,当的长增大时,拉力是增大还是减小，请说明理由.
4．春到人间，绿化争先.为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动.已知购买20棵种树苗和30棵种树苗需要1 200元，购买40棵种树苗和50棵种树苗需要2 200元.
（1） 求，两种树苗的单价.
（2） 现要购买，两种树苗共100棵，且要求购买种树苗的棵数不多于种树苗的3倍，则购买这些树苗至少需要多少元？
中档题型组合练10 （河南中档解答题6选4）
1．如图，在中， .
（1） 以线段为直径作，并在上确定一点，点在的上方，且满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2） 在（1）的条件下，连接，，交于点，求证：.
2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于和两点.
（1） 求反比例函数的解析式；
（2） 根据图象写出当时，一次函数的函数值的取值范围；
（3） 根据图象写出关于的方程的解.
3．如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点到地面的距离米，看前方一栋建筑物顶部点的仰角为 ，且点与建筑物的水平距离为20米.
（1） 求建筑物的高度（结果精确到0.1米）；
（2） 驾驶员从点看地面的斑马线两端，的俯角分别是 和 ，若每个人所占斑马线的水平宽度按0.5米计算，求行人在斑马线上横排并行时的最多人数.（参考数据：，，）
4．已知抛物线的顶点纵坐标比抛物线的顶点纵坐标大2.
（1） 求的值.
（2） 点在抛物线上，点在抛物线上.
（ⅰ） 求关于的表达式；
（ⅱ） 当时，求的最小值.
中档题型组合练11 （河南中档解答题6选4）
1．如图，在中， ， ，的平分线交于点.
（1） 利用尺规作出的外接圆，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）的条件下，判断直线与的位置关系，并加以证明.
2．公园是周围市民健身散步的好去处，在某公园入口处有两条路线可以到达山顶.观景台在凉亭的正东方向，在入口的东北方向.凉亭在入口的西北方向，山顶在凉亭的北偏东 方向，在观景台的北偏西 方向，小明沿路线跑步到达山顶，与沿步行到山顶的爸爸汇合.已知米.（参考数据：，，）
（1） 求观景台到山顶的距离（结果保留根号）.
（2） 若小明跑步的速度为120米/分钟，爸爸步行的速度为80米/分钟，两人同时从处出发，则爸爸和小明谁先到达山顶？请说明理由.（结果保留小数点后一位）
3．为了培养学生关爱社会、乐于奉献的精神，学校组织了一场慈善义卖活动，所筹款项将被捐给本地孤儿院的孩子们.九年级二班的学生们决定通过售卖手工艺品来贡献自己的力量.经过集体讨论，他们选择了两种手工艺品——手工编织的围巾和手工制作的扇子来进行义卖.以下是他们的采购情况总结：第一次采购，学生们购买了毛线和精品竹条，总共花费了210元；第二次采购，学生们购买了毛线和精品竹条，这次的总费用达到了400元.
（1） 毛线的单价和精品竹条的单价各是多少元？
（2） 销售完前两次制作的手工产品后，同学们决定开展第三次义卖活动，购进毛线和精品竹条一共，且投入的资金不超过1 300元，最少需要购进精品竹条多少千克？
4．综合与实践
问题情境：
如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验.小球从斜坡底端的点处以一定的方向弹出，小球的飞行路线可以看作抛物线的一部分，小球刚好落到斜坡上的点处.
建模分析：
以过点的水平直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.分析图象得出，小球飞行的水平距离（米）与小球飞行的竖直高度（米）的几组对应值如表，且点的坐标为.
米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
米 0 0.875 1.5 1.875 2 1.875 1.5
图1
问题解决：
（1） 求小球飞行的竖直高度（米）与水平距离（米）的函数表达式；
（2） 如图2，求小球在飞行过程中，距坡面的最大铅垂高度；
图2
（3） 如图3，点为小球运动轨迹上的动点（点不与，重合），连接，，直接写出面积的最大值.
图3
中档题型组合练12 （河南中档解答题6选4）
1．小王想从甲、乙两家快递公司中选一家做快递员，为了解这两家公司快递员的收入情况，小王从两家公司各抽取10名快递员的月收入，利用收集的数据绘制成如图所示的统计图：
根据以上统计图，对数据进行分析如表：
平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差
甲公司 6 6 1.49
乙公司 5.8 4
（1） _ _ _ _ ，_ _ _ _ .
（2） 计算乙公司10名快递员月收入的方差.
（3） 根据表格中的数据，小王应选哪家快递公司做快递员？说明理由.
2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，的长为半径作，交轴于点，连接.
（1） 求反比例函数的表达式；
（2） 求扇形的半径及对应圆心角的度数；
（3） 求图中阴影部分的面积.
3．某公司生产一批玩具，其中摆件445箱，挂件130箱.
（1） 现计划租用，两种货车共15辆（两种货车都要租），一次性将玩具送往仓库，已知种货车可装摆件35箱和挂件10箱，种货车可装摆件15箱和挂件15箱，则一共有几种租车方案？
（2） 在（1）的条件下，种货车每辆需运费860元，种货车每辆需运费740元，怎样租车才能使总运费最少？并求出最少运费.
4．如图1，公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水流也随之上下平移，图2是其示意图，开始喷水后，若喷水口在处，水流落地点为，，若喷水口上升到处，水流落地点为，记长度为.如图2，以所在直线为轴，所在直线为轴，为原点，建立平面直角坐标系，若喷水口在处，，.
图1 图2
（1） 求过点的抛物线形水流最高点与点之间的水平距离及水流所在抛物线的函数表达式.
（2） 身高的小红要从喷水口在处的水流下某点经过，为了不被水喷到，该点与点的水平距离应满足什么条件？请说明理由.
中档题型组合练13 （河南中档解答题6选4）
1．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动.为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（分）分为5组：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分.现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了2个小组的学生得分进行整理，绘制统计图表如下：
平均数/分 中位数/分 众数/分
第1小组 3.9 4
第2小组 4 5
请根据以上信息，解答下列问题：
（1） 在第2小组得分扇形统计图中，1分所对应扇形的圆心角度数是_ _ _ _ ；
（2） 表中_ _ _ _ ，_ _ _ _ ；
（3） 已知该校共有2 000名学生，以这2个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校竞赛成绩不低于90分的学生人数.
2．如图，建筑物上有一高为的旗杆，从处观测旗杆顶部的仰角为 ，观测旗杆底部的仰角为 ，求建筑物的高为多少米.（结果保留小数点后一位.参考数据，，）
3．如图,一次函数的图象交轴于点,交反比例函数的图象于点.将一次函数的图象向下平移个单位长度,所得的图象交轴于点.
（1） 求反比例函数的表达式;
（2） 当的面积为3时,求的值.
4．已知二次函数（为常数）.
（1） 若图象经过点，判断图象是否经过点，并请说明理由；
（2） 设该函数图象的顶点坐标为，当的值变化时，求与的关系式；
（3） 若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值.
中档题型组合练14 （河南中档解答题6选4）
1．某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙、丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据（单位：分），并对所得数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息.
.甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图：
.丙民宿“综合满意度”评分分别为，，，，，，，，，.
.甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数如表：
甲 乙 丙
平均数 4.5 4.2
中位数 4.7 4.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 表中的值是_ _ _ _ ，的值是_ _ _ _ .
（2） 设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，，说明，，之间的大小关系.
（3） 根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由.
2．如图，已知.
（1） 用直尺和圆规作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）的条件下，若， ，求的半径.
3．某公司每月生产甲、乙两种果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表：
甲 乙
成本 12元/瓶 4元/瓶
售价 18元/瓶 6元/瓶
（1） 如果该公司计划四月份投入成本不超过216万元，怎样安排甲、乙两种果汁的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润.
（2） “五一”期间，为扩大销量，该公司针对乙种果汁推出优惠活动，方案如下：
方案一：购买乙种果汁一律打9折；
方案二：购买168元的会员卡后，乙种果汁一律8折.
某超市到该公司购买乙种果汁，请帮该超市设计出合适的购买方案.
4．【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度.
【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具.
【实践活动】某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，，，且，，，在同一水平面上.经过多次测量，得到如下数据：，， ， .
【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）.
（1） 求，两点间的距离；
（2） 求该条待建环山路的长度（结果保留）.
（参考数据：，，，）
中档题型组合练15 （河南中档解答题6选4）
1．如图，在正方形中，对角线与相交于点.
（1） 在上求作点，使得点到，的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）的条件下，若，求点到的距离.
2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数的图象与轴，轴分别交于点，.
（1） 求反比例函数和一次函数的表达式；
（2） 在反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标.
3．为实现“绿水青山就是金山银山”的理念，甲市建了多个湿地公园.某区湿地公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道，经测量，点在点的正东方向.点在点的正北方向，米.点在点的东北方向，在点的北偏东 方向，米.
（1） 求步道的长度.
（2） 小王从点步行到点.他可以从点经过点到点，也可以从点经过点到点.请计算说明他走哪一条路较近.（精确到个位，参考数据：，）
4．音乐喷泉的喷头在垂直于地面的方向上随着音乐变化而上下移动.不同高度的喷头喷出来的水柱形状可以看作抛物线的一部分，形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧.图1是当喷头在地面上时（喷头最低），其抛物线形水柱的示意图，水的落地点离喷头的距离为，水柱最高点离地面.图2是某一时刻时，水柱的示意图.为喷水管，为喷头所在位置，为水的落地点，记长度为喷泉跨度.
图1 图2
（1） 在图1中，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
（2） 在图2中，若喷水管最高可伸长到，求喷泉跨度的最小值.
中档题型组合练16 （河南中档解答题6选4）
1．在中, , ，的平分线交于点，如图1.
图1 图2
（1） 求的度数；
（2） 已知,分别以,为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于点,,作直线交于点,交的延长线于点，如图2,求的长.
2．如图，在平面直角坐标系中，、两点在轴的正半轴上，以为边向上作正方形，顶点在直线上，反比例函数的图象经过点，且与边交于点.
（1） 若，求的值和点的坐标.
（2） 连接，.
① 若的面积为24，求的值.
② 是否存在某一位置使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
3．综合与实践：
小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习.
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光从水槽边处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水.（直线为法线，为入射光线，为折射光线）
【测量数据】
如图，点，，，，，，，，在同一平面内，测得， ，折射角 .
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1） 的长为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 求，之间的距离（结果精确到）.（参考数据：，，）
4．在平面直角坐标系中，已知抛物线且过点.
（1） 求该抛物线的对称轴（用含的代数式表示）；
（2） 在该抛物线上存在两点，，当时，总有，求的取值范围.
【参考答案】
突破二 中档解答题
题型二 统计题
1．（1） 20； 15
（2） 解：（万件），.
（3） （万件），
故估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有3 200万件.
2．（1） 10.1
（2） 解：.理由如下：
由题意知，， 在城市抽取的快递企业中，4月份收入的中位数为11.5百万元， 不低于11.5百万元的数据有13个， 高于平均数（11.0百万元）的企业的个数，.
（3） （百万元）.
故估计城市所有快递企业在4月份的总收入为2 200百万元.
3．任务1： 解：40.
任务2： ，
故乙园样本数据的平均数为6.
任务3：
任务4： 乙园的柑橘品质更优，理由如下：
由样本数据的频数分布直方图得，乙园一级柑橘所占比例大于甲园，因此可以认为乙园的柑橘品质更优.
（理由合理即可）
4．（1） 7.7； 6； 7.5；
（2） 解：我认为小罗应该选择，理由如下：从语言交互能力得分来看，和的平均数一样，但是的中位数和众数均高于；从数据分析能力得分来看，的平均数高于，且的中位数也大于.（理由合理即可）
（3） 还需要了解两个人工智能产品的安全性、准确性、运算速度与效率等方面.（答案不唯一）
5．（1） 解：（万件），C产品的年产量为（万件），
调整前A产品的年产量为（万件）.
（2） ,的值分别为25，28.
（3） 方案甲的总成本为（万元），
方案乙的总成本为（万元），
，
甲种方案总成本较低.
6．（1） 解：七年级的平均成绩为（分）.
八年级的平均成绩为（分）.
（2） 从平均数来看，，则八年级的成绩比七年级的成绩好.
（合理即可）
（3） .
答：估计该校七、八年级共有672名学生获得A等级.
任务2： 8； 86
任务3： 小华的成绩在自己的学校排名更靠前，理由如下：
小明的成绩（82.5分）在甲校学生的测试成绩的中位数以下，小华的成绩（82.5分）在乙校学生的测试成绩的中位数以上，因此小华的成绩在自己的学校排名更靠前.
8．（1） 30； 3.6； 3.5
（2） 解：.
答：估计全班学生能达到“最多投中数”的有28名.
（3） 八年级（3）班学生的投篮水平更高一些，理由如下：
两个班投中次数的平均数相同，而八年级（3）班投中次数的众数比八年级（6）班的高，投中次数的方差小于八年级（6）班，说明水平更稳定，故八年级（3）班学生的投篮水平更高一些.（合理即可）
题型三 反比例函数综合题
类型1 反比例函数的图象与性质
1．（1） ，.
（2） .
2．（1） 解：反比例函数的表达式为.
（2） 易知点，关于原点对称，
点的坐标为，
当直线经过点时，，，
当直线经过点时，，，
结合函数的图象可知，当时，直线与直线的交点在线段上，如图所示.
的取值范围是.
类型2 反比例函数与几何图形结合
3．（1） ，，.
（2） .
4．（1） 解：反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
（2） 观察函数图象知，不等式的解集为或.
（3） 由（1）可知，设点的坐标为，则，
，
，
，
当时，取得最大值，为4，
此时.
5．（1） 如图，点即为所求作.
（2） ，
反比例函数的表达式为.
（3） .
类型3 反比例函数图象中的阴影部分面积问题
6．（1） 反比例函数的解析式是.
（2） .
（3） .
7．（1） .
（2） 扇形的圆心角的度数为 .
（3） 阴影部分的面积为.
8．（1） .
（2） 解：如图，设圆弧与交于点，连接，作轴于，
，.，
.
， .
，，
.
， .
.
.
又，，，
图中阴影部分的面积 .
题型四 尺规作图题
类型1 基本尺规作图
1．（1） 解：如图.
（2） 证明：由（1）知.
，，
.
四边形是平行四边形.
.
由条件可知.
.
四边形是平行四边形.
，是菱形.
2．（1） 解：如图.
（2） 证明：在和中，
，.
3．（1） 解：如图.
（2） 四边形是菱形.
证明：由条件可知，， ，
， ，
由条件可知 ，
，
四边形是平行四边形，
，
， 四边形是菱形.
4．（1） 解：如图.
（2） 证明：，.
，
由作图可知，，
.
，，
，.
（3）
5．（1） 解：如图.
（2） 证明： 直线为线段的垂直平分线，.
，，，
.
，
，
.
6．（1） 解：如图.
（2） 连接，为的直径，
，
，
，
点为中点，，
为等边三角形，
，，
，
， ，
，
， ，
，
，
弧的长度为 .
7．（1） 如图.
（2） .
8．（1） 解：如图.
（2） ① 证明：由条件可知是的中位线，，，
，，
，
四边形是平行四边形.
② .
9．（1） 解：.
.
（2） 如图.
（3） 证明：根据平移的性质，得，，，
根据作图得，
，，
.
类型2 与圆有关的尺规作图
10．（1） 解：如图.
（2） 如图，连接，由（1）知 .
， ，
，
，
，
，
.
11．（1） 解：如图.
（2） .
证明：如图，
，为半径，
是圆的切线，
由（1）可知，是圆的切线，
，平分，
，
四边形是矩形，
，，
，
，，
，
又，
.
12．（1） 如图.
（2） 这个圆形截面的半径为.
13．（1） 解：如图.
（2） ① 证明：如图，连接交于.
是切线，为半径，
，
平分，
，
，
，，
.
② 是直径，
，
易得四边形是矩形，
，
在中，，
残缺圆的半圆面积 .
类型3 尺规作图综合应用
14．（1） 解：如图.
（2） 且.
理由：由（1）可知，垂直平分线段，，
，，
又 ，
，
，，
，
，
，.
15．（1） 解：如图.
（2） 如图，点即为所求.
（3） 过点作于点，
由条件可知，
在中，，
，，
由条件可知 ，
，，
，
的半径为2.5.
题型五 方程、不等式、函数应用题
类型1 方程、不等式的实际应用问题
1．（1） 长款服装购进30件，短款服装购进20件.
（2） 当购进120件短款服装，80件长款服装时获得最大利润，最大利润是4 800元.
2．（1） 解：16元.
（2） 元.
（3） （元），
， 该户居民3月份用水超过10立方米.
设该户居民3月份用水立方米，
，
解得.
答：该户居民3月份用水14立方米.
3．（1） 甲数据中心的数据迁移速度为/小时，乙数据中心的数据迁移速度为/小时.
（2） 甲数据中心至少需要工作6小时.
4．（1） 每千克春茶的进价为320元，每千克秋茶的进价为240元.
（2） ① 购进春茶30千克，秋茶20千克，销售完后获得的利润最大，最大利润是3 600元.
② 全部销售完后的利润率是.
5．（1） 剪去的小正方形的边长为.
（2） ① 该收纳盒的高为.
② 不能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，理由略.
类型2 函数的实际应用问题
6．（1） 交点表示的实际意义是当骑行时间为时，，两种品牌的共享电动车收费都为8元.
（2） 选择品牌共享电动车更省钱.
理由略.
（3） 当的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元.
7．（1） 与之间的函数关系式为，自变量的取值范围为.
（2） 自行车车棚的长为12米，宽为9米.
（3） 停车区的面积为72平方米，充电区的面积为48平方米.
8．（1） 关于的函数表达式为.
（2） 他不能撬动这块石头.理由略.
题型六 解直角三角形应用题
类型1 仰角、俯角
1．解：延长交于点，则，
由题意得米，米，
设米，则米，
在中， ，
米，
在中， ，
米，
，解得，
米，
（米），
塔的高度为37米.
2．解：由题意得，，，
，
，，
.
，
，，
，
.
答：文王铜塑的高度约为.
3．解：过点作于点，则 ，
由题意可知，，，
在中， ， ，，
在中， ，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
两幢楼楼顶，之间的距离约为.
4．解：延长交直线于点，则，
由题意得，，
设，则，
在中， ，
，
在中， ，
，
，解得，
，
，
即红云金顶峰脚到峰顶的垂直高差约为.
类型2 方向角
5．（1） 解： 在中， ， ，海里，海里，海里，
（海里）.
答：，之间的距离为8海里.
（2） 在中， ， ，海里，
（海里），
海里，海里.
答：甲岛东、西两端的距离为海里.
6．（1） 解：如图，过点作，交的延长线于点，
由题意得 ， ，千米，
千米，千米，
千米，
千米.
答：，之间的距离为千米.
（2） 小明先到达点.理由如下：
如图，设交于点，过点作于点，
由题意得 ， ，， ，
，
由（1）可知， ，
，
千米，千米，
千米，千米，
千米，
在中，千米，
路线一所需时间为（小时），
路线二所需时间为（小时），
， 小明先到达点.
类型3 综合应用
7．解：.
.
由条件可知.
，
.
答：的长为.
8．（1） 解：.
答：立柱的高度约为.
（2） 过点作于点，
在中，，
，
点到地面的高度，
.
答：墩墩至少要跳约0.57米才能摸到篮圈.
题型七 二次函数的图象与性质
类型1 二次函数的图象与性质
1．（1） 解：.
（2） 抛物线的开口向上， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，，，
.
2．（1） 解：.
（2） .
（3） 由（1）得.
①令，得.当时，，当时，，满足题意.
②若，
则可得.
的取值范围为或.
3．（1） 解：抛物线的表达式为
（2） 设，
将点向上平移2个单位长度得到点，，
关于原点对称的点的坐标为，
在抛物线上，
，，
点的坐标为或.
（3） 平移后的抛物线解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，，.
4．（1） ① 解：.
② 证明： 抛物线经过点，，
，，
，
，
，即.
（2） 甲的观点正确.
理由：， 当时，，
不论取何值，抛物线必过定点.
乙的观点正确.
理由：，
顶点坐标为，
令由得，
代入得，
不论取何值，原抛物线的顶点都在一条固定的抛物线上运动，该固定抛物线的解析式为.
类型2 二次函数的实际应用
5．（1） 解：抛物线的解析式为
（2） 不能，理由：当时，解得（舍去），，
，
小刚在此次训练中不能得到满分.
（3） 设调整后抛物线的解析式为，
当时，，
令，解得，
的取值范围为.
6．（1） 解：抛物线的表达式为.
（2） 需要截取.如图，过点作，交抛物线于点，
由题意得，
点，是的四等分点，
，
当时，，
点的坐标为，
，.
，
需要截取，应该截掉.
7．（1） 解：.
（2） 当时，，
，.
，.
.
抛物线的形状与抛物线完全相同，，
抛物线可以看作是由抛物线向右平移11个单位长度得到的.
，，即的长为15米.
8．任务1： 解：曲线所在抛物线的函数表达式为.
任务2： 找来的木棍不符合要求.理由如下：
设点的横坐标为，则点的横坐标为，
，，又，
直线的解析式为.
点在抛物线上，点在直线上，且，
，整理，得，
，
该方程无实数根，
不存在的值使得，
即小华的爸爸找来的木棍不符合要求.
中档题型组合练9 （河南中档解答题6选4）
1．（1） 86； 85
（2） 19.2.
（3） 解：因为九（2）班前5名成绩的平均数比九（1）班高，且九（2）班前5名成绩的方差比九（1）班小，所以九（2）班前5名的整体成绩比较好.
2．（1） 解：如图.
（2） 证明：，，
四边形是平行四边形，
平分，，
，
，
， 四边形是菱形.
3．（1） 100
（2） 解：如图所示.
（3） 减小，理由如下：
由题意得，，，
， 在第一象限内，随的增大而减小，
即当的长增大时，拉力减小.
4．（1） 解：种树苗的单价为30元，种树苗的单价为20元.
（2） 设购买棵种树苗，则购买棵种树苗，
根据题意得，
解得，
设购买这些树苗需要元，则，
即，
，随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值为.
答：购买这些树苗至少需要2 250元.
中档题型组合练10 （河南中档解答题6选4）
1．（1） 解：如图.
（2） 证明：如图所示，
，，
，，
，
，，
，.
2．（1） 反比例函数的解析式为.
（2） .
（3） 或.
3．（1） 解：过作于，
则米，米，
在中，（米），
米.
答：建筑物的高度约为28.7米.
（2） 在中， ，
（米），
在中， ，
（米），
（米），
.
答：行人在斑马线上横排并行时的最多人数为10.
4．（1） 解：.
（2） （ⅰ） 由条件可知，.
将代入，
可得，整理得.
（ⅱ） ，，
随的增大而减小，
， 当时，取得最小值，最小值为.
中档题型组合练11 （河南中档解答题6选4）
1．（1） 解：如图.
（2） 直线是的切线，证明如下：
连接，
， ，
，
平分，
，
，
，，
，，
，
由作图知，
是等边三角形，
，
，
，
是半径，
直线是的切线.
2．（1） 解：过点作于点，过点作于点，
在中，
米，
米，
在中， ，
米，
米，
米，
设米，
在中， ， ，
米，
米，
在中， ， ，
米，
米，
，
，
解得，
（米）.
答：观景台到山顶的距离为米.
（2） 小明先到达山顶，理由如下：
由（1）知（米），
（米），
小明所用时间为（分钟），爸爸所用时间为
（分钟），
， 小明先到达山顶.
3．（1） 解：毛线的单价是20元，精品竹条的单价是3元.
（2） 设购进精品竹条，则购进毛线，
根据题意得，解得，
的最小值为100.
答：最少需要购进精品竹条.
4．（1） 解：.
（2） 设直线对应的函数表达式为,
点在该直线上，
，.
设小球在飞行过程中，距坡面的铅垂高度为米，
则，
，
当时，取最大值，为，即米.
答：小球在飞行过程中，距坡面的最大铅垂高度为米.
（3） 的最大值为.
中档题型组合练12 （河南中档解答题6选4）
1．（1） 5.9； 5
（2） 解：.
（3） 选甲公司，理由如下：
因为甲、乙两家快递公司快递员月收入的平均数相差不大，但是甲公司快递员月收入的中位数和众数都大于乙公司，且甲公司快递员月收入的方差小，更稳定，所以小王应选甲公司做快递员.
2．（1） 反比例函数的表达式为.
（2） ，半径为.
（3） .
3．（1） 解：设租用种货车辆，则租用种货车辆，
则
解得，
现计划租用，两种货车共15辆，
，
故共有4种租车方案：种货车分别租11，12，13，14辆，种货车对应租4，3，2，1辆.
（2） 租用种货车11辆，种货车4辆总运费最少，运费最少是12 420元 .
4．（1） 解：过点的抛物线形水流所在抛物线的函数表达式为，
最高点与点之间的水平距离为.
（2） 该点与点的水平距离要大于小于，理由如下：
令，得.
或，
为了不被水喷到，该点与点的水平距离要大于小于.
中档题型组合练13 （河南中档解答题6选4）
1．（1） 18
（2） 5； 3.55
（3） 解：.
答：估计该校竞赛成绩不低于90分的学生人数为800.
2．解：由题意得，， ， ，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
在中，，
，
.
答：建筑物的高约为.
3．（1） 解： 点在一次函数的图象上，
,
,
, 反比例函数的表达式为.
（2） 如图,过点作轴,垂足为,
,.
,
,
.
一次函数的图象与轴交于点,
.
将的图象向下平移个单位长度,得到的图象对应的表达式为,
令,得,
,
,即,.
4．（1） 解：图象经过点，理由如下：
把代入中，得，解得.
此函数表达式为，
当时，.
图象经过点.
（2） 函数图象的顶点坐标是，
，.
，
把代入，
得.
（3） 把代入得，
函数图象不经过第三象限，
，即，
，
函数图象顶点坐标为，
，
当时，函数图象不经过第三象限，解得，
，
当时，函数的最小值为，
把代入得，
把代入得，
当时，
解得（不符合题意，舍去）或；
当时，
解得或（不符合题意，舍去）.
综上所述，或6.
中档题型组合练14 （河南中档解答题6选4）
1．（1） 4.5； 4.5
（2） 解：.
（3） 会将甲民宿置顶推荐，理由：甲和乙民宿“综合满意度”评分的平均数比丙民宿的高.甲民宿的“综合满意度”评分的方差比乙民宿的小，说明甲民宿的评分比较稳定，波动不大.故会将甲民宿置顶推荐.（合理即可）
2．（1） 解：如图.
（2） 连接，.
， ，
，
在中，，
，
的半径为1.
3．（1） 当甲种果汁生产17万瓶，乙种果汁生产3万瓶时，该月公司所获利润最大，最大利润为108万元.
（2） 当购买乙种果汁小于280瓶时，选择方案一；当购买乙种果汁280瓶时，两个优惠方案所需费用相同；当购买乙种果汁大于280瓶时，选择方案二.
4．（1） 解：连接，过点作，垂足为点.
，
，.
在中，，
.
.
（2） 连接.
，
， .
，
.
的长.
答：该条待建环山路的长度为.
中档题型组合练15 （河南中档解答题6选4）
1．（1） 解：如图.
（2） 过点作于点.
四边形是正方形，
，， ，
，，
，
，
，
，
，，
点到的距离是.
2．（1） 解：反比例函数的表达式为.
一次函数的表达式为.
（2） 易知，，
，
，
设，，
解得，
点的坐标为或.
3．（1） 解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，
则 ，四边形是矩形，
，，
， ，
（米），
米，
，
是等腰直角三角形，
（米）.
答：步道的长度约为848米.
（2） 由（1）可知，（米），米，
（米），
（米），
又（米），
，
小王从点经过点到点较近.
4．（1） 解：抛物线的函数表达式为
（2） 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图.
根据题意设图中抛物线的顶点坐标为，
则此时的抛物线的函数表达式为，
当喷水管伸长到时，
抛物线过点，
，
解得（舍负），
由，得，
解得或（不合题意，舍去），，
即喷泉跨度的最小值为.
中档题型组合练16 （河南中档解答题6选4）
1．（1） 解：在中， ， ，
，
平分，
，
.
（2） 在中， ， ，，
.
在中， ， ，，
，.
由（1）知， ，
，
由作图过程可知，垂直平分，
，，
.
2．（1） 解：，.
（2） ① 设，则，
把代入，得，，
，
，
，
解得，（舍去）.
故.
② 不存在，理由如下：
假设存在，由，得，
，，
，
，
设，
则，同（2）①可知，
，解得，，
，
不存在某一位置使得.
3．（1）
（2） 解：由题意可知，，
又 ，
，
.
，之间的距离约为.
4．（1） 解：该抛物线的对称轴为直线.
（2） 将代入，
得，
，
，
抛物线的解析式为，
①当时，抛物线对称轴在轴左侧，
.若，即，抛物线的大致图象如图1，
图1
则，，
；
.若，即，则，抛物线的大致图象如图2，
图2
，
点，均在对称轴的右侧，且，即，
.
②当时，抛物线对称轴在轴右侧，
.若，即，则，抛物线的大致图象如图3，
图3
点，均在对称轴的右侧，且，即，
；
.若，即，则，抛物线的大致图象如图4，
图4
点，均在对称轴的右侧，
和的大小关系不确定，
和的大小关系不确定，不符合题意；
.若，即，抛物线的大致图象如图5，
图5
此时，不符合题意.
综上，的取值范围是且.
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题型二 统计题
1．[2025河南模拟]菲菲从某省的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量.
【数据收集与整理】
A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
每天可分拣的快递数量/万件 16 17 20 22 23
机器人台数/台 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如表：
众数/万件 中位数/万件 平均数/万件
型号 14和16 15
型号 20
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1） _ _ _ _ ，_ _ _ _ ；
（2） 请计算表中的值；（需要写出计算过程）
（3） 若该省投放市场的型号智能机器人有80台，型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件.
2．[2025濮阳二模]为了解城市和的快递企业运营情况，相关机构对两城市各随机抽取25家快递企业，并对收入数据（单位：百万元）进行调查以及深入分析.
基于上述背景，研究人员获得了以下部分数据：
.城市快递企业4月份收入的频数分布直方图如下：
.城市快递企业4月份收入的数据在这一组的是，，，，，，，.
，两城市快递企业4月份收入的平均数和中位数如下表所示：
平均数/百万元 中位数/百万元
城市 10.8
城市 11.0 11.5
请根据以上信息，回答下列问题：
（1） _ _ _ _ .
（2） 在城市抽取的快递企业中，将4月份收入高于平均数（百万元）的企业的个数记为.同样，在城市抽取的快递企业中，将4月份收入高于平均数（百万元）的企业的个数记为.请比较和的大小，并说明理由.
（3） 假设城市共有200家快递企业，请根据样本数据估计城市所有快递企业在4月份的总收入.
3．[2025鹤壁模拟]综合与实践
某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园.在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考.
【数据收集与整理】
从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个.在技术人员指导下测量每个柑橘的直径作为样本数据.柑橘直径用（单位：）表示.
将所收集的样本数据进行如下分组：
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下：
图1 图2
任务1：．求图1中的值.
【数据分析与运用】
任务2：．，，，，五组数据的平均数分别取4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数.
任务3：．下列结论一定正确的是_ _ _ _ （填正确结论的序号）.
①两园样本数据的中位数均在组；
②两园样本数据的众数均在组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等.
任务4：．结合市场情况，将，两组的柑橘认定为一级，组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次.试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由.
4．[2025郑州高新区模拟]随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活.市场上也涌现出了各类人工智能产品.经过市场调研，小罗决定从，两个人工智能产品中选择一个进行使用.以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对，两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下：
信息一：语言交互能力得分（满分10分）.
信息二：数据分析能力得分（如图）（满分10分）.
信息三：语言交互能力和数据分析能力得分统计表.
语言交互能力得分 数据分析能力得分
平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差
8 8 7.0
7.7 7.5 6.9 7
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 填空：_ _ _ _ ，_ _ _ _ ，_ _ _ _ ，_ _ _ _ （填“ ”或“ ”）.
（2） 通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品？至少从两个角度说明理由.
（3） 你认为小罗还需要了解哪些信息？举例说明（列出一条即可）.
5．某工厂生产A,B,C,D四种产品.为提升产品的竞争力,该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程,降低成本；对其他种类的产品增加研发投入,提升品质.经研究,该工厂做出了甲、乙两种调整方案,这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响.
下面是该工厂这四种产品的部分信息:
.调整前,各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）.
图1 图2
.各产品单件成本的核算情况统计表及说明.
A B C D
调整前单件成本/元 18 26 20 36
调整后单件成本/元 方案甲 13 22 40
方案乙 16 18 32
说明:对于统计表中的数据,方案甲的平均数与调整前的相同,方案乙的中位数与调整前的相同.
根据以上信息,解答下列问题:
（1） 求调整前A产品的年产量；
（2） 直接写出,的值;
（3） 若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同,请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低.
6．为了解中学生对我国国防安全的知晓情况，某中学在本校七、八年级学生中开展了“国防安全”的知识竞赛，并将最终成绩分为A，B，C，D，五个等级，相应等级得分分别为5分，4分，3分，2分，1分.校团委在七、八年级学生答卷中各随机抽取50人的成绩进行分析，并将抽取出来的成绩整理并绘制成统计图如下.
根据以上信息回答下列问题：
（1） 分别求出七年级和八年级的平均成绩.
（2） 从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何评价这两个年级的成绩？（写出一条即可）
（3） 若该校七、八年级学生各有1 200人，请估计该校七、八年级共有多少名学生获得A等级.
7．[2025新乡模拟]【项目背景】
为了解学生对校园安全的认识和掌握情况，某地对甲、乙两校的部分学生进行了调查统计，为校园安全质量的提升提供一些参考.
【数据收集与整理】
从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行测试（满分100分），测试后对学生的成绩（单位：分）进行了整理和分析.部分信息如下：
信息一：根据学生的成绩绘制了两幅不完整的统计图.（数据分组：A组，；B组，；C组，；D组，）
信息二：甲校学生的测试成绩在C组的是80，，，85，87，89，，，85.
信息三：甲、乙两校学生的测试成绩的平均数、中位数、众数如下表.
平均数 中位数 众数
甲 84.2 82.5
乙 81.6 81 80
任务1：．补全频数分布直方图.
【数据分析与运用】
任务2：．乙校学生的测试成绩位于C组的人数为_ _ _ _ ，表格中_ _ _ _ .
任务3：．在此次测试中，甲校小明和乙校小华的成绩均为82.5分，则两位同学谁在各自学校测试成绩中的排名更靠前？请说明理由.
8．[2024南阳二模]某学校在“体育节”期间举行投篮比赛活动.学校在每班随机抽取10名学生参加，规定每人投篮10次.下面对八年级（3）班10名参赛学生的投中次数进行了收集、整理和分析.
【收集数据】3，2，1，4，3，5，6，4，3，5.
【整理数据】
投中次数 1 2 3 4 5 6
频数 1 2 2 1
根据上面整理的数据，制作了不完整的扇形统计图如图.
【分析数据】
平均数 中位数 众数 方差
八年级（3）班 3 2.04
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1） _ _ _ _ ，_ _ _ _ ，_ _ _ _ .
（2） 根据扇形统计图，将投中次数所占百分比不低于的记为“最多投中数”，学校通过“最多投中数”来评估八年级（3）班学生的投篮情况.若八年级（3）班共有40名学生，估计全班学生能达到“最多投中数”的有多少名.
【数据应用】
（3） 八年级（6）班10名参赛学生的投中次数的相关信息如表：
平均数 中位数 众数 方差
八年级（6）班 3.6 4 2 3.64
根据以上两个班投中次数的统计量，你认为哪个班学生的投篮水平更高一些？并给出一条合理的解释.
题型三 反比例函数综合题
类型1 反比例函数的图象与性质
1．[2025许昌一模]如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且与轴交于点，第一象限内的点在反比例函数的图象上，且以点为圆心的圆与轴，轴分别相切于点，.
（1） 求和的值；
（2） 根据图象，当时，直接写出的取值范围.
2．[2025郑州高新区模拟]如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的坐标是.
（1） 求反比例函数的表达式；
（2） 设直线与反比例函数的图象的交点横坐标分别为，，与直线的交点横坐标为，若，求的取值范围.
类型2 反比例函数与几何图形结合
3．[2025新乡二模]一次函数的图象经过点，交反比例函数的图象于点.
（1） 求，，的值；
（2） 点在反比例函数的图象上，若，直接写出的横坐标的取值范围.
4．[2025郑州模拟]如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点.
（1） 求反比例函数和一次函数的解析式；
（2） 根据图象直接写出不等式的解集；
（3） 设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出面积的最大值.
5．[2025郑州金水模拟]如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于点，，点在第一象限，点是轴正半轴上一点，菱形的边与反比例函数的图象交于点，且.
（1） 利用无刻度的直尺在反比例函数的图象上作出点，使（不写作法，保留作图痕迹）；
（2） 求的值和反比例函数的表达式；
（3） 将菱形向下平移，当点落在反比例函数的图象上时，平移的距离为_ _ _ _ _ _ .
类型3 反比例函数图象中的阴影部分面积问题
6．[2024安阳一模]如图所示，矩形的边在轴上，在轴上，点的坐标是.反比例函数的图象经过点，以点为圆心，长为半径作交边于点，连接.
（1） 求反比例函数的解析式；
（2） 求的度数；
（3） 请直接写出图中阴影部分的面积.
7．[2024安阳二模]如图，菱形的顶点为坐标原点，点在轴上，点，，点为反比例函数图象上一点.
（1） 求的值；
（2） 将菱形以点为旋转中心逆时针旋转，使点的对应点落在轴负半轴上，求扇形的圆心角的度数；
（3） 在（2）的条件下，请直接写出图中阴影部分的面积.
8．[2025洛阳模拟]如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过上的点，已知.
（1） 求的值；
（2） 连接，以点为圆心，长为半径画弧，求图中阴影部分的面积.
题型四 尺规作图题
类型1 基本尺规作图
1．[2025安阳滑县二模]如图，在四边形中，，.
（1） 请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）的条件下，连接，证明：四边形是菱形.
2．[2025许昌一模]如图，是等腰直角三角形， .
（1） 尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）所作的图形中，延长至点，使，连接，求证：.
3．[2025新乡模拟]如图，是矩形的对角线， .
（1） 尺规作图：作和的平分线，分别交，于点，（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；
（2） 在（1）的条件下，判断四边形的形状，并加以证明.
4．[2025平顶山一模]如图，在中，，点是延长线上一点，点，分别是，的中点.
（1） 请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）的条件下，连接并延长交于点，证明：；
（3） 当 ，时，直接写出的长为_ _ _ _ _ _ .
5．[2025郑州中原模拟]如图，.
（1） 请用无刻度的直尺和圆规作边的垂直平分线，交边于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）的条件下，若，求证： .
6．[2025河南模拟]如图，在中， ，点是的中点.
（1） 尺规作图：以线段为直径作，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）的条件下，连接，，若 ，，求弧的长度.
7．[2025信阳模拟]【操作与发现】
如图，在中， ，，点，分别是，上的点，且.
（1） 尺规作图：请根据下列要求完成作图，并标出相应的字母.（保留作图痕迹）
①作线段的垂直平分线交于点；
②在边上取一点，使得；
③连接.
【观察与思考】
（2） 在（1）的条件下，线段，，之间满足怎样的等量关系？请直接写出你发现的结论.
8．[2025郑州中原模拟]如图，在中， ，点是上一点，且，连接，点是的中点，连接.
（1） 尺规作图：作线段的垂直平分线，与的交点为.
（2） 在（1）的基础上，连接，.
① 求证：四边形是平行四边形；
② 若，，直接写出线段的长.
9．[2025洛阳三模]如图，一次函数的图象过点，与轴交于点，将线段向右平移，使点落在点处，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上.
（1） 求和的值；
（2） 点在射线上，请用无刻度的直尺和圆规作的平分线交轴于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（3） 在（2）的条件下，求证：.
类型2 与圆有关的尺规作图
10．[2025许昌模拟]如图，直线和相交，交点分别为，.
（1） 请用无刻度的直尺和圆规过点作直线的垂线（保留作图痕迹，不写作法）.
（2） 点是外一点，分别连接，，交于点，连接中所作垂线和交于点，若，且，求的度数.
11．[2025安阳滑县一模]如图，在矩形中，连接对角线.
（1） 尺规作图：根据下列要求作出.（保留作图痕迹，不写作法）
①圆心在边上；
②与边，相切.
（2） 在（1）的条件下，连接交于点，若，猜想线段和的数量关系，并证明.
12．[2025南阳一模]某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
（1） 尺规作图：请找出截面的圆心（不写作法，保留作图痕迹）；
（2） 若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为，求这个圆形截面的半径.
13．[2025驻马店驿城二模]
（1） 如图1，有一个残缺圆，请作出残缺圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）.
图1
（2） 如图2，设是该残缺圆的直径，是圆上一点，的平分线交于点，过作的切线交的延长线于点.
图2
① 求证：；
② 若，，求残缺圆的半圆面积.
类型3 尺规作图综合应用
14．[2025洛阳二模]如图，在中， .
（1） 请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在边右上方确定点，使，且满足（不写作法，保留作图痕迹）；
（2） 在（1）的条件下，连接，若，试探究和的关系，并说明理由.
15．[2025新乡二模]如图，已知及边上一点.
（1） 用无刻度的直尺和圆规在射线上求作点，使得（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）的条件下，以点为圆心，以长为半径的圆交射线于点，用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交射线于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（3） 在的条件下，若，，求的半径.
题型五 方程、不等式、函数应用题
类型1 方程、不等式的实际应用问题
1．[2025南阳一模]近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：
短款 长款
进货价/（元/件） 80 90
销售价/（元/件） 100 120
（1） 该服装店第一次用4 300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数.
（2） 第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16 800元.服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？
2．[2024河南模拟]为了加强大家的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水的收费标准（水费按月份结算）如表：
每月用水量 价格/（元/立方米）
不超出6立方米的部分 2
超出6立方米但不超出10立方米的部分 4
超出10立方米的部分 8
例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费（元）.请根据表格的内容解答下列问题：
（1） 若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费多少元？
（2） 若某户居民4月份用水立方米，请用含的代数式表示应收水费多少元.（结果需化简）
（3） 若某户居民3月份的水费为60元，则该户居民3月份用水多少立方米？
3．[2025周口项城三模]2025年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”.已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少3小时.
（1） 分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：/小时）.
（2） 现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用9小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？
4．信阳毛尖是中国十大名茶之一：春茶鲜嫩，清香高雅，适合喜欢清爽口感的人；秋茶叶老深沉，沉香味较重，适合喜欢浓重口感的人.用1 920元从信阳某茶园购进的春茶与用1 440元购进的秋茶的质量相同，每千克春茶进价比每千克秋茶进价多80元.
（1） 求每千克春茶，秋茶的进价各是多少元.
（2） 某茶叶商店计划用不超过14 400元的总费用购进春茶和秋茶共50千克进行销售，每千克春茶售价为400元，每千克秋茶售价为300元.解决下列问题：
① 怎样进货才能使销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
② 按①中的方案购进茶叶，全部销售完后的利润率是多少？
5．综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒.
【任务要求】
任务一：设计无盖长方体收纳盒.如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒.
任务二：设计有盖长方体收纳盒.如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分.
【问题解决】
图1 图2
（1） 若任务一中设计的收纳盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少厘米？
（2） 若任务二中设计的收纳盒的底面积为.
① 该收纳盒的高是多少厘米？
② 请判断能否把一个如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由.
图3
类型2 函数的实际应用问题
6．[2025安阳模拟]共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享.某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有，两种品牌的共享电动车可选择.已知品牌电动车骑行分钟，收费元，且；品牌电动车骑行分钟，收费元，且，两种品牌电动车所收费用（元）与骑行时间（分钟）之间的函数图象如图所示.
（1） 说明图中函数与图象的交点表示的实际意义.
（2） 已知王老师家与学校的距离为9千米，且王老师骑电动车的平均速度为300米/分，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由.
（3） 请直接写出当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元.
7．[2025洛阳一模]学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）.
（1） 设自行车车棚的面积为平方米，车棚的宽度为米，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围.
（2） 若车棚面积需达到108平方米，求此时自行车车棚的长和宽.
（3） 学校在规划自行车车棚时，考虑到体育馆旁的空间利用以及未来的使用便捷性，经过测量与讨论，发现当车棚的宽度为8米时，既能最大程度契合现有的场地条件，又能满足预期的停车及充电区域划分需求.已知此时停车区的宽度是充电区宽度的1.5倍，问停车区和充电区的面积各是多少？
8．如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为.设动力为（单位：），动力臂长为（单位：）.（杠杆平衡时，动力×动力臂阻力×阻力臂，撬棍本身所受的重力忽略不计）
（1） 求关于的函数表达式.
（2） 小明若想使动力不超过，在动力臂最长为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由.
题型六 解直角三角形应用题
类型1 仰角、俯角
1．[2025河南模拟]嵩岳寺塔位于河南省郑州市登封市嵩山南麓嵩岳寺内，建于北魏正光年间.某数学兴趣小组想测量塔的高度，点为塔楼底面中心，在处测得塔楼顶端的仰角为 ，沿方向前进35米到达处，又测得塔楼顶端的仰角为 ，测角仪高度米，求塔的高度.（结果精确到1米；参考数据：，，）
2．[2025安阳滑县二模]羑里城又称文王庙，是周易文化发祥地.羑里城遗址内耸立着一尊文王铜塑（如图1）.某数学兴趣小组利用测角仪和卷尺测量文王铜塑的高度.如图2，在处用测角仪测得铜塑底部的仰角 ，沿方向前进到达点处，又测得铜塑顶端的仰角 .已知铜塑底部距离水平地面的高度为，若测角仪和的高度均为，测量点，与点在同一水平线上，求文王铜塑的高度.（结果保留整数.参考数据：，，，，，）
图1 图2
3．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下，请你帮助兴趣小组解决问题.
实践报告
活动课题 测量两幢楼楼顶之间的距离
活动工具 测角仪、皮尺等
测量过程 【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端与两幢楼的底部，在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶的仰角 ，楼顶的仰角 ； 【步骤三】利用皮尺测出，
解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶，之间的距离
（参考数据：，，，）
4．梵净山位于贵州省铜仁市，其主要景点红云金顶海拔2 336米，是武陵山脉的主峰，常年云雾缭绕，被誉为现实版的“天空之城”.某校综合与实践小组利用无人机测量红云金顶峰脚到峰顶的垂直高差，制成了以下不完整的报告：
测量对象 红云金顶峰脚到峰顶的垂直高差
测量目的 运用三角函数相关知识解决生活实际问题
测量工具 无人机
测量方案 第一步：将无人机上升到距峰脚高的点处，此时测得峰顶点的俯角是 ； 第二步：控制无人机水平移动至点处，此时测得峰顶点的俯角为 ，图中各点均在同一竖直平面内
测量示意图
根据以上测量数据，求红云金顶峰脚到峰顶的垂直高差.（结果精确到.参考数据：，，）
类型2 方向角
5．[2025河南模拟]下表是有关部门对甲岛东、西两端的距离的测量方案：
测量项目 测量甲岛东、西两端的距离
测量过程 【步骤一】一艘海监船从点沿正北方向巡航，测得其航线距甲岛（，分别为该岛的西、东两端点，，，在同一条直线上）的最近距离为12海里（即海里）
【步骤二】在点测得甲岛的西端点在东北方向
【步骤三】海监船行驶4海里后到达点，测得甲岛的东端点在北偏东 方向
根据以上内容，解决问题：
（1） 求出，之间的距离；
（2） 求出甲岛东、西两端的距离.（结果保留根号）
6．[2025河南模拟]如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线：
路线一：在点登船，沿水路游览沿途风光；
路线二：先坐观光车从至，沿途游览，再在点登船，沿水路游览沿途美景.
已知点在点的东北方向，点在点的北偏东 方向，点在点的南偏西 方向，点在点的南偏东 方向，，相距20千米.（参考数据：，，）
（1） 求，之间的距离（结果保留根号）.
（2） 小聪和小明同时从点出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船的速度为10千米/小时，观光车的速度为20千米/小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点？请说明理由.
类型3 综合应用
7．[2025南阳一模]单摆是一种能够往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆有关的实验探究，并撰写实验报告如下.
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动.（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，， ，.当摆球运动至点时， ，（点，，，，，在同一平面内）
实验图示 图1 图2
解决问题：根据以上信息，求的长.
（参考数据：，，）
8．[2025河南模拟]几位同学在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动.
活动主题 研究篮球架的结构
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 篮球架（如实物图所示）的结构示意图如下： 立柱垂直于地面，横梁平行于地面，篮圈与横梁在同一直线上，点、、在同一条垂直于地面的直线上
测绘过程与数据信息 ①用测角仪在处测得后拉杆与水平面的夹角 ，在处测得伸臂与水平面的夹角 ； ②用皮尺测得后拉杆的长为，伸臂的长为，箱体的高度为； ③用计算器计算得到，，，，，
请根据表格中提供的信息，解决下列问题.（结果精确到）
（1） 求立柱的高度；
（2） 已知墩墩站立时手臂举至最高处，指尖距地面的最大高度为，若墩墩想摸到篮圈，他至少要跳多高？
题型七 二次函数的图象与性质
类型1 二次函数的图象与性质
1．[2024驻马店新蔡二模]在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，，且抛物线的对称轴为直线．
（1） 若抛物线经过点，求的值；
（2） 若对于，，都有，求的取值范围．
2．[2025郑州金水模拟]已知抛物线的对称轴为直线.
（1） 求的值；
（2） 当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求的值；
（3） 当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围.
3．[2025信阳模拟]如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点的右边），.
（1） 求抛物线的表达式；
（2） 为抛物线上任意一点，将点向上平移2个单位长度得到点，若点关于原点的对称点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标；
（3） 将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，求的取值范围.
4．已知二次函数（为常数）.
（1） 当时，
① 若，二次函数的最大值记作，最小值记作，求的值；
② 若抛物线经过点，，求证：.
（2） 两位同学尝试代入不同的值后，提出了两个观点.
甲说：“不论取何值，抛物线必过一个定点.”
乙说：“不论取何值，抛物线的顶点都在一条固定的抛物线上运动.”
请你依次判断这两个观点是否正确，并说明理由.
类型2 二次函数的实际应用
5．[2025河南模拟]根据实心球项目的评分标准，男生的投掷成绩是大于或等于10米时获得满分10分.如图，实心球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分.男生小刚利用录像设备记录了自己某次投掷练习中实心球从出手到着陆的过程，通过测量得到实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的部分数据如表所示.
水平距离 米 0 1 3.5 7
竖直高度 米 1.8 2.4 3.025 1.8
（1） 求实心球运动轨迹所在抛物线的解析式.
（2） 小刚在此次训练中能否得到满分？请说明理由.
（3） 体育老师根据视频给小刚提出了“出手高度和力度已经达到极限，要调整出手角度”的建议，体现在抛物线的解析式上可以理解为保持，的值不变，调整的值.求能使小刚得到满分的的取值范围.
6．[2025郑州二模]数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代，而智能温室大棚将成为现代农业发展进程中重要的参与者之一.某种植户对自己的温室大棚进行改造时，先将大门进行了装修，如图2所示，该大门示意图由矩形和抛物线的一部分组成，测得，，.以水平线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系.
图1 图2
（1） 求抛物线的表达式.
（2） 改造时，为了加固，要在棚内梁的四等分点，处焊接两排镀锌管支撑大棚，已知镀锌管成品每根长，问是否需要截取？若需要，应该截掉多少？
7．[2025郑州中原模拟]图1是某大型文化主题乐园中的过山车项目实景图.过山车的一部分轨道可以看成一段抛物线，以为原点，竖直方向为轴，水平方向为轴建立平面直角坐标系，其图象如图2所示，其中米，米（轨道厚度忽略不计）.
图1 图2
（1） 求左侧过山车轨道所在抛物线的函数表达式.
（2） 在轨道距离地面4.5米处有两个点和（点在点的左侧），过山车运动到点处后，平行于地面向前运动了5米至点，又进入下坡段.已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求的长.
8．[2025新乡模拟]小华家安装了一个截面为抛物线形的遮阳棚，在学习完二次函数知识后，小华想借助这个遮阳棚进行探究活动，通过测量、计算，将相关信息整理如下，请仔细阅读，并完成相应的任务.
素材一：如图1，曲线为遮阳棚，为支架，为落地窗（，，三点共线），，，，遮阳棚的跨度.已知曲线所在的抛物线与抛物线的形状相同，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
素材二：如图2，为加固遮阳棚，要安装支撑架和，其中点在上，点在曲线上，且.
图1 图2
任务1：．求素材一中曲线所在抛物线的函数表达式.
任务2：．小华的爸爸找来一根长的木棍作为支撑架，是否符合素材二中的要求？若符合，请通过计算加以说明；若不符合，请说明理由.
中档题型组合练9 （河南中档解答题6选4）
1．实验中学九年级（1）班和（2）班进行了一次数学测试，两班前5名的成绩分别是：
九（1）班：92，86，85，85，77；
九（2）班：92，89，85，85，79.
两班前5名成绩的有关统计数据如表：
平均数 中位数 众数
九（1）班 85 85
九（2）班 85 85
请解决下列问题：
（1） 填空：_ _ _ _ ，_ _ _ _ ；
（2） 计算九年级（2）班前5名成绩的方差；
（3） 已知九年级（1）班前5名成绩的方差为，根据以上信息，说明哪个班前5名的整体成绩比较好.
2．如图，四边形中，，平分.
（1） 尺规作图：过点作，交于；（不写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）的条件下，求证：四边形是菱形.
3．小星在阅读《天工开物》时,看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①）,有一横杆固定于桔槔上点,并可绕点转动.在横杆处连接一竹竿,在横杆处固定的物体,且.若图中人物竖直向下施加的拉力为,当改变点与点的距离时,横杆始终处于水平状态,小星发现与有一定的关系,记录了拉力的大小与的变化,如下表:
点 与点 的距离 1 1.5 2 2.5 3
拉力的大小 300 200 150 120
图① 图②
（1） 表格中的值是_ _ _ _ .
（2） 小星通过分析表格数据发现,用函数可以刻画与之间的关系.在如图②所示的平面直角坐标系中,描出表中对应的点,并画出这个函数的图象.
（3） 根据以上数据和图象判断,当的长增大时,拉力是增大还是减小，请说明理由.
4．春到人间，绿化争先.为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动.已知购买20棵种树苗和30棵种树苗需要1 200元，购买40棵种树苗和50棵种树苗需要2 200元.
（1） 求，两种树苗的单价.
（2） 现要购买，两种树苗共100棵，且要求购买种树苗的棵数不多于种树苗的3倍，则购买这些树苗至少需要多少元？
中档题型组合练10 （河南中档解答题6选4）
1．如图，在中， .
（1） 以线段为直径作，并在上确定一点，点在的上方，且满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2） 在（1）的条件下，连接，，交于点，求证：.
2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于和两点.
（1） 求反比例函数的解析式；
（2） 根据图象写出当时，一次函数的函数值的取值范围；
（3） 根据图象写出关于的方程的解.
3．如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点到地面的距离米，看前方一栋建筑物顶部点的仰角为 ，且点与建筑物的水平距离为20米.
（1） 求建筑物的高度（结果精确到0.1米）；
（2） 驾驶员从点看地面的斑马线两端，的俯角分别是 和 ，若每个人所占斑马线的水平宽度按0.5米计算，求行人在斑马线上横排并行时的最多人数.（参考数据：，，）
4．已知抛物线的顶点纵坐标比抛物线的顶点纵坐标大2.
（1） 求的值.
（2） 点在抛物线上，点在抛物线上.
（ⅰ） 求关于的表达式；
（ⅱ） 当时，求的最小值.
中档题型组合练11 （河南中档解答题6选4）
1．如图，在中， ， ，的平分线交于点.
（1） 利用尺规作出的外接圆，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）的条件下，判断直线与的位置关系，并加以证明.
2．公园是周围市民健身散步的好去处，在某公园入口处有两条路线可以到达山顶.观景台在凉亭的正东方向，在入口的东北方向.凉亭在入口的西北方向，山顶在凉亭的北偏东 方向，在观景台的北偏西 方向，小明沿路线跑步到达山顶，与沿步行到山顶的爸爸汇合.已知米.（参考数据：，，）
（1） 求观景台到山顶的距离（结果保留根号）.
（2） 若小明跑步的速度为120米/分钟，爸爸步行的速度为80米/分钟，两人同时从处出发，则爸爸和小明谁先到达山顶？请说明理由.（结果保留小数点后一位）
3．为了培养学生关爱社会、乐于奉献的精神，学校组织了一场慈善义卖活动，所筹款项将被捐给本地孤儿院的孩子们.九年级二班的学生们决定通过售卖手工艺品来贡献自己的力量.经过集体讨论，他们选择了两种手工艺品——手工编织的围巾和手工制作的扇子来进行义卖.以下是他们的采购情况总结：第一次采购，学生们购买了毛线和精品竹条，总共花费了210元；第二次采购，学生们购买了毛线和精品竹条，这次的总费用达到了400元.
（1） 毛线的单价和精品竹条的单价各是多少元？
（2） 销售完前两次制作的手工产品后，同学们决定开展第三次义卖活动，购进毛线和精品竹条一共，且投入的资金不超过1 300元，最少需要购进精品竹条多少千克？
4．综合与实践
问题情境：
如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验.小球从斜坡底端的点处以一定的方向弹出，小球的飞行路线可以看作抛物线的一部分，小球刚好落到斜坡上的点处.
建模分析：
以过点的水平直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.分析图象得出，小球飞行的水平距离（米）与小球飞行的竖直高度（米）的几组对应值如表，且点的坐标为.
米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
米 0 0.875 1.5 1.875 2 1.875 1.5
图1
问题解决：
（1） 求小球飞行的竖直高度（米）与水平距离（米）的函数表达式；
（2） 如图2，求小球在飞行过程中，距坡面的最大铅垂高度；
图2
（3） 如图3，点为小球运动轨迹上的动点（点不与，重合），连接，，直接写出面积的最大值.
图3
中档题型组合练12 （河南中档解答题6选4）
1．小王想从甲、乙两家快递公司中选一家做快递员，为了解这两家公司快递员的收入情况，小王从两家公司各抽取10名快递员的月收入，利用收集的数据绘制成如图所示的统计图：
根据以上统计图，对数据进行分析如表：
平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差
甲公司 6 6 1.49
乙公司 5.8 4
（1） _ _ _ _ ，_ _ _ _ .
（2） 计算乙公司10名快递员月收入的方差.
（3） 根据表格中的数据，小王应选哪家快递公司做快递员？说明理由.
2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，的长为半径作，交轴于点，连接.
（1） 求反比例函数的表达式；
（2） 求扇形的半径及对应圆心角的度数；
（3） 求图中阴影部分的面积.
3．某公司生产一批玩具，其中摆件445箱，挂件130箱.
（1） 现计划租用，两种货车共15辆（两种货车都要租），一次性将玩具送往仓库，已知种货车可装摆件35箱和挂件10箱，种货车可装摆件15箱和挂件15箱，则一共有几种租车方案？
（2） 在（1）的条件下，种货车每辆需运费860元，种货车每辆需运费740元，怎样租车才能使总运费最少？并求出最少运费.
4．如图1，公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水流也随之上下平移，图2是其示意图，开始喷水后，若喷水口在处，水流落地点为，，若喷水口上升到处，水流落地点为，记长度为.如图2，以所在直线为轴，所在直线为轴，为原点，建立平面直角坐标系，若喷水口在处，，.
图1 图2
（1） 求过点的抛物线形水流最高点与点之间的水平距离及水流所在抛物线的函数表达式.
（2） 身高的小红要从喷水口在处的水流下某点经过，为了不被水喷到，该点与点的水平距离应满足什么条件？请说明理由.
中档题型组合练13 （河南中档解答题6选4）
1．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动.为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（分）分为5组：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分.现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了2个小组的学生得分进行整理，绘制统计图表如下：
平均数/分 中位数/分 众数/分
第1小组 3.9 4
第2小组 4 5
请根据以上信息，解答下列问题：
（1） 在第2小组得分扇形统计图中，1分所对应扇形的圆心角度数是_ _ _ _ ；
（2） 表中_ _ _ _ ，_ _ _ _ ；
（3） 已知该校共有2 000名学生，以这2个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校竞赛成绩不低于90分的学生人数.
2．如图，建筑物上有一高为的旗杆，从处观测旗杆顶部的仰角为 ，观测旗杆底部的仰角为 ，求建筑物的高为多少米.（结果保留小数点后一位.参考数据，，）
3．如图,一次函数的图象交轴于点,交反比例函数的图象于点.将一次函数的图象向下平移个单位长度,所得的图象交轴于点.
（1） 求反比例函数的表达式;
（2） 当的面积为3时,求的值.
4．已知二次函数（为常数）.
（1） 若图象经过点，判断图象是否经过点，并请说明理由；
（2） 设该函数图象的顶点坐标为，当的值变化时，求与的关系式；
（3） 若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值.
中档题型组合练14 （河南中档解答题6选4）
1．某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙、丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据（单位：分），并对所得数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息.
.甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图：
.丙民宿“综合满意度”评分分别为，，，，，，，，，.
.甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数如表：
甲 乙 丙
平均数 4.5 4.2
中位数 4.7 4.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 表中的值是_ _ _ _ ，的值是_ _ _ _ .
（2） 设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，，说明，，之间的大小关系.
（3） 根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由.
2．如图，已知.
（1） 用直尺和圆规作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）的条件下，若， ，求的半径.
3．某公司每月生产甲、乙两种果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表：
甲 乙
成本 12元/瓶 4元/瓶
售价 18元/瓶 6元/瓶
（1） 如果该公司计划四月份投入成本不超过216万元，怎样安排甲、乙两种果汁的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润.
（2） “五一”期间，为扩大销量，该公司针对乙种果汁推出优惠活动，方案如下：
方案一：购买乙种果汁一律打9折；
方案二：购买168元的会员卡后，乙种果汁一律8折.
某超市到该公司购买乙种果汁，请帮该超市设计出合适的购买方案.
4．【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度.
【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具.
【实践活动】某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，，，且，，，在同一水平面上.经过多次测量，得到如下数据：，， ， .
【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）.
（1） 求，两点间的距离；
（2） 求该条待建环山路的长度（结果保留）.
（参考数据：，，，）
中档题型组合练15 （河南中档解答题6选4）
1．如图，在正方形中，对角线与相交于点.
（1） 在上求作点，使得点到，的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）的条件下，若，求点到的距离.
2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数的图象与轴，轴分别交于点，.
（1） 求反比例函数和一次函数的表达式；
（2） 在反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标.
3．为实现“绿水青山就是金山银山”的理念，甲市建了多个湿地公园.某区湿地公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道，经测量，点在点的正东方向.点在点的正北方向，米.点在点的东北方向，在点的北偏东 方向，米.
（1） 求步道的长度.
（2） 小王从点步行到点.他可以从点经过点到点，也可以从点经过点到点.请计算说明他走哪一条路较近.（精确到个位，参考数据：，）
4．音乐喷泉的喷头在垂直于地面的方向上随着音乐变化而上下移动.不同高度的喷头喷出来的水柱形状可以看作抛物线的一部分，形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧.图1是当喷头在地面上时（喷头最低），其抛物线形水柱的示意图，水的落地点离喷头的距离为，水柱最高点离地面.图2是某一时刻时，水柱的示意图.为喷水管，为喷头所在位置，为水的落地点，记长度为喷泉跨度.
图1 图2
（1） 在图1中，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
（2） 在图2中，若喷水管最高可伸长到，求喷泉跨度的最小值.
中档题型组合练16 （河南中档解答题6选4）
1．在中, , ，的平分线交于点，如图1.
图1 图2
（1） 求的度数；
（2） 已知,分别以,为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于点,,作直线交于点,交的延长线于点，如图2,求的长.
2．如图，在平面直角坐标系中，、两点在轴的正半轴上，以为边向上作正方形，顶点在直线上，反比例函数的图象经过点，且与边交于点.
（1） 若，求的值和点的坐标.
（2） 连接，.
① 若的面积为24，求的值.
② 是否存在某一位置使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
3．综合与实践：
小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习.
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光从水槽边处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水.（直线为法线，为入射光线，为折射光线）
【测量数据】
如图，点，，，，，，，，在同一平面内，测得， ，折射角 .
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1） 的长为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 求，之间的距离（结果精确到）.（参考数据：，，）
4．在平面直角坐标系中，已知抛物线且过点.
（1） 求该抛物线的对称轴（用含的代数式表示）；
（2） 在该抛物线上存在两点，，当时，总有，求的取值范围.
【参考答案】
突破二 中档解答题
题型二 统计题
1．（1） 20； 15
（2） 解：（万件），.
（3） （万件），
故估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有3 200万件.
2．（1） 10.1
（2） 解：.理由如下：
由题意知，， 在城市抽取的快递企业中，4月份收入的中位数为11.5百万元， 不低于11.5百万元的数据有13个， 高于平均数（11.0百万元）的企业的个数，.
（3） （百万元）.
故估计城市所有快递企业在4月份的总收入为2 200百万元.
3．任务1： 解：40.
任务2： ，
故乙园样本数据的平均数为6.
任务3：
任务4： 乙园的柑橘品质更优，理由如下：
由样本数据的频数分布直方图得，乙园一级柑橘所占比例大于甲园，因此可以认为乙园的柑橘品质更优.
（理由合理即可）
4．（1） 7.7； 6； 7.5；
（2） 解：我认为小罗应该选择，理由如下：从语言交互能力得分来看，和的平均数一样，但是的中位数和众数均高于；从数据分析能力得分来看，的平均数高于，且的中位数也大于.（理由合理即可）
（3） 还需要了解两个人工智能产品的安全性、准确性、运算速度与效率等方面.（答案不唯一）
5．（1） 解：（万件），C产品的年产量为（万件），
调整前A产品的年产量为（万件）.
（2） ,的值分别为25，28.
（3） 方案甲的总成本为（万元），
方案乙的总成本为（万元），
，
甲种方案总成本较低.
6．（1） 解：七年级的平均成绩为（分）.
八年级的平均成绩为（分）.
（2） 从平均数来看，，则八年级的成绩比七年级的成绩好.
（合理即可）
（3） .
答：估计该校七、八年级共有672名学生获得A等级.
任务2： 8； 86
任务3： 小华的成绩在自己的学校排名更靠前，理由如下：
小明的成绩（82.5分）在甲校学生的测试成绩的中位数以下，小华的成绩（82.5分）在乙校学生的测试成绩的中位数以上，因此小华的成绩在自己的学校排名更靠前.
8．（1） 30； 3.6； 3.5
（2） 解：.
答：估计全班学生能达到“最多投中数”的有28名.
（3） 八年级（3）班学生的投篮水平更高一些，理由如下：
两个班投中次数的平均数相同，而八年级（3）班投中次数的众数比八年级（6）班的高，投中次数的方差小于八年级（6）班，说明水平更稳定，故八年级（3）班学生的投篮水平更高一些.（合理即可）
题型三 反比例函数综合题
类型1 反比例函数的图象与性质
1．（1） ，.
（2） .
2．（1） 解：反比例函数的表达式为.
（2） 易知点，关于原点对称，
点的坐标为，
当直线经过点时，，，
当直线经过点时，，，
结合函数的图象可知，当时，直线与直线的交点在线段上，如图所示.
的取值范围是.
类型2 反比例函数与几何图形结合
3．（1） ，，.
（2） .
4．（1） 解：反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
（2） 观察函数图象知，不等式的解集为或.
（3） 由（1）可知，设点的坐标为，则，
，
，
，
当时，取得最大值，为4，
此时.
5．（1） 如图，点即为所求作.
（2） ，
反比例函数的表达式为.
（3） .
类型3 反比例函数图象中的阴影部分面积问题
6．（1） 反比例函数的解析式是.
（2） .
（3） .
7．（1） .
（2） 扇形的圆心角的度数为 .
（3） 阴影部分的面积为.
8．（1） .
（2） 解：如图，设圆弧与交于点，连接，作轴于，
，.，
.
， .
，，
.
， .
.
.
又，，，
图中阴影部分的面积 .
题型四 尺规作图题
类型1 基本尺规作图
1．（1） 解：如图.
（2） 证明：由（1）知.
，，
.
四边形是平行四边形.
.
由条件可知.
.
四边形是平行四边形.
，是菱形.
2．（1） 解：如图.
（2） 证明：在和中，
，.
3．（1） 解：如图.
（2） 四边形是菱形.
证明：由条件可知，， ，
， ，
由条件可知 ，
，
四边形是平行四边形，
，
， 四边形是菱形.
4．（1） 解：如图.
（2） 证明：，.
，
由作图可知，，
.
，，
，.
（3）
5．（1） 解：如图.
（2） 证明： 直线为线段的垂直平分线，.
，，，
.
，
，
.
6．（1） 解：如图.
（2） 连接，为的直径，
，
，
，
点为中点，，
为等边三角形，
，，
，
， ，
，
， ，
，
，
弧的长度为 .
7．（1） 如图.
（2） .
8．（1） 解：如图.
（2） ① 证明：由条件可知是的中位线，，，
，，
，
四边形是平行四边形.
② .
9．（1） 解：.
.
（2） 如图.
（3） 证明：根据平移的性质，得，，，
根据作图得，
，，
.
类型2 与圆有关的尺规作图
10．（1） 解：如图.
（2） 如图，连接，由（1）知 .
， ，
，
，
，
，
.
11．（1） 解：如图.
（2） .
证明：如图，
，为半径，
是圆的切线，
由（1）可知，是圆的切线，
，平分，
，
四边形是矩形，
，，
，
，，
，
又，
.
12．（1） 如图.
（2） 这个圆形截面的半径为.
13．（1） 解：如图.
（2） ① 证明：如图，连接交于.
是切线，为半径，
，
平分，
，
，
，，
.
② 是直径，
，
易得四边形是矩形，
，
在中，，
残缺圆的半圆面积 .
类型3 尺规作图综合应用
14．（1） 解：如图.
（2） 且.
理由：由（1）可知，垂直平分线段，，
，，
又 ，
，
，，
，
，
，.
15．（1） 解：如图.
（2） 如图，点即为所求.
（3） 过点作于点，
由条件可知，
在中，，
，，
由条件可知 ，
，，
，
的半径为2.5.
题型五 方程、不等式、函数应用题
类型1 方程、不等式的实际应用问题
1．（1） 长款服装购进30件，短款服装购进20件.
（2） 当购进120件短款服装，80件长款服装时获得最大利润，最大利润是4 800元.
2．（1） 解：16元.
（2） 元.
（3） （元），
， 该户居民3月份用水超过10立方米.
设该户居民3月份用水立方米，
，
解得.
答：该户居民3月份用水14立方米.
3．（1） 甲数据中心的数据迁移速度为/小时，乙数据中心的数据迁移速度为/小时.
（2） 甲数据中心至少需要工作6小时.
4．（1） 每千克春茶的进价为320元，每千克秋茶的进价为240元.
（2） ① 购进春茶30千克，秋茶20千克，销售完后获得的利润最大，最大利润是3 600元.
② 全部销售完后的利润率是.
5．（1） 剪去的小正方形的边长为.
（2） ① 该收纳盒的高为.
② 不能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，理由略.
类型2 函数的实际应用问题
6．（1） 交点表示的实际意义是当骑行时间为时，，两种品牌的共享电动车收费都为8元.
（2） 选择品牌共享电动车更省钱.
理由略.
（3） 当的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元.
7．（1） 与之间的函数关系式为，自变量的取值范围为.
（2） 自行车车棚的长为12米，宽为9米.
（3） 停车区的面积为72平方米，充电区的面积为48平方米.
8．（1） 关于的函数表达式为.
（2） 他不能撬动这块石头.理由略.
题型六 解直角三角形应用题
类型1 仰角、俯角
1．解：延长交于点，则，
由题意得米，米，
设米，则米，
在中， ，
米，
在中， ，
米，
，解得，
米，
（米），
塔的高度为37米.
2．解：由题意得，，，
，
，，
.
，
，，
，
.
答：文王铜塑的高度约为.
3．解：过点作于点，则 ，
由题意可知，，，
在中， ， ，，
在中， ，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
两幢楼楼顶，之间的距离约为.
4．解：延长交直线于点，则，
由题意得，，
设，则，
在中， ，
，
在中， ，
，
，解得，
，
，
即红云金顶峰脚到峰顶的垂直高差约为.
类型2 方向角
5．（1） 解： 在中， ， ，海里，海里，海里，
（海里）.
答：，之间的距离为8海里.
（2） 在中， ， ，海里，
（海里），
海里，海里.
答：甲岛东、西两端的距离为海里.
6．（1） 解：如图，过点作，交的延长线于点，
由题意得 ， ，千米，
千米，千米，
千米，
千米.
答：，之间的距离为千米.
（2） 小明先到达点.理由如下：
如图，设交于点，过点作于点，
由题意得 ， ，， ，
，
由（1）可知， ，
，
千米，千米，
千米，千米，
千米，
在中，千米，
路线一所需时间为（小时），
路线二所需时间为（小时），
， 小明先到达点.
类型3 综合应用
7．解：.
.
由条件可知.
，
.
答：的长为.
8．（1） 解：.
答：立柱的高度约为.
（2） 过点作于点，
在中，，
，
点到地面的高度，
.
答：墩墩至少要跳约0.57米才能摸到篮圈.
题型七 二次函数的图象与性质
类型1 二次函数的图象与性质
1．（1） 解：.
（2） 抛物线的开口向上， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，，，
.
2．（1） 解：.
（2） .
（3） 由（1）得.
①令，得.当时，，当时，，满足题意.
②若，
则可得.
的取值范围为或.
3．（1） 解：抛物线的表达式为
（2） 设，
将点向上平移2个单位长度得到点，，
关于原点对称的点的坐标为，
在抛物线上，
，，
点的坐标为或.
（3） 平移后的抛物线解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，，.
4．（1） ① 解：.
② 证明： 抛物线经过点，，
，，
，
，
，即.
（2） 甲的观点正确.
理由：， 当时，，
不论取何值，抛物线必过定点.
乙的观点正确.
理由：，
顶点坐标为，
令由得，
代入得，
不论取何值，原抛物线的顶点都在一条固定的抛物线上运动，该固定抛物线的解析式为.
类型2 二次函数的实际应用
5．（1） 解：抛物线的解析式为
（2） 不能，理由：当时，解得（舍去），，
，
小刚在此次训练中不能得到满分.
（3） 设调整后抛物线的解析式为，
当时，，
令，解得，
的取值范围为.
6．（1） 解：抛物线的表达式为.
（2） 需要截取.如图，过点作，交抛物线于点，
由题意得，
点，是的四等分点，
，
当时，，
点的坐标为，
，.
，
需要截取，应该截掉.
7．（1） 解：.
（2） 当时，，
，.
，.
.
抛物线的形状与抛物线完全相同，，
抛物线可以看作是由抛物线向右平移11个单位长度得到的.
，，即的长为15米.
8．任务1： 解：曲线所在抛物线的函数表达式为.
任务2： 找来的木棍不符合要求.理由如下：
设点的横坐标为，则点的横坐标为，
，，又，
直线的解析式为.
点在抛物线上，点在直线上，且，
，整理，得，
，
该方程无实数根，
不存在的值使得，
即小华的爸爸找来的木棍不符合要求.
中档题型组合练9 （河南中档解答题6选4）
1．（1） 86； 85
（2） 19.2.
（3） 解：因为九（2）班前5名成绩的平均数比九（1）班高，且九（2）班前5名成绩的方差比九（1）班小，所以九（2）班前5名的整体成绩比较好.
2．（1） 解：如图.
（2） 证明：，，
四边形是平行四边形，
平分，，
，
，
， 四边形是菱形.
3．（1） 100
（2） 解：如图所示.
（3） 减小，理由如下：
由题意得，，，
， 在第一象限内，随的增大而减小，
即当的长增大时，拉力减小.
4．（1） 解：种树苗的单价为30元，种树苗的单价为20元.
（2） 设购买棵种树苗，则购买棵种树苗，
根据题意得，
解得，
设购买这些树苗需要元，则，
即，
，随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值为.
答：购买这些树苗至少需要2 250元.
中档题型组合练10 （河南中档解答题6选4）
1．（1） 解：如图.
（2） 证明：如图所示，
，，
，，
，
，，
，.
2．（1） 反比例函数的解析式为.
（2） .
（3） 或.
3．（1） 解：过作于，
则米，米，
在中，（米），
米.
答：建筑物的高度约为28.7米.
（2） 在中， ，
（米），
在中， ，
（米），
（米），
.
答：行人在斑马线上横排并行时的最多人数为10.
4．（1） 解：.
（2） （ⅰ） 由条件可知，.
将代入，
可得，整理得.
（ⅱ） ，，
随的增大而减小，
， 当时，取得最小值，最小值为.
中档题型组合练11 （河南中档解答题6选4）
1．（1） 解：如图.
（2） 直线是的切线，证明如下：
连接，
， ，
，
平分，
，
，
，，
，，
，
由作图知，
是等边三角形，
，
，
，
是半径，
直线是的切线.
2．（1） 解：过点作于点，过点作于点，
在中，
米，
米，
在中， ，
米，
米，
米，
设米，
在中， ， ，
米，
米，
在中， ， ，
米，
米，
，
，
解得，
（米）.
答：观景台到山顶的距离为米.
（2） 小明先到达山顶，理由如下：
由（1）知（米），
（米），
小明所用时间为（分钟），爸爸所用时间为
（分钟），
， 小明先到达山顶.
3．（1） 解：毛线的单价是20元，精品竹条的单价是3元.
（2） 设购进精品竹条，则购进毛线，
根据题意得，解得，
的最小值为100.
答：最少需要购进精品竹条.
4．（1） 解：.
（2） 设直线对应的函数表达式为,
点在该直线上，
，.
设小球在飞行过程中，距坡面的铅垂高度为米，
则，
，
当时，取最大值，为，即米.
答：小球在飞行过程中，距坡面的最大铅垂高度为米.
（3） 的最大值为.
中档题型组合练12 （河南中档解答题6选4）
1．（1） 5.9； 5
（2） 解：.
（3） 选甲公司，理由如下：
因为甲、乙两家快递公司快递员月收入的平均数相差不大，但是甲公司快递员月收入的中位数和众数都大于乙公司，且甲公司快递员月收入的方差小，更稳定，所以小王应选甲公司做快递员.
2．（1） 反比例函数的表达式为.
（2） ，半径为.
（3） .
3．（1） 解：设租用种货车辆，则租用种货车辆，
则
解得，
现计划租用，两种货车共15辆，
，
故共有4种租车方案：种货车分别租11，12，13，14辆，种货车对应租4，3，2，1辆.
（2） 租用种货车11辆，种货车4辆总运费最少，运费最少是12 420元 .
4．（1） 解：过点的抛物线形水流所在抛物线的函数表达式为，
最高点与点之间的水平距离为.
（2） 该点与点的水平距离要大于小于，理由如下：
令，得.
或，
为了不被水喷到，该点与点的水平距离要大于小于.
中档题型组合练13 （河南中档解答题6选4）
1．（1） 18
（2） 5； 3.55
（3） 解：.
答：估计该校竞赛成绩不低于90分的学生人数为800.
2．解：由题意得，， ， ，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
在中，，
，
.
答：建筑物的高约为.
3．（1） 解： 点在一次函数的图象上，
,
,
, 反比例函数的表达式为.
（2） 如图,过点作轴,垂足为,
,.
,
,
.
一次函数的图象与轴交于点,
.
将的图象向下平移个单位长度,得到的图象对应的表达式为,
令,得,
,
,即,.
4．（1） 解：图象经过点，理由如下：
把代入中，得，解得.
此函数表达式为，
当时，.
图象经过点.
（2） 函数图象的顶点坐标是，
，.
，
把代入，
得.
（3） 把代入得，
函数图象不经过第三象限，
，即，
，
函数图象顶点坐标为，
，
当时，函数图象不经过第三象限，解得，
，
当时，函数的最小值为，
把代入得，
把代入得，
当时，
解得（不符合题意，舍去）或；
当时，
解得或（不符合题意，舍去）.
综上所述，或6.
中档题型组合练14 （河南中档解答题6选4）
1．（1） 4.5； 4.5
（2） 解：.
（3） 会将甲民宿置顶推荐，理由：甲和乙民宿“综合满意度”评分的平均数比丙民宿的高.甲民宿的“综合满意度”评分的方差比乙民宿的小，说明甲民宿的评分比较稳定，波动不大.故会将甲民宿置顶推荐.（合理即可）
2．（1） 解：如图.
（2） 连接，.
， ，
，
在中，，
，
的半径为1.
3．（1） 当甲种果汁生产17万瓶，乙种果汁生产3万瓶时，该月公司所获利润最大，最大利润为108万元.
（2） 当购买乙种果汁小于280瓶时，选择方案一；当购买乙种果汁280瓶时，两个优惠方案所需费用相同；当购买乙种果汁大于280瓶时，选择方案二.
4．（1） 解：连接，过点作，垂足为点.
，
，.
在中，，
.
.
（2） 连接.
，
， .
，
.
的长.
答：该条待建环山路的长度为.
中档题型组合练15 （河南中档解答题6选4）
1．（1） 解：如图.
（2） 过点作于点.
四边形是正方形，
，， ，
，，
，
，
，
，
，，
点到的距离是.
2．（1） 解：反比例函数的表达式为.
一次函数的表达式为.
（2） 易知，，
，
，
设，，
解得，
点的坐标为或.
3．（1） 解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，
则 ，四边形是矩形，
，，
， ，
（米），
米，
，
是等腰直角三角形，
（米）.
答：步道的长度约为848米.
（2） 由（1）可知，（米），米，
（米），
（米），
又（米），
，
小王从点经过点到点较近.
4．（1） 解：抛物线的函数表达式为
（2） 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图.
根据题意设图中抛物线的顶点坐标为，
则此时的抛物线的函数表达式为，
当喷水管伸长到时，
抛物线过点，
，
解得（舍负），
由，得，
解得或（不合题意，舍去），，
即喷泉跨度的最小值为.
中档题型组合练16 （河南中档解答题6选4）
1．（1） 解：在中， ， ，
，
平分，
，
.
（2） 在中， ， ，，
.
在中， ， ，，
，.
由（1）知， ，
，
由作图过程可知，垂直平分，
，，
.
2．（1） 解：，.
（2） ① 设，则，
把代入，得，，
，
，
，
解得，（舍去）.
故.
② 不存在，理由如下：
假设存在，由，得，
，，
，
，
设，
则，同（2）①可知，
，解得，，
，
不存在某一位置使得.
3．（1）
（2） 解：由题意可知，，
又 ，
，
.
，之间的距离约为.
4．（1） 解：该抛物线的对称轴为直线.
（2） 将代入，
得，
，
，
抛物线的解析式为，
①当时，抛物线对称轴在轴左侧，
.若，即，抛物线的大致图象如图1，
图1
则，，
；
.若，即，则，抛物线的大致图象如图2，
图2
，
点，均在对称轴的右侧，且，即，
.
②当时，抛物线对称轴在轴右侧，
.若，即，则，抛物线的大致图象如图3，
图3
点，均在对称轴的右侧，且，即，
；
.若，即，则，抛物线的大致图象如图4，
图4
点，均在对称轴的右侧，
和的大小关系不确定，
和的大小关系不确定，不符合题意；
.若，即，抛物线的大致图象如图5，
图5
此时，不符合题意.
综上，的取值范围是且.
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