2026年中考数学一轮复习练 突破三 压轴题型 讲义（含答案） (河南)
文档属性
| 名称 | 2026年中考数学一轮复习练 突破三 压轴题型 讲义（含答案） (河南) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-11 08:55:18 | ||
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文档简介
突破三 压轴题型
题型八 选择压轴
类型1 跨学科实际问题中的函数图象分析
1．[2025河南模拟]在湿地公园中，白鹭捕食小鱼体现捕食关系，水鸟被舌状绦虫寄生形成寄生关系，落羽杉与水生植物争夺阳光属竞争关系，而蜜蜂为荔枝树传粉、蚂蚁保护蚜虫获取蜜露，生动展现了生物间的互利共生.捕食关系、寄生关系、竞争关系和共生关系在生态学中被称为生物间的相互作用.它们可以通过不同形态的曲线来描述.其中共生关系又叫互利共生，是两种生物彼此和谐互利地生活在一起，下列选项能表示共生关系的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2025河南模拟]物理知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大.嘉淇用如图1所示的装置探究两种液体压强与液体深度的关系时，画出了如图2所示的图象.根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．无法确定
3．[2025河南模拟]北京冬季奥林匹克运动会开幕式以“二十四节气”为主题的短片惊艳了世界.如图是某年部分节气对应的白昼时长［]示意图，下列结论中正确的是（ ）
A．立夏这天的日出时刻是5:30
B．白昼时长在12到15小时的有10天
C．立冬这天的日落时刻是17:00
D．小满时白昼时长最长
4．[2025河南模拟]在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．未挂物体时，弹簧的长度为
B．当所挂物体质量为时，弹簧的长度为
C．当所挂的物体质量超过时，弹簧的长度不会发生变化
D．弹簧的长度随着所挂物体质量的增加而增加
5．[2025周口太康一模]在物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法正确的是（ ）
图1 图2
A．实验开始时，冰块的温度为
B．加热后，冰块开始熔化
C．冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到
D．冰块熔化过程持续了
6．[2025河南模拟]天气瓶不仅是很漂亮的室内装饰品，还能预测次日的天气情况，其化学工作原理是：天气瓶内结晶状态会随温度变化发生改变.制作天气瓶用到的固体物质有硝酸钾和氯化铵，如图是两种物质的溶解度曲线.下列说法错误的是（ ）
溶解度：一定温度下，某固体物质在100克溶剂里达到饱和状态时所能溶解的溶质的质量.
A．温度每增加，硝酸钾溶解度的增加量相同
B．当温度为时，硝酸钾的溶解度是
C．氯化铵溶解度随温度的升高而增大
D．时，硝酸钾和氯化铵溶解度相同
7．[2025郑州一模]硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用.硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．当温度为时，硫酸钠在水中不溶解
B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同
D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在
8．[2025河南模拟]图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的长度（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即，之间的距离），在手柄转动过程中，千斤顶的高度随的长度的变化规律如图2所示，则图2中从点到点，千斤顶下降的高度为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
9．[2025郑州金水模拟]利用过氧乙酸可以对室内的空气进行熏蒸消毒.某跨学科兴趣小组设计了一个简易检测仪，检测室内空气中过氧乙酸气体的浓度，其电路原理如图1所示，电源电压为，为定值电阻，过氧乙酸气体传感器的阻值随过氧乙酸气体浓度 的变化关系如图2所示，未消毒时（ 为0），电压表示数为.消毒标准如下：为不合格，为合格，为超标.下列说法正确的是（ ）
信息窗 1.串联电路中各处的电流都相等. 2.串联电路两端的电压等于各部分电路两端电压的总和. 3.，其中为电压，为电流，为电阻.
图1 图2
A．随 的增大而增大
B．是 的反比例函数
C．定值电阻的阻值为
D．当电压表的示数为时，该次消毒不合格
10．[2025河南模拟]如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地.已知人对木板的压力与人的质量的关系如图2所示，小明和小亮的质量分别为和，且小明和小亮对木板的压强与木板面积的关系如图3所示，点为反比例函数图象上的一个动点，过点分别作横轴和纵轴的垂线，交横轴于点，交纵轴于点，交另一反比例函数图象于点，过点作纵轴的垂线，垂足为点，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（ ）
图1 图2 图3
A．由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比
B．图3中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系
C．当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大
D．四边形的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差
类型2 几何图形动点与函数图象分析
11．[2025河南模拟]如图1，点为正方形中边的中点.动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止.设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则当点运动到中点时，的长为（ ）
图1 图2
A．2 B．4 C． D．
12．[2024甘肃兰州]如图1，在菱形中， ，连接，点从出发沿方向以的速度运动至，同时点从出发沿方向以的速度运动至，设运动时间为，的面积为与的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
13．[2025河南模拟]如图1，在等腰中， ，于点.动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点时停止，过点作于点，作于点.在此过程中四边形的面积与运动时间的函数关系图象如图2所示，则的长为（ ）
图1 图2
A．8 B．4 C． D．
14．[2025湖北武汉]如图1，在中，是边上的定点.点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止.设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点.点的纵坐标是（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
15．[2025河南模拟]如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径运动，过点作，垂足为.设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
16．[2025河南模拟]如图1，在四边形中， ，点，都以每秒2个单位长度的速度同时从点出发，分别沿和的路线向终点运动，其中点先于点到达点，且到达后两点同时停止运动.记点的运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ）
图1 图2
A．
B．
C．当时，
D．当时，
17．[2025河南模拟]如图1，在矩形中，，，分别为，的中点，是线段上一动点，设，的周长为，图2是关于的函数关系图象，其中是图象上的最低点，则的值为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
18．[2024安徽]如图，在中， ,,,是边上的高.点,分别在边,上（不与端点重合）,且.设,四边形的面积为,则关于的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
19．[2024黑龙江齐齐哈尔]如图，在等腰中， ，，动点，同时从点出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点停止运动时，点也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为.下列图象能反映与之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
20．[2025黑龙江齐齐哈尔]如图，在菱形中， ，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为.下列图象能反映与之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
21．[2024山东烟台]如图，水平放置的矩形中，,.菱形的顶点,在同一水平线上，点与的中点重合，, .现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止.在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
22．[2024山东济南]如图1，是等边三角形，点在边上，,动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接.设点的运动时间为,为.当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示.有以下四个结论：;②当时，;③当时，;④动点沿匀速运动时，两个时刻,分别对应和,若,则.其中所有正确结论的序号是（ ）
图1 图2
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④
题型九 填空压轴
类型1 分类讨论问题
1．[2025驻马店上蔡模拟]正方形中，点是的中点，点在边上，且不与点，重合，当为等腰三角形时，的值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
2．[2025郑州高新区模拟]如图，正方形中，，已知点是边上的一动点（不与点，重合），将沿折叠，点的对应点为点，连接，，当是等腰三角形时，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（温馨提示：，）
3．[2025许昌一模]如图，在中， ，点为斜边上一动点，点关于直线的对称点为点，连接，，当时，的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
4．[2025商丘宁陵三模]如图，在菱形中，，，点和点分别为对角线和边上的动点（不与端点重合），连接，，，当是直角三角形时，的长为_ _ _ _ .
5．[2025驻马店平舆三模]如图，菱形中，点为对角线上一动点，作关于的对称图形，得到，点的对应点为点，射线与菱形的边交于点.若，，则当点为的三等分点时，的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（温馨提示：）
6．[2025驻马店汝南三模]如图，在中， ，为射线上一动点，连接，将沿折叠，已知点的对应点为点，，.当点落在直线上时，线段的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
7．[2025周口沈丘模拟]如图，在正方形中，，点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
类型2 双空题
8．[2025周口鹿邑三模]如图，在菱形中， ，，分别是，边上的动点，且满足，.
（1） 菱形的面积为_ _ _ _ _ _ ；
（2） 周长的最小值为_ _ _ _ _ _ .
9．[2025洛阳模拟]如图，在等边三角形中，点是边上一点，且，过点作于点，延长至点，使，连接，点是上一点，且，的延长线交边于点.
（1） 设 ，则的度数为_ _ _ _ _ _ _ _ （用含 的代数式表示）；
（2） 的值为_ _ _ _ .
10．[2025驻马店确山三模]如图，等边三角形中，，线段绕点在平面内旋转，连接，为的中点.若，则的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ ，最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
11．[2025驻马店驿城模拟]如图，在边长为4的正方形中，点在边上，且，若为平面内一点，且满足 ，连接，则线段的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ ，最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
12．[2025驻马店上蔡三模]如图，是等边三角形，是内一动点，将点绕点逆时针旋转 得到点，射线和射线交于点，则_ _ _ _ ；过点作交于点，连接，若，，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
13．[2025郑州中原模拟]如图，在边长为4的菱形中， ，点为边的中点，点为边上动点，连接，将沿折叠，得到，连接，则线段的最大值为_ _ _ _ _ _ ，最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
14．[2025郑州二七模拟]
（1） 知识铺垫：如图1，在中， ，作的外接圆，连接，，则的度数为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
图1
（2） 拓展应用：如图2，在边长为1的正方形中，点为边上的动点，点为对角线上的动点，且，，交于点，连接，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
图2
15．[2025郑州高新区模拟]如图，在矩形中，，，点是对角线上一个动点，连接，以为直角边在右侧作等腰直角三角形， ，连接.
（1） 当点落在上时，的长为_ _ _ _ _ _ ；
（2） 的最小值是_ _ _ _ _ _ .
16．[2025郑州金水模拟]如图，中， ，.在中， ，，直线与直线交于点.现将绕点旋转1周，在旋转过程中，_ _ _ _ ，线段长度的最大值是_ _ _ _ .
题型十 几何综合探究题
类型1 与动点有关的探究问题
1．如图，在中，， ，，点是上一动点（不与点，重合），，．
（1） 求的度数.
（2） 在点的运动过程中，的值是不是定值？说明理由.
（3） 当时，连接，三边上分别有动点、、（点在上），当的周长取最小值时，求的长．
2．[2024许昌一模]问题解决
（1） 如图1所示，在等边三角形中，点，分别在，边上，，交于点，且，则线段，的数量关系为_ _ _ _ _ _ _ _ ，的度数为_ _ _ _ _ _ .
图1
类比迁移
（2） 如图2，是等腰直角三角形， ，点，分别在，边上，，交于点，且．
图2
① 判断线段，之间的数量关系，并说明理由；
② 求的度数．
拓展探究
（3） 如图3，是等腰直角三角形，，若点是边上一动点，点是射线上一动点，在（2）的条件下，当动点沿边从点移动到点（可以与点重合）时，直接写出运动过程中的最大值和最小值．
图3
3．[2024南阳方城一模]中， ，为的中点，点在直线上（点不与点，重合），连接，过点作交直线于点，连接．
（1） 如图1，当点与点重合时，请直接写出线段与的数量关系：_ _ _ _ _ _ _ _ ；
图1
（2） 如图2，当点不与点重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
图2 备用图
（3） 若，，，请直接写出线段的长．
4．[2025甘肃]四边形是正方形,点是边上一动点（点除外）,是直角三角形,,点在的延长线上.
（1） 如图1,当点与点重合,且点在边上时,写出和的数量关系,并说明理由;
图1
（2） 如图2,当点与点不重合,且点在正方形内部时,的延长线与的延长线交于点,如果,写出和的数量关系,并说明理由;
图2
（3） 如图3,在（2）的条件下,连接,写出和的数量关系,并说明理由.
图3
5．[2023吉林长春]如图1,在矩形中,,,点在边上,且.动点从点出发,沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，作 ,交边或边于点,连接.当点与点重合时,点停止运动.设点的运动时间为秒.
图1
（1） 当点和点重合时,线段的长为_ _ _ _ _ _ ；
（2） 当点和点重合时,求的值;
（3） 如图2,当点在边上运动时,始终是等腰直角三角形,请说明理由;
图2
（4） 作点关于直线的对称点,连接，,当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时,直接写出的取值范围.
6．[2024江西]综合与实践
如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合）,连接,以为直角边在的右侧构造, ,连接,.
图1 图2 图3
特例感知
（1） 如图1,当时，与之间的位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ,数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ .
类比迁移
（2） 如图2，当时,猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想.
拓展应用
（3） 在（1）的条件下，点与点关于对称，连接,,,如图3.已知,设,四边形的面积为.
① 求与的函数表达式，并求出的最小值；
② 当时，请直接写出的长度.
类型2 与折叠有关的探究问题
7．[2022河南]综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
（1） 操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平.
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，.
根据以上操作，当点在上时，写出图1中一个 的角：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
图1
（2） 迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接.
① 如图2，当点在上时，_ _ _ _ ，_ _ _ _ ；
图2
② 改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由.
图3
（3） 拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长.
8．[2023南阳一模]在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
问题情景：在矩形中，点为边上一动点，点为边上一点，连接，将四边形沿折叠，点，分别落在点，处，设 .
（1） 如图1，若 ，，点为的中点，延长交于点,则与的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ，写出图中一个 的角：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
图1
（2） 如图2，若点为的中点，， ，延长交于点.求与的数量关系，并说明理由.
图2
（3） 如图3，若，，，连接，当点为的三等分点时，直接写出的值.
图3
9．[2024洛阳西工一模]综合与实践：
综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
（1） 操作判断：
如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点，再沿折叠，点落在点处，延长交于点，请写出线段与线段的数量关系：_ _ _ _ _ _ _ _ ；
图1
（2） 迁移思考：
如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断，这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断；
图2
（3） 拓展探索：
如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，请直接写出当时的值．
10．[2024新乡一模]
（1） 创设情境
如图1，在正方形中，，为线段上一动点，将沿翻折，得到，若的延长线恰好经过点，则_ _ _ _ ；
图1
（2） 发现问题
如图2，在矩形中，为线段上一动点，设，将沿翻折，得到，延长交于点，若，证明：点是的中点；
图2
（3） 问题解决
如图3，在中， ，，，为直线上一动点，设，将沿翻折，得到，在的延长线上找一点，使得，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点到直线的距离．
图3
11．[2025山东]【图形感知】
如图1,在四边形中,已知 ,,.
图1
（1） 求的长.
【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究.
在线段上取一点,连接.将四边形沿翻折得到四边形,其中,分别是,的对应点.
（2） 其中甲、乙两位同学的折叠情况如下:
① 甲:点恰好落在边上,延长交于点,如图2.判断四边形的形状,并说明理由.
图2
② 乙:点恰好落在边上,如图3.求的长.
图3
（3） 如图4,连接交于点,连接.当点在线段上运动时,线段是否存在最小值？若存在,直接写出;若不存在,说明理由.
图4
12．[2024山东济宁]综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形中，且足够长）进行探究活动.
图1
【动手操作】
如图2，第一步，沿点所在直线折叠，使点落在上的点处，折痕为,连接,把纸片展平.
第二步，把四边形折叠，使点与点重合，点与点重合，折痕为,再把纸片展平.
第三步，连接.
图2
【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论.
甲同学的结论：四边形是正方形.
乙同学的结论：.
（1） 请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确.若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由.
【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作.
如图3，第四步，沿点所在直线折叠，使点落在上的点处，折痕为,连接,把纸片展平.
第五步，连接交于点.
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：
.
图3
（2） 请证明这个结论.
类型3 与旋转有关的探究问题
13．[2018河南]
（1） 问题发现
如图1，在和中，，， ，连接，交于点.填空：
图1
① 的值为_ _ _ _ ；
② 的度数为_ _ _ _ _ _ .
（2） 类比探究
如图2，在和中， , ,连接交的延长线于点.请判断的值及的度数，并说明理由.
图2 备用图
（3） 拓展延伸
在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，，所在直线交于点.若，，请直接写出当点与点重合时的长.
14．[2017河南]如图1，在中， ,,点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点.
图1
（1） 观察猜想
图1中，线段与的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ，位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 探究证明
把绕点按逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
图2
（3） 拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值.
15．[2024平顶山一模]
（1） 观察发现：已知是直角三角形， ．将绕点顺时针旋转得到，旋转角为 ，直线交直线于点．如图1，当 时，四边形的形状为_ _ _ _ _ _ ，与的数量关系为_ _ _ _ _ _ _ _ .
图1
（2） 深入探究：在图1的基础上，将绕点逆时针旋转，旋转角为 ，如图2，当 时，直接写出线段，，的数量关系.继续旋转，如图3，当 时，请写出线段，，的数量关系，并说明理由.
图2 图3
（3） 拓展应用：在（2）的基础上，当时，若，，请直接写出的长．
16．[2024安阳一模]
（1） 【问题发现】
如图1，在中，， ，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，易知，则线段与的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
图1
（2） 【拓展研究】
在（1）的条件下，将正方形绕点旋转至如图2所示的位置，连接，，，请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论；
图2
（3） 【结论运用】
在（1）（2）的条件下，若的面积为8，当正方形旋转到、、三点共线时，请直接写出线段的长．
17．[2024鹤壁一模]探究式学习是新课程标准倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.在中， ，，点为边的中点，点为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转 ，点的对应点为点，连接,.
（1） 【初步感知】如图1，若点在线段上，则的度数是_ _ _ _ _ _ ；
图1
（2） 【拓展探究】如图2，若点在线段上，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明；
图2 备用图
（3） 【问题解决】若，点在线段上运动的过程中，当 时，请直接写出线段的长.
18．[2024周口一模]【特例感知】
（1） 如图1，为等腰直角三角形．将绕点逆时针旋转 得到，过作交直线于点，直线与直线交于点，则的形状为_ _ _ _ 三角形.
图1
【类比探究】
（2） 如图2，将背景图形“等腰直角三角形”换成“矩形”，其余条件均不变，（1）中的结论是否成立？请说明理由.
图2
【拓展应用】
（3） 在（2）的条件下，将“旋转 ”换成“旋转”．当是等腰三角形时，请直接写出 的度数．
19．[2024周口项城一模]综合实践课上，老师带领同学们研究“菱形背景下的旋转问题”．
问题情境：在菱形中， ,为边上一点（不与，重合），连接，并将射线绕点在平面内顺时针旋转，记旋转角为．
操作感知：（1） 小华取 ，如图1，射线旋转后与射线交于点，请你帮小华同学写出下面两个问题的答案：
图1
① 线段与的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 线段，，的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
猜想论证：（2） 小夏取 ，如图2，射线与射线交于点，小夏在笔记本上记录了自己的思考过程：
线段与的数量关系与（1）①相同……
但线段，，的数量关系好像不再成立……
我发现线段，，之间好像具有与（1）②类似的数量关系……
请你帮小夏同学写出线段，，之间的数量关系，并给出证明．
图2
拓展探究：（3） 小梦测量得到,，如图3，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在菱形的边或对角线所在直线上时，记点到直线的距离为，请你帮小梦同学直接写出所有大于的的值．
图3
20．[2024北京]已知,点,分别在射线,上，将线段绕点顺时针旋转 得到线段,过点作的垂线交射线于点.
（1） 如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；
图1
（2） 如图2，当点在内部时，作,交射线于点,用等式表示线段与的数量关系，并证明.
图2
21．[2025湖北]在中, ,将绕点旋转得到,点的对应点落在边上,连接.
（1） 如图1,求证:.
图1
（2） 如图2,当,时,求的长.
图2
（3） 如图3,过点作的平行线交的延长线于点,过点作的平行线交于点,与交于点.
图3
① 求证:；
② 当时,直接写出的值.
类型4 新定义问题
22．[2025河南模拟]等腰三角形是生活中常见的几何图形，我们称有两边相等的三角形是等腰三角形，类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫作“等邻边四边形”.
（1） 如图1，在四边形中添加一个条件：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，使得四边形是“等邻边四边形”；
图1
（2） 如图2，“等邻边四边形”中，，，且对角线、互相平分，请你证明“等邻边四边形”是正方形；
图2
（3） 如图3，“等邻边四边形”中，， ，、为对角线，，写出、、之间的数量关系，并证明你的结论.
图3
23．[2025焦作二模]综合与实践
定义：以一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫作筝形.
（1） 理解运用
如图1，正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点.点，，在格点上，请在图1所给的两个网格图中各画出一个筝形，要求在格点上.
图1
（2） 性质探究
根据定义可得出筝形边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.如图2，四边形是筝形.对角线所在的直线是它的对称轴.
图2
① 连接，与的关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 若，，写出筝形的面积（用含，的式子表示）.
（3） 拓展延伸
如图3，在中， ， ，，分别在边，上取点，，使四边形是筝形，请直接写出筝形的面积.
图3 备用图
24．[2025广西]【平行六边形】如图1,在凸六边形中,满足,,,我们称这样的凸六边形叫作“平行六边形”.其中与,与,与叫作“主对边”；和,和,和叫作“主对角”;,,叫作“主对角线”.
图1
（1） 类比平行四边形性质,有如下猜想,请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”.
猜想 判断正误
①平行六边形的三组主对边分别相等 _ _ _ _
②平行六边形的三组主对角分别相等 _ _ _ _
③平行六边形的三条主对角线互相平分 _ _ _ _
【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫作“菱六边形”.
（2） 如图2,已知平行六边形满足.求证:平行六边形是菱六边形.
图2
（3） 图3是一张边长为3,4,6的三角形纸片.剪裁掉三个小三角形,使剪裁后的纸片为菱六边形.请在剪裁掉的小三角形中,任选一个,求它的各边长.
图3
25．某学校数学兴趣小组的成员在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：
新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在原长方形的对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”.如图，在长方形中，，是对角线.
图1
（1） 如图2，把长方形绕点逆时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，如果的度数为 ，求“对角旋转角”的度数（用含有 的代数式表示）；
图2 备用图
（2） 在（1）的条件下，已知 ，把长方形绕点顺时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，求的度数；
（3） 在长方形中，，在（1）（2）的基础上，经过“对角旋转”，点的对应点分别为点和点，连接、，的面积为312，的面积为130，求长方形的面积．
压轴题型组合练17 （选择、填空、解答压轴题）
1．光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，果实的品质越好.某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在水资源及光照充分的条件下，研究温度（单位：）对光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响，并将得到的相关数据绘制成如图所示的图象.请根据图象，判断下列说法中不正确的是（ ）
A．草莓的光合作用产氧速率先增大后减小
B．当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大
C．草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大
D．草莓中有机物积累最快时的温度约为
2．如图，在菱形中，，对角线，交于点，是上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到，且，连接，，若是直角三角形，则的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3．如图是一张平行四边形纸片,是一条对角线,,.
图1 图2
（1） 如图1，将平行四边形纸片沿折叠,点的对应点落在点处,交于点.
① 试猜想与的数量关系,并说明理由;
② 求的面积.
（2） 如图2,点,分别在平行四边形纸片的边,上,连接,且,将平行四边形纸片沿折叠,使点的对应点落在边上,求的长.
压轴题型组合练18 （选择、填空、解答压轴题）
1．如图1，一条细线的一端固定，另一端悬挂着一个小球，我们把点称为平衡位置，把小球拉开一个小角度至处，放开小球后，理想状态下，小球将沿着圆弧左右往返摆动，，两点为摆动过程中的最高点（往返摆动一次的时间称为周期）.我们规定小球在平衡位置左侧到平衡位置的水平距离记为正数，小球在平衡位置右侧到平衡位置的水平距离记为负数.通过记录相关数据，描绘了小球到平衡位置的水平距离关于时间的图象，如图2所示，则下列说法中，正确的是（ ）
图1 图2
A．小球摆动一个周期需要
B．当时，小球在最高点处
C．当时，小球处在下降过程中
D．当时，小球在平衡位置处
2．如图，在菱形中， ，，点为边上一点，，点为边上的一动点，沿将翻折，点落在点处，当点在菱形的对角线上时，的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3．如图,在菱形中, ,点为线段上一动点,点为射线上的一点（点与点不重合）.
图① 图② 备用图
【问题解决】
（1） 如图①,若点与线段的中点重合,则_ _ _ _ ,线段与线段的位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
【问题探究】
（2） 如图②,在点运动的过程中,点在线段上,且 , ,写出线段与线段的数量关系,并说明理由;
【拓展延伸】
（3） 在点运动的过程中,将线段绕点逆时针旋转 得到,射线交射线于点,若,,求的长.
压轴题型组合练19 （选择、填空、解答压轴题）
1．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度与液体密度，单位：是反比例函数关系，其图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度满足时，该液体密度
D．当液体密度 满足时，浸在液体中的高度
2．如图，在等腰中，， ，为边的中点，为边上的一个动点，连接，将沿折叠，点的对应点为，当时，的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3．矩形中,,,点是线段上异于点的一个动点,连接,把沿直线折叠,使点落在点处.
【初步感知】
图2
（1） 如图1,当为的中点时,延长交于点,求证:.
图1
【深入探究】
（2） 如图2,点在线段上,.连接，在点移动的过程中,求的最小值.
【拓展运用】
（3） 如图2,点在线段上,.在点移动的过程中,当点在矩形内部,且是以为斜边的直角三角形时,求的长.
压轴题型组合练20 （选择、填空、解答压轴题）
1．布洛芬是一种解热镇痛抗炎药，该药在人体内发挥药效的最低血药浓度为.某研究部门将一批相同症状的患者分为两组，甲组服用布洛芬片剂，乙组服用等效的布洛芬缓释胶囊，两组均于上午8：00服药并定时进行静脉抽血测验，测得平均血药浓度随时间变化的关系图象如图所示.下列结论错误的是（ ）
A．甲组服药后，血药浓度最高
B．布洛芬缓释胶囊起效更快
C．服药后的前，两组患者体内的血药浓度均随时间的推移而增大
D．布洛芬缓释胶囊的药效持续时间更长
2．如图，在梯形中， ，，，是边上一动点，将沿折叠，的对应点恰好落在梯形的边上，则的长是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3．如图①,在中, ,,,将沿方向平移,得到,过点作,交的延长线于点,为的中点.点从点出发,沿方向匀速运动,速度为；同时,点从点出发,沿方向匀速运动,速度为.连接,,.设运动时间为.解答下列问题:
图① 图② 备用图
（1） 当时,求的值.
（2） 如图②,当时,设的面积为,求与之间的函数关系式.
（3） 当时,是否存在某一时刻,使是直角三角形？若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
压轴题型组合练21 （选择、填空、解答压轴题）
1．太阳能路灯以太阳能为动力源，白天通过太阳能电池板收集太阳光中的能量，将太阳能转化为电能并储存起来，晚上释放电能用于照明.如图是某型号太阳能电池板在某天的6时和18时之间的发电功率随时间（时）变化的图象，下列说法正确的是（ ）
A．最大发电功率和最小发电功率相差
B．当天发电功率超过的时长为
C．从10时到14时，太阳能电池板的发电功率逐渐增大
D．8时和16时太阳能电池板的发电功率相同
2．如图，将正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，再把纸片展平，点是边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在上，延长交于点，交的延长线于点，则_ _ _ _ ；_ _ _ _ _ _ .
3．【问题背景】在学行四边形后,某数学兴趣小组研究了有一个内角为 的平行四边形的折叠问题.其探究过程如下:
图① 图②
【探究发现】 如图①,在中, ,,为边的中点,点在边上,且,连接,将沿翻折得到,点的对称点为点.小组成员发现四边形是一个特殊的四边形,请判断该四边形的形状,不需要说明理由.
【探究证明】 取图①中的边的中点,点在边上,且,连接,将沿翻折得到,点的对称点为点.连接,,如图②.求证:四边形是平行四边形.
【探究提升】 在图②中,四边形能否成为轴对称图形？如果能,直接写出的值；如果不能,说明理由.
压轴题型组合练22 （选择、填空、解答压轴题）
1．在一次物理实验中，小明同学利用固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值是定值）亮度的实验（如图1）.已知串联电路中，电流与电阻、的关系为，图2是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（ ）
图1 图2
A．灯丝的阻值为
B．用含的代数式表示为
C．当滑动变阻器的电阻为 时，串联电路电流为
D．要使通过灯泡的电流不低于，则滑动变阻器电阻的调节范围为
2．如图，在中， ，，点为的中点，点，分别是边，上的动点，且，点是的中点，连接，.
① 的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 当最大时，线段的长是_ _ _ _ _ _ _ _ .
3．如图1,将绕直角顶点旋转至,点,的对应点分别为,.连接,,,,直线与交于点.
图1 图2
（1） 与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由.
（2） 如图2,连接,若,,的中点分别为,,，求证:,,三点共线.
（3） 已知,随着,及旋转角的变化,若存在以,,,为顶点的四边形,其面积为,则的最大值为_ _ _ _ .
压轴题型组合练23 （选择、填空、解答压轴题）
1．图1所示的家用扫地机器人的底部安装有滚刷，内置集尘器.机器人在除尘时先“脱灰”（滚刷将灰尘从地面上脱离），后“吸灰”（将灰尘转移进集尘器）.为研究滚刷滚速对“脱灰”效果的影响，小静在保持扫地机器人“吸灰”效果一定的情况下，对“吸灰”过程中滚刷的滚速与除尘能力（在地面撒灰后，清扫十次所减少的灰占所撒的灰总质量的百分比）进行了试验，得到图2，规定除尘能力超过即为及格.下列说法正确的是（ ）
图1 图2
A．除尘能力关于滚刷的滚速的图象是反比例函数图象的一部分
B．除尘能力与滚刷的滚速成正比
C．当滚速为1 300转/分时，除尘能力及格
D．当除尘能力为时，滚刷的滚速为1 400转/分
2．如图，已知中， ， ，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，折痕的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3．如图1，点是等边三角形内的任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，.试探究与周长的关系.记，的周长.
图1 图2 图3 图4
（1） 从特殊情形入手：
① 若点在的中心，如图2，此时与的关系为_ _ _ _ _ _ _ _ .
② 若点在的高线上，如图3，此时①中的结论还成立吗？请说明理由.
（2） 若点不在的高线上，如图4，研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决，请写出解决过程.
压轴题型组合练24 （选择、填空、解答压轴题）
1．某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低.如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率随充电时间（分钟）变化的函数图象，下列说法错误的是（ ）
A．本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量
B．本次充电40分钟时，汽车电池含电率达到
C．本次充电持续时间是120分钟
D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时
2．如图,在中,,点在边上,,, ,则的值为_ _ _ _ ；点在的延长线上,连接,若,则的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
3．综合与实践
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的另一边于一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫作“垂对三等分平行四边形”，垂足叫作“垂三等分点”.
（1） 理解应用
如图1，在中，于点，交于点，若为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，是垂三等分点.若，，，则_ _ _ _ ；_ _ _ _ _ _ .
图1
（2） 问题探究
如图2，在垂对三等分平行四边形中，是垂三等分点，且满足.若，试猜想与的数量关系，并说明理由.
图2
（3） 拓展延伸
如图3，已知四边形是矩形，过点作于点，交于点，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度.
图3
【参考答案】
突破三 压轴题型
题型八 选择压轴
类型1 跨学科实际问题中的函数图象分析
1．A 2．A 3．C 4．D 5．C 6．A 7．C 8．A 9．D 10．D
类型2 几何图形动点与函数图象分析
11．D
12．C
13．C
14．B
15．B
[解析]由图象得，当点在边上，时，，
设，则，
在中，，
即，
解得，.
16．B
[解析]结合图象知点从点到点的时间为，
，选项正确；
当点到达点时，，
，
解得，
点从点到点的时间为，
，
当点到达点时，点在上，，选项错误；
当时，点在上，点在上，，
，选项正确；
当时，点在上，点在上，
，
结合图象知，
易知，，，，
，选项正确.
17．C
[解析]由函数的图象得的最大值为，即，
在矩形中， ，
，
如图，取，的中点，，连接，作关于的对称点，连接交于，此时的值最小，为的值，
为的中位线，
，
同理可得，，的长等于到的距离，
，
，
，
.
18．A
19．A
20．A
21．D
22．D
题型九 填空压轴
类型1 分类讨论问题
1．1或
[解析]当为等腰三角形时，有以下两种情况：
①当时，如图1所示.
图1
易得，
，
点是的中点，
，；
②当时，如图2所示.
图2
设，则，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
，，
.
综上，的值为1或.
2．或2
[解析]如图1，是等腰三角形，且，则，连接，
图1
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
在上取一点，连接，使，
，
，
，
，
，且，
，；
如图2，是等腰三角形，且，则，
图2
是等边三角形，
，
，
，
，
，；
假设是等腰三角形，且，则，
，
，
，
，
，
，
，
此时点与点重合，不符合题意，舍去.
综上所述，的长为或2.
3．或
[解析]①如图，当点为斜边的中点时，，连接，
根据轴对称可得，，
在中， ，
， ，
，
即，为等边三角形，
，
为等边三角形，
，符合题意，此时；
②如图，当点在斜边上时，
则，， ，，设，
易知 ，
，，
，符合题意，此时.
综上，的值为或.
4．4或5
[解析]过点作于点，
四边形是菱形，，，
，，
设，，
，
，，，
，
连接交于，
，
，
，
，
.
①当点为的直角顶点时，
，
，；
②当点为的直角顶点时，
，
，
设，则，，
，，.
综上所述，的长为4或5.
5．或
[解析]连接交于点， 四边形为菱形，
， ，
，
分两种情况：①当时，，，
如图，设与交于点，
由对称性可知，，，又，
，
，
设，则，
，
在中，，
即，
解得（舍去），，
，
，，
，
，；
②当时，
由对称性可知，，，，，
过点作于点，如图，
，，
，
，
设，则，
易得，
，
，，
在中，，
即，
解得（舍去），，
.
综上，的长为或.
6．或6
[解析]，， ，，
如图，当点在线段上时，
由折叠可知，，
，
设，则，
在中，，
，解得，
即；
如图，当点在线段的延长线上时，
由折叠可知，，
，
设，则，
在中，，
，解得，即.
综上，的长为或6.
7．或
[解析]过点作于点，
则 ，
由旋转知，
点在以点为圆心，以长为半径的上运动，
当最大时，与相切于点，
，
正方形中，，
，
，，
，
，
，
，，
，则.
当点在线段上时，如图，
，
；
当点在延长线上时，如图，
，
.
综上，的长为或.
类型2 双空题
8．（1）
（2）
[解析]如图，连接，
四边形是菱形， ，
， ，
，都是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
根据垂线段最短可知，当时，的长最短，
如图，过作，垂足为，
， ，
，
，即的最小值为，
周长的最小值为.
9．（1）
（2） 2
[解析]如图，连接，过作，交于，则，
由条件可知垂直平分，
， ，
， ，
，
四边形是平行四边形，
，
由（1）知，
，，
，
又， ，
，
，
.
10．；
[解析]如图，取的中点，连接，，
则为的中位线，
，
是等边三角形，.
又是的中点，.
在中，由勾股定理，得，
当点，，在同一条直线上时，可取得的最大值和最小值.
的最大值为，的最小值为.
11．；
[解析]取的中点，连接，
，
点在以点为圆心，以为直径的圆上，
四边形为正方形，且边长为4，，
， ，
，
，
的最小值为，最大值为.
12．60；
[解析]如图1所示，连接，，设，交于，
图1
由旋转的性质可得， ，
， ，
，
，
，
又， ， .
、、、四点共圆，
.
， 点在以点为圆心，3为半径的圆上.
，
，
当最小时，有最小值，
当与相切于点时，最小，此时有最小值，如图2所示，
图2
此时 ，
，，
设，则，
，
在中，，
，
解得或（不符合题意，舍去），.
13．；
[解析]由折叠及菱形的性质得，
点的轨迹是以为圆心，4为半径的，
当与重合时，与重合，此时的值最大，过作交延长线于，如图.
，点为边的中点，
，，
，
，，
，
，
的最大值为；
当时，的值最小，如图，此时，，三点共线，
，
，
，
，
的最小值为.
14．（1）
（2）
[解析]如图，作的外接圆，圆心为点，连接，，，，
四边形是边长为1的正方形，
， ，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当，，三点共线时，取得最小值，最小值为.
15．（1）
（2）
[解析]过点作于点，的延长线交于点，分别过点作于点，于点，如图所示.
设，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，，，
四边形和四边形均为矩形，
，，
在中，由勾股定理得，
，
当时，的值最小，最小值为，
的最小值为.
16．90； 14
[解析] ，
，
，
，
.
设、交于点，如图1，
图1
，
.
点在以为直径的圆上运动，
，
在直角三角形中，由勾股定理得，
由等腰直角三角形可知，点到的距离为，
即弦在直径的下方，如图2，
图2
、两点在以为圆心，以6为半径的上，
当与相切于点时，取最大值，
此时 ，，
四边形为正方形，则，
在直角三角形中，由勾股定理得，
的最大值为
题型十 几何综合探究题
类型1 与动点有关的探究问题
1．（1） 解： .
（2） 的值为定值，理由如下：
过点作交的延长线于点，交于点，如图.
， ，
， ，
，即平分.
，为等腰三角形，.
，.
，
，
，
，.
（3） 在上取一点，分别过点作关于的对称点，作关于的对称点，
连接与交于点，与交于点，连接，，如图.
由对称的性质可知，，，，，
为等腰三角形，
，
.
，大小一定，
当等腰三角形顶角一定时，腰长越短，底边越短，
当，的值最小时，的值最小，，
即当的值最小时，的周长取得最小值，为的长，
当时，的值最小，即，
，.
2．（1） ；
（2） ① 解：.理由如下：
是等腰直角三角形， ，
，，
，即，
，
又，
，
，，
.
② .
（3） 的最小值为，最大值为8.
3．（1）
（2） 解：.
理由：如图，过点作交的延长线于，连接.
，，
，，
在和中，
，
，.
又，.
，，
.
（3） 的长为或1.
4．（1） 解：.理由如下:
四边形是正方形,, .
.
,点与点重合,
,
,
.
（2） .理由如下:
四边形是正方形,
,
.
是直角三角形,
, ,
,.
,,.
,.
（3） .理由如下:
如图,过点作于点,
,, .
,,
是的中位线,.
由（2）知,,
,
,
又,,
,
在中,,即.
5．（1）
（2） 解：如图,
, ,
, ,,
,.
,,
.
（3） 如图,过点作于点,
由（2）易得,
由已知得四边形是矩形，
.
又，
,
,,
始终是等腰直角三角形.
（4） 或或.
6．（1） ；
（2） 解：,.证明如下:
, ,
.
,
，
,，
.
,
,
即 ，
.
（3） ① 由（1）知,当时,,,
根据题意得,.
,
，
，
.
点与点关于对称,
，
四边形是正方形，
，
当时,的最小值为18.
② 或.
类型2 与折叠有关的探究问题
7．（1） 或或或.（任写一个即可）
[解析]详解：如图1，延长交于点，根据平行线分线段成比例定理得，又因为 ，所以垂直平分,.因为，所以 .因为，所以 .
图1
（2） ① 15； 15
② .理由如下：
四边形是正方形，, .
由轴对称的性质，得, .
,.
是公共边,
.
.
（3） 或.
[解析]详解：由（2）可得.设.当点在线段上时，如图2，,,，，，.
在中，由勾股定理得，即，解得.
当点在线段上时，如图3，同理可得,,.
在中，由勾股定理得，即,解得.
故的长为或.
图2 图3
8．（1） ； （答案不唯一，写出一个 的角即可）
（2） 解：.
理由：连接，
为的中点，，
由折叠的性质可知， ，
，，
，
.
（3） 或
9．（1）
（2） 解：，
证明：连接，如图，
四边形是平行四边形，
.
点是的中点，，
由折叠知，，，，，
，
，
，.
（3） .
10．（1） 2
（2） 证明：如图，连接，
由折叠的性质，知，
又，
，
，
，
，
由折叠的性质，知，
，
又 ,，
，
，
，即点是的中点.
（3） 解：点到直线的距离为或16.
11．（1） 解： ，，
，又 ，
，，
，，，
，，.
（2） ① 四边形是矩形，理由如下：
由折叠的性质得 ，，
，
，
又 ，
四边形是矩形.
② 如图，延长，，相交于点，连接，
由折叠的性质得 ，，，，
点恰好落在边上，
，
四边形是正方形，
，，
，
点在对角线上.
在中， ，，，
.
四边形是正方形，
，，
，，
，
.
（3） 线段存在最小值，最小值为.
[解析]详解：由折叠的性质得，，
直线是线段的垂直平分线，
，
点在以为直径的的一段弧上运动.如图，连接，，
则，当点在线段上时，线段有最小值，
，，，
线段的最小值为.
12．（1） 解：甲、乙的结论都正确.证明如下：
四边形是矩形，
，
由折叠知,
，
四边形是矩形.
,
矩形是正方形.
故甲的结论正确.
由折叠知，
如图，过点作于点，
四边形是正方形，
,
为等腰直角三角形，
.
又,
,
在中，
.
故乙的结论正确.
（2） 证明：由折叠知，, .
四边形是矩形，，，
，
，.
由折叠知,, ,
，
，
，
，
，
.
类型3 与旋转有关的探究问题
13．（1） ① 1
②
（2） 解：， .
理由如下：
, ,,
又,即，
.
，.
,
.
.
.
（3） 的长为或.
提示:在旋转过程中，（2）中的结论仍成立，即， .
如图所示，当点与点重合时，，的长即为所求.
14．（1） ；
（2） 解：等腰直角三角形.
理由如下：
由旋转可得.
又，，
.
，.
点，分别是，的中点，
是的中位线.
且.
同理可证且.
，，.
,.
，即为等腰直角三角形.
（3） .
[解析]详解：同（2）可证是等腰直角三角形，，.
又知，
，
当的值最大时，最大.
当在延长线上时，的值最大，
则的最大值为，
的最大值为.
15．（1） 正方形；
（2） 解：当 时，.
[解析]详解：连接，
， ，，
，，
，，
.
当 时，.
理由：连接，
同理，，
.
，，
.
（3） 的长为9或15.
16．（1）
（2） 解：.
证明： 在中，， ，
， ，
四边形是正方形，
， ，
，，
，
，
.
（3） 或.
17．（1）
（2） 解：.
证明:如图,过点作边的垂线交于点,
,
.
将线段绕点顺时针旋转 ,点的对应点为点,
, ,
,
.
在中, , ,
,
,
.
在中,,
.
（3） 的长为或.
18．（1） 等腰
（2） 解：成立.理由如下：
根据旋转可知， ，，
为等边三角形，
.
四边形和四边形为矩形，
，
.
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形.
（3） 或 或 .
[解析]详解：易知当 时，
不是等腰三角形.
当 时，如图，
根据旋转可知， ，， .
四边形和四边形为矩形，
，
，
，
.
， ，
，，
，
，解得 .
当 时，如图，
根据旋转可知， ，，
，
四边形和四边形为矩形， ，
， ，
，
，
，
， ，
，，
，
，
解得 .
当 时，如图，
根据旋转可知， ，，
，
四边形和四边形为矩形， ，
，
，
，
，
， ，
，，
，
，
解得 .
综上， 或 或 .
19．操作感知：（1） ①
②
猜想论证：（2） 解：.
证明：如图，连接.在上截取，连接.
在菱形中，， ，,为等边三角形.
.
又，
为等边三角形，
.
又 ，
.
又 ,，
.
,
.
拓展探究：（3） ，
20．（1） 证明：连接，
由题意得， ，
.
，
，
，.
，
，
，
，，
点是的中点.
（2） 解：.证明如下：
在射线上取点，连接，使得，取的中点，连接，，
，
，
，
，
又，
，
， ，
.
，
， ，
是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
.
21．（1） 证明： 将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，
，，，
，
.
（2） 解：，， ，
，，
，
如图，过点作于点，
，
，
在中，，
即，
解得或（舍去），
在中，，
，
，
，即，
.
（3） ① 证明： ，
，
,,,
，
，
，
,，
，
，
在和中，
，
，
又，
.
② .
类型4 新定义问题
22．（1） （答案不唯一）
（2） 证明： 对角线、互相平分，
四边形是平行四边形.
又，是矩形.
又，
矩形是正方形.
（3） 解：，证明如下：
将绕点旋转得到，连接，如图所示，
则，，
，，，，
，
，，
又，，
，
，
，
即 ，
，
，.
23．（1） 解：①如图（作法不唯一）.
②如图.
（2） ① 垂直平分
② .
（3） 筝形的面积为或.
[解析]详解：连接，.
当所在直线为筝形的对称轴时，如图，过点作于点，
四边形是筝形，
，， ，
在中， ， ，，
，是等腰直角三角形，，
在中，，
在中， ，
，，
由勾股定理得，即，
，
，
解得，
，
.
当所在直线为筝形的对称轴时，如图，
四边形是筝形，
，，
，，
，
，
，，
是直角三角形斜边上的中线，，
是等边三角形，
，
在中， ，
，
由勾股定理得，，，
.
综上所述，筝形的面积为或.
24．（1） 错误； 正确； 错误
（2） 证明：过点作，且，连接，，
则四边形是平行四边形，
，，
在平行六边形中，，，
，，
四边形为平行四边形，
，，
在平行六边形中，，，
，，
四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
平行六边形是菱六边形．
（3） 解：设三角形纸片为，裁剪后的纸片为菱六边形，
，，，，
，，
，，
设，
则，，
，，，
，
，
解得.
中，，，．
（答案不唯一）
25．（1） 解：由题意可知“对角旋转角”为， ，
，
即“对角旋转角”的度数为 ．
（2） 由旋转可知，，
，
，
，
由旋转可知，，
，
.
（3） ，，，，，
，，
，
，
，，
．
压轴题型组合练17 （选择、填空、解答压轴题）
1．C
2．或
[解析] 四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，
， ，
，，，
， ，
将线段绕点逆时针旋转到，，
，，
，
， ，
，是定值.
若是直角三角形，则分两种情况：
①当 时，，则，
；
②当 时，，则，
.
综上所述，的长为或.
3．（1） ① 解：．
理由：由折叠得，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
又，
，
.
② ，，
如图，过点作于点，过点作于点，
，
，，
，
，
，
，
．
（2） 如图，过点作于点，连接交于点，过点作于点，
由折叠得，
，，
易得，
，
，
，
，
.
四边形是平行四边形，，，
，
又 ，
，
，
，，
，，
，即，
解得．
压轴题型组合练18 （选择、填空、解答压轴题）
1．C
2．2或
[解析]分两种情况：①连接，当点在菱形的对角线上时，如图1，
图1
由折叠得，，
四边形是菱形， ， ，
，
.
②连接，当点在菱形的对角线上时，如图2，
图2
设，
由折叠得，， ，
，，
易得为等边三角形，
，
，
，
，
，即，
，，
解得或（不合题意，舍去），.
综上所述，的长为2或.
3．（1） 30；
（2） 解：.
理由：如图，把绕点顺时针旋转 得到，连接，
， ，，
为等边三角形，
，，
点在线段上，且 ， ，
， ，
， ，
，
.
.
（3） 如图，当在线段上时，记射线与交于点，
在菱形中，，，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
易得为等边三角形，
，
.
如图，当在线段上时，延长交射线于，
同理可得， ，
，
设，则，
，
，
,
，，.
综上，的长为2或.
压轴题型组合练19 （选择、填空、解答压轴题）
1．C
2．或
[解析]设直线交于.
当在下方时，如图，
， ，
， ，
将沿折叠，点的对应点为，为边的中点，
，，
，
，是等腰直角三角形，，
，
，
当在上方时，如图，
同理可得，
，
，
，
.
综上，的长为或.
3．（1） 证明：如图，连接,
由折叠可得 ,.
四边形为矩形, .
为的中点,,
.
在与中,,,
,
.
（2） 解：由折叠可得,则在点移动的过程中,的长不变，
点在以为圆心,10为半径的上.
如图，连接,
当点在线段上时,取最小值.
,,，,
,
的最小值为
（3） 如图，过点作于点,交于点，
则 ，.
,即 ,.
,,
,.
,,.
设,则,,则.
,,
,
，
,解得.
,，.
设,则,.
在中,,即，
解得,即的长为5.
压轴题型组合练20 （选择、填空、解答压轴题）
1．B
2．20或
[解析]当落在上时，如图，
将沿折叠，
，
，
四边形是矩形，
.
当落在上时，过作于，如图，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
将沿折叠，
，，
在中，，，
设，则，，
在中，，
解得，，
在中，.
综上，的长是20或.
3．（1） 解：由题意得，，
在中， ，，，
，
由平移的性质得 ，，，，.
为的中点，
，
，，，
即 ，，
，
，
即，解得.
（2） 当时，点在线段上，
如图，作于点，于点，
，，
，，，
，
，
即，，
同理,，
即，
，
.
.
（3） 存在.
由题意得 .
当 时，作于点，交延长线于点，如图，
同（2）得，，
，
在中，，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
,.
当 时，作于点，
，，
，
，即，
，，
.
，
，
，，
即，，
，.
综上，的值为或.
压轴题型组合练21 （选择、填空、解答压轴题）
1．D
2．30；
[解析] 四边形是正方形，
，，，
由题意得，，， ，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
设，则，，
，
，
.
3．【探究发现】 解：四边形是菱形.
【探究证明】 证明： 将沿翻折得到，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
为边的中点，为边的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是菱形，
，，
，，
四边形是平行四边形.
【探究提升】 四边形能成为轴对称图形，的值为或.
[解析]详解：由【探究证明】知，四边形是平行四边形，若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形.
当四边形是矩形时，过作于，过作于，如图，
易得四边形是矩形，
，.
，
，，
设，则，
，
为的中点，
，.
四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
.
， ，
，
，
.
，
，
.
当四边形是菱形时，延长交于，如图，
设，则，
四边形是菱形，
.
，，
四边形是平行四边形， ，
，，，
是等边三角形，
，
，
.
综上所述，四边形为轴对称图形时，的值为或.
压轴题型组合练22 （选择、填空、解答压轴题）
1．D
2．①
②
[解析]当最大时，点到直线的距离最大，连接，
由题意可知点在以为圆心，为半径的圆上，
当与圆相切时，点到直线的距离最大，即最大，
此时，过点作于点，如图所示，
与相切，
，
在中，，，
由勾股定理得，
，
，
，，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
，
当最大时，线段的长是.
3．（1） 解：相等.
理由：过点作于点，过点作交的延长线于点，如图，
，
由旋转可知，， ，
，
，
，
，
,
，，
.
（2） 证明：连接，，，,，，如图，
，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
点、分别为、的中点，
，，
，
，
四边形是菱形，
是的中点，
与共线，即，，三点共线.
（3） 25
[解析]由（1）知，，，为定值， 当取最大值时，取最大值，易知当时，取最大值，为1，
此时,.
，
，
当，且时，取最大值，为25.
压轴题型组合练23 （选择、填空、解答压轴题）
1．D
2．或
[解析]分两种情况：
①如图，当 时，
在中， ， ，，
，，
由折叠可得， ，
，
，
，
，
，
，
，
.
②如图，当 时，
由题可得， ， ，
， ，
，，
又，
，，
过作于，则 ，
，，
由折叠可得， ，
是等腰直角三角形，
.
综上，折痕的长为或.
3．（1） ①
② 解：①中的结论仍成立，理由如下：
点在等边的高线上，
，，
，，，
，
，
，
，，
，
，.
（2） 如图，过点作于点，交于，过点作于，过点作于点，作于点，
，
四边形是矩形，，
同理得四边形是矩形，
，
易知 ，
，，
，
由（1）可得，
，
.
压轴题型组合练24 （选择、填空、解答压轴题）
1．D
2．4；
[解析]作,,，垂足分别为,,，则四边形为矩形，
,，,，
，
为等腰直角三角形，
，，，，
，，
，
设，则，，，
,，
，
在中，，由勾股定理，得，
（负值舍去），，，
，,，，
，
又，，
，
，，
，解得（舍去）或.
3．（1） 2；
（2） 解：.理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
设，则，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，.
（3） 或.
/
题型八 选择压轴
类型1 跨学科实际问题中的函数图象分析
1．[2025河南模拟]在湿地公园中，白鹭捕食小鱼体现捕食关系，水鸟被舌状绦虫寄生形成寄生关系，落羽杉与水生植物争夺阳光属竞争关系，而蜜蜂为荔枝树传粉、蚂蚁保护蚜虫获取蜜露，生动展现了生物间的互利共生.捕食关系、寄生关系、竞争关系和共生关系在生态学中被称为生物间的相互作用.它们可以通过不同形态的曲线来描述.其中共生关系又叫互利共生，是两种生物彼此和谐互利地生活在一起，下列选项能表示共生关系的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2025河南模拟]物理知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大.嘉淇用如图1所示的装置探究两种液体压强与液体深度的关系时，画出了如图2所示的图象.根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．无法确定
3．[2025河南模拟]北京冬季奥林匹克运动会开幕式以“二十四节气”为主题的短片惊艳了世界.如图是某年部分节气对应的白昼时长［]示意图，下列结论中正确的是（ ）
A．立夏这天的日出时刻是5:30
B．白昼时长在12到15小时的有10天
C．立冬这天的日落时刻是17:00
D．小满时白昼时长最长
4．[2025河南模拟]在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．未挂物体时，弹簧的长度为
B．当所挂物体质量为时，弹簧的长度为
C．当所挂的物体质量超过时，弹簧的长度不会发生变化
D．弹簧的长度随着所挂物体质量的增加而增加
5．[2025周口太康一模]在物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法正确的是（ ）
图1 图2
A．实验开始时，冰块的温度为
B．加热后，冰块开始熔化
C．冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到
D．冰块熔化过程持续了
6．[2025河南模拟]天气瓶不仅是很漂亮的室内装饰品，还能预测次日的天气情况，其化学工作原理是：天气瓶内结晶状态会随温度变化发生改变.制作天气瓶用到的固体物质有硝酸钾和氯化铵，如图是两种物质的溶解度曲线.下列说法错误的是（ ）
溶解度：一定温度下，某固体物质在100克溶剂里达到饱和状态时所能溶解的溶质的质量.
A．温度每增加，硝酸钾溶解度的增加量相同
B．当温度为时，硝酸钾的溶解度是
C．氯化铵溶解度随温度的升高而增大
D．时，硝酸钾和氯化铵溶解度相同
7．[2025郑州一模]硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用.硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．当温度为时，硫酸钠在水中不溶解
B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同
D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在
8．[2025河南模拟]图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的长度（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即，之间的距离），在手柄转动过程中，千斤顶的高度随的长度的变化规律如图2所示，则图2中从点到点，千斤顶下降的高度为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
9．[2025郑州金水模拟]利用过氧乙酸可以对室内的空气进行熏蒸消毒.某跨学科兴趣小组设计了一个简易检测仪，检测室内空气中过氧乙酸气体的浓度，其电路原理如图1所示，电源电压为，为定值电阻，过氧乙酸气体传感器的阻值随过氧乙酸气体浓度 的变化关系如图2所示，未消毒时（ 为0），电压表示数为.消毒标准如下：为不合格，为合格，为超标.下列说法正确的是（ ）
信息窗 1.串联电路中各处的电流都相等. 2.串联电路两端的电压等于各部分电路两端电压的总和. 3.，其中为电压，为电流，为电阻.
图1 图2
A．随 的增大而增大
B．是 的反比例函数
C．定值电阻的阻值为
D．当电压表的示数为时，该次消毒不合格
10．[2025河南模拟]如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地.已知人对木板的压力与人的质量的关系如图2所示，小明和小亮的质量分别为和，且小明和小亮对木板的压强与木板面积的关系如图3所示，点为反比例函数图象上的一个动点，过点分别作横轴和纵轴的垂线，交横轴于点，交纵轴于点，交另一反比例函数图象于点，过点作纵轴的垂线，垂足为点，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（ ）
图1 图2 图3
A．由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比
B．图3中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系
C．当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大
D．四边形的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差
类型2 几何图形动点与函数图象分析
11．[2025河南模拟]如图1，点为正方形中边的中点.动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止.设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则当点运动到中点时，的长为（ ）
图1 图2
A．2 B．4 C． D．
12．[2024甘肃兰州]如图1，在菱形中， ，连接，点从出发沿方向以的速度运动至，同时点从出发沿方向以的速度运动至，设运动时间为，的面积为与的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
13．[2025河南模拟]如图1，在等腰中， ，于点.动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点时停止，过点作于点，作于点.在此过程中四边形的面积与运动时间的函数关系图象如图2所示，则的长为（ ）
图1 图2
A．8 B．4 C． D．
14．[2025湖北武汉]如图1，在中，是边上的定点.点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止.设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点.点的纵坐标是（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
15．[2025河南模拟]如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径运动，过点作，垂足为.设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
16．[2025河南模拟]如图1，在四边形中， ，点，都以每秒2个单位长度的速度同时从点出发，分别沿和的路线向终点运动，其中点先于点到达点，且到达后两点同时停止运动.记点的运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ）
图1 图2
A．
B．
C．当时，
D．当时，
17．[2025河南模拟]如图1，在矩形中，，，分别为，的中点，是线段上一动点，设，的周长为，图2是关于的函数关系图象，其中是图象上的最低点，则的值为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
18．[2024安徽]如图，在中， ,,,是边上的高.点,分别在边,上（不与端点重合）,且.设,四边形的面积为,则关于的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
19．[2024黑龙江齐齐哈尔]如图，在等腰中， ，，动点，同时从点出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点停止运动时，点也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为.下列图象能反映与之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
20．[2025黑龙江齐齐哈尔]如图，在菱形中， ，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为.下列图象能反映与之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
21．[2024山东烟台]如图，水平放置的矩形中，,.菱形的顶点,在同一水平线上，点与的中点重合，, .现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止.在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
22．[2024山东济南]如图1，是等边三角形，点在边上，,动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接.设点的运动时间为,为.当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示.有以下四个结论：;②当时，;③当时，;④动点沿匀速运动时，两个时刻,分别对应和,若,则.其中所有正确结论的序号是（ ）
图1 图2
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④
题型九 填空压轴
类型1 分类讨论问题
1．[2025驻马店上蔡模拟]正方形中，点是的中点，点在边上，且不与点，重合，当为等腰三角形时，的值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
2．[2025郑州高新区模拟]如图，正方形中，，已知点是边上的一动点（不与点，重合），将沿折叠，点的对应点为点，连接，，当是等腰三角形时，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（温馨提示：，）
3．[2025许昌一模]如图，在中， ，点为斜边上一动点，点关于直线的对称点为点，连接，，当时，的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
4．[2025商丘宁陵三模]如图，在菱形中，，，点和点分别为对角线和边上的动点（不与端点重合），连接，，，当是直角三角形时，的长为_ _ _ _ .
5．[2025驻马店平舆三模]如图，菱形中，点为对角线上一动点，作关于的对称图形，得到，点的对应点为点，射线与菱形的边交于点.若，，则当点为的三等分点时，的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（温馨提示：）
6．[2025驻马店汝南三模]如图，在中， ，为射线上一动点，连接，将沿折叠，已知点的对应点为点，，.当点落在直线上时，线段的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
7．[2025周口沈丘模拟]如图，在正方形中，，点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
类型2 双空题
8．[2025周口鹿邑三模]如图，在菱形中， ，，分别是，边上的动点，且满足，.
（1） 菱形的面积为_ _ _ _ _ _ ；
（2） 周长的最小值为_ _ _ _ _ _ .
9．[2025洛阳模拟]如图，在等边三角形中，点是边上一点，且，过点作于点，延长至点，使，连接，点是上一点，且，的延长线交边于点.
（1） 设 ，则的度数为_ _ _ _ _ _ _ _ （用含 的代数式表示）；
（2） 的值为_ _ _ _ .
10．[2025驻马店确山三模]如图，等边三角形中，，线段绕点在平面内旋转，连接，为的中点.若，则的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ ，最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
11．[2025驻马店驿城模拟]如图，在边长为4的正方形中，点在边上，且，若为平面内一点，且满足 ，连接，则线段的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ ，最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
12．[2025驻马店上蔡三模]如图，是等边三角形，是内一动点，将点绕点逆时针旋转 得到点，射线和射线交于点，则_ _ _ _ ；过点作交于点，连接，若，，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
13．[2025郑州中原模拟]如图，在边长为4的菱形中， ，点为边的中点，点为边上动点，连接，将沿折叠，得到，连接，则线段的最大值为_ _ _ _ _ _ ，最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
14．[2025郑州二七模拟]
（1） 知识铺垫：如图1，在中， ，作的外接圆，连接，，则的度数为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
图1
（2） 拓展应用：如图2，在边长为1的正方形中，点为边上的动点，点为对角线上的动点，且，，交于点，连接，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
图2
15．[2025郑州高新区模拟]如图，在矩形中，，，点是对角线上一个动点，连接，以为直角边在右侧作等腰直角三角形， ，连接.
（1） 当点落在上时，的长为_ _ _ _ _ _ ；
（2） 的最小值是_ _ _ _ _ _ .
16．[2025郑州金水模拟]如图，中， ，.在中， ，，直线与直线交于点.现将绕点旋转1周，在旋转过程中，_ _ _ _ ，线段长度的最大值是_ _ _ _ .
题型十 几何综合探究题
类型1 与动点有关的探究问题
1．如图，在中，， ，，点是上一动点（不与点，重合），，．
（1） 求的度数.
（2） 在点的运动过程中，的值是不是定值？说明理由.
（3） 当时，连接，三边上分别有动点、、（点在上），当的周长取最小值时，求的长．
2．[2024许昌一模]问题解决
（1） 如图1所示，在等边三角形中，点，分别在，边上，，交于点，且，则线段，的数量关系为_ _ _ _ _ _ _ _ ，的度数为_ _ _ _ _ _ .
图1
类比迁移
（2） 如图2，是等腰直角三角形， ，点，分别在，边上，，交于点，且．
图2
① 判断线段，之间的数量关系，并说明理由；
② 求的度数．
拓展探究
（3） 如图3，是等腰直角三角形，，若点是边上一动点，点是射线上一动点，在（2）的条件下，当动点沿边从点移动到点（可以与点重合）时，直接写出运动过程中的最大值和最小值．
图3
3．[2024南阳方城一模]中， ，为的中点，点在直线上（点不与点，重合），连接，过点作交直线于点，连接．
（1） 如图1，当点与点重合时，请直接写出线段与的数量关系：_ _ _ _ _ _ _ _ ；
图1
（2） 如图2，当点不与点重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
图2 备用图
（3） 若，，，请直接写出线段的长．
4．[2025甘肃]四边形是正方形,点是边上一动点（点除外）,是直角三角形,,点在的延长线上.
（1） 如图1,当点与点重合,且点在边上时,写出和的数量关系,并说明理由;
图1
（2） 如图2,当点与点不重合,且点在正方形内部时,的延长线与的延长线交于点,如果,写出和的数量关系,并说明理由;
图2
（3） 如图3,在（2）的条件下,连接,写出和的数量关系,并说明理由.
图3
5．[2023吉林长春]如图1,在矩形中,,,点在边上,且.动点从点出发,沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，作 ,交边或边于点,连接.当点与点重合时,点停止运动.设点的运动时间为秒.
图1
（1） 当点和点重合时,线段的长为_ _ _ _ _ _ ；
（2） 当点和点重合时,求的值;
（3） 如图2,当点在边上运动时,始终是等腰直角三角形,请说明理由;
图2
（4） 作点关于直线的对称点,连接，,当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时,直接写出的取值范围.
6．[2024江西]综合与实践
如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合）,连接,以为直角边在的右侧构造, ,连接,.
图1 图2 图3
特例感知
（1） 如图1,当时，与之间的位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ,数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ .
类比迁移
（2） 如图2，当时,猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想.
拓展应用
（3） 在（1）的条件下，点与点关于对称，连接,,,如图3.已知,设,四边形的面积为.
① 求与的函数表达式，并求出的最小值；
② 当时，请直接写出的长度.
类型2 与折叠有关的探究问题
7．[2022河南]综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
（1） 操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平.
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，.
根据以上操作，当点在上时，写出图1中一个 的角：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
图1
（2） 迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接.
① 如图2，当点在上时，_ _ _ _ ，_ _ _ _ ；
图2
② 改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由.
图3
（3） 拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长.
8．[2023南阳一模]在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
问题情景：在矩形中，点为边上一动点，点为边上一点，连接，将四边形沿折叠，点，分别落在点，处，设 .
（1） 如图1，若 ，，点为的中点，延长交于点,则与的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ，写出图中一个 的角：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
图1
（2） 如图2，若点为的中点，， ，延长交于点.求与的数量关系，并说明理由.
图2
（3） 如图3，若，，，连接，当点为的三等分点时，直接写出的值.
图3
9．[2024洛阳西工一模]综合与实践：
综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
（1） 操作判断：
如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点，再沿折叠，点落在点处，延长交于点，请写出线段与线段的数量关系：_ _ _ _ _ _ _ _ ；
图1
（2） 迁移思考：
如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断，这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断；
图2
（3） 拓展探索：
如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，请直接写出当时的值．
10．[2024新乡一模]
（1） 创设情境
如图1，在正方形中，，为线段上一动点，将沿翻折，得到，若的延长线恰好经过点，则_ _ _ _ ；
图1
（2） 发现问题
如图2，在矩形中，为线段上一动点，设，将沿翻折，得到，延长交于点，若，证明：点是的中点；
图2
（3） 问题解决
如图3，在中， ，，，为直线上一动点，设，将沿翻折，得到，在的延长线上找一点，使得，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点到直线的距离．
图3
11．[2025山东]【图形感知】
如图1,在四边形中,已知 ,,.
图1
（1） 求的长.
【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究.
在线段上取一点,连接.将四边形沿翻折得到四边形,其中,分别是,的对应点.
（2） 其中甲、乙两位同学的折叠情况如下:
① 甲:点恰好落在边上,延长交于点,如图2.判断四边形的形状,并说明理由.
图2
② 乙:点恰好落在边上,如图3.求的长.
图3
（3） 如图4,连接交于点,连接.当点在线段上运动时,线段是否存在最小值？若存在,直接写出;若不存在,说明理由.
图4
12．[2024山东济宁]综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形中，且足够长）进行探究活动.
图1
【动手操作】
如图2，第一步，沿点所在直线折叠，使点落在上的点处，折痕为,连接,把纸片展平.
第二步，把四边形折叠，使点与点重合，点与点重合，折痕为,再把纸片展平.
第三步，连接.
图2
【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论.
甲同学的结论：四边形是正方形.
乙同学的结论：.
（1） 请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确.若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由.
【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作.
如图3，第四步，沿点所在直线折叠，使点落在上的点处，折痕为,连接,把纸片展平.
第五步，连接交于点.
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：
.
图3
（2） 请证明这个结论.
类型3 与旋转有关的探究问题
13．[2018河南]
（1） 问题发现
如图1，在和中，，， ，连接，交于点.填空：
图1
① 的值为_ _ _ _ ；
② 的度数为_ _ _ _ _ _ .
（2） 类比探究
如图2，在和中， , ,连接交的延长线于点.请判断的值及的度数，并说明理由.
图2 备用图
（3） 拓展延伸
在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，，所在直线交于点.若，，请直接写出当点与点重合时的长.
14．[2017河南]如图1，在中， ,,点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点.
图1
（1） 观察猜想
图1中，线段与的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ，位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 探究证明
把绕点按逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
图2
（3） 拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值.
15．[2024平顶山一模]
（1） 观察发现：已知是直角三角形， ．将绕点顺时针旋转得到，旋转角为 ，直线交直线于点．如图1，当 时，四边形的形状为_ _ _ _ _ _ ，与的数量关系为_ _ _ _ _ _ _ _ .
图1
（2） 深入探究：在图1的基础上，将绕点逆时针旋转，旋转角为 ，如图2，当 时，直接写出线段，，的数量关系.继续旋转，如图3，当 时，请写出线段，，的数量关系，并说明理由.
图2 图3
（3） 拓展应用：在（2）的基础上，当时，若，，请直接写出的长．
16．[2024安阳一模]
（1） 【问题发现】
如图1，在中，， ，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，易知，则线段与的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
图1
（2） 【拓展研究】
在（1）的条件下，将正方形绕点旋转至如图2所示的位置，连接，，，请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论；
图2
（3） 【结论运用】
在（1）（2）的条件下，若的面积为8，当正方形旋转到、、三点共线时，请直接写出线段的长．
17．[2024鹤壁一模]探究式学习是新课程标准倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.在中， ，，点为边的中点，点为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转 ，点的对应点为点，连接,.
（1） 【初步感知】如图1，若点在线段上，则的度数是_ _ _ _ _ _ ；
图1
（2） 【拓展探究】如图2，若点在线段上，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明；
图2 备用图
（3） 【问题解决】若，点在线段上运动的过程中，当 时，请直接写出线段的长.
18．[2024周口一模]【特例感知】
（1） 如图1，为等腰直角三角形．将绕点逆时针旋转 得到，过作交直线于点，直线与直线交于点，则的形状为_ _ _ _ 三角形.
图1
【类比探究】
（2） 如图2，将背景图形“等腰直角三角形”换成“矩形”，其余条件均不变，（1）中的结论是否成立？请说明理由.
图2
【拓展应用】
（3） 在（2）的条件下，将“旋转 ”换成“旋转”．当是等腰三角形时，请直接写出 的度数．
19．[2024周口项城一模]综合实践课上，老师带领同学们研究“菱形背景下的旋转问题”．
问题情境：在菱形中， ,为边上一点（不与，重合），连接，并将射线绕点在平面内顺时针旋转，记旋转角为．
操作感知：（1） 小华取 ，如图1，射线旋转后与射线交于点，请你帮小华同学写出下面两个问题的答案：
图1
① 线段与的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 线段，，的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
猜想论证：（2） 小夏取 ，如图2，射线与射线交于点，小夏在笔记本上记录了自己的思考过程：
线段与的数量关系与（1）①相同……
但线段，，的数量关系好像不再成立……
我发现线段，，之间好像具有与（1）②类似的数量关系……
请你帮小夏同学写出线段，，之间的数量关系，并给出证明．
图2
拓展探究：（3） 小梦测量得到,，如图3，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在菱形的边或对角线所在直线上时，记点到直线的距离为，请你帮小梦同学直接写出所有大于的的值．
图3
20．[2024北京]已知,点,分别在射线,上，将线段绕点顺时针旋转 得到线段,过点作的垂线交射线于点.
（1） 如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；
图1
（2） 如图2，当点在内部时，作,交射线于点,用等式表示线段与的数量关系，并证明.
图2
21．[2025湖北]在中, ,将绕点旋转得到,点的对应点落在边上,连接.
（1） 如图1,求证:.
图1
（2） 如图2,当,时,求的长.
图2
（3） 如图3,过点作的平行线交的延长线于点,过点作的平行线交于点,与交于点.
图3
① 求证:；
② 当时,直接写出的值.
类型4 新定义问题
22．[2025河南模拟]等腰三角形是生活中常见的几何图形，我们称有两边相等的三角形是等腰三角形，类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫作“等邻边四边形”.
（1） 如图1，在四边形中添加一个条件：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，使得四边形是“等邻边四边形”；
图1
（2） 如图2，“等邻边四边形”中，，，且对角线、互相平分，请你证明“等邻边四边形”是正方形；
图2
（3） 如图3，“等邻边四边形”中，， ，、为对角线，，写出、、之间的数量关系，并证明你的结论.
图3
23．[2025焦作二模]综合与实践
定义：以一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫作筝形.
（1） 理解运用
如图1，正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点.点，，在格点上，请在图1所给的两个网格图中各画出一个筝形，要求在格点上.
图1
（2） 性质探究
根据定义可得出筝形边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.如图2，四边形是筝形.对角线所在的直线是它的对称轴.
图2
① 连接，与的关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 若，，写出筝形的面积（用含，的式子表示）.
（3） 拓展延伸
如图3，在中， ， ，，分别在边，上取点，，使四边形是筝形，请直接写出筝形的面积.
图3 备用图
24．[2025广西]【平行六边形】如图1,在凸六边形中,满足,,,我们称这样的凸六边形叫作“平行六边形”.其中与,与,与叫作“主对边”；和,和,和叫作“主对角”;,,叫作“主对角线”.
图1
（1） 类比平行四边形性质,有如下猜想,请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”.
猜想 判断正误
①平行六边形的三组主对边分别相等 _ _ _ _
②平行六边形的三组主对角分别相等 _ _ _ _
③平行六边形的三条主对角线互相平分 _ _ _ _
【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫作“菱六边形”.
（2） 如图2,已知平行六边形满足.求证:平行六边形是菱六边形.
图2
（3） 图3是一张边长为3,4,6的三角形纸片.剪裁掉三个小三角形,使剪裁后的纸片为菱六边形.请在剪裁掉的小三角形中,任选一个,求它的各边长.
图3
25．某学校数学兴趣小组的成员在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：
新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在原长方形的对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”.如图，在长方形中，，是对角线.
图1
（1） 如图2，把长方形绕点逆时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，如果的度数为 ，求“对角旋转角”的度数（用含有 的代数式表示）；
图2 备用图
（2） 在（1）的条件下，已知 ，把长方形绕点顺时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，求的度数；
（3） 在长方形中，，在（1）（2）的基础上，经过“对角旋转”，点的对应点分别为点和点，连接、，的面积为312，的面积为130，求长方形的面积．
压轴题型组合练17 （选择、填空、解答压轴题）
1．光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，果实的品质越好.某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在水资源及光照充分的条件下，研究温度（单位：）对光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响，并将得到的相关数据绘制成如图所示的图象.请根据图象，判断下列说法中不正确的是（ ）
A．草莓的光合作用产氧速率先增大后减小
B．当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大
C．草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大
D．草莓中有机物积累最快时的温度约为
2．如图，在菱形中，，对角线，交于点，是上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到，且，连接，，若是直角三角形，则的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3．如图是一张平行四边形纸片,是一条对角线,,.
图1 图2
（1） 如图1，将平行四边形纸片沿折叠,点的对应点落在点处,交于点.
① 试猜想与的数量关系,并说明理由;
② 求的面积.
（2） 如图2,点,分别在平行四边形纸片的边,上,连接,且,将平行四边形纸片沿折叠,使点的对应点落在边上,求的长.
压轴题型组合练18 （选择、填空、解答压轴题）
1．如图1，一条细线的一端固定，另一端悬挂着一个小球，我们把点称为平衡位置，把小球拉开一个小角度至处，放开小球后，理想状态下，小球将沿着圆弧左右往返摆动，，两点为摆动过程中的最高点（往返摆动一次的时间称为周期）.我们规定小球在平衡位置左侧到平衡位置的水平距离记为正数，小球在平衡位置右侧到平衡位置的水平距离记为负数.通过记录相关数据，描绘了小球到平衡位置的水平距离关于时间的图象，如图2所示，则下列说法中，正确的是（ ）
图1 图2
A．小球摆动一个周期需要
B．当时，小球在最高点处
C．当时，小球处在下降过程中
D．当时，小球在平衡位置处
2．如图，在菱形中， ，，点为边上一点，，点为边上的一动点，沿将翻折，点落在点处，当点在菱形的对角线上时，的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3．如图,在菱形中, ,点为线段上一动点,点为射线上的一点（点与点不重合）.
图① 图② 备用图
【问题解决】
（1） 如图①,若点与线段的中点重合,则_ _ _ _ ,线段与线段的位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
【问题探究】
（2） 如图②,在点运动的过程中,点在线段上,且 , ,写出线段与线段的数量关系,并说明理由;
【拓展延伸】
（3） 在点运动的过程中,将线段绕点逆时针旋转 得到,射线交射线于点,若,,求的长.
压轴题型组合练19 （选择、填空、解答压轴题）
1．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度与液体密度，单位：是反比例函数关系，其图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度满足时，该液体密度
D．当液体密度 满足时，浸在液体中的高度
2．如图，在等腰中，， ，为边的中点，为边上的一个动点，连接，将沿折叠，点的对应点为，当时，的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3．矩形中,,,点是线段上异于点的一个动点,连接,把沿直线折叠,使点落在点处.
【初步感知】
图2
（1） 如图1,当为的中点时,延长交于点,求证:.
图1
【深入探究】
（2） 如图2,点在线段上,.连接，在点移动的过程中,求的最小值.
【拓展运用】
（3） 如图2,点在线段上,.在点移动的过程中,当点在矩形内部,且是以为斜边的直角三角形时,求的长.
压轴题型组合练20 （选择、填空、解答压轴题）
1．布洛芬是一种解热镇痛抗炎药，该药在人体内发挥药效的最低血药浓度为.某研究部门将一批相同症状的患者分为两组，甲组服用布洛芬片剂，乙组服用等效的布洛芬缓释胶囊，两组均于上午8：00服药并定时进行静脉抽血测验，测得平均血药浓度随时间变化的关系图象如图所示.下列结论错误的是（ ）
A．甲组服药后，血药浓度最高
B．布洛芬缓释胶囊起效更快
C．服药后的前，两组患者体内的血药浓度均随时间的推移而增大
D．布洛芬缓释胶囊的药效持续时间更长
2．如图，在梯形中， ，，，是边上一动点，将沿折叠，的对应点恰好落在梯形的边上，则的长是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3．如图①,在中, ,,,将沿方向平移,得到,过点作,交的延长线于点,为的中点.点从点出发,沿方向匀速运动,速度为；同时,点从点出发,沿方向匀速运动,速度为.连接,,.设运动时间为.解答下列问题:
图① 图② 备用图
（1） 当时,求的值.
（2） 如图②,当时,设的面积为,求与之间的函数关系式.
（3） 当时,是否存在某一时刻,使是直角三角形？若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
压轴题型组合练21 （选择、填空、解答压轴题）
1．太阳能路灯以太阳能为动力源，白天通过太阳能电池板收集太阳光中的能量，将太阳能转化为电能并储存起来，晚上释放电能用于照明.如图是某型号太阳能电池板在某天的6时和18时之间的发电功率随时间（时）变化的图象，下列说法正确的是（ ）
A．最大发电功率和最小发电功率相差
B．当天发电功率超过的时长为
C．从10时到14时，太阳能电池板的发电功率逐渐增大
D．8时和16时太阳能电池板的发电功率相同
2．如图，将正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，再把纸片展平，点是边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在上，延长交于点，交的延长线于点，则_ _ _ _ ；_ _ _ _ _ _ .
3．【问题背景】在学行四边形后,某数学兴趣小组研究了有一个内角为 的平行四边形的折叠问题.其探究过程如下:
图① 图②
【探究发现】 如图①,在中, ,,为边的中点,点在边上,且,连接,将沿翻折得到,点的对称点为点.小组成员发现四边形是一个特殊的四边形,请判断该四边形的形状,不需要说明理由.
【探究证明】 取图①中的边的中点,点在边上,且,连接,将沿翻折得到,点的对称点为点.连接,,如图②.求证:四边形是平行四边形.
【探究提升】 在图②中,四边形能否成为轴对称图形？如果能,直接写出的值；如果不能,说明理由.
压轴题型组合练22 （选择、填空、解答压轴题）
1．在一次物理实验中，小明同学利用固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值是定值）亮度的实验（如图1）.已知串联电路中，电流与电阻、的关系为，图2是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（ ）
图1 图2
A．灯丝的阻值为
B．用含的代数式表示为
C．当滑动变阻器的电阻为 时，串联电路电流为
D．要使通过灯泡的电流不低于，则滑动变阻器电阻的调节范围为
2．如图，在中， ，，点为的中点，点，分别是边，上的动点，且，点是的中点，连接，.
① 的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 当最大时，线段的长是_ _ _ _ _ _ _ _ .
3．如图1,将绕直角顶点旋转至,点,的对应点分别为,.连接,,,,直线与交于点.
图1 图2
（1） 与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由.
（2） 如图2,连接,若,,的中点分别为,,，求证:,,三点共线.
（3） 已知,随着,及旋转角的变化,若存在以,,,为顶点的四边形,其面积为,则的最大值为_ _ _ _ .
压轴题型组合练23 （选择、填空、解答压轴题）
1．图1所示的家用扫地机器人的底部安装有滚刷，内置集尘器.机器人在除尘时先“脱灰”（滚刷将灰尘从地面上脱离），后“吸灰”（将灰尘转移进集尘器）.为研究滚刷滚速对“脱灰”效果的影响，小静在保持扫地机器人“吸灰”效果一定的情况下，对“吸灰”过程中滚刷的滚速与除尘能力（在地面撒灰后，清扫十次所减少的灰占所撒的灰总质量的百分比）进行了试验，得到图2，规定除尘能力超过即为及格.下列说法正确的是（ ）
图1 图2
A．除尘能力关于滚刷的滚速的图象是反比例函数图象的一部分
B．除尘能力与滚刷的滚速成正比
C．当滚速为1 300转/分时，除尘能力及格
D．当除尘能力为时，滚刷的滚速为1 400转/分
2．如图，已知中， ， ，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，折痕的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3．如图1，点是等边三角形内的任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，.试探究与周长的关系.记，的周长.
图1 图2 图3 图4
（1） 从特殊情形入手：
① 若点在的中心，如图2，此时与的关系为_ _ _ _ _ _ _ _ .
② 若点在的高线上，如图3，此时①中的结论还成立吗？请说明理由.
（2） 若点不在的高线上，如图4，研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决，请写出解决过程.
压轴题型组合练24 （选择、填空、解答压轴题）
1．某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低.如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率随充电时间（分钟）变化的函数图象，下列说法错误的是（ ）
A．本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量
B．本次充电40分钟时，汽车电池含电率达到
C．本次充电持续时间是120分钟
D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时
2．如图,在中,,点在边上,,, ,则的值为_ _ _ _ ；点在的延长线上,连接,若,则的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
3．综合与实践
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的另一边于一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫作“垂对三等分平行四边形”，垂足叫作“垂三等分点”.
（1） 理解应用
如图1，在中，于点，交于点，若为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，是垂三等分点.若，，，则_ _ _ _ ；_ _ _ _ _ _ .
图1
（2） 问题探究
如图2，在垂对三等分平行四边形中，是垂三等分点，且满足.若，试猜想与的数量关系，并说明理由.
图2
（3） 拓展延伸
如图3，已知四边形是矩形，过点作于点，交于点，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度.
图3
【参考答案】
突破三 压轴题型
题型八 选择压轴
类型1 跨学科实际问题中的函数图象分析
1．A 2．A 3．C 4．D 5．C 6．A 7．C 8．A 9．D 10．D
类型2 几何图形动点与函数图象分析
11．D
12．C
13．C
14．B
15．B
[解析]由图象得，当点在边上，时，，
设，则，
在中，，
即，
解得，.
16．B
[解析]结合图象知点从点到点的时间为，
，选项正确；
当点到达点时，，
，
解得，
点从点到点的时间为，
，
当点到达点时，点在上，，选项错误；
当时，点在上，点在上，，
，选项正确；
当时，点在上，点在上，
，
结合图象知，
易知，，，，
，选项正确.
17．C
[解析]由函数的图象得的最大值为，即，
在矩形中， ，
，
如图，取，的中点，，连接，作关于的对称点，连接交于，此时的值最小，为的值，
为的中位线，
，
同理可得，，的长等于到的距离，
，
，
，
.
18．A
19．A
20．A
21．D
22．D
题型九 填空压轴
类型1 分类讨论问题
1．1或
[解析]当为等腰三角形时，有以下两种情况：
①当时，如图1所示.
图1
易得，
，
点是的中点，
，；
②当时，如图2所示.
图2
设，则，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
，，
.
综上，的值为1或.
2．或2
[解析]如图1，是等腰三角形，且，则，连接，
图1
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
在上取一点，连接，使，
，
，
，
，
，且，
，；
如图2，是等腰三角形，且，则，
图2
是等边三角形，
，
，
，
，
，；
假设是等腰三角形，且，则，
，
，
，
，
，
，
，
此时点与点重合，不符合题意，舍去.
综上所述，的长为或2.
3．或
[解析]①如图，当点为斜边的中点时，，连接，
根据轴对称可得，，
在中， ，
， ，
，
即，为等边三角形，
，
为等边三角形，
，符合题意，此时；
②如图，当点在斜边上时，
则，， ，，设，
易知 ，
，，
，符合题意，此时.
综上，的值为或.
4．4或5
[解析]过点作于点，
四边形是菱形，，，
，，
设，，
，
，，，
，
连接交于，
，
，
，
，
.
①当点为的直角顶点时，
，
，；
②当点为的直角顶点时，
，
，
设，则，，
，，.
综上所述，的长为4或5.
5．或
[解析]连接交于点， 四边形为菱形，
， ，
，
分两种情况：①当时，，，
如图，设与交于点，
由对称性可知，，，又，
，
，
设，则，
，
在中，，
即，
解得（舍去），，
，
，，
，
，；
②当时，
由对称性可知，，，，，
过点作于点，如图，
，，
，
，
设，则，
易得，
，
，，
在中，，
即，
解得（舍去），，
.
综上，的长为或.
6．或6
[解析]，， ，，
如图，当点在线段上时，
由折叠可知，，
，
设，则，
在中，，
，解得，
即；
如图，当点在线段的延长线上时，
由折叠可知，，
，
设，则，
在中，，
，解得，即.
综上，的长为或6.
7．或
[解析]过点作于点，
则 ，
由旋转知，
点在以点为圆心，以长为半径的上运动，
当最大时，与相切于点，
，
正方形中，，
，
，，
，
，
，
，，
，则.
当点在线段上时，如图，
，
；
当点在延长线上时，如图，
，
.
综上，的长为或.
类型2 双空题
8．（1）
（2）
[解析]如图，连接，
四边形是菱形， ，
， ，
，都是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
根据垂线段最短可知，当时，的长最短，
如图，过作，垂足为，
， ，
，
，即的最小值为，
周长的最小值为.
9．（1）
（2） 2
[解析]如图，连接，过作，交于，则，
由条件可知垂直平分，
， ，
， ，
，
四边形是平行四边形，
，
由（1）知，
，，
，
又， ，
，
，
.
10．；
[解析]如图，取的中点，连接，，
则为的中位线，
，
是等边三角形，.
又是的中点，.
在中，由勾股定理，得，
当点，，在同一条直线上时，可取得的最大值和最小值.
的最大值为，的最小值为.
11．；
[解析]取的中点，连接，
，
点在以点为圆心，以为直径的圆上，
四边形为正方形，且边长为4，，
， ，
，
，
的最小值为，最大值为.
12．60；
[解析]如图1所示，连接，，设，交于，
图1
由旋转的性质可得， ，
， ，
，
，
，
又， ， .
、、、四点共圆，
.
， 点在以点为圆心，3为半径的圆上.
，
，
当最小时，有最小值，
当与相切于点时，最小，此时有最小值，如图2所示，
图2
此时 ，
，，
设，则，
，
在中，，
，
解得或（不符合题意，舍去），.
13．；
[解析]由折叠及菱形的性质得，
点的轨迹是以为圆心，4为半径的，
当与重合时，与重合，此时的值最大，过作交延长线于，如图.
，点为边的中点，
，，
，
，，
，
，
的最大值为；
当时，的值最小，如图，此时，，三点共线，
，
，
，
，
的最小值为.
14．（1）
（2）
[解析]如图，作的外接圆，圆心为点，连接，，，，
四边形是边长为1的正方形，
， ，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当，，三点共线时，取得最小值，最小值为.
15．（1）
（2）
[解析]过点作于点，的延长线交于点，分别过点作于点，于点，如图所示.
设，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，，，
四边形和四边形均为矩形，
，，
在中，由勾股定理得，
，
当时，的值最小，最小值为，
的最小值为.
16．90； 14
[解析] ，
，
，
，
.
设、交于点，如图1，
图1
，
.
点在以为直径的圆上运动，
，
在直角三角形中，由勾股定理得，
由等腰直角三角形可知，点到的距离为，
即弦在直径的下方，如图2，
图2
、两点在以为圆心，以6为半径的上，
当与相切于点时，取最大值，
此时 ，，
四边形为正方形，则，
在直角三角形中，由勾股定理得，
的最大值为
题型十 几何综合探究题
类型1 与动点有关的探究问题
1．（1） 解： .
（2） 的值为定值，理由如下：
过点作交的延长线于点，交于点，如图.
， ，
， ，
，即平分.
，为等腰三角形，.
，.
，
，
，
，.
（3） 在上取一点，分别过点作关于的对称点，作关于的对称点，
连接与交于点，与交于点，连接，，如图.
由对称的性质可知，，，，，
为等腰三角形，
，
.
，大小一定，
当等腰三角形顶角一定时，腰长越短，底边越短，
当，的值最小时，的值最小，，
即当的值最小时，的周长取得最小值，为的长，
当时，的值最小，即，
，.
2．（1） ；
（2） ① 解：.理由如下：
是等腰直角三角形， ，
，，
，即，
，
又，
，
，，
.
② .
（3） 的最小值为，最大值为8.
3．（1）
（2） 解：.
理由：如图，过点作交的延长线于，连接.
，，
，，
在和中，
，
，.
又，.
，，
.
（3） 的长为或1.
4．（1） 解：.理由如下:
四边形是正方形,, .
.
,点与点重合,
,
,
.
（2） .理由如下:
四边形是正方形,
,
.
是直角三角形,
, ,
,.
,,.
,.
（3） .理由如下:
如图,过点作于点,
,, .
,,
是的中位线,.
由（2）知,,
,
,
又,,
,
在中,,即.
5．（1）
（2） 解：如图,
, ,
, ,,
,.
,,
.
（3） 如图,过点作于点,
由（2）易得,
由已知得四边形是矩形，
.
又，
,
,,
始终是等腰直角三角形.
（4） 或或.
6．（1） ；
（2） 解：,.证明如下:
, ,
.
,
，
,，
.
,
,
即 ，
.
（3） ① 由（1）知,当时,,,
根据题意得,.
,
，
，
.
点与点关于对称,
，
四边形是正方形，
，
当时,的最小值为18.
② 或.
类型2 与折叠有关的探究问题
7．（1） 或或或.（任写一个即可）
[解析]详解：如图1，延长交于点，根据平行线分线段成比例定理得，又因为 ，所以垂直平分,.因为，所以 .因为，所以 .
图1
（2） ① 15； 15
② .理由如下：
四边形是正方形，, .
由轴对称的性质，得, .
,.
是公共边,
.
.
（3） 或.
[解析]详解：由（2）可得.设.当点在线段上时，如图2，,,，，，.
在中，由勾股定理得，即，解得.
当点在线段上时，如图3，同理可得,,.
在中，由勾股定理得，即,解得.
故的长为或.
图2 图3
8．（1） ； （答案不唯一，写出一个 的角即可）
（2） 解：.
理由：连接，
为的中点，，
由折叠的性质可知， ，
，，
，
.
（3） 或
9．（1）
（2） 解：，
证明：连接，如图，
四边形是平行四边形，
.
点是的中点，，
由折叠知，，，，，
，
，
，.
（3） .
10．（1） 2
（2） 证明：如图，连接，
由折叠的性质，知，
又，
，
，
，
，
由折叠的性质，知，
，
又 ,，
，
，
，即点是的中点.
（3） 解：点到直线的距离为或16.
11．（1） 解： ，，
，又 ，
，，
，，，
，，.
（2） ① 四边形是矩形，理由如下：
由折叠的性质得 ，，
，
，
又 ，
四边形是矩形.
② 如图，延长，，相交于点，连接，
由折叠的性质得 ，，，，
点恰好落在边上，
，
四边形是正方形，
，，
，
点在对角线上.
在中， ，，，
.
四边形是正方形，
，，
，，
，
.
（3） 线段存在最小值，最小值为.
[解析]详解：由折叠的性质得，，
直线是线段的垂直平分线，
，
点在以为直径的的一段弧上运动.如图，连接，，
则，当点在线段上时，线段有最小值，
，，，
线段的最小值为.
12．（1） 解：甲、乙的结论都正确.证明如下：
四边形是矩形，
，
由折叠知,
，
四边形是矩形.
,
矩形是正方形.
故甲的结论正确.
由折叠知，
如图，过点作于点，
四边形是正方形，
,
为等腰直角三角形，
.
又,
,
在中，
.
故乙的结论正确.
（2） 证明：由折叠知，, .
四边形是矩形，，，
，
，.
由折叠知,, ,
，
，
，
，
，
.
类型3 与旋转有关的探究问题
13．（1） ① 1
②
（2） 解：， .
理由如下：
, ,,
又,即，
.
，.
,
.
.
.
（3） 的长为或.
提示:在旋转过程中，（2）中的结论仍成立，即， .
如图所示，当点与点重合时，，的长即为所求.
14．（1） ；
（2） 解：等腰直角三角形.
理由如下：
由旋转可得.
又，，
.
，.
点，分别是，的中点，
是的中位线.
且.
同理可证且.
，，.
,.
，即为等腰直角三角形.
（3） .
[解析]详解：同（2）可证是等腰直角三角形，，.
又知，
，
当的值最大时，最大.
当在延长线上时，的值最大，
则的最大值为，
的最大值为.
15．（1） 正方形；
（2） 解：当 时，.
[解析]详解：连接，
， ，，
，，
，，
.
当 时，.
理由：连接，
同理，，
.
，，
.
（3） 的长为9或15.
16．（1）
（2） 解：.
证明： 在中，， ，
， ，
四边形是正方形，
， ，
，，
，
，
.
（3） 或.
17．（1）
（2） 解：.
证明:如图,过点作边的垂线交于点,
,
.
将线段绕点顺时针旋转 ,点的对应点为点,
, ,
,
.
在中, , ,
,
,
.
在中,,
.
（3） 的长为或.
18．（1） 等腰
（2） 解：成立.理由如下：
根据旋转可知， ，，
为等边三角形，
.
四边形和四边形为矩形，
，
.
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形.
（3） 或 或 .
[解析]详解：易知当 时，
不是等腰三角形.
当 时，如图，
根据旋转可知， ，， .
四边形和四边形为矩形，
，
，
，
.
， ，
，，
，
，解得 .
当 时，如图，
根据旋转可知， ，，
，
四边形和四边形为矩形， ，
， ，
，
，
，
， ，
，，
，
，
解得 .
当 时，如图，
根据旋转可知， ，，
，
四边形和四边形为矩形， ，
，
，
，
，
， ，
，，
，
，
解得 .
综上， 或 或 .
19．操作感知：（1） ①
②
猜想论证：（2） 解：.
证明：如图，连接.在上截取，连接.
在菱形中，， ，,为等边三角形.
.
又，
为等边三角形，
.
又 ，
.
又 ,，
.
,
.
拓展探究：（3） ，
20．（1） 证明：连接，
由题意得， ，
.
，
，
，.
，
，
，
，，
点是的中点.
（2） 解：.证明如下：
在射线上取点，连接，使得，取的中点，连接，，
，
，
，
，
又，
，
， ，
.
，
， ，
是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
.
21．（1） 证明： 将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，
，，，
，
.
（2） 解：，， ，
，，
，
如图，过点作于点，
，
，
在中，，
即，
解得或（舍去），
在中，，
，
，
，即，
.
（3） ① 证明： ，
，
,,,
，
，
，
,，
，
，
在和中，
，
，
又，
.
② .
类型4 新定义问题
22．（1） （答案不唯一）
（2） 证明： 对角线、互相平分，
四边形是平行四边形.
又，是矩形.
又，
矩形是正方形.
（3） 解：，证明如下：
将绕点旋转得到，连接，如图所示，
则，，
，，，，
，
，，
又，，
，
，
，
即 ，
，
，.
23．（1） 解：①如图（作法不唯一）.
②如图.
（2） ① 垂直平分
② .
（3） 筝形的面积为或.
[解析]详解：连接，.
当所在直线为筝形的对称轴时，如图，过点作于点，
四边形是筝形，
，， ，
在中， ， ，，
，是等腰直角三角形，，
在中，，
在中， ，
，，
由勾股定理得，即，
，
，
解得，
，
.
当所在直线为筝形的对称轴时，如图，
四边形是筝形，
，，
，，
，
，
，，
是直角三角形斜边上的中线，，
是等边三角形，
，
在中， ，
，
由勾股定理得，，，
.
综上所述，筝形的面积为或.
24．（1） 错误； 正确； 错误
（2） 证明：过点作，且，连接，，
则四边形是平行四边形，
，，
在平行六边形中，，，
，，
四边形为平行四边形，
，，
在平行六边形中，，，
，，
四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
平行六边形是菱六边形．
（3） 解：设三角形纸片为，裁剪后的纸片为菱六边形，
，，，，
，，
，，
设，
则，，
，，，
，
，
解得.
中，，，．
（答案不唯一）
25．（1） 解：由题意可知“对角旋转角”为， ，
，
即“对角旋转角”的度数为 ．
（2） 由旋转可知，，
，
，
，
由旋转可知，，
，
.
（3） ，，，，，
，，
，
，
，，
．
压轴题型组合练17 （选择、填空、解答压轴题）
1．C
2．或
[解析] 四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，
， ，
，，，
， ，
将线段绕点逆时针旋转到，，
，，
，
， ，
，是定值.
若是直角三角形，则分两种情况：
①当 时，，则，
；
②当 时，，则，
.
综上所述，的长为或.
3．（1） ① 解：．
理由：由折叠得，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
又，
，
.
② ，，
如图，过点作于点，过点作于点，
，
，，
，
，
，
，
．
（2） 如图，过点作于点，连接交于点，过点作于点，
由折叠得，
，，
易得，
，
，
，
，
.
四边形是平行四边形，，，
，
又 ，
，
，
，，
，，
，即，
解得．
压轴题型组合练18 （选择、填空、解答压轴题）
1．C
2．2或
[解析]分两种情况：①连接，当点在菱形的对角线上时，如图1，
图1
由折叠得，，
四边形是菱形， ， ，
，
.
②连接，当点在菱形的对角线上时，如图2，
图2
设，
由折叠得，， ，
，，
易得为等边三角形，
，
，
，
，
，即，
，，
解得或（不合题意，舍去），.
综上所述，的长为2或.
3．（1） 30；
（2） 解：.
理由：如图，把绕点顺时针旋转 得到，连接，
， ，，
为等边三角形，
，，
点在线段上，且 ， ，
， ，
， ，
，
.
.
（3） 如图，当在线段上时，记射线与交于点，
在菱形中，，，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
易得为等边三角形，
，
.
如图，当在线段上时，延长交射线于，
同理可得， ，
，
设，则，
，
，
,
，，.
综上，的长为2或.
压轴题型组合练19 （选择、填空、解答压轴题）
1．C
2．或
[解析]设直线交于.
当在下方时，如图，
， ，
， ，
将沿折叠，点的对应点为，为边的中点，
，，
，
，是等腰直角三角形，，
，
，
当在上方时，如图，
同理可得，
，
，
，
.
综上，的长为或.
3．（1） 证明：如图，连接,
由折叠可得 ,.
四边形为矩形, .
为的中点,,
.
在与中,,,
,
.
（2） 解：由折叠可得,则在点移动的过程中,的长不变，
点在以为圆心,10为半径的上.
如图，连接,
当点在线段上时,取最小值.
,,，,
,
的最小值为
（3） 如图，过点作于点,交于点，
则 ，.
,即 ,.
,,
,.
,,.
设,则,,则.
,,
,
，
,解得.
,，.
设,则,.
在中,,即，
解得,即的长为5.
压轴题型组合练20 （选择、填空、解答压轴题）
1．B
2．20或
[解析]当落在上时，如图，
将沿折叠，
，
，
四边形是矩形，
.
当落在上时，过作于，如图，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
将沿折叠，
，，
在中，，，
设，则，，
在中，，
解得，，
在中，.
综上，的长是20或.
3．（1） 解：由题意得，，
在中， ，，，
，
由平移的性质得 ，，，，.
为的中点，
，
，，，
即 ，，
，
，
即，解得.
（2） 当时，点在线段上，
如图，作于点，于点，
，，
，，，
，
，
即，，
同理,，
即，
，
.
.
（3） 存在.
由题意得 .
当 时，作于点，交延长线于点，如图，
同（2）得，，
，
在中，，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
,.
当 时，作于点，
，，
，
，即，
，，
.
，
，
，，
即，，
，.
综上，的值为或.
压轴题型组合练21 （选择、填空、解答压轴题）
1．D
2．30；
[解析] 四边形是正方形，
，，，
由题意得，，， ，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
设，则，，
，
，
.
3．【探究发现】 解：四边形是菱形.
【探究证明】 证明： 将沿翻折得到，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
为边的中点，为边的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是菱形，
，，
，，
四边形是平行四边形.
【探究提升】 四边形能成为轴对称图形，的值为或.
[解析]详解：由【探究证明】知，四边形是平行四边形，若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形.
当四边形是矩形时，过作于，过作于，如图，
易得四边形是矩形，
，.
，
，，
设，则，
，
为的中点，
，.
四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
.
， ，
，
，
.
，
，
.
当四边形是菱形时，延长交于，如图，
设，则，
四边形是菱形，
.
，，
四边形是平行四边形， ，
，，，
是等边三角形，
，
，
.
综上所述，四边形为轴对称图形时，的值为或.
压轴题型组合练22 （选择、填空、解答压轴题）
1．D
2．①
②
[解析]当最大时，点到直线的距离最大，连接，
由题意可知点在以为圆心，为半径的圆上，
当与圆相切时，点到直线的距离最大，即最大，
此时，过点作于点，如图所示，
与相切，
，
在中，，，
由勾股定理得，
，
，
，，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
，
当最大时，线段的长是.
3．（1） 解：相等.
理由：过点作于点，过点作交的延长线于点，如图，
，
由旋转可知，， ，
，
，
，
，
,
，，
.
（2） 证明：连接，，，,，，如图，
，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
点、分别为、的中点，
，，
，
，
四边形是菱形，
是的中点，
与共线，即，，三点共线.
（3） 25
[解析]由（1）知，，，为定值， 当取最大值时，取最大值，易知当时，取最大值，为1，
此时,.
，
，
当，且时，取最大值，为25.
压轴题型组合练23 （选择、填空、解答压轴题）
1．D
2．或
[解析]分两种情况：
①如图，当 时，
在中， ， ，，
，，
由折叠可得， ，
，
，
，
，
，
，
，
.
②如图，当 时，
由题可得， ， ，
， ，
，，
又，
，，
过作于，则 ，
，，
由折叠可得， ，
是等腰直角三角形，
.
综上，折痕的长为或.
3．（1） ①
② 解：①中的结论仍成立，理由如下：
点在等边的高线上，
，，
，，，
，
，
，
，，
，
，.
（2） 如图，过点作于点，交于，过点作于，过点作于点，作于点，
，
四边形是矩形，，
同理得四边形是矩形，
，
易知 ，
，，
，
由（1）可得，
，
.
压轴题型组合练24 （选择、填空、解答压轴题）
1．D
2．4；
[解析]作,,，垂足分别为,,，则四边形为矩形，
,，,，
，
为等腰直角三角形，
，，，，
，，
，
设，则，，，
,，
，
在中，，由勾股定理，得，
（负值舍去），，，
，,，，
，
又，，
，
，，
，解得（舍去）或.
3．（1） 2；
（2） 解：.理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
设，则，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，.
（3） 或.
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