第四模块 三角形 讲义（含答案）2026年中考数学一轮专题复习（通用版）
文档属性
| 名称 | 第四模块 三角形 讲义（含答案）2026年中考数学一轮专题复习（通用版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-12 16:16:43 | ||
图片预览
文档简介
第四模块 三角形
五年考频统计
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
1.几何初步、相交线与平行线 直线、射线、线段与角 5年2考 4.全等三角形 全等三角形的性质 5年3考
相交线与平行线 5年3考 全等三角形的判定 5年考
角平分线和线段的垂直平分线 5年1考 5.相似三角形（含位似） 比例线段与相似多边形 5年1考
命题 — 相似三角形的性质与判定 5年考
2.三角形及其性质 三角形的有关概念 5年4考 图形的位似 —
三角形中的重要线段 5年3考 6.锐角三角函数与解直角三角形 求锐角三角函数值 5年1考
3.等腰三角形与直角三角形 等腰三角形 5年4考 方向角、仰角、俯角 5年1考
直角三角形 5年考 解直角三角形的实际应用 5年3考
模块体系构建
第1讲 几何初步、相交线与平行线
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 直线、射线、线段与角（含角平分线）
1．直线、射线与线段
两个基本事实 （1）经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）； （2）两点之间的所有连线中，线段最短.简述为：两点之间，线段最短
两点之间的距离 连接两点间线段的①_ _ _ _ ，叫作这两点之间的距离
线段的中点 如图，把线段分成相等的两条线段、，点叫作线段的中点.②_ _ _ _ _ _ （或）
2．角与角平分线
角的定义 有公共端点的两条③_ _ _ _ 组成的图形叫作角
角的类型 常见角的类型有锐角、直角、钝角、平角、周角.1周角平角直角
度、分、秒的换算 ；（度、分、秒之间是60进制.）
余角 和为④_ _ _ _ _ _ _ _ 的两个角互为余角（同角或等角的余角相等）
补角 和为⑤_ _ _ _ _ _ _ _ 的两个角互为补角（同角或等角的补角相等）
角平分线 性质 角平分线上的点到角两边的距离⑥_ _ _ _
判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
考点2 相交线（含线段的垂直平分线）
1．相交线中的角
两条直线相交 对顶角 性质：对顶角⑦_ _ _ _
邻补角 性质：互为邻补角的两个角的和为⑧_ _ _ _ _ _ _ _ （互为补角与互为邻补角的区别:互为补角只强调两个角之间的数量关系，而互为邻补角还要强调两个角之间的位置关系）
三条直线相交 三线八角 同位角 与⑨_ _ _ _ _ _ ，与，与，与是同位角
内错角 与，与⑩_ _ _ _ _ _ 是内错角
同旁内角 与， _ _ _ _ _ _ 与是同旁内角
2．垂线
（1）性质：.在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线；
.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， _ _ _ _ _ _ 最短.
（2）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.
3.线段的垂直平分线
（1）性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
（2）判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
考点3 平行线（两条平行线间的距离处处相等.）
平行公理及其推论 公理 经过直线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行
推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
平行线的性质与判定 两直线平行同位角 _ _ _ _ ；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角 _ _ _ _
知识拓展 平行线中的模型
作平行线 作延长线 结论
铅笔头模型 若,则
锯齿模型 若,则
外折模型 若,则
考点4 命题与定理
1.命题
（1）定义：判断一件事情的语句，叫作命题.命题由题设和结论两部分组成.
（2）分类
（3）互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
2.定理：经过推理证实的真命题叫作定理.
方法点睛 判断命题真假的方法
1.判断命题是假命题的常用方法是举反例；
2.真命题可根据定义、公式、性质、判定定理等直接做出判断，必要时需严格推理论证.
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 直线、射线、线段与角5年2考
1．[2021河北]如图，已知四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，借助直尺可判断该线段是（ ）
A． B． C． D．
2．[2025河南]如图所示,有一个六边形零件,利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数,则所量内角的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．[2025贵州]下列图中能说明一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
命题点2 相交线与平行线5年3考
4．[2025河北]榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.下图是某个构件的截面图,其中, ,则（ ）
A． B． C． D．
5．[2020河北]如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
6．[2022河北]要得知作业纸上两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量.两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：
方案Ⅰ ①作一直线，交，于点，； ②利用尺规作； ③测量的大小即可.
图1
方案Ⅱ ①作一直线，交，于点，； ②测量和的大小； ③计算即可.
图2
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
7．[2019河北]下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容.
下列回答正确的是（ ）
A．◎代表 B．@代表同位角
C．代表 D．代表
命题点3 角平分线和线段的垂直平分线5年1考
炼方法 角平分线中添加辅助线的方法
已知 平分.
方法一：作垂线.
方法二：作平行线.
方法三：延长垂线段.
8．[2025江苏连云港]如图,在中,,的垂直平分线分别交、于点、,的垂直平分线分别交、于点、,则的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．[2025内蒙古]如图,直线,点,分别在直线,上,连接,以点为圆心,适当长为半径画弧,交射线于点,交于点,再分别以点,为圆心,大于的长为半径画弧（两弧半径相等）,两弧在的内部相交于点,画射线交于点,若 ,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．[2025江苏连云港]如图,在中, , ,平分,,为垂足,则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．[2024张家口期末]如图，平分， ，于点，，，则_ _ _ _ .
命题点4 命题
12．[2025四川成都]下列命题中,假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直
D．平行四边形的对角线相等
13．[2025北京]能说明命题“若,则”是假命题的一组实数,的值为_ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
请继续完成提升作业《分层精练册》P54—P55
第2讲 三角形及其性质
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 三角形的概念及分类
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫作三角形.三角形具有稳定性.
2.三角形的分类
考点2 三角形的边、角关系
1．三角形中边的关系（在三角形中，已知两边长为,，则第三边长的取值范围是）
文字叙述 数学语言 理论依据 图示
内容 三角形的任意两边之和①_ _ _ _ 第三边 在中，,,为三边的长，则有,, 两点之间，线段最短
三角形的任意两边之差②_ _ _ _ 第三边 在中，,,为三边的长，则有,,
应用 （1）判断三条线段能否组成三角形； （2）已知三角形的两边长，求第三边长的取值范围
2．三角形中角的关系
（1）三角形三个内角的和等于③_ _ _ _ _ _ _ _ ，直角三角形的两个锐角互余；
（2）三角形的外角和等于④_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
3.三角形的边角关系：在同一个三角形中，等边对等角，大边对大角，大角对大边.
考点3 三角形中的重要线段
四线 图示 性质 延伸
中线 是中线 ⑤_ _ _ _ _ _ （1）； （2）三角形三条中线的交点是三角形的重心； （3）重心分每一条中线成的两条线段
高线 是高线 ，即⑥_ _ _ _ _ _ （1），; （2）三角形三条高线所在直线的交点是三角形的垂心
角平分线 是角平分线 （1）； （2）三角形三条角平分线的交点是三角形的内心； （3）内心到三角形三边的距离相等
中位线 是中位线 且⑦_ _ _ _ _ _ ，相似比为 ，面积比为
知识点睛 三角形高线的位置
（1）锐角三角形的三条高线都在三角形的内部，三条高线交于三角形内一点；
（2）直角三角形有一条高线在三角形内部，另外两条高线恰好是三角形的两条直角边，三条高线交于直角顶点；
（3）钝角三角形有一条高线在三角形内部，另外两条高线在三角形外部，三条高线所在直线交于三角形外一点.
夯基综合练
已知在中，是边上的一点.
（1） 如图1，若，的面积为16，，，则_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
（2） 如图2，若是的平分线.
① 若 ， ，则_ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 若，，则_ _ _ _ _ _ .
（3） 如图3，若点是的中点，点是的中点，连接.
① 若，的面积为6，则的面积为_ _ _ _ ，点到的距离为_ _ _ _ ；
② 若，，则与的周长之差为_ _ _ _ ，线段的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
③ 若 ， ，则_ _ _ _ _ _ .
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 三角形的有关概念5年4考
考向命题点1
1.三角形的稳定性；
2.三角形的三边关系；
3.三角形内角和定理及内、外角的关系,,.
易错命题点1
在解决与三角形的边长有关的计算问题时，容易忽略三角形的三边关系而致错，注意“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是判断任意三条线段能否组成三角形的依据.
1．[2018河北]下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
2．[2021河北]定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
已知：如图，是的外角.
求证：.
下列说法正确的是
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
3．[2023河北]如图,直线，菱形和等边在，之间,点,分别在，上，点,,,在同一直线上.若 ， ,则（ ）
A． B． C． D．
妙招
设直线 与,分别交于，两点:
.
4．[2024邯郸邱县一模]T3变式 夹在两条平行线间的正方形，等边三角形如图所示，顶点，分别在两条平行线上.若点，，在一条直线上，则与的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2025河北]平行四边形的一组邻边长分别为3,4,一条对角线长为.若为整数,则的值可以为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（写出一个即可）
6．[2021河北]如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变.为了舒适，需调整的大小，使 ，则图中应_ _ _ _ （填“增加”或“减少”）_ _ _ _ 度.
命题点2 三角形中的重要线段5年3考
7．[2022河北]如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的（ ）
第7题图
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
8．[2017河北]如图，，两点被池塘隔开，不能直接测量其距离.于是，小明在岸边选一点，连接，，分别延长到点，，使，，测得，则，间的距离为_ _ _ _ .
第8题图
9．[2024河北]如图，的面积为2，为边上的中线，点,,,是线段的五等分点，点,,是线段的四等分点，点是线段的中点.
（1） 的面积为_ _ _ _ ；
（2） 的面积为_ _ _ _ .
考法拓展 三角形中的双角平分线
10．[新冀教七下P141复习题 改编] 探索三角形的内角与外角平分线：
（1） 如图①，在中，平分，平分，与有怎样的关系？试说明理由.
（2） 如图②，平分，平分，与有怎样的关系？试说明理由.
（3） 如图③，的外角，的平分线，相交于点，与有怎样的关系？（不需要说明理由）
知识
三角形中双角平分线模型及结论
模型1：双内角平分线型.
如图1，若、分别为、的平分线，则.
图1
模型2：双外角平分线型.
如图2，若、分别为、的平分线，则.
图2
模型3：一内一外角平分线型.
如图3，若、分别为和的平分线，则.
图3
请继续完成提升作业《分层精练册》P56—P57
第3讲 等腰三角形与直角三角形
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 等腰三角形
等腰三角形 等边三角形
定义 有两边相等的三角形叫作等腰三角形 三条边都相等的三角形叫作等边三角形
性质 边 两腰相等 三条边都相等
角 等腰三角形的两个底角相等 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于
对称性 等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴
三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的①_ _ _ _ 和底边上的高互相重合 等边三角形任意一条角平分线与该角所对的边上的中线、高线重合
判定 （1）两边相等的三角形是等腰三角形（定义）； （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“②_ _ _ _ _ _ _ _ ”） （1）三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形; （3）有一个角是③_ _ _ _ _ _ _ _ 的等腰三角形是等边三角形
面积 ,是底边长，是底边上的高 ,是等边三角形的边长
注意 （1）在解决等腰三角形边、角问题时，若题目中没有明确边是底边还是腰，角是顶角还是底角，则需要进行分类讨论.（2）在进行分类讨论时，要注意三角形两边之和大于第三边这个隐含条件
方法点睛 等腰三角形中常见的辅助线
（1）①作底边上的高；②作底边上的中线；③作顶角的平分线，即利用“三线合一”作辅助线.
（2）作底边或腰的平行线构造等腰三角形.（3）利用“角平分线 平行”或“角平分线 垂直”构造等腰三角形.
夯基对点练
1．[新北师七下P94习题 改编] 等腰三角形的一条边长为5，另一条边长为8，则该三角形的周长为（ ）
A．18 B．21 C．18或21 D．21或23
2．若一个等边三角形的面积是，则该等边三角形的周长是_ _ _ _ .
3．[新人教八上P86习题 改编] 如图，，是的边上的两点，并且，则的度数为_ _ _ _ _ _ _ _ .
考点2 直角三角形
直角三角形 等腰直角三角形
定义 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 顶角是直角的等腰三角形叫作等腰直角三角形
性质 角 两个锐角互余 两锐角相等且都等于④_ _ _ _ _ _
边 （1） 角所对的直角边等于⑤_ _ _ _ 的一半； （2）斜边上的中线等于斜边的一半； （3）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为,，斜边长为，那么⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （1）两直角边相等； （2）具有等腰三角形和直角三角形的所有性质
对称性 — 等腰直角三角形是轴对称图形，有1条对称轴，对称轴为底（斜）边的垂直平分线
判定 （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形（定义）； （2）有两个角⑦_ _ _ _ 的三角形是直角三角形； （3）若一个三角形两边的平方和等于第三条边的平方，则这个三角形是直角三角形 （1）有一个角为⑧_ _ _ _ _ _ 的等腰三角形是等腰直角三角形； （2）有两个角为 的三角形是等腰直角三角形； （3）有一个角为 的直角三角形是等腰直角三角形； （4）有两边相等的直角三角形是等腰直角三角形
面积 ,为两直角边的长，为斜边长，为斜边上的高 为腰长，为底边长，
注意 解直角三角形时，若已知两条边，且直角边与斜边没有明确告知，在求第三边时，应分类讨论： （1）两边均为直角边；（2）一边为直角边，另一边为斜边
知识拓展 常见的勾股数
，4，5；，12，13；，8，10；，24，25；，15，17；，40，41.勾股数的正整数倍也是勾股数.
方法点睛 解决有关直角三角形的计算题的常用思路
（1）直角三角形中出现 角或 角时，要想到“ 角所对的直角边等于斜边的一半”.
（2）当直角三角形中出现斜边上的中线时，要想到“斜边上的中线等于斜边的一半”.
夯基对点练
4．[北师八下P34复习题 改编] 如图，在中， ，，是的中线，则的长为_ _ _ _ _ _ .
5．[人教八下P34习题 改编] 在中，，，的对边分别是，，，下列条件：
,,;,,;;；其中可以判定是直角三角形的是_ _ _ _ （填序号）.
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 等腰三角形5年4考
方法命题点1
等腰三角形中的分类讨论
1.已知三角形中的一个角 ，需分这个角是顶角和底角两种情况，并结合三角形的内角和定理进行验证.
（1）若 是钝角，则 为顶角，底角度数是.
（2）若 是直角，则 为顶角，底角度数是 .
（3）若 是锐角，则 可能是顶角，也可能是底角.当 是顶角时，底角度数是；当 是底角时，顶角度数是 .
2.已知两边长（不相等），需分这两边长分别为腰长时的情况，并结合三角形的三边关系进行验证.
1．[2018河北]已知：如图，点在线段外，且.求证：点在线段的垂直平分线上.在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）
A．作的平分线交于点
B．过点作于点且
C．取的中点，连接
D．过点作，垂足为
2．[2023河北]四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化.当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．[2020河北]如图，从笔直的公路旁一点出发，向西走到达;从出发向北走也到达.下列说法错误的是（ ）
A．从点向北偏西 走到达
B．公路的走向是南偏西
C．公路的走向是北偏东
D．从点向北走后，再向西走到达
4．[2024石家庄二中模拟]如图1，锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点，使为等腰三角形，关于图2中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误
C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确
5．[2022河北]题目：“如图， ，，在射线上取一点，设，若对于的一个数值，只能作出唯一一个，求的取值范围.”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）
A．只有甲答得对 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
命题点2 直角三角形5年5考
易错命题点2
勾股定理运用出错：对勾股定理 中，、为直角边长，为斜边长这一条件记忆模糊，在已知两边长求第三边长时，不判断所求边是直角边还是斜边就直接代入公式计算.
知识命题点2
1.勾股定理的拓展应用：如图，若直角三角形的三边分别记为，，，分别以三条边为边或直径向外作等边三角形、正方形、半圆，则有.
2.赵爽弦图：如图，若直角三角形的三边分别记为，，，则由，可得.
6．[2023河北]如图,在中，,点是斜边的中点，以为边作正方形.若，则（ ）
A． B． C．12 D．16
7．T6变式 如图，在中，，点是斜边的中点，以，为边作，若的周长为24，则（ ）
A． B． C．12 D．18
8．[2020河北]用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案如图所示.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图中的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
9．[2019河北]已知:整式,整式.
尝试．化简整式.
发现．.求整式.
联想．由上可知,,当时,,,为直角三角形的三边长,如图.填写下表中的值:
直角三角形三边
勾股数组Ⅰ 8 _ _ _ _
勾股数组Ⅱ 35 _ _ _ _
请继续完成提升作业《分层精练册》P58—P59
微专题5 与中点有关的辅助线作法
典题精练 聚焦怎么考
方法1 遇一边中点，构造三角形中线
方法解读 情形一 遇等腰三角形底边中点时，考虑作底边上的中线，利用“三线合一”解题
基本模型 在等腰 中，,点 是底边 的中点，可连接
结论 ,
1．如图，在中，，，为的中点，于点，则的长度为_ _ _ _ _ _ .
2．T1变式 如图，在中，是上的点，，，分别是，的中点，，则的长为_ _ _ _ .
方法解读 情形二 遇直角三角形斜边的中点时，考虑作斜边上的中线
基本模型 点 为 斜边的中点，连接
结论
3．如图，在中， ，，为的中点，为延长线上一点，连接，，则的长为_ _ _ _ .
4．T3变式 如图，在四边形中，，，、分别是对角线，的中点.
（1） 请判断和的位置关系，并证明；
（2） 求线段的长.
方法2 遇中点，构造三角形中位线
方法解读
类型 当遇到一个中点时，过该中点作已知长度的边的平行线（为 的中点） 当遇到两个中点时，直接连接两个中点（，分别是，的中点）
图示
结论 为 的中点，，（为 的中点，，） ，
5．遇一中点 如图，在中，延长至点，使得，过中点作（点位于点右侧），且，连接．若，则的长为_ _ _ _ ．
6．遇两中点 如图，在中，，分别是，的中点，连接，交于点，若，求的长.
7．T6变式 遇中线 如图，的中线、相交于点，、分别是、的中点，线段与之间有什么关系？请说明理由.
方法3 遇过中点的垂线，想垂直平分线
方法解读
条件 点 是 的中点，
图示
结论 ;平分；
8．如图，在中，的垂直平分线交于点,交于点,是线段上一点，且满足, .若 ,则_ _ _ _ _ _ .
方法4 遇与中点有关的线段联想倍长中线构造全等
方法解读
类型 倍长中线 倍长类中线
条件 已知是边上的中线 已知点是边的中点，点是上一点
图示 延长 至点，使，连接 延长 至点，使得，连接
结论
9．倍长中线 如图，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：.
10．倍长类中线 如图，在中，，为边的中点，为的平分线，过点作的平行线，交于点，交的延长线于点.
求证：.
11．综合探究 阅读下列材料，完成相应任务.
命题 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图1，在中，是边上的中线，.
图1
求证：是直角三角形.
【分析问题】
（1） 看见中线，联想到和中点有关的定理，比如：三角形中位线定理；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 等.（添加一个和中点有关的定理）
深入思考后发现：对于中点有关问题，常作以下几种辅助线解决问题.
如图，在中，是边上的中线.
辅助线一：如图2，倍长中线，构造全等三角形或平行四边形；
辅助线二：如图3，倍长线段，构造中位线；
辅助线三：如图4，取的中点，构造中位线.
图2 图3 图4
【解决问题】
（2） 请选用上述添加辅助线的方法中的一种，完成上面命题的证明.
【拓展应用】
（3） 如图5，菱形的周长为24， ，点为边的中点，点是边上一动点，把沿直线折叠，点落在点处，连接，，当是直角三角形时，的长度为_ _ _ _ _ _ .
图5
请继续完成提升作业《分层精练册》P60—P61
第4讲 全等三角形
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 全等三角形的性质
1.定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形（平移、翻折、旋转前后的两个三角形必然全等）.两个全等三角形能互相重合的顶点叫作全等三角形的对应顶点，能互相重合的边叫作全等三角形的对应边，能互相重合的角叫作全等三角形的对应角.
2．性质
（1）全等三角形的对应边①_ _ _ _ ，对应角②_ _ _ _ ；
（2）全等三角形的周长相等，面积③_ _ _ _ ；
（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等.
考点2 全等三角形的判定
1．判定方法
判定方法 文字叙述
（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等
（边角边） 两边和它们的④_ _ _ _ 分别相等的两个三角形全等
（角边角） 两角和它们的⑤_ _ _ _ 分别相等的两个三角形全等
（角角边） 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等
（斜边、直角边） 斜边和一条⑥_ _ _ _ _ _ 分别相等的两个直角三角形全等
2.判定思路
（1）
（2）
（3）
易错警示
“”不是判定三角形全等的方法.例如，如图，在 和 中，，，，但 与 不全等.
夯基综合练
如图，在中，于点，于点，与交于点，且，连接.
（1） 下面是黑板上给出的问题及不完整的证明过程，请填写横线上的内容.
求证：.
证明：，， .
在和中，
（2） 求证：.
（3） 求证：.
（4） 求证：.
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 全等三角形的性质5年3考
易错命题点1
全等三角形的性质包括对应边相等、对应角相等，有时还有对应高、中线、角平分线相等及周长、面积相等.解题时可能只考虑到对应边和对应角相等，而忽略其他.
1．已知图中的两个三角形全等，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．[2025江苏扬州]在如图所示的房屋人字梁架中,,点在上,下列条件不能说明的是（ ）
A． B．
C． D．平分
3．[2024石家庄模拟]若，且的周长为20，，，则_ _ _ _ .
4．[2019河北]如图，和中，，， .边与边交于点（不与点，重合），点，在异侧.为的内心.
备用图
（1） 求证：；
（2） 设，请用含的式子表示，并求的长度的最大值；
（3） 当时，的取值范围为 ，分别直接写出，的值.
妙招
1.根据“”证，再根据角的和差关系即可证明.
2.由 得 用 表示的式子.当 最短时，长取得最大值.
3.根据内心的性质易求得,可知 的大小取决于 的大小，判断 的大小即可求解.
命题点2 全等三角形的判定5年5考
方法命题点2
判定三角形全等时找等角或等边的常用方法:
5．[2023河北]在和中， ,,.已知 ,则（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
考法拓展
6．[2024四川遂宁]如图①，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图②，在中，，点，在线段上，且，则图②中共有“伪全等三角形” （ ）
图① 图②
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．[2025河北]如图,四边形的对角线,相交于点,,,点在上,.
（1） 求证:;
（2） 若,求证:.
8．[新冀教八上P56练习 改编] 如图，是线段上一点，和都是等边三角形，交于点，交于点，交于点，连接.
求证：
（1） ；
（2） ；
（3） .
请继续完成提升作业《分层精练册》P62—P63
微专题6 常见的全等三角形模型
典题精练 聚焦怎么考
模型1 平移型
模型解读
图形
特点 沿同一直线（）平移可得两三角形重合
解题思路 证明 的关键: （1）加（减）公共部分,得; （2）利用平行线的性质找角对应相等
1．开放性试题 如图，在和中，，，，在同一条直线上.下面四个条件：
；；；.
（1） 请选择其中三个条件，使得（写出一种情况即可）；
（2） 在（1）的条件下，证明：.
模型2 轴对称型
模型解读
图形 公共边
公共顶点
特点 所给图形沿公共边所在直线（或公共边的垂直平分线）或者经过公共顶点的某条直线折叠,直线两侧的图形完全重合
解题思路 证明三角形全等的关键: （1）找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得角对应相等; （2）找公共边、中点、等底角、线段的和差关系等条件得边对应相等
2．公共边 如图，在中，,为的角平分线.以点为圆心，长为半径画弧，与,分别交于点,，连接,.
（1） 求证：；
（2） 若 ，求的度数.
3．公共顶点 下图是小军制作的燕子风筝的骨架示意图，，，， ，求的大小.
模型3 不共顶点旋转模型
模型解读
图形
特点 将 绕某一个定点旋转得
解题思路 证明 的关键：利用平行线的性质找角对应相等
4．如图,在和中,点,,,在同一直线上,,,只添加一个条件,能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
模型4 共顶点旋转模型（“手拉手”模型）
模型解 读情形一 双等腰三角形
条件 和 均为等腰三角形，且
图形
结论 ；； BD与 所在直线交于点，则
5．如图①，和均为等腰三角形，且 ，点，分别在边，上，如图②，将绕点旋转，连接，交于点，则的度数是（ ）
图① 图②
A． B． C． D．
模型解读 情形二 双等边三角形
条件 和 均为等边三角形
图形
结论 ；；
6．如图，和都是等边三角形，且点，，在一条直线上，与相交于点，则_ _ _ _ .
模型解读 情形三 双等腰直角三角形
条件 和 均为等腰直角三角形
图形
结论 ；；
拓展：双正方形
条件 四边形 和四边形 均为正方形
图形
结论 ；；
7．如图，和均为等腰直角三角形.
求证：
（1） ；
（2） .
模型5 “一线三等角”模型
模型解读
图形 直角型 同侧 异侧
非直角型 同侧 异侧
特点 ,
解题思路 证明 的关键: 通过三角形内角和定理或三角形外角的性质找一组相等的角 或
8．异侧直角型 如图，为等腰直角三角形，于点，于点，若，，则_ _ _ _ .
9．同侧非直角型 如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为_ _ _ _ .
模型6 “半角”模型
模型解读 情形一 角含 角
条件 ,,
图形
结论 ;
10．如图，在四边形中，， ， ，,分别是边，上的点,且 ,连接，则,,之间的数量关系为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
模型解读 情形二 角含 角
条件 ,,
图形
结论 ; ； ;
11．如图，等腰直角三角形中， ，，点，在边上，且 ，若，，则的长为_ _ _ _ _ _ .
模型解读 情形三 角含 角
条件 ,,
图形
结论 ;;
12．如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形, .以为顶点作一个 的角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为_ _ _ _ .
请继续完成提升作业《分层精练册》P64—P65
第5讲 相似三角形（含位似）
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 比例线段和比例的基本性质
1．相关概念
（1）线段的比：两条线段长度的比叫作这两条线段的比.（求两条线段的比时必须统一单位）
（2）比例线段：四条线段,,,中，如果①_ _ _ _ _ _ _ _ ，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段.
（3）比例中项：如果三个数,,满足比例（或）,那么就叫作,的比例中项.
（4）黄金分割：线段上一点把线段分成两条线段与，如果，那么称点是线段的黄金分割点，线段与整条线段的比叫作黄金比，即.
2.比例的性质
（1）;（2）;
（3）.
3.平行线分线段成比例
基本事实 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 如图，当时，有，
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例.如图,当时，有，等
考点2 相似三角形的性质与判定（含相似多边形）
1．相似三角形的性质
（1）对应角②_ _ _ _ ，对应边③_ _ _ _ _ _ ;
（2）相似三角形对应线段（中线、高、角平分线）的比都等于④_ _ _ _ _ _ ;
（3）周长之比等于相似比，面积之比等于⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
2．相似三角形的判定
判定定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 两角分别⑥_ _ _ _ 的两个三角形相似 两边成比例且⑦_ _ _ _ 相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 一条直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似
图示
3.相似多边形
（1）定义：两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形对应边的比叫作相似比.
（2）性质：对应角相等;对应边的比等于相似比；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
考点3 图形的位似
定义 如果两个图形不仅相似而且每组对应点所在直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫作位似图形,这个点叫作位似中心,对应边的比叫作位似比,位似比等于相似比（位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.）
示例 如图，两个多边形的顶点与,与,与, 所在的直线都经过同一点,并且 ，像这样的两个多边形叫作位似图形，点是位似中心
性质 （1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于⑧_ _ _ _ _ _ ； （2）对应边互相平行或在一条直线上； （3）对应点连线所在的直线都经过同一点（位似中心）
位似变换与坐标的关系 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上点对应的位似图形上点的坐标为或
夯基综合练
如图，在中，，分别是边，上的动点（不与，，重合），和交于点，连接.
（1） 若，，.
① _ _ _ _ _ _ ；
② 当时，_ _ _ _ ；
③ 写出所有与相等的线段比：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
④ 当时，_ _ _ _ ，当时，_ _ _ _ .
（2） 若 ， ，则当_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 时，与相似.
（3） 若，，，，且与位似,则位似中心为点_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 比例线段与相似多边形5年1考
1．[2025河北]“这么近,那么美,周末到河北.”嘉嘉周末到弘济桥游览,发现青石桥面上有三叶虫化石,他想了解其长度,在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）.回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和,笔的实际长度为,则该化石的实际长度为（ ）
A． B． C． D．
2．[2025甘肃]“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢.”风筝古称纸鸢,起源于春秋战国时期,风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录.为丰富校园生活,某校开展风筝制作活动,小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝,风筝的形状如图所示,其中对角线.已知大、小风筝的对应边之比为,如果小风筝两条对角线的长分别为和,那么大风筝两条对角线长的和为_ _ _ _ .
命题点2 相似三角形的性质与判定5年5考
炼方法 相似三角形的判定思路
（1）有平行截线:直接用判定定理.
（2）有一对等角:找
（3）有两边分别成比例:找
（4）直角三角形:找
（5）等腰三角形:找
3．[2025河北]如图,在五边形中,,延长,,分别交直线于点,.若添加下列一个条件后,仍无法判定,则这个条件是（ ）
A． B．
C． D．
4．[2021河北]图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
5．[2022河北]钉板示意图如图所示，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，钉点，的连线与钉点，的连线交于点，则
（1） 与是否垂直？_ _ _ _ （填“是”或“否”）.
（2） _ _ _ _ _ _ .
6．[北师九上P122复习题T18改编] 已知、、是三个全等的等腰三角形，底边、、在同一直线上，且，.连接，分别交、、于点、、.
（1） 求证：；
（2） 求的长；
（3） 计算_ _ _ _ .
命题点3 图形的位似
炼方法1.位似图形需满足两个相似多边形的对
应顶点所在的直线相交于一点，这个交点就是位似中心.若两个相似多边形的对应顶点所在直线不交于同一点，则这两个图形不具备位似关系.
2.若已知原图形及位似中心，确定哪个是原图形的位似图形,则只需根据位似图形的画法对给出的点进行观察，即可确定位似图形.
7．[2020河北]在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ）
A．四边形 B．四边形
C．四边形 D．四边形
8．[2024保定模拟]如图1，以为位似中心，作出的位似,使与的位似比为.图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法均保证.则下列说法正确的是（ ）
图1 图2 图3
A．只有珍珍正确 B．只有明明正确
C．两个人都正确 D．两个人都不正确
9．[2025浙江]如图,五边形,是以坐标原点为位似中心的位似图形,已知点,的坐标分别为,.若的长为3,则的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
请继续完成提升作业《分层精练册》P66—P67
微专题7 常见的相似三角形模型
典题精练 聚焦怎么考
模型1 “”字型
模型解读
图形
图形关联 斜“”字型
1．如图，在中，,分别为,上的三等分点，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．斜“A”字型 如图，点是的边上一点，且满足.
（1） 证明：；
（2） 若，，求的长.
模型2 “8”字型
模型解读
图形
图形关联 或 斜“8”字型
3．如图，用一个交叉卡钳测量某个零件的内孔直径，已知，，的长度为，则的长度为_ _ _ _ .
4．斜“8”字型 如图，在中，直径与弦相交于点，连接、.
（1） 求证：；
（2） 连接，若， ，求的半径.
模型3 旋转型
模型解读
图形 在 中,,将 绕点 旋转
结论 ,; ,交于点,则
5．如图1，在中， ，，，是上一点，且，过点作交于，将绕点顺时针旋转到图2的位置，连接，.则图2中的值为_ _ _ _ _ _ .
图1 图2
6．如图1,在中, ,点,分别是,的中点.把绕点旋转一定角度,连接,.如图2,当线段在内部时,求证:.
图1 图2
模型4 “一线三等角”型
模型解读
图形 同侧
异侧
条件
结论
7．如图，为等边三角形，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，连接,,.若,，则的长为_ _ _ _ .
8．（1） 如图1，在四边形中，点为上一点，当 时，求证：.
图1
（2） 若将（1）中 角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由.
图2
请继续完成提升作业《分层精练册》P68—P69
第6讲 锐角三角函数与解直角三角形
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 锐角三角函数
1．锐角三角函数的定义
如图，在中， ，,,,为的一个锐角，则有：
的正弦：①_ _ _ _ _ _ ；
的余弦：②_ _ _ _ _ _ ；
的正切：③_ _ _ _ _ _ .
温馨提示
三角函数的值都是比值，所以其大小只与角的大小有关，而与它所在三角形的边长无关.
2．特殊锐角的三角函数值
图示
④_ _ _ _ _ _ ⑤_ _ _ _ _ _ ⑥_ _ _ _ _ _
⑦_ _ _ _ _ _ ⑧_ _ _ _ _ _ ⑨_ _ _ _ _ _
⑩_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
考点2 解直角三角形
前提 元素 关系
如图，在中， ，，，分别为,,所对的边 三边 （勾股定理）
两锐角 _ _ _ _ _ _
边和角 ， ， ，
方法点睛
解直角三角形的思路可概括为“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦）,无斜用切（正切）,宁乘勿除,取原避中”,其含义是当已知条件中有斜边时,选用正弦或余弦,无斜边时,就用正切;当所求元素既可用乘法又可用除法求解时,通常用乘法,不用除法,既可用已知数据又可用中间数据求解时,用已知数据,不用中间数据.
夯基对点练
1．[人教九下P84复习题 改编] 在中， ,，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
2．[人教九下P84复习题 改编] 在中， ,，，则_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
考点3 解直角三角形的实际应用
内容 描述 图示
仰角、俯角 它们都是在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线上方的角叫作仰角,在水平线下方的角叫作俯角.如图,是仰角,是俯角
坡度（坡比）、坡角 如图,通常把坡面的铅垂高度和水平宽度的比叫作坡度（或坡比）,用字母表示,即.坡面与水平面的夹角叫作坡角,记作 ,则有 _ _ _ _ _ _ _ _
方向角 如图,点位于点的北偏东 方向,点位于点的南偏东 方向
夯基对点练
3．[北师九下P15习题 改编] 一辆汽车沿着一山坡行驶195米，其铅直高度上升了75米，则山坡的坡度是_ _ _ _ _ _ .
4．[北师九下P25复习题 改编] 一艘船由A港沿北偏东 方向航行至B港，然后再沿北偏西 方向航行至C港.则A，C两港之间的距离为_ _ _ _ _ _ （结果保留根号），C港在A港北偏东_ _ _ _ _ _ 方向上.
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 求锐角三角函数值5年1考
方法命题点1
求锐角三角函数值的方法
1.直接法:利用锐角三角函数的定义直接求解,有时需利用勾股定理求出第三边.
2.构造法:添加辅助线构造直角三角形,在直角三角形中进行相关计算.
3.转换法:不能直接计算时,可通过等角的三角函数值相等,去求等角的三角函数值.
1．[人教九下P69习题T6改编] 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是平面镜，光从点出发经上点反射后照射到点，若入射角为 ，反射角为 （反射角等于入射角），于点，于点，且，，，则 的值为_ _ _ _ _ _ .
3．[2024石家庄模拟]如图，6个大小相同的小正方形恰好放置在中，若小正方形的边长为1，则：
（1） _ _ _ _ _ _ ；
（2） _ _ _ _ .
命题点2 方向角、仰角、俯角5年1考
方法命题点2
1.若 在 的北偏东 方向上，则 在 的南偏西 方向上.
2.解决方向角问题常用关系：
妙招命题点2
东北方向指北偏东 方向，东南方向指南偏东 方向，西北方向指北偏西 方向，西南方向指南偏西 方向.
4．[2019河北]如图，从点观测点的仰角是（ ）
A． B． C． D．
5．[2023河北]淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图,西柏坡位于淇淇家南偏西 的方向，则淇淇家位于西柏坡的 （ ）
A．南偏西 方向 B．南偏东 方向
C．北偏西 方向 D．北偏东 方向
6．T5变式 如图，快艇从处向正北航行到处时，向左转 航行到处，再向右转 继续航行，此时的航行方向为（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西
7．T5变式 已知:岛位于岛的正西方,由岛,分别测得船位于南偏东 和南偏西 方向上.符合条件的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
命题点3 解直角三角形的实际应用5年3考
考情命题点3
河北2024年首次以解答题形式单独考查利用锐角三角函数解决实际问题，往年多是和其他知识结合在解答题出现，体现了2022年版课标中创设合理情境，结合生活经验，感受数学在现实世界的广泛应用.
方法命题点3
1.解直角三角形实际应用问题的思路：
2.解直角三角形实际应用问题的一般方法：
（1）紧扣三角函数定义,寻找边角关系.
（2）添加辅助线,构造直角三角形.作高线是常用的辅助线添加方法.
（3）逐个分析，构造方程求解.可设直角边长为,分别在不同的直角三角形中用含 的代数式表示出未知边长,再根据两个直角三角形边长的数量关系（和差或相等）列方程求出未知量.
8．[2025浙江]无人机警戒在高速公路场景中的应用是我国低空经济高质量发展的重要实践方向.如图,在高速公路上,交警在处操控无人机巡查,无人机从点处飞行到点处悬停,探测到它的正下方公路上点处有汽车发生故障.测得处到处的距离为,从点观测点的仰角为 ,,则处到处的距离为_ _ _ _ .
9．[冀教九上P124复习题A组T5改编] 某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度.如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为 ，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为 ，无人机距地面的铅直高度为米，点，，在同一条直线上，其中.求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）.
10．[2024河北]新考法 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离,仰角为 ;淇淇向前走了后到达点,透过点恰好看到月亮，仰角为 ,下图是示意图.已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离,点到的距离,的延长线交于点.（注：图中所有点均在同一平面）
（1） 求 的大小及 的值;
（2） 求的长及的值.
请继续完成提升作业《分层精练册》P70—P72
微专题8 解直角三角形中常用的辅助线
典题精练 聚焦怎么考
类型1 “母子”型
方法解读
特点 通过在钝角三角形外作高,构造出两个直角三角形求解.其中公共边是解题的关键
图示
1．某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）.该小组在处安置测角仪,测得旗杆顶端的仰角为 ,前进到达处,安置测角仪,测得旗杆顶端的仰角为 （点,,在同一直线上）,,则旗杆顶端到地面的距离即的长度为_ _ _ _ .
（结果精确到.参考数据:）
2．T1变式 图①中的吉林省广播电视塔又称“吉塔”.某直升机于空中处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②，从直升机上看塔尖的俯角 ，看塔底的俯角 ，则吉塔的高度为_ _ _ _ （结果精确到）.（参考数据：,,）
图① 图②
3．T1变式 某兴趣小组为了测量大楼的高度，先沿着斜坡走了52米到达坡顶点处，然后在点处测得大楼顶点的仰角为 ，已知斜坡的坡度,点到大楼的距离为72米，求大楼的高度.（参考数据：,,）
类型2 “背靠背”型
方法解读
特点 通过在三角形内作高,构造出两个直角三角形求解,其中公共边是解题的关键
图示
4．如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部点测得教学楼顶部点的仰角是 ，底部点的俯角是 ，则教学楼的高度是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 米（结果保留根号）.
5．T4变式 某拦水坝的横截面为梯形，迎水坡的坡角为 ，且，背水坡的坡度（坡度指坡面的铅直高度与水平宽度的比），坝面宽，坝高，则坝底宽_ _ _ _ .
6．T4变式 随着科技的发展,无人机已广泛应用于生产和生活,如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量,两座楼之间的距离,他们借助无人机设计了如下测量方案:无人机在,两楼之间上方的点处,点距地面的高度为,此时观测到楼底部点处的俯角为 ,楼上点处的俯角为 ,沿水平方向由点飞行到达点,测得点处的俯角为 ,其中点,,,,,,均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼与之间的距离（结果精确到.参考数据:,,,）.
【参考答案】
第四模块 三角形
第1讲 几何初步、相交线与平行线
考点通关 直击考什么
考点1 直线、射线、线段与角（含角平分线）
1．长度；
2．射线； ； ； 相等
考点2 相交线（含线段的垂直平分线）
1．相等； ； ； ；
2．垂线段
考点3 平行线（两条平行线间的距离处处相等.）
相等； 互补
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 直线、射线、线段与角5年2考
1．A 2．C 3．A
命题点2 相交线与平行线5年3考
4．C 5．D 6．C 7．C
命题点3 角平分线和线段的垂直平分线5年1考
8．C
9．D
10．A
[解析]延长与，使其相交于点，
易得，，
， ，
，，
，，
平分，
，
， ，
，，
，
.
11．2
命题点4 命题
12．D
13．； 1（答案不唯一）
第2讲 三角形及其性质
考点通关 直击考什么
考点2 三角形的边、角关系
1．大于； 小于
2．；
考点3 三角形中的重要线段
； ；
夯基综合练
（1） 2；
（2） ①
②
（3） ① 6； 2
② 2；
③
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 三角形的有关概念5年4考
1．A 2．B 3．C
4．B
5．2（答案不唯一）
6．减少； 10
命题点2 三角形中的重要线段5年3考
7．D
8．100
9．（1） 1
（2） 7
[解析]连接,,，
点，，，是线段的五等分点，，.
点，，是线段的四等分点，.
点是线段的中点，， 易证.
，.
.
，，，.
.
的面积为.
考法拓展 三角形中的双角平分线
10．解：（1）.
理由如下：，
，
又平分，平分，
，，
，
，
，
.
（2） .理由如下：
平分，平分，
，，
又，，
，
，即.
（3） .
第3讲 等腰三角形与直角三角形
考点通关 直击考什么
考点1 等腰三角形
中线； 等角对等边；
夯基对点练
1．C
2．6
3．
考点2 直角三角形
； 斜边； ； 互余；
夯基对点练
4．
5．①③④
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 等腰三角形5年4考
1．B
2．B
3．A
4．A
5．B
[解析]过点作于点 ，，.
当点与点重合，即时，只能作出唯一一个；
过点作，与交于点， ，，
，当点在射线上时，，显然当时，只能作出唯一一个.故选.
命题点2 直角三角形5年5考
6．B 7．B 8．B
9．解：尝试
.
发现 ,
且,,.
联想 17； 37
微专题5 与中点有关的辅助线作法
典题精练 聚焦怎么考
方法1 遇一边中点，构造三角形中线
1．
2．3
3．4
4．解：（1）.
证明：连接、，
在中，是的中点，
，同理，，
，是的中点，
.
（2） 在中，，，
由勾股定理得，，
，是的中点，
，
.
方法2 遇中点，构造三角形中位线
5．4
6．解：连接，
,分别为,的中点，
为的中位线，
，，
，
,，
，.
7．解：，.
理由如下：连接，
、分别是、的中点，
，，
同理，，，
，.
方法3 遇过中点的垂线，想垂直平分线
8．
方法4 遇与中点有关的线段联想倍长中线构造全等
9．证明：如图，延长至，使，连接，
是的中线，，
又，，
，
，，
，，
，，
.
10．证明：如图，延长至，使，连接，
为的中点，，
又，，
，
，，
平分，，
，，，，
，，
，.
11．解：（1） 等腰三角形“三线合一”（或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，答案不唯一）
（2）选辅助线一证明：延长至点，使，连接，.
是边上的中线，.
四边形是平行四边形，
,，
， 四边形是矩形,
，
是直角三角形.
选辅助线二证明：延长至点，使，连接.
是边上的中线，
，
是的中位线，
，.
，，
，，
,，，
,
是直角三角形.
选辅助线三证明：取的中点，连接.
是边上的中线，
,
，,
, ,
，分别为，的中点，
是的中位线，
， ，
是直角三角形.
（3） 3或1.5
提示：根据题意可知分 和 两种情况求解.
当 时，；
当 时，.
第4讲 全等三角形
考点通关 直击考什么
考点1 全等三角形的性质
2．相等； 相等； 相等
考点2 全等三角形的判定
1．夹角； 夹边； 直角边
夯基综合练
解：（1） ； .
（2） 证明：由（1）知，.
又 ， .
在和中，
.
（3） 证明：由（2）知，.
在和中，
.
（4） 证明：延长交于点，
由（2）易得，
由（3）易得，
，,
， ，
.
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 全等三角形的性质5年3考
1．A 2．B
3．7
4．解：（1） 证明：，，，.
，即.
（2） .
如图，当时，最小，最长.
，，.
.
的长度的最大值为3.
（3） ，.
提示：根据为的内心可得，，，的大小取决于的大小.假设点与点重合，此时 ；随着点接近点，的值接近于 ，假设 ，此时 ，即 ，
，.
命题点2 全等三角形的判定5年5考
5．C
[解析] ,, 点到的距离为3，点到的距离为， 点的位置有两个，易得 或 ,故选.
考法拓展
6．D
[解析]，.
在和中，
，
.
，，，
，和是一对“伪全等三角形”.
同理可得，和是一对“伪全等三角形”，和是一对“伪全等三角形”，和是一对“伪全等三角形”.
所以图中的“伪全等三角形”共有4对.故选.
7．证明：（1），
，
.
在和中，
.
（2） ，，
，.
8．证明:（1），是等边三角形，，， ，，即，
，
.
（2） ，
，
，.
，，
.
（3） ， ，
是等边三角形.
.
.
微专题6 常见的全等三角形模型
典题精练 聚焦怎么考
模型1 平移型
1．解：（1）选择的三个条件是或.
（2） 选择①②③：
证明：，.
在和中，
.
选择①③④：
证明：，.
在和中，
.
模型2 轴对称型
2．解：（1）证明:是的角平分线，.
由作图知,.
在和中，
.
（2） ,为的角平分线， ,
由作图知，,
，
.
,为的角平分线，,
.
3．解：，
，
又，，
，
.
模型3 不共顶点旋转模型
4．B
模型4 共顶点旋转模型（“手拉手”模型）
5．A
6．60
7．证明:（1）和是等腰直角三角形，，， ，
，
，
.
（2） 延长分别交和于点和，如图.
，
，
，， ，
.
模型5 “一线三等角”模型
8．5
9．10
模型6 “半角”模型
10．
11．
12．6
第5讲 相似三角形（含位似）
考点通关 直击考什么
考点1 比例线段和比例的基本性质
1．
考点2 相似三角形的性质与判定（含相似多边形）
1．相等； 成比例； 相似比； 相似比的平方
2．相等； 夹角
考点3 图形的位似
位似比
夯基综合练
（1） ①
② 2
③ ，，，
④ 4； 21
（2） 或
（3） ；
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 比例线段与相似多边形5年1考
1．C
2．195
命题点2 相似三角形的性质与判定5年5考
3．D 4．C
5．（1） 是
（2）
6．解：（1） 证明：、、是三个全等的等腰三角形，
，，，，
又，
.
（2）由（1）知，
，，
.
（3） 2
提示：、、是三个全等的等腰三角形，
，，，
，，，
同理，
，，
，，
，，，
.
命题点3 图形的位似
7．A 8．C 9．C
微专题7 常见的相似三角形模型
典题精练 聚焦怎么考
模型1 “A”字型
1．B
2．解：（1）证明：，
，，
.
（2） 由（1）知，，
，
，，
，，，，
.
模型2 “8”字型
3．18
4．解：（1）证明：，，.
（2） ， ，
是的直径，
，，，
的半径为3.
模型3 旋转型
5．
6．证明：在题图1中，
点、分别是、的中点，
，.
.
在题图2中，，
，
.
模型4 “一线三等角”型
7．3
8．解：（1）证明: ，
，
， ,
，
，，
，
.
（2） 结论仍成立.
理由:，
,,
,
,,
，
.
第6讲 锐角三角函数与解直角三角形
考点通关 直击考什么
考点1 锐角三角函数
1．； ；
2．； ； ； ； ； ； ； 1；
考点2 解直角三角形
夯基对点练
1．
2．； ；
考点3 解直角三角形的实际应用
夯基对点练
3．
4．；
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 求锐角三角函数值5年1考
1．A
2．
3．（1）
（2） 8
命题点2 方向角、仰角、俯角5年1考
4．B 5．D 6．A 7．D
命题点3 解直角三角形的实际应用5年3考
8．490
9．解：过点作于点，则四边形是矩形.
，，
， .
在中， ，
，，
.
在中， ， ，
，即，
，
（米）.
答：河流的宽度约为64米.
10．解：（1），,, 四边形为矩形，
.
,，,
四边形为矩形，
,, ,.
,,
,.
为等腰直角三角形,
.
（2） 在中，
.
,,,
过点作，垂足为点,
, 设,
则,
,
又,，
即,
.
微专题8 解直角三角形中常用的辅助线
典题精练 聚焦怎么考
类型1 “母子”型
1．12
2．218.3
3．解：过点作于点，于点，则四边形是矩形.
设米，则米.
在中，，
解得（负值舍去）.
米，米.
（米）.
米.
在中，
（米）.
又米,
（米）.
答：大楼的高度为52米.
类型2 “背靠背”型
4．
5．49
6．解：延长和分别与直线交于点和点,
则 .
又 ,
四边形是矩形..
由题意,得，， , ,
.
在中, ,
,
.
是的外角,
.
.
在中, ,
,
.
.
答:楼与之间的距离约为.
9/57
五年考频统计
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
1.几何初步、相交线与平行线 直线、射线、线段与角 5年2考 4.全等三角形 全等三角形的性质 5年3考
相交线与平行线 5年3考 全等三角形的判定 5年考
角平分线和线段的垂直平分线 5年1考 5.相似三角形（含位似） 比例线段与相似多边形 5年1考
命题 — 相似三角形的性质与判定 5年考
2.三角形及其性质 三角形的有关概念 5年4考 图形的位似 —
三角形中的重要线段 5年3考 6.锐角三角函数与解直角三角形 求锐角三角函数值 5年1考
3.等腰三角形与直角三角形 等腰三角形 5年4考 方向角、仰角、俯角 5年1考
直角三角形 5年考 解直角三角形的实际应用 5年3考
模块体系构建
第1讲 几何初步、相交线与平行线
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 直线、射线、线段与角（含角平分线）
1．直线、射线与线段
两个基本事实 （1）经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）； （2）两点之间的所有连线中，线段最短.简述为：两点之间，线段最短
两点之间的距离 连接两点间线段的①_ _ _ _ ，叫作这两点之间的距离
线段的中点 如图，把线段分成相等的两条线段、，点叫作线段的中点.②_ _ _ _ _ _ （或）
2．角与角平分线
角的定义 有公共端点的两条③_ _ _ _ 组成的图形叫作角
角的类型 常见角的类型有锐角、直角、钝角、平角、周角.1周角平角直角
度、分、秒的换算 ；（度、分、秒之间是60进制.）
余角 和为④_ _ _ _ _ _ _ _ 的两个角互为余角（同角或等角的余角相等）
补角 和为⑤_ _ _ _ _ _ _ _ 的两个角互为补角（同角或等角的补角相等）
角平分线 性质 角平分线上的点到角两边的距离⑥_ _ _ _
判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
考点2 相交线（含线段的垂直平分线）
1．相交线中的角
两条直线相交 对顶角 性质：对顶角⑦_ _ _ _
邻补角 性质：互为邻补角的两个角的和为⑧_ _ _ _ _ _ _ _ （互为补角与互为邻补角的区别:互为补角只强调两个角之间的数量关系，而互为邻补角还要强调两个角之间的位置关系）
三条直线相交 三线八角 同位角 与⑨_ _ _ _ _ _ ，与，与，与是同位角
内错角 与，与⑩_ _ _ _ _ _ 是内错角
同旁内角 与， _ _ _ _ _ _ 与是同旁内角
2．垂线
（1）性质：.在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线；
.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， _ _ _ _ _ _ 最短.
（2）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.
3.线段的垂直平分线
（1）性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
（2）判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
考点3 平行线（两条平行线间的距离处处相等.）
平行公理及其推论 公理 经过直线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行
推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
平行线的性质与判定 两直线平行同位角 _ _ _ _ ；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角 _ _ _ _
知识拓展 平行线中的模型
作平行线 作延长线 结论
铅笔头模型 若,则
锯齿模型 若,则
外折模型 若,则
考点4 命题与定理
1.命题
（1）定义：判断一件事情的语句，叫作命题.命题由题设和结论两部分组成.
（2）分类
（3）互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
2.定理：经过推理证实的真命题叫作定理.
方法点睛 判断命题真假的方法
1.判断命题是假命题的常用方法是举反例；
2.真命题可根据定义、公式、性质、判定定理等直接做出判断，必要时需严格推理论证.
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 直线、射线、线段与角5年2考
1．[2021河北]如图，已知四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，借助直尺可判断该线段是（ ）
A． B． C． D．
2．[2025河南]如图所示,有一个六边形零件,利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数,则所量内角的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．[2025贵州]下列图中能说明一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
命题点2 相交线与平行线5年3考
4．[2025河北]榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.下图是某个构件的截面图,其中, ,则（ ）
A． B． C． D．
5．[2020河北]如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
6．[2022河北]要得知作业纸上两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量.两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：
方案Ⅰ ①作一直线，交，于点，； ②利用尺规作； ③测量的大小即可.
图1
方案Ⅱ ①作一直线，交，于点，； ②测量和的大小； ③计算即可.
图2
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
7．[2019河北]下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容.
下列回答正确的是（ ）
A．◎代表 B．@代表同位角
C．代表 D．代表
命题点3 角平分线和线段的垂直平分线5年1考
炼方法 角平分线中添加辅助线的方法
已知 平分.
方法一：作垂线.
方法二：作平行线.
方法三：延长垂线段.
8．[2025江苏连云港]如图,在中,,的垂直平分线分别交、于点、,的垂直平分线分别交、于点、,则的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．[2025内蒙古]如图,直线,点,分别在直线,上,连接,以点为圆心,适当长为半径画弧,交射线于点,交于点,再分别以点,为圆心,大于的长为半径画弧（两弧半径相等）,两弧在的内部相交于点,画射线交于点,若 ,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．[2025江苏连云港]如图,在中, , ,平分,,为垂足,则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．[2024张家口期末]如图，平分， ，于点，，，则_ _ _ _ .
命题点4 命题
12．[2025四川成都]下列命题中,假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直
D．平行四边形的对角线相等
13．[2025北京]能说明命题“若,则”是假命题的一组实数,的值为_ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
请继续完成提升作业《分层精练册》P54—P55
第2讲 三角形及其性质
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 三角形的概念及分类
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫作三角形.三角形具有稳定性.
2.三角形的分类
考点2 三角形的边、角关系
1．三角形中边的关系（在三角形中，已知两边长为,，则第三边长的取值范围是）
文字叙述 数学语言 理论依据 图示
内容 三角形的任意两边之和①_ _ _ _ 第三边 在中，,,为三边的长，则有,, 两点之间，线段最短
三角形的任意两边之差②_ _ _ _ 第三边 在中，,,为三边的长，则有,,
应用 （1）判断三条线段能否组成三角形； （2）已知三角形的两边长，求第三边长的取值范围
2．三角形中角的关系
（1）三角形三个内角的和等于③_ _ _ _ _ _ _ _ ，直角三角形的两个锐角互余；
（2）三角形的外角和等于④_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
3.三角形的边角关系：在同一个三角形中，等边对等角，大边对大角，大角对大边.
考点3 三角形中的重要线段
四线 图示 性质 延伸
中线 是中线 ⑤_ _ _ _ _ _ （1）； （2）三角形三条中线的交点是三角形的重心； （3）重心分每一条中线成的两条线段
高线 是高线 ，即⑥_ _ _ _ _ _ （1），; （2）三角形三条高线所在直线的交点是三角形的垂心
角平分线 是角平分线 （1）； （2）三角形三条角平分线的交点是三角形的内心； （3）内心到三角形三边的距离相等
中位线 是中位线 且⑦_ _ _ _ _ _ ，相似比为 ，面积比为
知识点睛 三角形高线的位置
（1）锐角三角形的三条高线都在三角形的内部，三条高线交于三角形内一点；
（2）直角三角形有一条高线在三角形内部，另外两条高线恰好是三角形的两条直角边，三条高线交于直角顶点；
（3）钝角三角形有一条高线在三角形内部，另外两条高线在三角形外部，三条高线所在直线交于三角形外一点.
夯基综合练
已知在中，是边上的一点.
（1） 如图1，若，的面积为16，，，则_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
（2） 如图2，若是的平分线.
① 若 ， ，则_ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 若，，则_ _ _ _ _ _ .
（3） 如图3，若点是的中点，点是的中点，连接.
① 若，的面积为6，则的面积为_ _ _ _ ，点到的距离为_ _ _ _ ；
② 若，，则与的周长之差为_ _ _ _ ，线段的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
③ 若 ， ，则_ _ _ _ _ _ .
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 三角形的有关概念5年4考
考向命题点1
1.三角形的稳定性；
2.三角形的三边关系；
3.三角形内角和定理及内、外角的关系,,.
易错命题点1
在解决与三角形的边长有关的计算问题时，容易忽略三角形的三边关系而致错，注意“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是判断任意三条线段能否组成三角形的依据.
1．[2018河北]下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
2．[2021河北]定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
已知：如图，是的外角.
求证：.
下列说法正确的是
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
3．[2023河北]如图,直线，菱形和等边在，之间,点,分别在，上，点,,,在同一直线上.若 ， ,则（ ）
A． B． C． D．
妙招
设直线 与,分别交于，两点:
.
4．[2024邯郸邱县一模]T3变式 夹在两条平行线间的正方形，等边三角形如图所示，顶点，分别在两条平行线上.若点，，在一条直线上，则与的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2025河北]平行四边形的一组邻边长分别为3,4,一条对角线长为.若为整数,则的值可以为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（写出一个即可）
6．[2021河北]如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变.为了舒适，需调整的大小，使 ，则图中应_ _ _ _ （填“增加”或“减少”）_ _ _ _ 度.
命题点2 三角形中的重要线段5年3考
7．[2022河北]如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的（ ）
第7题图
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
8．[2017河北]如图，，两点被池塘隔开，不能直接测量其距离.于是，小明在岸边选一点，连接，，分别延长到点，，使，，测得，则，间的距离为_ _ _ _ .
第8题图
9．[2024河北]如图，的面积为2，为边上的中线，点,,,是线段的五等分点，点,,是线段的四等分点，点是线段的中点.
（1） 的面积为_ _ _ _ ；
（2） 的面积为_ _ _ _ .
考法拓展 三角形中的双角平分线
10．[新冀教七下P141复习题 改编] 探索三角形的内角与外角平分线：
（1） 如图①，在中，平分，平分，与有怎样的关系？试说明理由.
（2） 如图②，平分，平分，与有怎样的关系？试说明理由.
（3） 如图③，的外角，的平分线，相交于点，与有怎样的关系？（不需要说明理由）
知识
三角形中双角平分线模型及结论
模型1：双内角平分线型.
如图1，若、分别为、的平分线，则.
图1
模型2：双外角平分线型.
如图2，若、分别为、的平分线，则.
图2
模型3：一内一外角平分线型.
如图3，若、分别为和的平分线，则.
图3
请继续完成提升作业《分层精练册》P56—P57
第3讲 等腰三角形与直角三角形
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 等腰三角形
等腰三角形 等边三角形
定义 有两边相等的三角形叫作等腰三角形 三条边都相等的三角形叫作等边三角形
性质 边 两腰相等 三条边都相等
角 等腰三角形的两个底角相等 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于
对称性 等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴
三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的①_ _ _ _ 和底边上的高互相重合 等边三角形任意一条角平分线与该角所对的边上的中线、高线重合
判定 （1）两边相等的三角形是等腰三角形（定义）； （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“②_ _ _ _ _ _ _ _ ”） （1）三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形; （3）有一个角是③_ _ _ _ _ _ _ _ 的等腰三角形是等边三角形
面积 ,是底边长，是底边上的高 ,是等边三角形的边长
注意 （1）在解决等腰三角形边、角问题时，若题目中没有明确边是底边还是腰，角是顶角还是底角，则需要进行分类讨论.（2）在进行分类讨论时，要注意三角形两边之和大于第三边这个隐含条件
方法点睛 等腰三角形中常见的辅助线
（1）①作底边上的高；②作底边上的中线；③作顶角的平分线，即利用“三线合一”作辅助线.
（2）作底边或腰的平行线构造等腰三角形.（3）利用“角平分线 平行”或“角平分线 垂直”构造等腰三角形.
夯基对点练
1．[新北师七下P94习题 改编] 等腰三角形的一条边长为5，另一条边长为8，则该三角形的周长为（ ）
A．18 B．21 C．18或21 D．21或23
2．若一个等边三角形的面积是，则该等边三角形的周长是_ _ _ _ .
3．[新人教八上P86习题 改编] 如图，，是的边上的两点，并且，则的度数为_ _ _ _ _ _ _ _ .
考点2 直角三角形
直角三角形 等腰直角三角形
定义 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 顶角是直角的等腰三角形叫作等腰直角三角形
性质 角 两个锐角互余 两锐角相等且都等于④_ _ _ _ _ _
边 （1） 角所对的直角边等于⑤_ _ _ _ 的一半； （2）斜边上的中线等于斜边的一半； （3）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为,，斜边长为，那么⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （1）两直角边相等； （2）具有等腰三角形和直角三角形的所有性质
对称性 — 等腰直角三角形是轴对称图形，有1条对称轴，对称轴为底（斜）边的垂直平分线
判定 （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形（定义）； （2）有两个角⑦_ _ _ _ 的三角形是直角三角形； （3）若一个三角形两边的平方和等于第三条边的平方，则这个三角形是直角三角形 （1）有一个角为⑧_ _ _ _ _ _ 的等腰三角形是等腰直角三角形； （2）有两个角为 的三角形是等腰直角三角形； （3）有一个角为 的直角三角形是等腰直角三角形； （4）有两边相等的直角三角形是等腰直角三角形
面积 ,为两直角边的长，为斜边长，为斜边上的高 为腰长，为底边长，
注意 解直角三角形时，若已知两条边，且直角边与斜边没有明确告知，在求第三边时，应分类讨论： （1）两边均为直角边；（2）一边为直角边，另一边为斜边
知识拓展 常见的勾股数
，4，5；，12，13；，8，10；，24，25；，15，17；，40，41.勾股数的正整数倍也是勾股数.
方法点睛 解决有关直角三角形的计算题的常用思路
（1）直角三角形中出现 角或 角时，要想到“ 角所对的直角边等于斜边的一半”.
（2）当直角三角形中出现斜边上的中线时，要想到“斜边上的中线等于斜边的一半”.
夯基对点练
4．[北师八下P34复习题 改编] 如图，在中， ，，是的中线，则的长为_ _ _ _ _ _ .
5．[人教八下P34习题 改编] 在中，，，的对边分别是，，，下列条件：
,,;,,;;；其中可以判定是直角三角形的是_ _ _ _ （填序号）.
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 等腰三角形5年4考
方法命题点1
等腰三角形中的分类讨论
1.已知三角形中的一个角 ，需分这个角是顶角和底角两种情况，并结合三角形的内角和定理进行验证.
（1）若 是钝角，则 为顶角，底角度数是.
（2）若 是直角，则 为顶角，底角度数是 .
（3）若 是锐角，则 可能是顶角，也可能是底角.当 是顶角时，底角度数是；当 是底角时，顶角度数是 .
2.已知两边长（不相等），需分这两边长分别为腰长时的情况，并结合三角形的三边关系进行验证.
1．[2018河北]已知：如图，点在线段外，且.求证：点在线段的垂直平分线上.在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）
A．作的平分线交于点
B．过点作于点且
C．取的中点，连接
D．过点作，垂足为
2．[2023河北]四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化.当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．[2020河北]如图，从笔直的公路旁一点出发，向西走到达;从出发向北走也到达.下列说法错误的是（ ）
A．从点向北偏西 走到达
B．公路的走向是南偏西
C．公路的走向是北偏东
D．从点向北走后，再向西走到达
4．[2024石家庄二中模拟]如图1，锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点，使为等腰三角形，关于图2中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误
C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确
5．[2022河北]题目：“如图， ，，在射线上取一点，设，若对于的一个数值，只能作出唯一一个，求的取值范围.”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）
A．只有甲答得对 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
命题点2 直角三角形5年5考
易错命题点2
勾股定理运用出错：对勾股定理 中，、为直角边长，为斜边长这一条件记忆模糊，在已知两边长求第三边长时，不判断所求边是直角边还是斜边就直接代入公式计算.
知识命题点2
1.勾股定理的拓展应用：如图，若直角三角形的三边分别记为，，，分别以三条边为边或直径向外作等边三角形、正方形、半圆，则有.
2.赵爽弦图：如图，若直角三角形的三边分别记为，，，则由，可得.
6．[2023河北]如图,在中，,点是斜边的中点，以为边作正方形.若，则（ ）
A． B． C．12 D．16
7．T6变式 如图，在中，，点是斜边的中点，以，为边作，若的周长为24，则（ ）
A． B． C．12 D．18
8．[2020河北]用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案如图所示.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图中的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
9．[2019河北]已知:整式,整式.
尝试．化简整式.
发现．.求整式.
联想．由上可知,,当时,,,为直角三角形的三边长,如图.填写下表中的值:
直角三角形三边
勾股数组Ⅰ 8 _ _ _ _
勾股数组Ⅱ 35 _ _ _ _
请继续完成提升作业《分层精练册》P58—P59
微专题5 与中点有关的辅助线作法
典题精练 聚焦怎么考
方法1 遇一边中点，构造三角形中线
方法解读 情形一 遇等腰三角形底边中点时，考虑作底边上的中线，利用“三线合一”解题
基本模型 在等腰 中，,点 是底边 的中点，可连接
结论 ,
1．如图，在中，，，为的中点，于点，则的长度为_ _ _ _ _ _ .
2．T1变式 如图，在中，是上的点，，，分别是，的中点，，则的长为_ _ _ _ .
方法解读 情形二 遇直角三角形斜边的中点时，考虑作斜边上的中线
基本模型 点 为 斜边的中点，连接
结论
3．如图，在中， ，，为的中点，为延长线上一点，连接，，则的长为_ _ _ _ .
4．T3变式 如图，在四边形中，，，、分别是对角线，的中点.
（1） 请判断和的位置关系，并证明；
（2） 求线段的长.
方法2 遇中点，构造三角形中位线
方法解读
类型 当遇到一个中点时，过该中点作已知长度的边的平行线（为 的中点） 当遇到两个中点时，直接连接两个中点（，分别是，的中点）
图示
结论 为 的中点，，（为 的中点，，） ，
5．遇一中点 如图，在中，延长至点，使得，过中点作（点位于点右侧），且，连接．若，则的长为_ _ _ _ ．
6．遇两中点 如图，在中，，分别是，的中点，连接，交于点，若，求的长.
7．T6变式 遇中线 如图，的中线、相交于点，、分别是、的中点，线段与之间有什么关系？请说明理由.
方法3 遇过中点的垂线，想垂直平分线
方法解读
条件 点 是 的中点，
图示
结论 ;平分；
8．如图，在中，的垂直平分线交于点,交于点,是线段上一点，且满足, .若 ,则_ _ _ _ _ _ .
方法4 遇与中点有关的线段联想倍长中线构造全等
方法解读
类型 倍长中线 倍长类中线
条件 已知是边上的中线 已知点是边的中点，点是上一点
图示 延长 至点，使，连接 延长 至点，使得，连接
结论
9．倍长中线 如图，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：.
10．倍长类中线 如图，在中，，为边的中点，为的平分线，过点作的平行线，交于点，交的延长线于点.
求证：.
11．综合探究 阅读下列材料，完成相应任务.
命题 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图1，在中，是边上的中线，.
图1
求证：是直角三角形.
【分析问题】
（1） 看见中线，联想到和中点有关的定理，比如：三角形中位线定理；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 等.（添加一个和中点有关的定理）
深入思考后发现：对于中点有关问题，常作以下几种辅助线解决问题.
如图，在中，是边上的中线.
辅助线一：如图2，倍长中线，构造全等三角形或平行四边形；
辅助线二：如图3，倍长线段，构造中位线；
辅助线三：如图4，取的中点，构造中位线.
图2 图3 图4
【解决问题】
（2） 请选用上述添加辅助线的方法中的一种，完成上面命题的证明.
【拓展应用】
（3） 如图5，菱形的周长为24， ，点为边的中点，点是边上一动点，把沿直线折叠，点落在点处，连接，，当是直角三角形时，的长度为_ _ _ _ _ _ .
图5
请继续完成提升作业《分层精练册》P60—P61
第4讲 全等三角形
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 全等三角形的性质
1.定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形（平移、翻折、旋转前后的两个三角形必然全等）.两个全等三角形能互相重合的顶点叫作全等三角形的对应顶点，能互相重合的边叫作全等三角形的对应边，能互相重合的角叫作全等三角形的对应角.
2．性质
（1）全等三角形的对应边①_ _ _ _ ，对应角②_ _ _ _ ；
（2）全等三角形的周长相等，面积③_ _ _ _ ；
（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等.
考点2 全等三角形的判定
1．判定方法
判定方法 文字叙述
（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等
（边角边） 两边和它们的④_ _ _ _ 分别相等的两个三角形全等
（角边角） 两角和它们的⑤_ _ _ _ 分别相等的两个三角形全等
（角角边） 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等
（斜边、直角边） 斜边和一条⑥_ _ _ _ _ _ 分别相等的两个直角三角形全等
2.判定思路
（1）
（2）
（3）
易错警示
“”不是判定三角形全等的方法.例如，如图，在 和 中，，，，但 与 不全等.
夯基综合练
如图，在中，于点，于点，与交于点，且，连接.
（1） 下面是黑板上给出的问题及不完整的证明过程，请填写横线上的内容.
求证：.
证明：，， .
在和中，
（2） 求证：.
（3） 求证：.
（4） 求证：.
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 全等三角形的性质5年3考
易错命题点1
全等三角形的性质包括对应边相等、对应角相等，有时还有对应高、中线、角平分线相等及周长、面积相等.解题时可能只考虑到对应边和对应角相等，而忽略其他.
1．已知图中的两个三角形全等，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．[2025江苏扬州]在如图所示的房屋人字梁架中,,点在上,下列条件不能说明的是（ ）
A． B．
C． D．平分
3．[2024石家庄模拟]若，且的周长为20，，，则_ _ _ _ .
4．[2019河北]如图，和中，，， .边与边交于点（不与点，重合），点，在异侧.为的内心.
备用图
（1） 求证：；
（2） 设，请用含的式子表示，并求的长度的最大值；
（3） 当时，的取值范围为 ，分别直接写出，的值.
妙招
1.根据“”证，再根据角的和差关系即可证明.
2.由 得 用 表示的式子.当 最短时，长取得最大值.
3.根据内心的性质易求得,可知 的大小取决于 的大小，判断 的大小即可求解.
命题点2 全等三角形的判定5年5考
方法命题点2
判定三角形全等时找等角或等边的常用方法:
5．[2023河北]在和中， ,,.已知 ,则（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
考法拓展
6．[2024四川遂宁]如图①，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图②，在中，，点，在线段上，且，则图②中共有“伪全等三角形” （ ）
图① 图②
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．[2025河北]如图,四边形的对角线,相交于点,,,点在上,.
（1） 求证:;
（2） 若,求证:.
8．[新冀教八上P56练习 改编] 如图，是线段上一点，和都是等边三角形，交于点，交于点，交于点，连接.
求证：
（1） ；
（2） ；
（3） .
请继续完成提升作业《分层精练册》P62—P63
微专题6 常见的全等三角形模型
典题精练 聚焦怎么考
模型1 平移型
模型解读
图形
特点 沿同一直线（）平移可得两三角形重合
解题思路 证明 的关键: （1）加（减）公共部分,得; （2）利用平行线的性质找角对应相等
1．开放性试题 如图，在和中，，，，在同一条直线上.下面四个条件：
；；；.
（1） 请选择其中三个条件，使得（写出一种情况即可）；
（2） 在（1）的条件下，证明：.
模型2 轴对称型
模型解读
图形 公共边
公共顶点
特点 所给图形沿公共边所在直线（或公共边的垂直平分线）或者经过公共顶点的某条直线折叠,直线两侧的图形完全重合
解题思路 证明三角形全等的关键: （1）找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得角对应相等; （2）找公共边、中点、等底角、线段的和差关系等条件得边对应相等
2．公共边 如图，在中，,为的角平分线.以点为圆心，长为半径画弧，与,分别交于点,，连接,.
（1） 求证：；
（2） 若 ，求的度数.
3．公共顶点 下图是小军制作的燕子风筝的骨架示意图，，，， ，求的大小.
模型3 不共顶点旋转模型
模型解读
图形
特点 将 绕某一个定点旋转得
解题思路 证明 的关键：利用平行线的性质找角对应相等
4．如图,在和中,点,,,在同一直线上,,,只添加一个条件,能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
模型4 共顶点旋转模型（“手拉手”模型）
模型解 读情形一 双等腰三角形
条件 和 均为等腰三角形，且
图形
结论 ；； BD与 所在直线交于点，则
5．如图①，和均为等腰三角形，且 ，点，分别在边，上，如图②，将绕点旋转，连接，交于点，则的度数是（ ）
图① 图②
A． B． C． D．
模型解读 情形二 双等边三角形
条件 和 均为等边三角形
图形
结论 ；；
6．如图，和都是等边三角形，且点，，在一条直线上，与相交于点，则_ _ _ _ .
模型解读 情形三 双等腰直角三角形
条件 和 均为等腰直角三角形
图形
结论 ；；
拓展：双正方形
条件 四边形 和四边形 均为正方形
图形
结论 ；；
7．如图，和均为等腰直角三角形.
求证：
（1） ；
（2） .
模型5 “一线三等角”模型
模型解读
图形 直角型 同侧 异侧
非直角型 同侧 异侧
特点 ,
解题思路 证明 的关键: 通过三角形内角和定理或三角形外角的性质找一组相等的角 或
8．异侧直角型 如图，为等腰直角三角形，于点，于点，若，，则_ _ _ _ .
9．同侧非直角型 如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为_ _ _ _ .
模型6 “半角”模型
模型解读 情形一 角含 角
条件 ,,
图形
结论 ;
10．如图，在四边形中，， ， ，,分别是边，上的点,且 ,连接，则,,之间的数量关系为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
模型解读 情形二 角含 角
条件 ,,
图形
结论 ; ； ;
11．如图，等腰直角三角形中， ，，点，在边上，且 ，若，，则的长为_ _ _ _ _ _ .
模型解读 情形三 角含 角
条件 ,,
图形
结论 ;;
12．如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形, .以为顶点作一个 的角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为_ _ _ _ .
请继续完成提升作业《分层精练册》P64—P65
第5讲 相似三角形（含位似）
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 比例线段和比例的基本性质
1．相关概念
（1）线段的比：两条线段长度的比叫作这两条线段的比.（求两条线段的比时必须统一单位）
（2）比例线段：四条线段,,,中，如果①_ _ _ _ _ _ _ _ ，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段.
（3）比例中项：如果三个数,,满足比例（或）,那么就叫作,的比例中项.
（4）黄金分割：线段上一点把线段分成两条线段与，如果，那么称点是线段的黄金分割点，线段与整条线段的比叫作黄金比，即.
2.比例的性质
（1）;（2）;
（3）.
3.平行线分线段成比例
基本事实 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 如图，当时，有，
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例.如图,当时，有，等
考点2 相似三角形的性质与判定（含相似多边形）
1．相似三角形的性质
（1）对应角②_ _ _ _ ，对应边③_ _ _ _ _ _ ;
（2）相似三角形对应线段（中线、高、角平分线）的比都等于④_ _ _ _ _ _ ;
（3）周长之比等于相似比，面积之比等于⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
2．相似三角形的判定
判定定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 两角分别⑥_ _ _ _ 的两个三角形相似 两边成比例且⑦_ _ _ _ 相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 一条直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似
图示
3.相似多边形
（1）定义：两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形对应边的比叫作相似比.
（2）性质：对应角相等;对应边的比等于相似比；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
考点3 图形的位似
定义 如果两个图形不仅相似而且每组对应点所在直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫作位似图形,这个点叫作位似中心,对应边的比叫作位似比,位似比等于相似比（位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.）
示例 如图，两个多边形的顶点与,与,与, 所在的直线都经过同一点,并且 ，像这样的两个多边形叫作位似图形，点是位似中心
性质 （1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于⑧_ _ _ _ _ _ ； （2）对应边互相平行或在一条直线上； （3）对应点连线所在的直线都经过同一点（位似中心）
位似变换与坐标的关系 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上点对应的位似图形上点的坐标为或
夯基综合练
如图，在中，，分别是边，上的动点（不与，，重合），和交于点，连接.
（1） 若，，.
① _ _ _ _ _ _ ；
② 当时，_ _ _ _ ；
③ 写出所有与相等的线段比：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
④ 当时，_ _ _ _ ，当时，_ _ _ _ .
（2） 若 ， ，则当_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 时，与相似.
（3） 若，，，，且与位似,则位似中心为点_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 比例线段与相似多边形5年1考
1．[2025河北]“这么近,那么美,周末到河北.”嘉嘉周末到弘济桥游览,发现青石桥面上有三叶虫化石,他想了解其长度,在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）.回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和,笔的实际长度为,则该化石的实际长度为（ ）
A． B． C． D．
2．[2025甘肃]“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢.”风筝古称纸鸢,起源于春秋战国时期,风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录.为丰富校园生活,某校开展风筝制作活动,小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝,风筝的形状如图所示,其中对角线.已知大、小风筝的对应边之比为,如果小风筝两条对角线的长分别为和,那么大风筝两条对角线长的和为_ _ _ _ .
命题点2 相似三角形的性质与判定5年5考
炼方法 相似三角形的判定思路
（1）有平行截线:直接用判定定理.
（2）有一对等角:找
（3）有两边分别成比例:找
（4）直角三角形:找
（5）等腰三角形:找
3．[2025河北]如图,在五边形中,,延长,,分别交直线于点,.若添加下列一个条件后,仍无法判定,则这个条件是（ ）
A． B．
C． D．
4．[2021河北]图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
5．[2022河北]钉板示意图如图所示，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，钉点，的连线与钉点，的连线交于点，则
（1） 与是否垂直？_ _ _ _ （填“是”或“否”）.
（2） _ _ _ _ _ _ .
6．[北师九上P122复习题T18改编] 已知、、是三个全等的等腰三角形，底边、、在同一直线上，且，.连接，分别交、、于点、、.
（1） 求证：；
（2） 求的长；
（3） 计算_ _ _ _ .
命题点3 图形的位似
炼方法1.位似图形需满足两个相似多边形的对
应顶点所在的直线相交于一点，这个交点就是位似中心.若两个相似多边形的对应顶点所在直线不交于同一点，则这两个图形不具备位似关系.
2.若已知原图形及位似中心，确定哪个是原图形的位似图形,则只需根据位似图形的画法对给出的点进行观察，即可确定位似图形.
7．[2020河北]在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ）
A．四边形 B．四边形
C．四边形 D．四边形
8．[2024保定模拟]如图1，以为位似中心，作出的位似,使与的位似比为.图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法均保证.则下列说法正确的是（ ）
图1 图2 图3
A．只有珍珍正确 B．只有明明正确
C．两个人都正确 D．两个人都不正确
9．[2025浙江]如图,五边形,是以坐标原点为位似中心的位似图形,已知点,的坐标分别为,.若的长为3,则的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
请继续完成提升作业《分层精练册》P66—P67
微专题7 常见的相似三角形模型
典题精练 聚焦怎么考
模型1 “”字型
模型解读
图形
图形关联 斜“”字型
1．如图，在中，,分别为,上的三等分点，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．斜“A”字型 如图，点是的边上一点，且满足.
（1） 证明：；
（2） 若，，求的长.
模型2 “8”字型
模型解读
图形
图形关联 或 斜“8”字型
3．如图，用一个交叉卡钳测量某个零件的内孔直径，已知，，的长度为，则的长度为_ _ _ _ .
4．斜“8”字型 如图，在中，直径与弦相交于点，连接、.
（1） 求证：；
（2） 连接，若， ，求的半径.
模型3 旋转型
模型解读
图形 在 中,,将 绕点 旋转
结论 ,; ,交于点,则
5．如图1，在中， ，，，是上一点，且，过点作交于，将绕点顺时针旋转到图2的位置，连接，.则图2中的值为_ _ _ _ _ _ .
图1 图2
6．如图1,在中, ,点,分别是,的中点.把绕点旋转一定角度,连接,.如图2,当线段在内部时,求证:.
图1 图2
模型4 “一线三等角”型
模型解读
图形 同侧
异侧
条件
结论
7．如图，为等边三角形，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，连接,,.若,，则的长为_ _ _ _ .
8．（1） 如图1，在四边形中，点为上一点，当 时，求证：.
图1
（2） 若将（1）中 角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由.
图2
请继续完成提升作业《分层精练册》P68—P69
第6讲 锐角三角函数与解直角三角形
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 锐角三角函数
1．锐角三角函数的定义
如图，在中， ，,,,为的一个锐角，则有：
的正弦：①_ _ _ _ _ _ ；
的余弦：②_ _ _ _ _ _ ；
的正切：③_ _ _ _ _ _ .
温馨提示
三角函数的值都是比值，所以其大小只与角的大小有关，而与它所在三角形的边长无关.
2．特殊锐角的三角函数值
图示
④_ _ _ _ _ _ ⑤_ _ _ _ _ _ ⑥_ _ _ _ _ _
⑦_ _ _ _ _ _ ⑧_ _ _ _ _ _ ⑨_ _ _ _ _ _
⑩_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
考点2 解直角三角形
前提 元素 关系
如图，在中， ，，，分别为,,所对的边 三边 （勾股定理）
两锐角 _ _ _ _ _ _
边和角 ， ， ，
方法点睛
解直角三角形的思路可概括为“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦）,无斜用切（正切）,宁乘勿除,取原避中”,其含义是当已知条件中有斜边时,选用正弦或余弦,无斜边时,就用正切;当所求元素既可用乘法又可用除法求解时,通常用乘法,不用除法,既可用已知数据又可用中间数据求解时,用已知数据,不用中间数据.
夯基对点练
1．[人教九下P84复习题 改编] 在中， ,，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
2．[人教九下P84复习题 改编] 在中， ,，，则_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
考点3 解直角三角形的实际应用
内容 描述 图示
仰角、俯角 它们都是在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线上方的角叫作仰角,在水平线下方的角叫作俯角.如图,是仰角,是俯角
坡度（坡比）、坡角 如图,通常把坡面的铅垂高度和水平宽度的比叫作坡度（或坡比）,用字母表示,即.坡面与水平面的夹角叫作坡角,记作 ,则有 _ _ _ _ _ _ _ _
方向角 如图,点位于点的北偏东 方向,点位于点的南偏东 方向
夯基对点练
3．[北师九下P15习题 改编] 一辆汽车沿着一山坡行驶195米，其铅直高度上升了75米，则山坡的坡度是_ _ _ _ _ _ .
4．[北师九下P25复习题 改编] 一艘船由A港沿北偏东 方向航行至B港，然后再沿北偏西 方向航行至C港.则A，C两港之间的距离为_ _ _ _ _ _ （结果保留根号），C港在A港北偏东_ _ _ _ _ _ 方向上.
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 求锐角三角函数值5年1考
方法命题点1
求锐角三角函数值的方法
1.直接法:利用锐角三角函数的定义直接求解,有时需利用勾股定理求出第三边.
2.构造法:添加辅助线构造直角三角形,在直角三角形中进行相关计算.
3.转换法:不能直接计算时,可通过等角的三角函数值相等,去求等角的三角函数值.
1．[人教九下P69习题T6改编] 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是平面镜，光从点出发经上点反射后照射到点，若入射角为 ，反射角为 （反射角等于入射角），于点，于点，且，，，则 的值为_ _ _ _ _ _ .
3．[2024石家庄模拟]如图，6个大小相同的小正方形恰好放置在中，若小正方形的边长为1，则：
（1） _ _ _ _ _ _ ；
（2） _ _ _ _ .
命题点2 方向角、仰角、俯角5年1考
方法命题点2
1.若 在 的北偏东 方向上，则 在 的南偏西 方向上.
2.解决方向角问题常用关系：
妙招命题点2
东北方向指北偏东 方向，东南方向指南偏东 方向，西北方向指北偏西 方向，西南方向指南偏西 方向.
4．[2019河北]如图，从点观测点的仰角是（ ）
A． B． C． D．
5．[2023河北]淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图,西柏坡位于淇淇家南偏西 的方向，则淇淇家位于西柏坡的 （ ）
A．南偏西 方向 B．南偏东 方向
C．北偏西 方向 D．北偏东 方向
6．T5变式 如图，快艇从处向正北航行到处时，向左转 航行到处，再向右转 继续航行，此时的航行方向为（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西
7．T5变式 已知:岛位于岛的正西方,由岛,分别测得船位于南偏东 和南偏西 方向上.符合条件的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
命题点3 解直角三角形的实际应用5年3考
考情命题点3
河北2024年首次以解答题形式单独考查利用锐角三角函数解决实际问题，往年多是和其他知识结合在解答题出现，体现了2022年版课标中创设合理情境，结合生活经验，感受数学在现实世界的广泛应用.
方法命题点3
1.解直角三角形实际应用问题的思路：
2.解直角三角形实际应用问题的一般方法：
（1）紧扣三角函数定义,寻找边角关系.
（2）添加辅助线,构造直角三角形.作高线是常用的辅助线添加方法.
（3）逐个分析，构造方程求解.可设直角边长为,分别在不同的直角三角形中用含 的代数式表示出未知边长,再根据两个直角三角形边长的数量关系（和差或相等）列方程求出未知量.
8．[2025浙江]无人机警戒在高速公路场景中的应用是我国低空经济高质量发展的重要实践方向.如图,在高速公路上,交警在处操控无人机巡查,无人机从点处飞行到点处悬停,探测到它的正下方公路上点处有汽车发生故障.测得处到处的距离为,从点观测点的仰角为 ,,则处到处的距离为_ _ _ _ .
9．[冀教九上P124复习题A组T5改编] 某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度.如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为 ，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为 ，无人机距地面的铅直高度为米，点，，在同一条直线上，其中.求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）.
10．[2024河北]新考法 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离,仰角为 ;淇淇向前走了后到达点,透过点恰好看到月亮，仰角为 ,下图是示意图.已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离,点到的距离,的延长线交于点.（注：图中所有点均在同一平面）
（1） 求 的大小及 的值;
（2） 求的长及的值.
请继续完成提升作业《分层精练册》P70—P72
微专题8 解直角三角形中常用的辅助线
典题精练 聚焦怎么考
类型1 “母子”型
方法解读
特点 通过在钝角三角形外作高,构造出两个直角三角形求解.其中公共边是解题的关键
图示
1．某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）.该小组在处安置测角仪,测得旗杆顶端的仰角为 ,前进到达处,安置测角仪,测得旗杆顶端的仰角为 （点,,在同一直线上）,,则旗杆顶端到地面的距离即的长度为_ _ _ _ .
（结果精确到.参考数据:）
2．T1变式 图①中的吉林省广播电视塔又称“吉塔”.某直升机于空中处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②，从直升机上看塔尖的俯角 ，看塔底的俯角 ，则吉塔的高度为_ _ _ _ （结果精确到）.（参考数据：,,）
图① 图②
3．T1变式 某兴趣小组为了测量大楼的高度，先沿着斜坡走了52米到达坡顶点处，然后在点处测得大楼顶点的仰角为 ，已知斜坡的坡度,点到大楼的距离为72米，求大楼的高度.（参考数据：,,）
类型2 “背靠背”型
方法解读
特点 通过在三角形内作高,构造出两个直角三角形求解,其中公共边是解题的关键
图示
4．如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部点测得教学楼顶部点的仰角是 ，底部点的俯角是 ，则教学楼的高度是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 米（结果保留根号）.
5．T4变式 某拦水坝的横截面为梯形，迎水坡的坡角为 ，且，背水坡的坡度（坡度指坡面的铅直高度与水平宽度的比），坝面宽，坝高，则坝底宽_ _ _ _ .
6．T4变式 随着科技的发展,无人机已广泛应用于生产和生活,如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量,两座楼之间的距离,他们借助无人机设计了如下测量方案:无人机在,两楼之间上方的点处,点距地面的高度为,此时观测到楼底部点处的俯角为 ,楼上点处的俯角为 ,沿水平方向由点飞行到达点,测得点处的俯角为 ,其中点,,,,,,均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼与之间的距离（结果精确到.参考数据:,,,）.
【参考答案】
第四模块 三角形
第1讲 几何初步、相交线与平行线
考点通关 直击考什么
考点1 直线、射线、线段与角（含角平分线）
1．长度；
2．射线； ； ； 相等
考点2 相交线（含线段的垂直平分线）
1．相等； ； ； ；
2．垂线段
考点3 平行线（两条平行线间的距离处处相等.）
相等； 互补
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 直线、射线、线段与角5年2考
1．A 2．C 3．A
命题点2 相交线与平行线5年3考
4．C 5．D 6．C 7．C
命题点3 角平分线和线段的垂直平分线5年1考
8．C
9．D
10．A
[解析]延长与，使其相交于点，
易得，，
， ，
，，
，，
平分，
，
， ，
，，
，
.
11．2
命题点4 命题
12．D
13．； 1（答案不唯一）
第2讲 三角形及其性质
考点通关 直击考什么
考点2 三角形的边、角关系
1．大于； 小于
2．；
考点3 三角形中的重要线段
； ；
夯基综合练
（1） 2；
（2） ①
②
（3） ① 6； 2
② 2；
③
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 三角形的有关概念5年4考
1．A 2．B 3．C
4．B
5．2（答案不唯一）
6．减少； 10
命题点2 三角形中的重要线段5年3考
7．D
8．100
9．（1） 1
（2） 7
[解析]连接,,，
点，，，是线段的五等分点，，.
点，，是线段的四等分点，.
点是线段的中点，， 易证.
，.
.
，，，.
.
的面积为.
考法拓展 三角形中的双角平分线
10．解：（1）.
理由如下：，
，
又平分，平分，
，，
，
，
，
.
（2） .理由如下：
平分，平分，
，，
又，，
，
，即.
（3） .
第3讲 等腰三角形与直角三角形
考点通关 直击考什么
考点1 等腰三角形
中线； 等角对等边；
夯基对点练
1．C
2．6
3．
考点2 直角三角形
； 斜边； ； 互余；
夯基对点练
4．
5．①③④
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 等腰三角形5年4考
1．B
2．B
3．A
4．A
5．B
[解析]过点作于点 ，，.
当点与点重合，即时，只能作出唯一一个；
过点作，与交于点， ，，
，当点在射线上时，，显然当时，只能作出唯一一个.故选.
命题点2 直角三角形5年5考
6．B 7．B 8．B
9．解：尝试
.
发现 ,
且,,.
联想 17； 37
微专题5 与中点有关的辅助线作法
典题精练 聚焦怎么考
方法1 遇一边中点，构造三角形中线
1．
2．3
3．4
4．解：（1）.
证明：连接、，
在中，是的中点，
，同理，，
，是的中点，
.
（2） 在中，，，
由勾股定理得，，
，是的中点，
，
.
方法2 遇中点，构造三角形中位线
5．4
6．解：连接，
,分别为,的中点，
为的中位线，
，，
，
,，
，.
7．解：，.
理由如下：连接，
、分别是、的中点，
，，
同理，，，
，.
方法3 遇过中点的垂线，想垂直平分线
8．
方法4 遇与中点有关的线段联想倍长中线构造全等
9．证明：如图，延长至，使，连接，
是的中线，，
又，，
，
，，
，，
，，
.
10．证明：如图，延长至，使，连接，
为的中点，，
又，，
，
，，
平分，，
，，，，
，，
，.
11．解：（1） 等腰三角形“三线合一”（或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，答案不唯一）
（2）选辅助线一证明：延长至点，使，连接，.
是边上的中线，.
四边形是平行四边形，
,，
， 四边形是矩形,
，
是直角三角形.
选辅助线二证明：延长至点，使，连接.
是边上的中线，
，
是的中位线，
，.
，，
，，
,，，
,
是直角三角形.
选辅助线三证明：取的中点，连接.
是边上的中线，
,
，,
, ,
，分别为，的中点，
是的中位线，
， ，
是直角三角形.
（3） 3或1.5
提示：根据题意可知分 和 两种情况求解.
当 时，；
当 时，.
第4讲 全等三角形
考点通关 直击考什么
考点1 全等三角形的性质
2．相等； 相等； 相等
考点2 全等三角形的判定
1．夹角； 夹边； 直角边
夯基综合练
解：（1） ； .
（2） 证明：由（1）知，.
又 ， .
在和中，
.
（3） 证明：由（2）知，.
在和中，
.
（4） 证明：延长交于点，
由（2）易得，
由（3）易得，
，,
， ，
.
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 全等三角形的性质5年3考
1．A 2．B
3．7
4．解：（1） 证明：，，，.
，即.
（2） .
如图，当时，最小，最长.
，，.
.
的长度的最大值为3.
（3） ，.
提示：根据为的内心可得，，，的大小取决于的大小.假设点与点重合，此时 ；随着点接近点，的值接近于 ，假设 ，此时 ，即 ，
，.
命题点2 全等三角形的判定5年5考
5．C
[解析] ,, 点到的距离为3，点到的距离为， 点的位置有两个，易得 或 ,故选.
考法拓展
6．D
[解析]，.
在和中，
，
.
，，，
，和是一对“伪全等三角形”.
同理可得，和是一对“伪全等三角形”，和是一对“伪全等三角形”，和是一对“伪全等三角形”.
所以图中的“伪全等三角形”共有4对.故选.
7．证明：（1），
，
.
在和中，
.
（2） ，，
，.
8．证明:（1），是等边三角形，，， ，，即，
，
.
（2） ，
，
，.
，，
.
（3） ， ，
是等边三角形.
.
.
微专题6 常见的全等三角形模型
典题精练 聚焦怎么考
模型1 平移型
1．解：（1）选择的三个条件是或.
（2） 选择①②③：
证明：，.
在和中，
.
选择①③④：
证明：，.
在和中，
.
模型2 轴对称型
2．解：（1）证明:是的角平分线，.
由作图知,.
在和中，
.
（2） ,为的角平分线， ,
由作图知，,
，
.
,为的角平分线，,
.
3．解：，
，
又，，
，
.
模型3 不共顶点旋转模型
4．B
模型4 共顶点旋转模型（“手拉手”模型）
5．A
6．60
7．证明:（1）和是等腰直角三角形，，， ，
，
，
.
（2） 延长分别交和于点和，如图.
，
，
，， ，
.
模型5 “一线三等角”模型
8．5
9．10
模型6 “半角”模型
10．
11．
12．6
第5讲 相似三角形（含位似）
考点通关 直击考什么
考点1 比例线段和比例的基本性质
1．
考点2 相似三角形的性质与判定（含相似多边形）
1．相等； 成比例； 相似比； 相似比的平方
2．相等； 夹角
考点3 图形的位似
位似比
夯基综合练
（1） ①
② 2
③ ，，，
④ 4； 21
（2） 或
（3） ；
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 比例线段与相似多边形5年1考
1．C
2．195
命题点2 相似三角形的性质与判定5年5考
3．D 4．C
5．（1） 是
（2）
6．解：（1） 证明：、、是三个全等的等腰三角形，
，，，，
又，
.
（2）由（1）知，
，，
.
（3） 2
提示：、、是三个全等的等腰三角形，
，，，
，，，
同理，
，，
，，
，，，
.
命题点3 图形的位似
7．A 8．C 9．C
微专题7 常见的相似三角形模型
典题精练 聚焦怎么考
模型1 “A”字型
1．B
2．解：（1）证明：，
，，
.
（2） 由（1）知，，
，
，，
，，，，
.
模型2 “8”字型
3．18
4．解：（1）证明：，，.
（2） ， ，
是的直径，
，，，
的半径为3.
模型3 旋转型
5．
6．证明：在题图1中，
点、分别是、的中点，
，.
.
在题图2中，，
，
.
模型4 “一线三等角”型
7．3
8．解：（1）证明: ，
，
， ,
，
，，
，
.
（2） 结论仍成立.
理由:，
,,
,
,,
，
.
第6讲 锐角三角函数与解直角三角形
考点通关 直击考什么
考点1 锐角三角函数
1．； ；
2．； ； ； ； ； ； ； 1；
考点2 解直角三角形
夯基对点练
1．
2．； ；
考点3 解直角三角形的实际应用
夯基对点练
3．
4．；
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 求锐角三角函数值5年1考
1．A
2．
3．（1）
（2） 8
命题点2 方向角、仰角、俯角5年1考
4．B 5．D 6．A 7．D
命题点3 解直角三角形的实际应用5年3考
8．490
9．解：过点作于点，则四边形是矩形.
，，
， .
在中， ，
，，
.
在中， ， ，
，即，
，
（米）.
答：河流的宽度约为64米.
10．解：（1），,, 四边形为矩形，
.
,，,
四边形为矩形，
,, ,.
,,
,.
为等腰直角三角形,
.
（2） 在中，
.
,,,
过点作，垂足为点,
, 设,
则,
,
又,，
即,
.
微专题8 解直角三角形中常用的辅助线
典题精练 聚焦怎么考
类型1 “母子”型
1．12
2．218.3
3．解：过点作于点，于点，则四边形是矩形.
设米，则米.
在中，，
解得（负值舍去）.
米，米.
（米）.
米.
在中，
（米）.
又米,
（米）.
答：大楼的高度为52米.
类型2 “背靠背”型
4．
5．49
6．解：延长和分别与直线交于点和点,
则 .
又 ,
四边形是矩形..
由题意,得，， , ,
.
在中, ,
,
.
是的外角,
.
.
在中, ,
,
.
.
答:楼与之间的距离约为.
9/57
同课章节目录