第八模块 统计与概率 讲义（含答案）2026年中考数学一轮专题复习（通用版）

第八模块 统计与概率
五年考频统计
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
1.统计 数据的收集 — 2.概率 事件的分类及概率的意义 5年4考
数据的整理与描述 5年3考 概率的计算 5年3考
数据的分析 5年4考 用频率估计概率 —
模块体系构建
第1讲 统计
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 数据的收集
1.调查方式
调查方式 全面调查（普查） 抽样调查
概念 对考察的全体对象进行调查 从总体中抽取样本进行调查
适用情况 调查范围小、结果要求准确、无破坏性、事关重大的情况 涉及面广、受条件限制、具有破坏性的情况
优点 可靠、全面 省事、省时、破坏小
缺点 花费时间长，需耗费大量人力、物力，有时受客观条件限制无法完成 调查结果不够准确，样本选取不当时，调查结果往往会偏离总体的情况
2．总体、个体、样本和样本容量
（1）总体：所考察的全体对象；（2）个体：组成总体的每一个考察对象；
（3）样本：被抽取的个体组成一个样本；（4）样本容量（样本容量没有单位）：样本中个体的①_ _ _ _ .
3.用样本估计总体
具有较好代表性的样本可以代表总体的情况，因此样本中的数据特征与总体中的数据特征基本一致，从而我们可以通过样本的情况大致估计总体的情况，这样的方法叫作用样本估计总体.
易错警示
为了使抽样调查能较好地反映总体的情况,在选取样本时应注意:
1.选取的样本应具有代表性,不偏向总体中的某些个体;
2.选取的样本容量要足够大;
3.选取样本时,要避免遗漏总体中的某一群体.
夯基对点练
1．今年某市有4万名考生参加中考,为了解这些考生的中考数学成绩,从中抽取2 000名考生的数学成绩进行统计分析,在这个问题中,下列说法:①这4万名考生的中考数学成绩是总体;②每名考生是个体;名考生是总体的一个样本;④样本容量是2 000.其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点2 数据的整理与描述
1．频数与频率
（1）频数:在记录数据时,某组数据出现的次数称为这组数据的频数,各组的频数之和等于②_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2）频率:频数与数据总数的比值（或者百分比）称为这组数据的频率,即频率.各组的频率之和等于③_ _ _ _ .
2．统计图
名称 条形统计图 扇形统计图 折线统计图 频数分布直方图
图示
数据特点 各部分频数之和等于数据总数 （1）各部分所占百分比之和等于④_ _ _ _ ； （2）各扇形圆心角的度数该部分所占百分比 各部分频数之和等于数据总数 （1）各组频数之和等于数据总数； （2）各组频率之和等于1； （3）数据总数×各组频率相应组的⑤_ _ _ _
优点 能清楚地显示每部分的具体数目 能清楚地表示各部分在总体中所占的百分比 能清楚地反映数据的变化趋势 能清楚地显示数据的分布情况及各组之间频数的差异
温馨提示
直方图与条形图不同，由于分组数据具有连续性，直方图的各长方形通常是连续排列的，中间没有空隙，而条形图则是分开排列，长方形之间有空隙．
考点3 数据的分析
1．平均数、中位数、众数（数据集中趋势）
平均数 算术平均数 一般地,对于个数,, ,,我们把⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 叫作这个数的算术平均数,简称平均数,记作“” 一组数据中只有一个平均数和中位数，且两者都可能不是这组数据中的某一个
加权平均数 一般地，若个数,, ,的权分别是,, ,,则叫作这个数的加权平均数
中位数 将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列,若数据的个数是奇数,则处于⑦_ _ _ _ _ _ _ _ 的数就是这组数据的中位数;若数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数
众数 众数就是一组数据中⑧_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的数据 一组数据中,众数可能不止一个,但一定是这组数据中的某个数
注：众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，平均数反映了一组数据的平均大小，代表数据的“平均水平”；中位数将数据分成两部分，代表数据的“中等水平”；众数是出现次数最多的数据，代表一组数据的“多数水平”.
2．方差、标准差（数据离散程度）
概念 计算及意义
方差 一组数据中每个数据与平均数的差的平方的平均数叫作这组数据的方差 设个数据,, ,的平均数为,则其方差⑨_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 反映一组数据的波动大小.方差越大,数据波动越大;方差越小,数据波动越小
标准差 方差的算术平方根叫作这组数据的标准差 用“”表示,即
夯基对点练
2．[新北师七上P187习题 改编] 甲、乙两位党员使用“学习强国”在一天中学习各项目时间的统计图如图所示，下列根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分比作出的判断中，正确的是（ ）
A．甲比乙大 B．甲比乙小
C．甲和乙一样大 D．甲和乙无法比较
3．[人教八下P126练习 改编] 甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图如图所示.比较甲、乙两人的成绩，下列说法正确的是（ ）
A．甲平均分高，成绩稳定 B．甲平均分高，成绩不稳定
C．乙平均分高，成绩稳定 D．乙平均分高，成绩不稳定
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 数据的收集
1．[2025保定清苑期末]下列说法正确的是（ ）
A．调查我国初中学生的身高情况适合采用普查
B．为保证神舟十九号成功发射，对其零部件进行检查适合采用普查
C．调查某品牌新能源汽车电池的使用寿命适合采用普查
D．在电脑上，为了让使用者直观地看出磁盘“已用空间”与“可用空间”占“整个磁盘空间”的百分比，使用的统计图应该是频数分布直方图
2．[2019河北]某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类.以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类；
②去图书馆收集学生借阅图书的记录；
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比；
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表.
正确统计步骤的顺序是（ ）
A． B．
C． D．
命题点2 数据的整理与描述5年3考
3．[2021河北]小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图1及条形图2（柱的高度从高到低排列）.条形图不小心被撕了一块，图2中“（ ）”应填的颜色是（ ）
图1 图2
A．蓝 B．粉 C．黄 D．红
4．[2025四川成都]在第25个全国科技活动周中,某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解,现将选择结果绘制成如下统计图表:
人数
元宇宙 16
脑机接口
人形机器人 14
根据图表信息,表中的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．15
5．[2025石家庄模拟]如图是某市5月1日至5月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这7天中，日温差最大的一天是（ ）
A．5月5日 B．5月7日 C．5月3日 D．5月1日
6．[2025廊坊安次一模]2025年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”对应蛇，甲骨文中的“巳”是蛇的象形表达（如图）．在对某地区初中学生进行的一次关于传统文化知识的调查中，随机抽查了200名学生，其中知道上述传统文化知识的学生有60名，若该地区共有初中学生6 000名，据此样本估计，该地区知道上述传统文化知识的初中学生有_ _ _ _ 名．
命题点3 数据的分析5年4考
明考向1.平均数、众数、中位数的概念与计算,,；
2.方差的计算与应用；
3.根据图表信息计算相关数据,，；
4.与其他知识综合应用.
炼方法1.求中位数时，既要注意次数问题，又要注意排序问题，二者要兼顾.
2.众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是出现次数最多的数据出现的次数.
3.求一组数据的平均数时，一定要注意这些数据有没有权.
7．[2020河北]小颖前三次购买苹果售价的统计图如图所示，第四次又买的苹果售价是元/千克，发现这四个售价的中位数恰好也是众数，则（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
8．[2022河北]五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元.追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（ ）
A．只有平均数 B．只有中位数
C．只有众数 D．中位数和众数
9．[2025河南]为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势,数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量,测得两种小麦苗高的平均数相同,方差分别为,,则这两种小麦长势更整齐的是_ _ _ _ （填“甲”或“乙”）.
10．[2024河北]某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽试验，几天后观察并记录发芽的种子数分别为：89,73,90,86,75,86,89,95,89，以上数据的众数为_ _ _ _ .
炼方法
首先要读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.在解决由多种统计图共同组成的题目时，解题关键是结合各种统计图，将题目中用到的信息找出来，同时注意各种统计图的互补性.
11．[2022河北]某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用.图1是甲、乙测试成绩的条形统计图.
图1 图2
（1） 分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；
（2） 将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果.
12．[2023河北]某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档.公司规定:若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改.工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图.
（1） 求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；
（2） 监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分，与（1）相比，中位数是否发生变化
13．[2024河北]某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试.考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩（分）换算为报告成绩（分）.已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分，换算规则如下：
当时，;
当时，.
（其中是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）
公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为及以上）为合格.
（1） 甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若,求甲、乙的报告成绩.
（2） 丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算的值.
（3） 下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：
原始成绩/分 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150
人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5
① 直接写出这100名员工原始成绩的中位数；
② 若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率.
14．[2025河北]某工厂生产A,B,C,D四种产品.为提升产品的竞争力,该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程,降低成本；对其他种类的产品增加研发投入,提升品质.经研究,该工厂做出了甲、乙两种调整方案,这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响.
下面是该工厂这四种产品的部分信息:
.调整前,各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）.
图1 图2
.各产品单件成本的核算情况统计表及说明.
产品 A B C D
数据
类别
调整前单件成本/元 18 26 20 36
调整后单件成本/元 方案甲 13 22 40
方案乙 16 18 32
说明:对于统计表中的数据,方案甲的平均数与调整前的相同,方案乙的中位数与调整前的相同.
根据以上信息,解答下列问题:
（1） 求调整前A产品的年产量；
（2） 直接写出,的值;
（3） 若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同,请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低.
请继续完成提升作业《分层精练册》P108—P109
第2讲 概率
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 事件的分类及概率的意义
1．事件的分类
事件类型 定义 举例 发生的概率
确定事件 必然事件 在一定条件下，一定会发生的事件 掷一枚骰子，向上一面出现的点数大于0是必然事件 ①_ _ _ _
不可能事件 在一定条件下，一定不会发生的事件 掷一枚骰子，向上一面出现的点数大于7是不可能事件 ②_ _ _ _
随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 抛掷一枚硬币，出现正面朝上是随机事件 0和1之间
2．概率
一般地,如果在一次试验中有种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件包含其中的种结果,那么事件发生的概率③_ _ _ _ _ _ .
事件与概率的关系图：
考点2 概率的计算
1.公式法
（其中为所有等可能发生的结果总数，为事件发生包含的结果数）.
注：概率计算公式在使用时需要满足每个结果发生的可能性相等.
2.列表法或画树状图法求概率
（1）列表法：当事件中涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,用表格不重不漏地列出所有可能的结果,这种方法叫作列表法.
（2）画树状图法：当事件中涉及两个及以上的因素时,用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果,这种方法叫作画树状图法.
3．用频率估计概率
在大量重复试验中,如果事件发生的频率稳定在某个常数附近，则可用这个常数近似地描述事件发生的概率，即④_ _ _ _ .
4.几何概型的概率公式
.
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 事件的分类及概率的意义5年4考
1．[2025湖北]在下列事件中,不可能事件是（ ）
A．投掷一枚硬币,正面向上
B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆,它是轴对称图形
D．射击运动员射击一次,命中靶心
2．[2023河北]有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上.若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（ ）
A．（黑桃） B．（红心）
C．（梅花） D．（方块）
命题点2 概率的计算5年3考
炼方法
1.对于一步试验，可直接用概率公式 求解.
2.对于两步试验，常以摸球、转转盘、抛硬币等为背景，解决此类问题的关键是用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，然后确定所求事件包含的结果数，最后用概率公式求解.
3.与代数、几何相结合或与其他学科知识相结合的概率问题的本质还是求概率，只不过需要用到相应的知识来确定有限制条件的事件包含的结果数.
3．[2025河北]新考法 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1,2,3中的一个数字）,若向上一面出现数字1的概率为,出现数字2的概率为,则该木块不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．[2025承德兴隆二模]跨学科 如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为_ _ _ _ _ _ .
5．[2022河北]如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道.若琪琪第一个抽签，她从号中随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是_ _ _ _ _ _ .
6．[2021河北]某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示.嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同.
图1 图2
（1） 求嘉淇走到十字道口向北走的概率；
（2） 补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大.
7．[2019河北]某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种.从中随机拿出一个球，已知（拿到8元球）.
（1） 求这4个球价格的众数.
（2） 若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练.
① 所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由.
② 乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如表）求乙组两次都拿到8元球的概率.
又拿
先拿
8．[2024河北]甲、乙、丙三张卡片正面分别写有,,,除正面的代数式不同外，其余均相同.
（1） 将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当,时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；
（2） 将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张，请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率.
第一次 和 第二次
9．[2020河北]如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴表示和5的位置上，沿数轴做移动游戏.每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动.
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位.
（1） 经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率.
（2） 从图中位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错.设乙猜对次，且他最终停留的位置对应的数为，试用含的代数式表示，并求该位置距离原点最近时的值.
（3） 从图中位置开始，若进行了次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出的值.
命题点3 用频率估计概率
炼方法 用频率估计概率，其做法是取多次试验中事件发生的频率稳定值来估计概率.
10．[2025保定安新期末改编]某林业部门考察某种幼树在一定条件下移植的成活率，所统计的幼树移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数 100 300 600 1 000 7 000 15 000
成活的棵数 84 279 505 847 6 337 13 581
成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息，估计这种幼树在一定条件下移植成活的概率为精确到（ ）
A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8
11．[2024九地市摸底]在一个不透明的口袋中，放入4个红球，2个白球和个黄球.这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记下颜色后再放回搅匀，统计黄球出现的频率如图所示，则的值可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【参考答案】
第八模块 统计与概率
第1讲 统计
考点通关 直击考什么
考点1 数据的收集
2．数目
夯基对点练
1．C
考点2 数据的整理与描述
1．数据总数； 1
2．1； 频数
考点3 数据的分析
1．； 中间位置； 出现次数最多
2．
夯基对点练
2．A 3．D
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 数据的收集
1．B 2．D
命题点2 数据的整理与描述5年3考
3．D 4．B 5．A
6．1 800
命题点3 数据的分析5年4考
7．B 8．D
9．甲
10．89
11．解：（1）甲：（分）.
乙：（分）.
， 会录用甲.
（2） 由扇形统计图得学历、能力、经验所占之比为.
甲：（分），
乙：（分）.
， 会录用乙.
会改变（1）的录用结果.
12．解：（1）客户所评分数的平均数为（分）.将客户所评分数从小到大排序，第10个、第11个分数分别为3分，4分，则中位数为3.5分，故该部门不需要对服务质量进行整改.
（2） 设监督人员抽取的问卷所评分数为分，根据客户所评分数的平均数大于3.55分，可得，解得，因为为整数且，所以.故监督人员抽取的问卷所评分数为5分.易得此时中位数为4分，故与（1）相比，中位数发生变化.
13．解：（1），甲的原始成绩为95分，乙的原始成绩为130分，
甲的报告成绩（分），
乙的报告成绩（分）.
（2） 由题意知，丙的原始成绩大于，丁的原始成绩小于，
设丙的原始成绩为分,丁的原始成绩为分，
，，
，.
由题意得，，解得.
（3） ① 130分.
② .
14．解：（1）（万件），C产品的年产量为（万件），
调整前A产品的年产量为（万件）.
（2） ,的值分别为25，28.
方案甲的平均数与调整前的相同，
，
解得，
方案乙的中位数与调整前的相同，调整前，中位数为，
调整后中位数为23.
易知当或时不满足，
方案乙中的4个数据从小到大排列后，位于中间的两个数是18，，
，
.
（3） 方案甲的总成本为（万元），
方案乙的总成本为（万元），
，
甲种方案总成本较低.
第2讲 概率
考点通关 直击考什么
考点1 事件的分类及概率的意义
1．1； 0
2．
考点2 概率的计算
3．
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 事件的分类及概率的意义5年4考
1．B 2．B
命题点2 概率的计算5年3考
3．A
4．
5．
6．解：（1） 当嘉淇走到十字道口时，有直、左、右3种等可能结果，只有向右转为向北，
（嘉淇向北走）.
（2） 补全树状图如下.
由图知，所有等可能的结果共有9种，其中朝向：东2种，西3种，南2种，北2种.
（朝西）（朝东）（朝南）（朝北）.
嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大.
7．解：（1）（拿到8元球），
元球的个数为2.
价格的众数是8元.
（2） ① 相同.
理由： 所剩3个球的价格分别是8元，8元，9元，
中位数是8元.
原来4个球的价格分别是7元，8元，8元，9元，
中位数是8元.
相同.
② 列表如下：
又拿 先拿 8 8 9
8
8
9
由表可知，所有等可能的结果共有9种，其中乙组两次都拿到8元球的结果共有4种，
（乙组两次都拿到8元球）.
8．解：（1）当，时，，,,即卡片上代数式的值分别是，0，3.将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，共有3种等可能结果，其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种，所以取出的卡片上代数式的值为负数的概率为.
（2） 补全表格如下：
第一次 和 第二次
由表可知，共有9种等可能结果，代数式之和为单项式的结果有4种，所以代数式之和为单项式的概率为.
9．解：（1）第一次移动游戏有4种等可能的结果：甲、乙都对，甲、乙都错，甲对乙错，甲错乙对.
要使甲的位置停留在正半轴上，只有，即甲对乙错这1种结果，.
（2） 乙猜对次，
乙猜错次.
由题意，得.
当时，.
为整数，
当时，该位置距离原点最近.
（3） 3或5.
命题点3 用频率估计概率
10．C 11．B
第15页