2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第五章 一次函数 单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．小深在周末进行骑行训练．他从家出发，以的速度匀速骑行，用时小时骑行千米．下列说法正确的是（ ）
A．10是常量，和是变量 B．10和是常量，是变量
C．10和是常量，是变量 D．以上说法均错误
2．某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B． C． D．
3．若关于的函数是一次函数，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．给出下面函数：①；②；③；④．其中是的正比例函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B．全体实数 C． D．
6．有x支球队参加篮球比赛，每两个队之间比赛一场，共比赛了y场，则y与x之间的函数关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离与两车行驶的时间之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（ ）
A．乙车的速度是 B．乙车比甲车晚出发，却早到
C．乙车出发后追上甲车 D．当甲、乙两车相距时，或
8．在同一平面直角坐标系中，对于函数：①，②，③，④的图象，下列说法正确的是（ ）
A．通过点的是①和③ B．交点在轴上的是②和④
C．①和③都与函数的图象平行 D．关于轴对称的是②和③
9．正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
10．化学实验课上完后，小慧同学在清洗杯子时发现：匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间可以近似地看作某种函数关系，则其函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．函数中，自变量的取值范围是 ．
12．小军用100元去买单价为5元的笔记本，他买完笔记本之后剩余的钱元与买这种笔记本数量本之间的关系式为 ．
13．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为 ．
14．两条直线和的位置关系为 ．由此可知，方程组的解的情况为 ．
15．如图，将函数图象向下平移1个单位长度后，得到直线，则原函数表达式为 ．
16．已知，，在轴上求一点，使最小，则点的坐标是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．分别指出下列关系式中的变量和常量：
(1)设地面气温是，如果每升高，气温下降，气温与高度的关系式是．
(2)一个长方体盒子高为，底面是正方形，这个长方体的体积与底面边长的关系式是．
18．已知与成正比例，且当时，
(1)求关于的函数表达式．
(2)当时，求的值．
19．如图①，长方形的边的长为，动点H以的速度从点A出发沿折线匀速运动到终点D，设点H的运动时间为，的面积为S，S与t之间的关系如图②所示．
(1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是_________，因变量是_________．
(2) _________， _________；
(3)点H的运动时间为时，求的面积b．
20．如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点，在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化．
(1)如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积；
(2)当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？
21．如图，直线与直线交于点，与轴、轴分别交于点和点，
(1)求的值；
(2)直接写出二元一次方程组的解；
(3)若点是轴上一点，当的值最小时，求点的坐标．
22．探究与应用
【探究发现】
小文和他的同学们在学习完函数及一次函数后，成立了一个数学研究小组，准备用他们已经掌握的函数的探究路径，即：定义→图象→性质→应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：点A是数轴上一点，表示的数是1；点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，AB的距离为y，随着x的变化，AB的距离y会如何变化呢？
（1）数学小组通过列表得到以下数据：
x 0 1 2 3 4 5 …
y 3 2 1 0 1 2 3 m …
其中________．
数学小组发现给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，y是x的函数吗？________（填“是”或“不是”）．
（2）请通过描点，连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质：___________________________________________．
【应用拓展】
若点，均在该函数图象上，请直接写出a，b满足的数量关系：_________．
将该函数图象在直线上方的部分保持不变，下方的图象沿直线进行翻折得到新函数图象，若一次函数与该函数图象只有一个交点，则的取值范围为_________．（备注：直线即过点且与轴平行的直线）
23．如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数．
(1)当时，求函数的表达式．
(2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”）
(3)要使输出结果为2，求应输入的值．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，直线与直线交于点，与轴交于点，且．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，若点是线段上的一动点，连接、，点、分别是轴和轴上的两个动点，连接、、，当，求点的坐标及的最小值；
(3)如图3，将直线向右平移个单位长度得到直线，直线与轴交于点，连接，在轴是否存在动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第五章 一次函数 单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B C C C D C B A
1．A
本题考查了常量和变量的定义．
根据常量是固定不变的量，变量是变化的量即可得出答案．
解：∵的速度匀速骑行，用时小时骑行千米，
∴10是常量，和是变量．
故选：A．
2．C
本题考查根据情境描述选择函数图象，理解题意，找准距离变化情况是解决问题的关键．
由题中描述，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小，结合选项中所给图象逐一验证即可得到答案．
解：由题意可知，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小，
与的函数关系用图象表示大致是
故选：C．
3．B
本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列式计算即可得解．
解：根据题意得，且，
解得且，
所以，．
故选：B．
4．C
本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义：，其中 k 为常数且，逐一判断每个函数是否符合该形式，即可求解．
解：①可化为形式（），是正比例函数；
②含有常数项，不符合形式，不是正比例函数；
③ 可化为形式（），是正比例函数；
∵ ④不符合形式，不是正比例函数；
综上，只有①和③是正比例函数，共2个．
故选：C．
5．C
本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，利用分母不等于零得出不等式是解题关键．
根据分式分母不等于零可得答案．
解：由题意，得，
解得．
故选：C．
6．C
本题考查了函数关系式的建立，关键在于理解清楚题意，需注意赛制是“单循环形式”，需要两两之间的比赛的总场数除以2．
设有x支球队，每队需与其他队比赛一次，则每个队的比赛次数为，总共有x个队，则总场数为，即可建立函数关系式．
解：设有x支球队，每队需与其他队比赛一次，每个队的比赛次数为，总共有x个队，则总场数为，即：
故选：．
7．D
本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键．
先设甲的函数关系式为，乙的函数关系式为，再根据函数图象进行求解并逐一判断即可．
解：设甲的函数关系式为，乙的函数关系式为，
由函数图象得，将代入到甲的函数关系式中，代入到乙的函数关系式中，
∴，，
解得，
∴甲的函数关系式为，乙的函数关系式为，
A、乙车速度为，该选项正确，不符合题意；
B、乙车在时出发，在到达，甲车在时出发，在到达，则乙车比甲车晚出发，却早到，该选项正确，不符合题意；
C、联立两个函数解析式得，
解得，
∵乙车在时出发，
∴乙车出发后追上甲车，该选项正确，不符合题意；
D、当乙出发前：，
解得，选项中没有；
乙出发后到甲到达前(：，
解得或；
乙到达后：
解得，选项中也没有，故该选项错误，符合题意；
故选D．
8．C
本题考查一次函数的性质，利用一次函数与坐标轴的交点，两个一次函数的交点，一次函数平行条件k相同，一次函数关于坐标轴对称逐项判断解答即可．
A、点代入①，通过；②，通过；③，不通过；④，通过，通过的是①②④，该选项错误；
B、交点在y轴上需时y值相等，时，①，②，③，④，②和④y值不相等，该选项错误；
C、函数的，①，③，均与平行，该选项正确；
D、②与③，关于x轴对称需x取相同值时，y值互为相反数，但时均为，不相反，该选项错误；
故选：C．
9．B
本题主要考查了正比例函数的性质、一次函数图象与系数的关系等知识点，牢记“，得到的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
根据正比例函数的性质可得出，进而可得出，由，利用一次函数图象与系数的关系，可找出一次函数的图象经过第一、三、四象限，据此即可解答．
解：正比例函数的函数值随的增大而增大，
，
．
又，
一次函数的图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
10．A
本题考查函数的图象，能根据瓶子的形状判断出水面上升的高度与注水时间的关系是解题的关键．根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题．
解：因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分，
所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高，
因为瓶子的上半部分是圆柱，
所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升．
故选：A．
11．
本题考查了分式有意义的条件和求函数自变量的范围，明确分式的分母不为0是解题的关键．根据分式的分母不能为零，得，可得答案．
解：当时，有意义，
，
解得．
自变量x的取值范围是．
12．
此题主要考查了列函数关系式，关键是明确等量关系．由剩余的钱原有的钱用去的钱，可列出函数关系式．
解：依题意得，剩余的钱y（元）与买这种笔记本的数量x之间的关系为：
．
故答案为：．
13．或或
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的性质，分为腰及为腰两种情况求出点C的坐标是解题的关键．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，OB的长，结合勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，根据等腰三角形的性质，可求出或的值，进而可得出点C的坐标．
解：当时，，
解得：，
点A的坐标为，
；
当时，，
点B的坐标为，
，
当为腰时，，
点C的坐标为或；
当为腰时，，
点C的坐标为
综上所述，点C的坐标为或或
故答案为：或或
14． 平行 无解
本题考查一次函数的位置关系，直线交点与二元一次方程组的解之间的关系；通过比较两条直线的相等判断位置关系；方程组对应两条直线，根据位置关系判断解的情况．
解：∵对于两条直线和，，
∴两条直线平行；
方程组可化为，
∵两条直线平行，没有交点，
∴方程组无解，
故答案为：平行，无解．
15．
本题考查了一次函数的平移、求一次函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一次函数的平移得到直线的表达式为，结合图象，再利用待定系数法求出的值，即可得出答案．
解：将函数图象向下平移1个单位长度后得到，
∴直线的表达式为，
代入和，得，
解得，
∴原函数表达式为
故答案为：．
16．
此题主要考查轴对称——最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．先作出点关于轴的对称点，再连接，求出直线的函数解析式，再把代入即可得．
解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，
的坐标是，
直线的函数解析式为，
把点的坐标代入解析式可得．
点的坐标是．
故答案为：．
17．(1)变量∶t，h；常量∶ ，6；
(2)变量∶V，a；常量∶ ．
本题考查了变量、常量，本题的关键是找到所求量的等量关系．
（1）根据常量与变量的定义分析关系式中数值不变的量(常量)和数值变化的量(变量)；
（2）根据常量与变量的定义分析关系式中数值不变的量(常量)和数值变化的量(变量)．
（1）解：在关系式中，高度h可以取不同的值气温t会随着h的变化而变化，所以t和h是变量．而地面气温和每升高气温下降的是固定不变的，所以和6是常量．
变量∶t，h；
常量∶ ，6；
（2）解：在关系式中，底面边长a可以取不同的值，体积V会随着a的变化而变化，所以V和a是变量．而长方体盒子的高是固定不变的，所以是常量．
变量∶V，a；
常量∶ ．
18．(1)
(2)
本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式：
（1）由与成正比例可设，再把时，代入求出的值即可．
（2）把代入解析式解答即可．
【小题1】解：与成正比例，
设，
时，，
，解得，
，即；
【小题2】解：把代入．
19．(1)H的运动时间为，的面积为S
(2)4，14
(3)
本题主要考查动点问题的函数图象，理解题意是解题的关键．
（1）根据题意及函数的定义即可作答；
（2）根据三角形的面积及图象即可得出答案；
（3）根据题意确定三角形的底和高即可求面积．
（1）解：由图象可知，的面积S随着时间t的改变而改变．
所以自变量为：H的运动时间t；因变量为：的面积S．
故答案为：H的运动时间t；的面积S；
（2）解：，，则，
，
故答案为：4，14；
（3）解：∵动点H按从的路径匀速运动，
由题意可知，点H在上运动时的面积不变，
，
20．(1)
(2)长方形的面积从变到
本题考查函数的定义及函数关系式，解题关键是熟练掌握函数的定义及通过题干求关系式的方法．
（1）根据长方形的面积=长×宽求解；
（2）分别代入两值求解即可．
（1）解：因为长方形的面积，，为，长方形的面积
；
（2）解：当时，，
当时，，
所以当长从变到时，长方形的面积从变到．
21．(1)，
(2)
(3)
本题主要考查了一次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识．
（1）把点P的坐标代入中，求出的值，即求出点P的坐标，再把点P的坐标代入中，求出m的值即可；
（2）两直线的交点的横纵坐标即为两直线的解析式组成的方程组的解，据此可得答案；
（3）如图，作点A关于y轴对称点，则，由两点之间线段最短可知的最小值为的长，求出直线的表达式，则可求出点C的坐标．
（1）解：∵直线与直线交于点，
∴，
∴，
把点P坐标代入中得，
∴；
（2）解：由（1）可得直线与直线交于点，
∴二元一次方程组的解为；
（3）解：如图，作点A关于y轴对称点，则，
由两点之间线段最短可知的最小值为的长，
，
在中，当时，，
，
，
∴点的坐标为，
设直线的表达式为，
将，代入，得
解得
直线的表达式为，
在中，当时，，
点C的坐标为．
22．（1）4，是；（2）见解析；（3）；或
本题主要考查函数的图象和性质，数轴上两点间距离，二元一次方程组，涉及一次函数的图象与性质，利用数形结合思想求解是解答的关键．
（1）根据数轴上两点间距离公式求m，根据函数的定义判断是否为函数；
（2）根据表格中数据描点连线，再根据所得图象写出一条性质即可；
（3），关于直线对称，据此求解；作出翻折后新函数图象，如图，求出一次函数图象与直线重合及平行时的k值，即可得出答案．
解：（1）点B表示的数是5，的距离为，
给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，因此y是x的函数，
故答案为：4，是；
（2）依题意得：
描点、连线，则所画函数图象如图所示：
函数的性质：①该函数图象关于直线对称；②当时，函数有最小值0；③当时，y随x的增大而增大；④当时，y随x的增大而减小；（以上写对一条或言之有理即得分）
（3）由（2）中函数图象可得：，关于直线对称，
，
，
翻折后新函数图象如下图所示：
则，，，
对于一次函数，无论k取何值，当时，值一定为3，
因此一次函数图象过定点，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为；
同理，直线的解析式为，则点在直线上，
由图知，若一次函数图象与直线平行，则，此时一次函数与该函数图象只有一个交点，
若一次函数图象与直线重合时，则，此时一次函数与该函数图象有无数个交点，
当或时，一次函数与该函数图象只有一个交点，
故答案为： ；或．
23．(1)当时，函数的表达式为
(2)
(3)应输入的x值为或7
本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的自变量或函数值；
（1）由为一次函数，可得，，进一步求解即可；
（2）当时， ，当时， ，再比较大小即可；
（3）当时，则，当时，则，再解方程即可.
（1）解：∵为一次函数，
∴，，
解得：，
∴当时，函数的表达式为；
（2）解：当时，的值记为，
∴，
当时，的值记为，
∴，
∴；
（3）解：当时，则，
解得：，
当时，则，
解得：.
24．(1)
(2)，的最小值为；
(3)存在，或．
（1）先求出点的坐标，然后求得点坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先判断出点为中点，那么是的中线，那么，然后求出，从而得到，根据，求得，接着利用，得到，从而求得点纵坐标，将其代回直线，即可求得其坐标；作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，交轴于点，此时，此时其长度达到最小值，最小值为的长度，然后利用勾股定理求得答案；
（3）先求出，然后分两种情况考虑：第一种情况过点作交轴于点， 此时，然后利用待定系数法求得直线，再求得点即可；
第二种情况，取，由第一种情况可知，此时，作关于的对称直线交轴于点，此时平分，过点作于的延长线于点，过点作于于点， 先判断是等腰直角三角形，利用勾股定理求得，最后根据求得答案．
（1）解：直线过，
，
，
当时，，
，
，
，
，
设直线的解析式为，代入，，
，
，
直线的解析式为；
（2）解：连接，如图所示：
将代入直线，得到，
，
，，
点为中点，
是的中线，是的中线，
，
，，
,
，
，
，
，
，
，
，
或，
点是线段上的一动点，
，
将代入直线，可得，解得，
，
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，交轴于点，
，，
，此时达到最小值，最小值为的长度；
过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，如图所示：
，，
，
，
的最小值为，
综上，，的最小值为；
（3）解：存在，或，理由如下：
将直线向右平移个单位长度得到直线，
，
当代入，有，
，
设直线为，代入，
，
，
直线为，
第一种情况：过点作交轴于点，如图所示：
，
，
不妨设直线为，代入，
，
直线为，
当代入，有，
；
第二种情况，取，由第一种情况可知，此时，作关于的对称直线交轴于点，
平分，
过点作，交的延长线于点，过点作于于点，如图所示：
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
不妨设，那么，
，
，
，
，
（舍去）或，
；
综上，存在，或．
本题考查了一次函数几何综合，待定系数法求一次函数解析式，平行线的性质，角平分线的性质，中线的性质，轴对称图形的特征，勾股定理，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．(共5张PPT)
浙教版2024 八年级上册
第五章 一次函数
单元测试·巩固卷分析
知识点分布
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题 1 0.94 用关系式表示变量间的关系
2 0.94 用图象表示变量间的关系
3 0.85 根据一次函数的定义求参数
4 0.75 正比例函数的定义
5 0.75 分式有意义的条件；求自变量的取值范围；求一元一次不等式的解集
6 0.74 函数解析式
7 0.65 行程问题(一次函数的实际应用)；从函数的图象获取信息；求一次函数解析式
8 0.65 一次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与对称问题
9 0.65 正比例函数的性质；根据一次函数解析式判断其经过的象限
10 0.64 函数图象识别；动点问题的函数图象
知识点分布
二、填空题 11 0.85 分式有意义的条件；求自变量的取值范围
12 0.84 用关系式表示变量间的关系
13 0.75 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点；三线合一；用勾股定理解三角形；等腰三角形的定义
14 0.74 一次函数图象平移问题；两直线的交点与二元一次方程组的解
15 0.65 一次函数图象平移问题；求一次函数解析式
16 0.64 求一次函数解析式；根据成轴对称图形的特征进行求解；坐标与图形变化——轴对称
知识点分布
三、解答题 17 0.94 用关系式表示变量间的关系
18 0.85 求一次函数自变量或函数值；求一次函数解析式
19 0.85 从函数的图象获取信息；动点问题的函数图象；用图象表示变量间的关系
20 0.75 求自变量的值或函数值；用关系式表示变量间的关系
21 0.74 一次函数与几何综合；根据成轴对称图形的特征进行求解；求一次函数解析式；两直线的交点与二元一次方程组的解
22 0.65 数轴上两点之间的距离；画一次函数图象；构造二元一次方程组求解；从函数的图象获取信息
23 0.65 根据一次函数的定义求参数；求一次函数自变量或函数值
24 0.4 一次函数图象平移问题；一次函数与几何综合；求一次函数解析式；用勾股定理解三角形
