第二模块 方程（组）与不等式（组） 讲义（含答案）2026年中考数学一轮专题复习（通用版）

第二模块 方程（组）与不等式（组）
五年考频统计
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
1.一次方程（组） 等式的性质 — 3.一元二次方程 一元二次方程及其解法 5年2考
一元一次方程及其解法 5年1考 根的判别式及根与系数的关系 5年1考
二元一次方程组及其解法 — 一元二次方程的实际应用 —
一次方程（组）的实际应用 5年4考 4.一元一次不等式（组） 不等式的性质 5年1考
2.分式方程 分式方程及其解法 5年1考 一元一次不等式（组）及其解集表示 5年3考
分式方程的实际应用 — 一元一次不等式（组）的应用 5年2考
模块体系构建
第1讲 一次方程（组）
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考点通关 直击考什么
考点1 等式的基本性质
性质1 等式两边同时加（或减）同一个数或式子，结果仍相等,即若，则①_ _ _ _ _ _ _ _ 应用：解方程中的移项
性质2 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为零的数（一定不能除以含未知数的整式,否则易漏解.），结果仍相等, 即若，则②_ _ _ _ _ _ ；若，，则 应用：解方程中的去分母和系数化为1
延伸 （对称性）若，则
（传递性）若，，则③_ _ _ _ _ _ _ _
夯基对点练
1．[新人教七上P117练习 改编] 下列条件：;②;③;④;⑤,其中根据等式的性质可以推导出的条件有_ _ _ _ （填序号）.
考点2 一次方程（组）及其解法
1．方程的有关概念
一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的次数是④_ _ _ _ ，等号两边都是整式的方程
二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程
二元一次方程组 含有⑤_ _ _ _ 未知数，并且含有未知数的项以及每个未知数的次数都是1的一组方程
二元一次方程组的解 二元一次方程组中的方程的公共解
2.解一元一次方程的步骤
3.二元一次方程组的解法（基本思想：二元一次方程组一元一次方程.）
（1）代入消元法：当方程组中一个方程的常数项为0或某一个未知数的系数是1或时，选择代入消元法比较简单.
（2）加减消元法：
Ⅰ.当方程组中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍关系时，选择加减消元法比较简单；
Ⅱ.当方程组中同一未知数的系数的绝对值不相等或不成整数倍关系时，找出它们的最小公倍数，使其系数的绝对值相等，再使用加减消元法求值.
夯基对点练
2．[新人教七上P115练习 改编] 若是关于的一元一次方程，则的值为_ _ _ _ .
3．解方程组：
（1） 通过去分母可将原方程组化为这一步的依据是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 将③代入④，得_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，解得_ _ _ _ _ _ ，将的值代入③，得_ _ _ _ _ _ .这种消元方法称为_ _ _ _ 消元法.
（3） 请用不同于（2）的消元方法解此方程组.
考点3 一次方程（组）的实际应用
解题步骤 审题 设元 找等量关系 列方程（组） 解方程（组） 检验并作答
常见问题 （1）利润问题：售价标价×折扣（打几折就是标价的十分之几），销售额售价×销量，利润售价-⑥_ _ _ _ ，利润率. （2）工程问题：工作量⑦_ _ _ _ _ _ _ _ ×工作时间. （3）行程问题：路程速度×时间. A.相遇问题：全路程甲走的路程乙走的路程. B.追及问题： .同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程； .同时不同地出发：前者走的路程两地间的距离追者走的路程
知识点睛
1.设未知数时，一般求什么设什么，但有时为了方便，也可间接设未知数.如题目中涉及比值，可以设每一份为.
2.列方程（组）时，注意抓住题目中的关键词语，如共是、等于、大（多）多少、小（少）多少、几倍、几分之几等.
夯基对点练
4．[新人教七上P136练习 改编] 某书店同时卖出了进价不同的和两本课外书,售价均为每本20元.书店工作人员发现书盈利了,书亏损了,则售出这两本书书店_ _ _ _ _ _ .（从“盈利了”“亏损了”“不盈利也不亏损”“条件不够无法判断盈亏”中选填）
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 等式的性质
1．[2018河北]有三种不同质量的物体“”“”“”,其中,同一种物体的质量都相等.现左、右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体,只有一组左右质量不相等,则该组是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2025石家庄模拟]如图，小明将等式进行变形，最后得到一个错误的结论，则下列说法正确的是（ ）
A．第一步错误 B．第二步错误
C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误
命题点2 一元一次方程及其解法5年1考
易错命题点2
方程去分母时，若分子为多项式，则应该将分子用括号括起来，防止出现变号错误.
3．[2024沧州模拟]右面是解一元一次方程的步骤，下列说法错误的是（ ）
A．①步的依据是分配律 B．②步的依据是等式的性质1
C．③步的依据是加法结合律 D．④步的依据是等式的性质2
4．[2025廊坊广阳一模]整式的值随取值的不同而不同,下表是当取不同值时对应的整式的值,则关于的方程的解为（ ）
0 1 2
4 0
A． B． C． D．
5．[2025四川成都]任意给一个数,按下列程序进行计算.若输出的结果是15,则的值为_ _ _ _ .
命题点3 二元一次方程组及其解法
6．[2025保定竞秀二模]已知二元一次方程组的解是则*表示的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
7．[2025江苏徐州]若二元一次方程组的解为则的值为_ _ _ _ .
命题点4 一次方程（组）的实际应用5年4考
考向命题点4
1.列一次方程（组）并求解、、、；
2.已知方程组反推题目条件.
方法命题点4
对于一次方程（组）的实际应用问题，解题关键是通过分析题意抽象出数学问题，找出合适的等量关系，列出方程（组）.在设未知数时，可以直接设元，也可以间接设元.间接设元时，最后要回归到题目中的问题，不要解完方程就直接作答，从而答非所问.
8．[2022河北] 数学文化 “曹冲称象”是流传很广的故事，如图.按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出.然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置.如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体重均为120斤（斤为古代质量单位），设每块条形石的质量是斤，则正确的是（ ）
A．依题意
B．依题意
C．该象的质量是5 040斤
D．每块条形石的质量是260斤
9．[2024山东泰安]我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果、苦果共一千个，若 ， ，试问买甜果、苦果各几个？
若设买甜果个，买苦果个，可列出符合题意的二元一次方程组根据已有信息，题中用“ ， ”表示的缺失的条件应为（ ）
A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
10．[2025河北]甲、乙两张等宽的长方形纸条,长分别为,.如图,将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起,形成长为81的纸条,则_ _ _ _ .
11．[2023河北] 积分问题 某磁性飞镖游戏的靶盘如图.珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投.计分规则如下:
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分/分 3 1
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次.
（1） 求珍珍第一局的得分;
（2） 第二局，珍珍投中A区次,B区3次,其余全部脱靶，若本局得分比第一局提高了13分，求的值.
12．[2025河北]一般固体都具有热胀冷缩的性质,固体受热后其长度的增加称为线膨胀.在（本题涉及的温度均在此范围内）,原长为的铜棒、铁棒受热后,伸长量与温度的增加量之间的关系均为,其中 为常数,称为该金属的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系数（单位:/）;原长为的铁棒从加热到伸长了.
（1） 原长为的铜棒受热后升高,求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）.
（2） 求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长,求该铁棒温度的增加量.
（3） 将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热,当它们的伸长量相同时,若铁棒的温度比铜棒的高,求该铁棒温度的增加量.
第2讲 分式方程
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考点通关 直击考什么
考点1 分式方程的概念及解法
1．分式方程：①_ _ _ _ 中含有未知数的方程叫作分式方程.
2．增根：使原分式方程中的分母的值为②_ _ _ _ 的根.
温馨提示 分式方程的增根与无解并非同一概念
1.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程中的分母为0 的根.
2.分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解使得最简公分母为0.
3．分式方程的解法（基本思路:分式方程整式方程）
考点2 分式方程的实际应用
1.解题步骤
2.常见题型
（1）工程问题： （有时工作总量可以看作“1”,这时,=工作效率）工作时间;
时间差;时间差（甲工作效率比乙低）.
（2）购买问题：数量.
（3）行程问题：时间;时间差.
夯基综合练
1．解分式方程，分以下四步，其中错误的一步是（ ）
A．确定最简公分母是
B．方程两边同乘，得整式方程
C．解这个整式方程，得
D．原方程的解为
2．某施工队挖掘一条长96米的隧道，开工后每天比原计划多挖掘2米，结果提前4天完成任务，求实际每天挖掘隧道的长度和实际施工的天数.小明同学根据题意列出方程：，则
方程中未知数表示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3．[新人教八上P169习题 改编] 解方程:
（1） ;
（2） .
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 分式方程及其解法5年1考
易错命题点1
解分式方程常见的误区：
1.忘记验根；
2.去分母时整式部分漏乘；
3.去分母或去括号时，没有注意符号的变化.
1．[2024石家庄模拟]新定义 定义运算“”:若,则的值为（ ）
A． B．或10 C．10 D．或
妙招
解决此类问题需正确理解新定义，并将此定义作为解题的重要依据，分析并掌握其本质，将新定义转化为分式中的常规运算，用类比的方法迅速地转化到已学的知识结构中，结合所学知识点解决新定义问题.
2．[2025邢台信都三模]若,则_ _ _ _ .
3．[2025邯郸模拟]如图，老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被涂掉了一部分.
（1） 若被涂掉的部分是一个代数式，求这个代数式；
（2） 若被涂掉的部分是常数1，求的值.
考法拓展
4．已知关于的分式方程.
（1） 若此方程有增根，则增根为_ _ _ _ _ _ ，的值为_ _ _ _ _ _ ；
（2） 若此方程无解，则的值为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） 若此方程的解为非负数，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
命题点2 分式方程的实际应用
课标命题点2
2022年版课标新增“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程”，中考试题逐渐注重创设真实问题情境，发展抽象能力，强化应用意识.
方法命题点2
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意，找出相等关系，在确定相等关系时，一定要理解一些基本的数量关系，如：工程问题中，工作效率 工作量 工作时间；行程问题中，时间 路程 速度；购买问题中，总价 单价 数量.
5．[2025张家口桥东模拟]课标新增 我国古代有一道关于“驿站送信”的题目，其大意为：把一封信送到900里（里为古代长度单位）外的地方，若用慢马送，则比规定时间晚1天送达；若用快马送，则比规定时间早3天送达，已知快马的速度是慢马速度的2倍，问规定的时间为多少天？马的速度为多少？下列说法错误的是（ ）
A．设规定的时间为天，所列方程为
B．设慢马的速度为里/天，所列方程为
C．快马用了4天送达
D．慢马用了8天送达
6．[2025江苏扬州]某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签,已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍,且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个.求这两款书签的单价.
第3讲 一元二次方程
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考点通关 直击考什么
考点1 一元二次方程的概念及解法
1．概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是①_ _ _ _ 的整式方程是一元二次方程.
2.一般形式：，其中，，是常数，.
3．解法（基本思路：降次）
解法 适用情况
直接开平方法 适用于形如或的方程
因式分解法 适用于一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的方程，比如 注：方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有未知数的相同因式
公式法 适用于所有一元二次方程，求根公式为②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 步骤：（1）先把一元二次方程化为一般形式：; （2）判断的正负； （3）若，则将，，代入求根公式计算，若，则原方程无实数根
配方法 可用于所有一元二次方程.遇到二次项系数化为1后，一次项系数是偶数，或各项的系数的绝对值比较小且便于配方的一元二次方程时配方法较为简便. 步骤：以为例. （1）移项：将常数项移到等号的右边，得③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； （2）变形：将二次项系数化为1，得④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； （3）配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得，即； （4）求解：用直接开平方法求解，得⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
考点2 根的判别式及根与系数的关系
1．一元二次方程，其根的判别式为,根的判别式与一元二次方程的根的关系如下：
（1）当时，原方程有⑥_ _ _ _ 个不相等的实数根，为.
（2）当时，原方程有两个相等的实数根，为.
（3）当时，原方程没有实数根.
易错警示
若所给方程的二次项系数含有字母，求该字母的取值范围时，应记住一元二次方程二次项系数不为0 这一条件．若未指明方程类型，需分情况（二次项系数为0 和二次项系数不为0）讨论.
2．根与系数的关系（2022年版课标调整为考查内容）
（1）基本关系：若关于的一元二次方程有两个根分别为，，则⑦_ _ _ _ _ _ _ _ ，⑧_ _ _ _ _ _ .注意运用根与系数的关系的前提条件是.
（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有，的式子，再运用根与系数的关系求解.
（3）常见变形：，，等.
知识拓展 一元二次方程 的根与系数 ， ， 的关系
1.当 时，方程 必有一根，为0；
2.当 时，方程 必有一根，为1；
3.当 时，方程 必有一根，为.
夯基对点练
1．已知是关于的一元二次方程.
（1） _ _ _ _ _ _ .
（2） 若此方程有一个根为1，则的值为_ _ _ _ ，另一个根为_ _ _ _ _ _ .
（3） 已知此一元二次方程有两个不相等的实数根.
的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ ；②当取最小整数值时，此一元二次方程的解为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（4） 已知此一元二次方程的两根分别为，.
_ _ _ _ _ _ ；②当时，_ _ _ _ _ _ ；③当时，_ _ _ _ _ _ .
（5） 当时，用公式法解此方程.
考点3 一元二次方程的应用
一般步骤 （1）审题；（2）设未知数；（3）列一元二次方程；（4）解一元二次方程；（5）检验根；（6）作答
常见题型 （1）平均增长率（降低率）问题：，表示基数，表示平均增长率（降低率），表示变化的次数，表示变化次后的量. （2）利润问题：利润售价-成本；利润率. （3）面积问题：直接利用相应图形的面积公式列方程；将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程. （4）握手（单循环赛）与互送礼物（双循环赛）问题： 握手总次数为人数,礼物总份数为人数. （5）“每每型”问题：以降价为例，单价每降低元，销量增加件. 若降价元，则原单件利润总利润
夯基对点练
2．[人教九上P22习题 改编] 如图,在一块长、宽的矩形空地上,修建同样宽的两条相互垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行）,剩余部分栽种花草,要使剩余部分的面积为,则修建的道路的宽应为_ _ _ _ .
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 一元二次方程及其解法5年2考
方法命题点1
1.当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用配方法解方程较为简便；
2.配方法和公式法中，当各项系数均为整数且绝对值较小时，首选公式法（万能方法）.
1．[2024河北]淇淇在计算正数的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A．1 B． C． D．1或
2．[2025邯郸涉县质检]下列方程中，以为解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024四川南充]已知是方程的一个根，则的值为_ _ _ _ _ _ .
4．[2017河北]新定义 对于实数，，我们用符号，表示，两数中较小的数，如，.因此，{-，}=_ _ _ _ _ _ ；若，，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
命题点2 根的判别式及根与系数的关系5年1考
易错命题点2
判断一元二次方程根的情况时,应先将一元二次方程化为一般形式,即，再利用 进行判断,要特别注意一元二次方程的隐含条件:二次项系数不为0,即.
5．[2019河北]小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是.他核对时发现所抄的比原方程的值小2，则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是 D．有两个相等的实数根
6． [2025石家庄模拟] 变式 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值不可以是（ ）
A．0 B． C．3 D．
7． [2025邢台信都三模] 变式 如图，点，在不完整的数轴上表示的数分别为，，原点与点，均不重合.若，则关于的方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．两根之和为
8．[2025保定竞秀二模]已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的4倍，则的值为_ _ _ _ .
命题点3 一元二次方程的实际应用
方法命题点3
列一元二次方程解应用题的一般步骤:审、设、列、解、验、答.审题找出题中的等量关系,设出未知数,确定题目类型,建立数学模型,列方程解得未知数,根据实际意义进行根的取舍,写出答案.
9．[2025福建]面积问题 为加强劳动教育,增加学生实践机会,某校拟用总长为5米的篱笆,在两边都足够长的直角围墙的一角,围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地,如图所示.设矩形的一边长为米,根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．[2025重庆]增长率问题 某景区2022年接待游客25万人,经过两年加大旅游开发力度,该景区2024年接待游客达到36万人,那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
第4讲 一元一次不等式（组）
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 不等式的有关概念及性质
1.不等式的有关概念
不等式 用符号“ ”“ ”“ ”“ ”“”连接而成的式子，叫作不等式. 这些用来连接的符号统称不等号
不等式的解集 能使不等式成立的未知数的值的全体叫作不等式的解集
2．不等式的性质
性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或同一个整式），不等号的方向不变，即如果，那么①_ _ _ _ 应用：解不等式中的移项
性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变， 即如果，，那么②_ _ _ _ （或③_ _ _ _ ） 应用：解不等式中的去分母（或系数化为1）
性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变， 即如果，，那么④_ _ _ _ （或 ⑤_ _ _ _ ）
考点2 一元一次不等式（组）及其解集表示
一元一次不等式 概念 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1的不等式
解法 步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1（注意系数的正负，若系数是负数，则不等号变号）
解集在数轴上的表示：（在表示解集时，“”“”表示包含，要用实心圆点表示;“”“”表示不包含，要用空心圆圈表示）
一元一次不等式组 概念 把几个含有同一个未知数的一元一次不等式联立在一起，就组成一个一元一次不等式组
解法 先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分，即为不等式组的解集
不等式组解集的类型 不等式组（设） 解集 数轴表示 口诀
⑧ 大大取大
⑨ 小小取小
⑩ 大小小大中间找
无解 大大小小无处找
考点3 一元一次不等式（组）的应用
1.用不等式（组）解决实际问题的步骤：
2.实际问题中常见的不等关系
常见词语 大于、多于、超过 小于、少于、不足 至少、不低于、不小于 至多、不高于、不大于
符号
夯基综合练
1．[新人教七下P128习题T2、T3改编] “与的差不大于1”用不等式表示为_ _ _ _ _ _ _ _ ；在不等式中，将不等式两边同时除以可得_ _ _ _ _ _ _ _ .
2．（1） 小明准备了100元用于购买笔记本和钢笔共30件.已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，求小明最多能买多少支钢笔.设小明能买支钢笔，则可列出不等式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 某小区积极进行小区绿化，计划种植，两种树苗共600棵.已知种树苗的数量不少于种树苗数量的一半，若设种树苗有棵，则可列出不等式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3．已知关于的一元一次不等式.
（1） 解此不等式，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2） 当时，解此不等式并把解集表示在数轴上；
（3） 若不等式的解集为，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（4） 求不等式组的整数解.
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 不等式的性质5年1考
方法命题点1
结合原不等式分析变化后的不等式：
当两边发生相同加减变化时，结论一定成立；当两边发生相同乘除变化时，结合乘除数值的正负判断结论是否成立.
1．[2021河北]已知，则一定有，“”中应填的符号是（ ）
A． B． C． D．
2．T1变式 若，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．[2025广西]有两个容量足够大的玻璃杯,分别装有克水、克水,.都加入克水后,下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是 （ ）
A． B．
C． D．
命题点2 一元一次不等式（组）及其解集表示5年3考
考向命题点2
1.列一元一次不等式；
2.解一元一次不等式（组），，，；
3.已知不等式（组）解集的情况，求参数的取值范围.
4．[2019河北]语句“的与的和不超过5”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
5．[2024河北]下列数中，能使不等式成立的的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．[2025四川南充]不等式组的解集是,则的取值范围是_ _ _ _ _ _ .
妙招
已知不等式（组）的解集，确定不等式（组）中参数的取值范围，有以下两种方法：
①分类讨论确定；
②借助数轴确定.
7．[2022河北]整式的值为.
（1） 当时，求的值；
（2） 若的取值范围如图所示，求的负整数值.
8．[2025河北]
（1） 解不等式,并在下图所给的数轴上表示其解集；
（2） 解不等式,并在下图所给的数轴上表示其解集；
（3） 直接写出不等式组的解集.
方法
在数轴上表示不等式（组）的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解题的关键.解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分.
9．[2020河北]已知两个有理数：和5.
（1） 计算：；
（2） 若再添一个负整数，且，5与这三个数的平均数仍小于，求的值.
命题点3 一元一次不等式（组）的应用5年2考
方法命题点3
利用不等式（组）解决实际问题，其关键是根据题中的“超过”“不足”“大于”“小于”“不低于”“不少于”等反映数量关系的词语列出不等式（组）.问题的答案要根据解集和题意两方面来确定（题意中的隐含条件，比如实际问题是否取整数），使实际问题有意义.
10．[2025张家口万全摸底]利润问题 某服装店现有一款热卖的羽绒服，进价为280元／件，售价为400元／件，现准备打折销售，在保证利润率不低于的情况下，打折，则下列说法正确的是 （ ）
A．依据题意得
B．依据题意得
C．该款羽绒服可以打7.5折
D．该款羽绒服最多打7.7折
11．[2021河北]已知训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有个.
（1） 淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍.”嘉嘉根据她的说法列出了方程：.请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确.
（2） 据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A品牌球最多有几个.
12．[2025湖北]某商店销售A,B两种水果水果标价14元/千克,B水果标价18元/千克.
（1） 小明陪妈妈在这家商店按标价买了A,B两种水果共3千克,合计付款46元.这两种水果各买了多少千克
（2） 妈妈让小明再到这家商店买A,B两种水果,要求B水果比A水果多买1千克,合计付款不超过50元.设小明买A水果千克.
① 若这两种水果按标价出售,求的取值范围.
② 小明到这家商店后,发现A,B两种水果正在进行优惠活动:A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠,超过1千克后,超过1千克的部分打七五折.（注:“打七五折”指按标价的出售）若小明合计付款48元,求的值.
【参考答案】
第二模块 方程（组）与不等式（组）
第1讲 一次方程（组）
考点通关 直击考什么
考点1 等式的基本性质
； ；
夯基对点练
1．①②⑤
考点2 一次方程（组）及其解法
1．1； 两个
夯基对点练
2．0
3．解：（1） 等式的性质2
（2） ； ； ； 代入
（3）略.
考点3 一次方程（组）的实际应用
进价； 工作效率
夯基对点练
4．亏损了
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 等式的性质
1．A 2．C
命题点2 一元一次方程及其解法5年1考
3．C 4．A
5．3
命题点3 二元一次方程组及其解法
6．D
7．1
命题点4 一次方程（组）的实际应用5年4考
8．B 9．D
10．99
11．解：（1）珍珍第一局的得分为（分）.
（2） 珍珍第二局的得分为分.
由第二局得分比第一局提高了13分可得，
解得.
12．解：（1）.
答：该铜棒的伸长量为．
（2） 由题意得，
解得.
该铁棒温度的增加量为.
答：铁的线膨胀系数为，该铁棒温度的增加量为．
（3） 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得
，
解得.
答：该铁棒温度的增加量为．
第2讲 分式方程
考点通关 直击考什么
考点1 分式方程的概念及解法
1．分母
2．
3．最简公分母
夯基综合练
1．D
2．原计划每天挖掘隧道的长度
3．解：（1）无解.
（2） .
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 分式方程及其解法5年1考
1．B
2．6
3．解：（1）这个代数式为
.
（2） 由（1）得,
去分母，得,
解得，
经检验，是原分式方程的根,
的值为4.
考法拓展
4．（1） ；
（2） 1或
（3） 且
命题点2 分式方程的实际应用
5．B
6．解：设乙款书签的单价是元，则甲款书签的单价是元，
根据题意得，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元．
第3讲 一元二次方程
考点通关 直击考什么
考点1 一元二次方程的概念及解法
1．2
3．； ； ；
考点2 根的判别式及根与系数的关系
1．两
2．；
夯基对点练
1．解：（1）
（2） 3；
（3） ； ，.
（4） ； ； .
（5）当时，解得，.
考点3 一元二次方程的应用
夯基对点练
2．1
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 一元二次方程及其解法5年2考
1．C 2．B
3．
4．； 2或
命题点2 根的判别式及根与系数的关系5年1考
5．A 6．C 7．B
8．4
命题点3 一元二次方程的实际应用
9．C 10．B
第4讲 一元一次不等式（组）
考点通关 直击考什么
考点1 不等式的有关概念及性质
2．； ； ； ；
考点2 一元一次不等式（组）及其解集表示
； ； ； ；
夯基综合练
1．；
2．（1）
（2）
3．解：（1） B
（2）当时，，解得.
将解集表示在数轴上，如图.
（3） .
（4） 解不等式①，得.解不等式②，得.
不等式组的解集为，
该不等式组的整数解为3，4，5.
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 不等式的性质5年1考
1．B 2．B 3．A
命题点2 一元一次不等式（组）及其解集表示5年3考
4．A 5．A
6．
7．解：（1）由题意知.
当时，.
（2） 依题意，得，
解得.
的负整数值为，.
8．解：（1）解不等式，得.
在数轴上表示如图.
（2） 解不等式，得.
在数轴上表示如图.
（3） 不等式组的解集为.
9．解：（1）.
（2） 由题意得，
解得，
为负整数，
的值为.
命题点3 一元一次不等式（组）的应用5年2考
10．D
11．解：（1）由已知，得，
解得.不是整数，
淇淇的说法不正确.
（2） 由题意，得.
解得.
是整数，
品牌球最多有36个.
12．解：（1）设A水果买了千克，B水果买了千克，
由题意得
解得
答：A水果买了2千克，B水果买了1千克.
（2） ① 由题意得小明买B水果千克.
（2） ① 由题意得，
解得，
又，
的取值范围为.
② 由题意得，
解得.
答：的值为1.25.
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