第一模块 数与式 讲义（含答案）2026年中考数学一轮专题复习（通用版）
文档属性
| 名称 | 第一模块 数与式 讲义（含答案）2026年中考数学一轮专题复习（通用版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-12 16:15:35 | ||
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文档简介
第一模块 数与式
五年考频统计
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
1.实数 实数的分类及正负数的意义 — 2.代数式与整式 乘法公式 5年3考
实数的相关概念 5年1考 因式分解 5年1考
数轴及实数的大小比较 5年2考 3.分式 分式的有关概念及基本性质 —
科学记数法 5年4考 分式的运算 5年4考
平方根、算术平方根、立方根 5年2考 分式的化简与求值 5年3考
实数的运算 5年考 4.二次根式 二次根式的有关概念及性质 5年1考
2.代数式与整式 代数式、整式的概念 5年3考 二次根式的运算 5年3考
整式的运算 5年考 二次根式的估值 5年1考
模块体系构建
第1讲 实数
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 实数的分类
知识点睛 无理数的常见形式
1.带根号且开方开不尽的数，如;
2. 及化简后含 的数，如；
3.有规律的无限不循环小数，如 （每相邻两个1之间依次多一个0）；
4.一些特殊角的三角函数值,如 .
考点2 实数的相关概念
数轴 表示方法及三要素
性质 （1）实数与数轴上的点一一对应； （2）数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数； （3）数轴上两点间的距离:①_ _ _ _ _ _ （用右边的点表示的数减去左边的点表示的数）
绝对值 性质 （具有非负性，绝对值最小的数是0）
几何意义 数轴上表示这个数的点到原点的距离，离原点越远的点表示的数的绝对值越②_ _ _ _
相反数 性质 （1）非零实数的相反数为③_ _ _ _ _ _ ; （2）0的相反数是0; （3）若实数,互为相反数，则④_ _ _ _ _ _ 温馨提示 相反数与绝对值的关系 1.互为相反数的两个数的绝对值相同； 2.若，则 或
几何意义 数轴上互为相反数的两个数（除0外）所对应的点位于原点两侧，且到原点的距离相等
倒数 性质 （1）非零实数的倒数为⑤_ _ _ _ _ _ ; （2）0没有倒数，倒数等于它本身的数是 ; （3）若实数,互为倒数，则⑥_ _ _ _
考点3 科学记数法与近似数
1.定义：把一个数表示成 的形式，其中，是整数.
2．科学记数法中 的确定
（1）当原数的绝对值大于或等于10时，是正整数，为原数的整数位数减1或原数变为时小数点向⑦_ _ _ _ 移动的位数；
（2）当原数的绝对值大于0且小于1时，是负整数，等于原数左起第一个非零数字前所有零（包含小数点前的零）的个数或原数变为时小数点向⑧_ _ _ _ 移动的位数.
3.近似数：接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数.
知识点睛
常用计数单位间的换算：
1亿，1万，1千.
常用长度单位间的换算：
,,
,.
考点4 平方根、算术平方根、立方根
平方根 ⑨_ _ _ _ _ _ 无
算术平方根 ⑩_ _ _ _ 无
立方根
温馨提示
1.非负数才有平方根，任意实数都有立方根.
2.正数的平方根有两个，它们互为相反数；
正数的算术平方根只有一个且为正数.
规定：0的算术平方根是0.
考点5 实数的大小比较
数轴法 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数 _ _ _ _
性质法 正数 负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小
作差法 ；；
平方法
知识拓展 作商法
任意正实数，
，,.
考点6 实数的运算
1．四则运算
加法 同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和
绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得0
一个数同0相加，仍得这个数，即
减法 （减法转换为加法时,减数一定要改变符号.）
乘法 ; _ _ _ _ _ _ ; _ _ _ _ _ _ ; _ _ _ _ 温馨提示 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定:负因数有奇数个，积为负；负因数有偶数个，积为正
除法 ;
2.运算律
（1）交换律：；.
（2）结合律：;.
（3）分配律： （注意：运用了分配律，但不能运用分配律）
3.运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减.有括号先算括号里的，同级运算从左到右依次进行.
4．几种常见的运算
的奇偶次幂 乘方 幂的运算 去绝对值符号 特殊角的三角函数值
（为正整数） _ _ _ _ ; ，为正整数 详见P111特殊角的三角函数值
知识拓展 具有非负性的式子
1.常见的具有非负性的式子有，,;
2.若几个具有非负性的式子的和为0，则它们的值均为0，如，则，即.
夯基综合练
1．[新人教七上P3练习 改编] 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家.若零上记作，则零下可记作（ ）
A． B． C． D．
2．有下列10个数： ， ，，，0，，，，， （每相邻两个4之间依次多一个1），其中，分数有_ _ _ _ 个，整数有_ _ _ _ 个，无理数有_ _ _ _ 个.
3．如图，在数轴上，，三点表示的数分别为，，，其中.
（1） 点表示的数是_ _ _ _ _ _ ，点表示的数是_ _ _ _ ，，两点之间的距离为_ _ _ _ ；
（2） 的算术平方根是_ _ _ _ ，的平方根是_ _ _ _ _ _ ；
（3） 若，则_ _ _ _ _ _ ，在数轴上找到表示数的点（保留作图痕迹）；
（4） 在（3）的条件下，将，，，用“ ”连接起来为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（5） 计算：_ _ _ _ _ _ ;
（6） 将（5）的计算结果用科学记数法表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 实数的分类及正负数的意义
课标命题点1
2022年版课标新增“理解负数的意义”，强调正数、负数可以表示具有相反意义的量.
1．[2025广东]某品牌乒乓球产品质量参数是,如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作,那么低于标准质量记作（ ）
A． B． C． D．
2．[2025张家口二模]下列各式的计算结果为负数的是（ ）
A． B． C． D．
命题点2 实数的相关概念5年1考
要点命题点2
抓概念的关键点：相反数抓“只有符号不同”“到原点的距离相等”；绝对值抓“到原点的距离”；倒数抓“乘积等于1”.
3．[2021河北]能与相加得0的是（ ）
A． B． C． D．
4．[2017河北]如图为张小亮的答卷，他的得分应是（ ）
A．100分 B．80分 C．60分 D．40分
命题点3 数轴及实数的大小比较5年2考
考向命题点3
2022年版课标新增“能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小”，强调数轴上的点与实数是一一对应的，河北中考对于数轴的考查一般有：
1.数轴中的大小比较；
2.数轴中的估值问题；
3.数轴中的动态问题；
4.数轴中的不确定性问题,.
方法命题点3
数轴中的大小比较：
1.两数对应的点在原点的同侧：
图① 图②
图①：，，，，.
图②：，，，，.
2.两数对应的点在原点的两侧，且右侧点离原点远：
图③：，，，，.
图③
图④
3.两数对应的点在原点的两侧，且左侧点离原点远：
图④：，，，，.
5．[2024河北]下图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．[2021河北]如图，将数轴上表示与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应的数从左往右依次为，，，，，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．[2017河北]在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，其中，，如图所示.设点，，所对应数的和是.
（1） 若以为原点，写出点，所对应的数，并计算的值；若以为原点，又是多少？
（2） 若原点在图中数轴上点的右边，且，求.
8．[2024河北]如图，有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点,,所对应的数依次为,2,32，乙数轴上的三点,,所对应的数依次为0，,12.
（1） 计算,,三点所对应的数的和，并求的值.
（2） 当点与点上下对齐时，点,恰好分别与点,上下对齐，求的值.
点是乙数轴上一点，到的距离是到的距离的两倍，则点所表示的数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
命题点4 科学记数法5年4考
考向命题点4
1.表示较大的数;
2.表示较小的数;
3.考查概念理解，;
4.结合实际应用，.
9．[2022河北]某正方形广场的边长为，其面积用科学记数法表示为 （ ）
A． B．
C． D．
10．[2025保定蠡县一模]如图，有标记为①②③④的4个圆，在每个圆中分别填写一个有理数，且后一个圆中所填的数是前一个圆中所填数的，若圆①中所填的数是，则圆④中所填写的数是（ ）
A． B． C． D．
11．[2018河北]一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
12．[2023河北]跨学科 光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于.下列正确的是（ ）
A． B．
C．是一个12位数 D．是一个13位数
13．[2020河北]跨学科 已知光速为300 000千米/秒，光经过秒传播的距离用科学记数法表示为千米，则可能为（ ）
A．5 B．6 C．5或6 D．5或6或7
妙招
科学记数法中10的指数 的确定方法.
1.的绝对值等于小数点移动的位数.
2.小数点从左向右移，为负；从右向左移，为正.
14．新考法 嘉淇将数用科学记数法表示为时，错把的值写成了的值，则嘉淇所写的数（ ）
A．扩大到原数的2倍 B．扩大到原数的100倍
C．缩小到原数的 D．缩小到原数的
命题点5 平方根、算术平方根、立方根5年2考
易错命题点5
1.当被开方数是带分数或小数时，求平方根易出错，例如求，可以将0.25转化为，再进行计算.
2.当式子中有多种运算时，要先计算根号里面的，例如，要先算，再算.
15．[2021河北]与结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
16．[2022河北]下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
命题点6 实数的运算5年5考
易错命题点6
对于实数的混合运算，确定合理的运算顺序是关键.对于多级运算，可按实数混合运算的顺序进行，即先乘方，开方，再乘除，最后加减，有括号时，先算括号内的，同级运算按照从左到右的顺序进行.
17．[2025河北]从上升了后的温度,在温度计上显示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．[2022河北]与相等的是（ ）
A． B． C． D．
19．[2021河北]若取，计算的结果是（ ）
A． B． C．144.2 D．
20．[2025河北]
（1） 一道习题及其错误的解答过程如下:
请指出在第几步开始出现错误,并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程.
（2） 计算:.
21．[2019河北]有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个内，填入，， ， 中的某一个（可重复使用），然后计算结果.
（1） 计算：；
（2） 若，请推算内的符号；
（3） 在“”的内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数.
请继续完成提升作业《分层精练册》P2—P5
第2讲 代数式与整式
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 代数式
1.定义:用基本运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子,称为代数式.
单独的一个数或字母也是代数式.
2.列代数式：把问题中的数量关系用代数式表示出来.
3.代数式求值
直接代入法 将已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值
整体代入法 （1）观察已知条件和所求代数式的关系； （2）所求代数式变形后可看成已知代数式与一个常数的积，变形过程一般会用到因式分解； （3）把已知代数式或局部看成一个整体，代入所求代数式中求值
温馨提示 列代数式常见的模型
1.打折问题:原价为 的商品打八折后的价格为；
2.增长率问题:原价为 的商品价格增长 后的价格为；
3.数字问题：一个两位数的个位上的数字为，十位上的数字为，则这个两位数可表示为.
考点2 整式的相关概念
单项式 定义 数或字母的①_ _ _ _ 组成的式子（单独的一个数或一个字母也是单项式）
系数 单项式中的数字因数
次数 一个单项式中,所有字母的指数和（不包含系数中的指数.）
多项式 定义 几个单项式的②_ _ _ _
项 多项式中的每个单项式（其中不含字母的项叫作常数项）
次数 多项式中次数最高的项的次数
整式 单项式和多项式统称整式
考点3 整式的运算（含乘法公式）
1．加减运算（实质：合并同类项）
同类项（同类项与系数无关，与字母的顺序也无关.） 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同（所有的常数项都是同类项）
合并同类项 把同类项的系数相加，所含字母和字母的指数不变
去括号法则 （1）括号前是“”，去括号后，括号内各项不变号.如③_ _ _ _ _ _ _ _ . （2）括号前是“”，去括号后，括号内每一项都变号.如④_ _ _ _ _ _ _ _ （口诀：“”不变,“”变.）
2．幂的运算 ， 均为整数，
同底数幂乘法 底数不变，指数相加，即⑤_ _ _ _ _ _ _ _
同底数幂除法 底数不变，指数相减，即
幂的乘方 底数不变，指数相乘，即⑥_ _ _ _ _ _ _ _
积的乘方 先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即
温馨提示 积的乘方运算
1.当括号内有“”号时，
2.当积中含数字因式时，一定也要给数字因式进行乘方运算.
知识拓展 幂的运算法则的推广
（1）公式 的推广：,,都是整数，.
（2）公式 的推广：,,均为整数，.
（3）公式 的推广：为整数,.
3．乘法运算
单项式乘单项式 将系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
单项式乘多项式 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.如
多项式乘多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 如
乘法公式 （1）平方差公式：⑦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； （2）完全平方公式：⑧_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （常用恒等变形：）
知识拓展 乘法公式的几何背景
平方差公式的几何背景
完全平方公式的几何背景
4.除法运算
单项式除以单项式 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，如
多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.如
考点4 因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作把这个多项式因式分解.
2．方法
夯基综合练
1．[新人教七上P73练习T3改编] 某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过15立方米，每立方米元；超过部分每立方米元.该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
2．下列各组式子中，不一定相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
3．化简的结果为（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．对于单项式.
（1） 该单项式的系数为_ _ _ _ _ _ ，次数为_ _ _ _ .
（2） 若与是同类项.
① _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ ；
② 若，，则_ _ _ _ .
（3） 计算：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（4） 已知整式与的积为，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（5） 在（4）的条件下，若是一个完全平方式，则多项式可以是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （写出一个即可）.
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 代数式、整式的概念5年3考
考情命题点1
代数式的考查多借助现实情境，要求能分析具体问题中简单的数量关系，并用代数式表示，通过适当变形求代数式的值.考向一般有：
1.代数式的意义；
2.列代数式；
3.代数式求值.
方法命题点1
列代数式时，要善于将文字语言转化为数学语言，实际问题中的代数式，要明确各量之间的关系，如总价 数量×单价等，根据实际问题提供的数量关系列出代数式.
1．[2023河北]代数式的意义可以是（ ）
A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商
2．[2023河北]根据下表中的数据，写出的值为_ _ _ _ _ _ ，的值为_ _ _ _ _ _ .
x 2
结果
代数式
7
1
3．[2021河北]某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进本甲种书和本乙种书，共付款元.
（1） 用含，的代数式表示；
（2） 若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值.
命题点2 整式的运算5年5考
考向命题点2
1.幂的运算,,,；
2.整式的运算,,；
3.整式的化简求值.
易错命题点2
当幂的指数为1时，“1”常省略不写，不要认为没有指数或指数为0.
4．[2022河北]计算得，则“？”是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．[2020河北]T4变式 墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是（ ）
A． B．- C．× D．
6．[2021河北]不一定相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
7．[2024河北]下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．[2020河北]若为正整数，则（ ）
A． B． C． D．
9．[2024河北]T8变式 若,是正整数，且满足,则与的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
妙招T8、T9
；
.
10．[2025河北]计算:_ _ _ _ _ _ _ _ .
11．[2020河北]有一电脑程序：每按一次按键，屏幕上的A区就会自动加上，同时B区就会自动减去，且均显示化简后的结果.已知A，B两区初始显示的分别是25和，如图所示.
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
（1） 从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果.
（2） 从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，这个和能为负数吗？说明理由.
妙招T11
在分析代数式的值时，不要只着眼于它的局部特征，而是要把注意力放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻地观察，利用公式法对题目的条件或结论进行变形，使复杂的问题简单化.
12．[2023河北]现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示.某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙）,如图2和图3,其面积分别为,.
图1 图2 图3
（1） 请用含的式子分别表示,.当时，求的值.
（2） 比较与的大小，并说明理由.
命题点3 乘法公式5年3考
方法命题点3
乘法公式不仅适用于整式乘法，在分式、根式的运算方面也可运用.例如 可利用平方差公式计算，同样可运用平方差公式计算.不要局限于整式范围，要根据式子特点灵活选择.
13．[2018河北]将变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．[2021河北]现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）.
（1） 取甲、乙纸片各1张，其面积和为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 嘉嘉要用这三种纸片紧密地拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需取丙纸片_ _ _ _ 张.
命题点4 因式分解5年1考
方法命题点4
在用公式法分解因式时要注意以下几点：（1）要熟练掌握公式的结构特征.（2）看项数选公式，“两项”考虑平方差公式，“三项”考虑完全平方公式.（3）在运用公式前要先判断一个多项式是否符合公式的特点.若符合，把多项式写成公式的结构形式，再去“套”公式，否则不能“套”公式.
15．[2020河北]对于，，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
16．[2023河北]若为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
17．[2020河北]若，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
请继续完成提升作业《分层精练册》P6—P7
微专题1 代数推理及规律探索
典题精练 聚焦怎么考
类型1 代数推理
1．[2024河北]数字推理 “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示,运算结果为3 036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
图1 图2
A．“20”左边的数是16
B．“20”右边的“”表示5
C．运算结果小于6 000
D．运算结果可以表示为
2．[2022河北]由特殊到一般的推理 如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒.
（1） 甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则_ _ _ _ .
（2） 设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多_ _ _ _ _ _ _ _ 个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有个黑子，则的值为_ _ _ _ .
3．[2022河北]数式推理 发现 两个已知的正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
验证．如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和.
探究．设“发现”中的两个已知的正整数为，，请论证“发现”中的结论正确.
4．函数中的推理 已知直线，直线，均不为0，且.
（1） 当，时，求直线与直线的交点坐标；
（2） 证明：无论，为何值，直线和直线的交点的横坐标都是定值.
类型2 规律探索
5．[2025重庆]图形规律 按如图所示的规律拼图案,其中第①个图中有4个圆点,第②个图中有8个圆点,第③个图中有12个圆点,第④个图中有16个圆点， 按照这一规律,则第⑥个图中圆点的个数是（ ）
A．32 B．28 C．24 D．20
6．[2024河北]坐标规律 平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度.
若“和点”按上述规则连续平移16次后，到达点,则点的坐标为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．坐标规律 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数.例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推.则点经过2 024次运算后得到点_ _ _ _ _ _ _ _ .
8．[2024石家庄模拟]数式规律 观察下列算式：
第1个算式：；
第2个算式：；
第3个算式：.
请结合上述三个算式的规律，回答下列问题：
（1） 写出第4个算式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 根据你发现的规律，写出第为正整数个算式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） 说明任意三个连续的偶数中，最大的数与最小的数的平方差是16的倍数.
9．数式规律 如图,阶梯图的每个台阶上都标着一个数,从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着,,1,9,且任意相邻四个台阶上数的和都相等.
尝试
（1） 求前4个台阶上数的和是多少；
（2） 求第5个台阶上的数是多少；
应用．求从下到上前31个台阶上数的和；
发现．试用含为正整数的式子表示出数“1”所在的台阶数.
请继续完成提升作业《分层精练册》P8—P9
第3讲 分式
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 分式的有关概念及基本性质
1.分式的定义：形如的式子，其中,为整式，中含有字母且.
2．与分式有关的“三个条件”
（1）分式有意义的条件：①_ _ _ _ _ _ _ _ ;
（2）分式的值为零的条件：②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;
（3）使有意义的条件：,,.
3．最简分式：分子与分母中没有③_ _ _ _ _ _ 的分式.
4.基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，即
易错警示
判断一个式子是不是分式，取决于其原始形式而非化简后的结果，如 形式上分母含字母，即使化简后为整式，仍属于分式.
考点2 分式的运算
1．加减运算
同分母:分母不变，把分子相加减，即④_ _ _ _ _ _ _ _ .
异分母:先通分，化为同分母的分式，再加减，
即（关键是通分）.
2．乘除运算
乘法:（关键是约分）.
除法：⑤_ _ _ _ _ _ _ _ .
3．乘方运算：⑥_ _ _ _ _ _ _ _ 为正整数.
4.混合运算
（1）实数的运算法则、运算顺序、各种运算律也适用于分式的运算;
（2）分式运算的结果要化成最简分式或整式.
方法点睛
通分 找最简公分母.
1.分母中能分解因式的先分解因式；
2.取各分母的所有因式的最高次幂（分母中数字因数取其最小公倍数）的积作为最简公分母.
方法点睛
约分 找公因式.
1.分子、分母中能分解因式的先分解因式；
2.取分子、分母中相同因式的最低次幂（数字因数取它们的最大公因数）的积作为公因式.
考点3 分式的化简与求值
化简 （1）有括号先计算括号内的； （2）分式的分子、分母能因式分解的先进行因式分解； （3）进行乘除运算（除法可变为乘法）； （4）约分； （5）进行加减运算时，如果是异分母，那么先通分，化为同分母的分式，此时分母不变，分子合并同类项，最终化成⑦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
求值 代入相应的数或式子求分式的值
易错警示
1.通分时错误:分式通分时,注意分子漏乘的情况;
2.去括号时,符号错误:当括号前是“-”号时,去括号要注意括号内各项均要改变符号;
3.不要把分式的化简与解分式方程的变形相混淆,随意将分母去掉.
夯基综合练
1．[新人教八上P144习题 改编] 若，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知两个不等于0的实数、满足，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
3．已知三个分式：Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ.
（1） 对于分式Ⅱ：分式有意义的条件是_ _ _ _ _ _ ；对于分式Ⅲ：当分式的值为0时，_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 将分式Ⅰ化为最简分式为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（3） 化简：，并从的范围内选择合适的整数值代入求值.
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 分式的有关概念及基本性质
考法命题点1
分式基本性质在化简分式时的应用主要反映在以下两个方面：
1.不改变分式的值，把分子、分母中各项的系数化为整数；
2.分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变.
1．[2020河北]若，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．[新冀教八上P4练习 改编] 变式下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2025江苏常州]若分式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．[ 2025贵州] 变式若分式的值为0,则实数的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
命题点2 分式的运算5年4考
方法命题点2
分式（含异分母分式）的加减运算的关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式乘除运算的关键是约分，约分的关键是确定公因式，当分式的分子、分母出现多项式时，应先将多项式分解因式再计算.
5．[2023河北]化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．[2021河北]由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
7．[2024河北]已知为整式，若计算的结果为,则（ ）
A． B． C． D．
8．[2019河北]如图,若为正整数,则表示的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
命题点3 分式的化简与求值5年3考
易错命题点3
分式化简求值类题目,自选值代入多会设“陷阱”,因此不可随意代入数值.总的来说要注意以下两种情况:（1）当分式运算中不含除法运算时,字母的代入值应使分式的分母不等于0;（2）当分式运算中含除法运算时,字母的代入值不仅应使分式的分母不等于0,还要使除式不等于0.
9．[2025河北]若,则（ ）
A． B． C．3 D．6
10．[2022河北]若和互为倒数，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．[2018河北]老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简.规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简.过程如图所示:
接力中,自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
12．[2025贵州节选]先化简:,再从,0,2中选取一个使原式有意义的数代入求值.
关键
分式化简求值的结果要注意两个最简：
1.化简结果是最简分式或整式；
2.求值结果若含有二次根式，则二次根式应化为最简二次根式或有理数.
请继续完成提升作业《分层精练册》P10—P11
第4讲 二次根式
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 二次根式的有关概念
1.二次根式：一般地，形如 的式子叫作二次根式，其中叫作被开方数.
2．二次根式有意义的条件：被开方数①_ _ _ _ _ _ _ _ 0.
3．
4.同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式.
夯基对点练
1．[人教八下P5习题 改编] 要使有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．[人教八下P10练习 改编] 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
考点2 二次根式的性质
1．③_ _ _ _ _ _ .
2.
3..
4.或.
5.的双重非负性：
易错点睛
当 时，.
考点3 二次根式的运算
加减运算 一般地，二次根式加减时，可先将各二次根式分别化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 知识拓展 还可以推广为
乘法运算 ④_ _ _ _ _ _
除法运算
分母有理化 ;,,且
乘法公式在二次根式中的应用 ;
夯基对点练
3．[人教八下P19复习题 改编] 计算的结果是（ ）
A．1 B． C．5 D．9
4．计算：
（1） _ _ _ _ ;
（2） _ _ _ _ ;
（3） _ _ _ _ ;
（4） _ _ _ _ ;
（5） _ _ _ _ _ _ ;
（6） _ _ _ _ _ _ ;
（7） _ _ _ _ ;
（8） _ _ _ _ _ _ ;
（9） _ _ _ _ _ _ ;
（10） _ _ _ _ .
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 二次根式的有关概念及性质5年1考
方法命题点1
1.遇到含有二次根式 的题时，切勿忘记二次根式的双重非负性，即 且.
2.二次根式、绝对值、偶次方都具有非负性，若几个非负式子的和为0，则这几个非负式子的值均为0.
1．[2024廊坊校级三模]下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．[2024石家庄正定模拟]对于二次根式的乘法运算，一般地，有.该运算法则成立的条件是（ ）
A．, B．, C．, D．,
3．[2025北京]若在实数范围内有意义,则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ .
考法拓展 非负数相关计算
4．[2024四川成都]若,为实数，且,则的值为_ _ _ _ .
命题点2 二次根式的运算5年3考
易错命题点2
1.切记；
2.二次根式的运算中，如果最终结果含二次根式，那么要把二次根式化为最简二次根式，且分母中不含二次根式.
5．[2025河北]计算:（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．[2023河北]若,,则（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．[2024邢台任泽模拟]若,,则（ ）
A．2 B． C． D．3
8．[2020河北]已知：，则_ _ _ _ .
9．[2025邯郸模拟] 变式 计算：,则 表示的数是_ _ _ _ _ _ .
命题点3 二次根式的估值5年1考
方法命题点3
1.确定 在哪两个相邻整数之间：
（1）先对 平方;
（2）找出与平方后所得数相邻的两个开得尽方的整数；
（3）对两个整数开方即可确定 在哪两个相邻整数之间.
2.确定 离哪个整数较近：
（1）首先确定 在哪两个相邻整数之间;
（2）判断被开方数与这两个相邻整数中哪个整数的平方更接近，就离哪个整数较近.
妙招命题点3
常见的无理数的近似值:；；；；.
10．已知,那么与最接近的整数为 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．[2024江苏盐城]矩形相邻两边长分别为、,设其面积为，则在哪两个连续整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
12． 变式 估计的值应在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间
C．9和10之间 D．10和11之间
13． 变式 在数轴上标注了四段范围,如图，则表示的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
14．[2024河北]已知,,均为正整数.
（1） 若,则_ _ _ _ ；
（2） 代数推理若,,则满足条件的的个数总比的个数少_ _ _ _ 个.
【参考答案】
第一模块 数与式
第1讲 实数
考点通关 直击考什么
考点2 实数的相关概念
； 大； ； ； ； 1
考点3 科学记数法与近似数
2．左； 右
考点4 平方根、算术平方根、立方根
；
考点5 实数的大小比较
大
考点6 实数的运算
1．； ； 0
4．1
夯基综合练
1．A
2．3； 2； 5
3．解：（1） ； 4； 5
（2） ；
（3） ；如图，点即为所求.
（4）
（5）
（6）
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 实数的分类及正负数的意义
1．A 2．D
命题点2 实数的相关概念5年1考
3．C 4．B
命题点3 数轴及实数的大小比较5年2考
5．A 6．C
7．解：（1）以为原点，点，对应的数分别为，1，则.
以为原点，点，对应的数分别为，，则.
（2） 原点在点右侧，，
点，，对应的数分别为，，，
.
8．解：（1），，三点所对应的数的和为,
.
（2） 由题意得,
，解得.
4或.
命题点4 科学记数法5年4考
9．C 10．D 11．B 12．D 13．C
14．D
命题点5 平方根、算术平方根、立方根5年2考
15．A 16．B
命题点6 实数的运算5年5考
17．B 18．A 19．B
20．解：（1）第一步开始出现错误.正确的解答过程如下：
.
（2） 原式
.
21．解：（1）原式.
（2） 内是“-”号.
（3） .
第2讲 代数式与整式
考点通关 直击考什么
考点2 整式的相关概念
积； 和
考点3 整式的运算（含乘法公式）
1．；
2．；
3．；
考点4 因式分解
2．；
夯基综合练
1．D 2．D 3．D
4．（1） ； 3
（2） ① ；
② 12
（3）
（4）
（5） （答案不唯一）
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 代数式、整式的概念5年3考
1．C
2．；
3．解：（1）.
（2） 当,时，
.
命题点2 整式的运算5年5考
4．C 5．D 6．D 7．C 8．A 9．A
10．
11．解：（1）A区：；
B区：.
（2） 不能为负数.理由如下：
.
，
、B两区代数式的和不能为负数.
12．解：（1），，
则.当时，.
（2） .
理由：,
,,.
命题点3 乘法公式5年3考
13．C
14．（1）
（2） 4
命题点4 因式分解5年1考
15．C 16．B 17．B
微专题1 代数推理及规律探索
典题精练 聚焦怎么考
类型1 代数推理
1．D
[解析]设三位数从左到右的数字分别为，，，两位数从左到右的数字分别为，.根据题图2可得，，，所以，，因为，，，，都是一位数，所以，，进而可得，，所以“20”左边的数是8，“20”右边的“”表示4，排除选项、；易得“”上边的数是，则运算结果可以表示为，选项正确；当时，运算结果为，排除选项.故选.
2．（1） 4
[解析]根据题意可得，解得.
（2） ； 1
[解析]嘉嘉从甲盒中拿出个黑子放入乙盒，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多个.接下来，嘉嘉又从乙盒拿回个棋子放到甲盒，其中含有个白子，则乙盒仍有个黑子，即.故.
3．解：验证 .
探究，
，为正整数，
一定是偶数.
该偶数的一半为，为两个正整数的平方和.
4．解：（1）当，时，
解得
直线与直线的交点坐标为.
（2） 证明：由
得，
.
，均不为0，且，，
，即直线与直线的交点的横坐标是定值.
类型2 规律探索
5．C
6．D
[解析]当点的横、纵坐标之和为6时，例如的坐标为或，其横、纵坐标之和除以3先余0，再余1，然后余2，之后余1、余2循环，所以当点坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点；当点坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点，排除选项.
当点的横、纵坐标的和为8时，例如的坐标为或或，其横、纵坐标之和除以3先余2，再余1，然后余2、余1循环，所以当点的坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点；当点的坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点；当点的坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点，排除选项.故选项正确.
当点的坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点，排除选项.故选.
7．
8．解：（1）
（2） .
（3）设中间的偶数为为整数，
则，
任意三个连续的偶数中，最大的数与最小的数的平方差是16的倍数.
9．解：（1）.
（2） 由题意,得,解得.
应用 与（2）同理,得第6个到第8个台阶上的数依次是,1,9,可知台阶上的数从下到上按,,1,9的顺序循环.,
从下到上前31个台阶上数的和为.
发现 .
第3讲 分式
考点通关 直击考什么
考点1 分式的有关概念及基本性质
2．； 且
3．公因式
考点2 分式的运算
1．
2．
3．
考点3 分式的化简与求值
最简分式或整式
夯基综合练
1．D 2．A
3．解：（1） ； 或0
（2）
（3）由题意得.
易知且，所以可取，1.
当时，原式.当时，原式.
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 分式的有关概念及基本性质
1．D 2．D 3．A 4．A
命题点2 分式的运算5年4考
5．A 6．C 7．A 8．B
命题点3 分式的化简与求值5年3考
9．B 10．B 11．D
12．解：
.
且，
且，
当时，原式.
（取也可）
第4讲 二次根式
考点通关 直击考什么
考点1 二次根式的有关概念
2．大于或等于
3．分母
夯基对点练
1．A 2．C
考点2 二次根式的性质
1．
考点3 二次根式的运算
夯基对点练
3．A
4．（1） 9
（2） 9
（3） 9
（4） 9
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10） 2
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 二次根式的有关概念及性质5年1考
1．B 2．D
3．
考法拓展 非负数相关计算
4．1
命题点2 二次根式的运算5年3考
5．B 6．A 7．D
8．6
9．
命题点3 二次根式的估值5年1考
10．A 11．C 12．B 13．C
14．（1） 3
（2） 2
[解析],，
，，
，，，
满足条件的的个数总比的个数少2个.
第4页/共31页
五年考频统计
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
1.实数 实数的分类及正负数的意义 — 2.代数式与整式 乘法公式 5年3考
实数的相关概念 5年1考 因式分解 5年1考
数轴及实数的大小比较 5年2考 3.分式 分式的有关概念及基本性质 —
科学记数法 5年4考 分式的运算 5年4考
平方根、算术平方根、立方根 5年2考 分式的化简与求值 5年3考
实数的运算 5年考 4.二次根式 二次根式的有关概念及性质 5年1考
2.代数式与整式 代数式、整式的概念 5年3考 二次根式的运算 5年3考
整式的运算 5年考 二次根式的估值 5年1考
模块体系构建
第1讲 实数
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 实数的分类
知识点睛 无理数的常见形式
1.带根号且开方开不尽的数，如;
2. 及化简后含 的数，如；
3.有规律的无限不循环小数，如 （每相邻两个1之间依次多一个0）；
4.一些特殊角的三角函数值,如 .
考点2 实数的相关概念
数轴 表示方法及三要素
性质 （1）实数与数轴上的点一一对应； （2）数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数； （3）数轴上两点间的距离:①_ _ _ _ _ _ （用右边的点表示的数减去左边的点表示的数）
绝对值 性质 （具有非负性，绝对值最小的数是0）
几何意义 数轴上表示这个数的点到原点的距离，离原点越远的点表示的数的绝对值越②_ _ _ _
相反数 性质 （1）非零实数的相反数为③_ _ _ _ _ _ ; （2）0的相反数是0; （3）若实数,互为相反数，则④_ _ _ _ _ _ 温馨提示 相反数与绝对值的关系 1.互为相反数的两个数的绝对值相同； 2.若，则 或
几何意义 数轴上互为相反数的两个数（除0外）所对应的点位于原点两侧，且到原点的距离相等
倒数 性质 （1）非零实数的倒数为⑤_ _ _ _ _ _ ; （2）0没有倒数，倒数等于它本身的数是 ; （3）若实数,互为倒数，则⑥_ _ _ _
考点3 科学记数法与近似数
1.定义：把一个数表示成 的形式，其中，是整数.
2．科学记数法中 的确定
（1）当原数的绝对值大于或等于10时，是正整数，为原数的整数位数减1或原数变为时小数点向⑦_ _ _ _ 移动的位数；
（2）当原数的绝对值大于0且小于1时，是负整数，等于原数左起第一个非零数字前所有零（包含小数点前的零）的个数或原数变为时小数点向⑧_ _ _ _ 移动的位数.
3.近似数：接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数.
知识点睛
常用计数单位间的换算：
1亿，1万，1千.
常用长度单位间的换算：
,,
,.
考点4 平方根、算术平方根、立方根
平方根 ⑨_ _ _ _ _ _ 无
算术平方根 ⑩_ _ _ _ 无
立方根
温馨提示
1.非负数才有平方根，任意实数都有立方根.
2.正数的平方根有两个，它们互为相反数；
正数的算术平方根只有一个且为正数.
规定：0的算术平方根是0.
考点5 实数的大小比较
数轴法 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数 _ _ _ _
性质法 正数 负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小
作差法 ；；
平方法
知识拓展 作商法
任意正实数，
，,.
考点6 实数的运算
1．四则运算
加法 同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和
绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得0
一个数同0相加，仍得这个数，即
减法 （减法转换为加法时,减数一定要改变符号.）
乘法 ; _ _ _ _ _ _ ; _ _ _ _ _ _ ; _ _ _ _ 温馨提示 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定:负因数有奇数个，积为负；负因数有偶数个，积为正
除法 ;
2.运算律
（1）交换律：；.
（2）结合律：;.
（3）分配律： （注意：运用了分配律，但不能运用分配律）
3.运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减.有括号先算括号里的，同级运算从左到右依次进行.
4．几种常见的运算
的奇偶次幂 乘方 幂的运算 去绝对值符号 特殊角的三角函数值
（为正整数） _ _ _ _ ; ，为正整数 详见P111特殊角的三角函数值
知识拓展 具有非负性的式子
1.常见的具有非负性的式子有，,;
2.若几个具有非负性的式子的和为0，则它们的值均为0，如，则，即.
夯基综合练
1．[新人教七上P3练习 改编] 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家.若零上记作，则零下可记作（ ）
A． B． C． D．
2．有下列10个数： ， ，，，0，，，，， （每相邻两个4之间依次多一个1），其中，分数有_ _ _ _ 个，整数有_ _ _ _ 个，无理数有_ _ _ _ 个.
3．如图，在数轴上，，三点表示的数分别为，，，其中.
（1） 点表示的数是_ _ _ _ _ _ ，点表示的数是_ _ _ _ ，，两点之间的距离为_ _ _ _ ；
（2） 的算术平方根是_ _ _ _ ，的平方根是_ _ _ _ _ _ ；
（3） 若，则_ _ _ _ _ _ ，在数轴上找到表示数的点（保留作图痕迹）；
（4） 在（3）的条件下，将，，，用“ ”连接起来为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（5） 计算：_ _ _ _ _ _ ;
（6） 将（5）的计算结果用科学记数法表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 实数的分类及正负数的意义
课标命题点1
2022年版课标新增“理解负数的意义”，强调正数、负数可以表示具有相反意义的量.
1．[2025广东]某品牌乒乓球产品质量参数是,如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作,那么低于标准质量记作（ ）
A． B． C． D．
2．[2025张家口二模]下列各式的计算结果为负数的是（ ）
A． B． C． D．
命题点2 实数的相关概念5年1考
要点命题点2
抓概念的关键点：相反数抓“只有符号不同”“到原点的距离相等”；绝对值抓“到原点的距离”；倒数抓“乘积等于1”.
3．[2021河北]能与相加得0的是（ ）
A． B． C． D．
4．[2017河北]如图为张小亮的答卷，他的得分应是（ ）
A．100分 B．80分 C．60分 D．40分
命题点3 数轴及实数的大小比较5年2考
考向命题点3
2022年版课标新增“能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小”，强调数轴上的点与实数是一一对应的，河北中考对于数轴的考查一般有：
1.数轴中的大小比较；
2.数轴中的估值问题；
3.数轴中的动态问题；
4.数轴中的不确定性问题,.
方法命题点3
数轴中的大小比较：
1.两数对应的点在原点的同侧：
图① 图②
图①：，，，，.
图②：，，，，.
2.两数对应的点在原点的两侧，且右侧点离原点远：
图③：，，，，.
图③
图④
3.两数对应的点在原点的两侧，且左侧点离原点远：
图④：，，，，.
5．[2024河北]下图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．[2021河北]如图，将数轴上表示与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应的数从左往右依次为，，，，，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．[2017河北]在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，其中，，如图所示.设点，，所对应数的和是.
（1） 若以为原点，写出点，所对应的数，并计算的值；若以为原点，又是多少？
（2） 若原点在图中数轴上点的右边，且，求.
8．[2024河北]如图，有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点,,所对应的数依次为,2,32，乙数轴上的三点,,所对应的数依次为0，,12.
（1） 计算,,三点所对应的数的和，并求的值.
（2） 当点与点上下对齐时，点,恰好分别与点,上下对齐，求的值.
点是乙数轴上一点，到的距离是到的距离的两倍，则点所表示的数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
命题点4 科学记数法5年4考
考向命题点4
1.表示较大的数;
2.表示较小的数;
3.考查概念理解，;
4.结合实际应用，.
9．[2022河北]某正方形广场的边长为，其面积用科学记数法表示为 （ ）
A． B．
C． D．
10．[2025保定蠡县一模]如图，有标记为①②③④的4个圆，在每个圆中分别填写一个有理数，且后一个圆中所填的数是前一个圆中所填数的，若圆①中所填的数是，则圆④中所填写的数是（ ）
A． B． C． D．
11．[2018河北]一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
12．[2023河北]跨学科 光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于.下列正确的是（ ）
A． B．
C．是一个12位数 D．是一个13位数
13．[2020河北]跨学科 已知光速为300 000千米/秒，光经过秒传播的距离用科学记数法表示为千米，则可能为（ ）
A．5 B．6 C．5或6 D．5或6或7
妙招
科学记数法中10的指数 的确定方法.
1.的绝对值等于小数点移动的位数.
2.小数点从左向右移，为负；从右向左移，为正.
14．新考法 嘉淇将数用科学记数法表示为时，错把的值写成了的值，则嘉淇所写的数（ ）
A．扩大到原数的2倍 B．扩大到原数的100倍
C．缩小到原数的 D．缩小到原数的
命题点5 平方根、算术平方根、立方根5年2考
易错命题点5
1.当被开方数是带分数或小数时，求平方根易出错，例如求，可以将0.25转化为，再进行计算.
2.当式子中有多种运算时，要先计算根号里面的，例如，要先算，再算.
15．[2021河北]与结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
16．[2022河北]下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
命题点6 实数的运算5年5考
易错命题点6
对于实数的混合运算，确定合理的运算顺序是关键.对于多级运算，可按实数混合运算的顺序进行，即先乘方，开方，再乘除，最后加减，有括号时，先算括号内的，同级运算按照从左到右的顺序进行.
17．[2025河北]从上升了后的温度,在温度计上显示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．[2022河北]与相等的是（ ）
A． B． C． D．
19．[2021河北]若取，计算的结果是（ ）
A． B． C．144.2 D．
20．[2025河北]
（1） 一道习题及其错误的解答过程如下:
请指出在第几步开始出现错误,并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程.
（2） 计算:.
21．[2019河北]有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个内，填入，， ， 中的某一个（可重复使用），然后计算结果.
（1） 计算：；
（2） 若，请推算内的符号；
（3） 在“”的内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数.
请继续完成提升作业《分层精练册》P2—P5
第2讲 代数式与整式
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考点通关 直击考什么
考点1 代数式
1.定义:用基本运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子,称为代数式.
单独的一个数或字母也是代数式.
2.列代数式：把问题中的数量关系用代数式表示出来.
3.代数式求值
直接代入法 将已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值
整体代入法 （1）观察已知条件和所求代数式的关系； （2）所求代数式变形后可看成已知代数式与一个常数的积，变形过程一般会用到因式分解； （3）把已知代数式或局部看成一个整体，代入所求代数式中求值
温馨提示 列代数式常见的模型
1.打折问题:原价为 的商品打八折后的价格为；
2.增长率问题:原价为 的商品价格增长 后的价格为；
3.数字问题：一个两位数的个位上的数字为，十位上的数字为，则这个两位数可表示为.
考点2 整式的相关概念
单项式 定义 数或字母的①_ _ _ _ 组成的式子（单独的一个数或一个字母也是单项式）
系数 单项式中的数字因数
次数 一个单项式中,所有字母的指数和（不包含系数中的指数.）
多项式 定义 几个单项式的②_ _ _ _
项 多项式中的每个单项式（其中不含字母的项叫作常数项）
次数 多项式中次数最高的项的次数
整式 单项式和多项式统称整式
考点3 整式的运算（含乘法公式）
1．加减运算（实质：合并同类项）
同类项（同类项与系数无关，与字母的顺序也无关.） 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同（所有的常数项都是同类项）
合并同类项 把同类项的系数相加，所含字母和字母的指数不变
去括号法则 （1）括号前是“”，去括号后，括号内各项不变号.如③_ _ _ _ _ _ _ _ . （2）括号前是“”，去括号后，括号内每一项都变号.如④_ _ _ _ _ _ _ _ （口诀：“”不变,“”变.）
2．幂的运算 ， 均为整数，
同底数幂乘法 底数不变，指数相加，即⑤_ _ _ _ _ _ _ _
同底数幂除法 底数不变，指数相减，即
幂的乘方 底数不变，指数相乘，即⑥_ _ _ _ _ _ _ _
积的乘方 先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即
温馨提示 积的乘方运算
1.当括号内有“”号时，
2.当积中含数字因式时，一定也要给数字因式进行乘方运算.
知识拓展 幂的运算法则的推广
（1）公式 的推广：,,都是整数，.
（2）公式 的推广：,,均为整数，.
（3）公式 的推广：为整数,.
3．乘法运算
单项式乘单项式 将系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
单项式乘多项式 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.如
多项式乘多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 如
乘法公式 （1）平方差公式：⑦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； （2）完全平方公式：⑧_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （常用恒等变形：）
知识拓展 乘法公式的几何背景
平方差公式的几何背景
完全平方公式的几何背景
4.除法运算
单项式除以单项式 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，如
多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.如
考点4 因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作把这个多项式因式分解.
2．方法
夯基综合练
1．[新人教七上P73练习T3改编] 某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过15立方米，每立方米元；超过部分每立方米元.该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
2．下列各组式子中，不一定相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
3．化简的结果为（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．对于单项式.
（1） 该单项式的系数为_ _ _ _ _ _ ，次数为_ _ _ _ .
（2） 若与是同类项.
① _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ ；
② 若，，则_ _ _ _ .
（3） 计算：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（4） 已知整式与的积为，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（5） 在（4）的条件下，若是一个完全平方式，则多项式可以是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （写出一个即可）.
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 代数式、整式的概念5年3考
考情命题点1
代数式的考查多借助现实情境，要求能分析具体问题中简单的数量关系，并用代数式表示，通过适当变形求代数式的值.考向一般有：
1.代数式的意义；
2.列代数式；
3.代数式求值.
方法命题点1
列代数式时，要善于将文字语言转化为数学语言，实际问题中的代数式，要明确各量之间的关系，如总价 数量×单价等，根据实际问题提供的数量关系列出代数式.
1．[2023河北]代数式的意义可以是（ ）
A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商
2．[2023河北]根据下表中的数据，写出的值为_ _ _ _ _ _ ，的值为_ _ _ _ _ _ .
x 2
结果
代数式
7
1
3．[2021河北]某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进本甲种书和本乙种书，共付款元.
（1） 用含，的代数式表示；
（2） 若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值.
命题点2 整式的运算5年5考
考向命题点2
1.幂的运算,,,；
2.整式的运算,,；
3.整式的化简求值.
易错命题点2
当幂的指数为1时，“1”常省略不写，不要认为没有指数或指数为0.
4．[2022河北]计算得，则“？”是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．[2020河北]T4变式 墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是（ ）
A． B．- C．× D．
6．[2021河北]不一定相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
7．[2024河北]下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．[2020河北]若为正整数，则（ ）
A． B． C． D．
9．[2024河北]T8变式 若,是正整数，且满足,则与的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
妙招T8、T9
；
.
10．[2025河北]计算:_ _ _ _ _ _ _ _ .
11．[2020河北]有一电脑程序：每按一次按键，屏幕上的A区就会自动加上，同时B区就会自动减去，且均显示化简后的结果.已知A，B两区初始显示的分别是25和，如图所示.
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
（1） 从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果.
（2） 从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，这个和能为负数吗？说明理由.
妙招T11
在分析代数式的值时，不要只着眼于它的局部特征，而是要把注意力放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻地观察，利用公式法对题目的条件或结论进行变形，使复杂的问题简单化.
12．[2023河北]现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示.某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙）,如图2和图3,其面积分别为,.
图1 图2 图3
（1） 请用含的式子分别表示,.当时，求的值.
（2） 比较与的大小，并说明理由.
命题点3 乘法公式5年3考
方法命题点3
乘法公式不仅适用于整式乘法，在分式、根式的运算方面也可运用.例如 可利用平方差公式计算，同样可运用平方差公式计算.不要局限于整式范围，要根据式子特点灵活选择.
13．[2018河北]将变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．[2021河北]现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）.
（1） 取甲、乙纸片各1张，其面积和为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 嘉嘉要用这三种纸片紧密地拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需取丙纸片_ _ _ _ 张.
命题点4 因式分解5年1考
方法命题点4
在用公式法分解因式时要注意以下几点：（1）要熟练掌握公式的结构特征.（2）看项数选公式，“两项”考虑平方差公式，“三项”考虑完全平方公式.（3）在运用公式前要先判断一个多项式是否符合公式的特点.若符合，把多项式写成公式的结构形式，再去“套”公式，否则不能“套”公式.
15．[2020河北]对于，，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
16．[2023河北]若为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
17．[2020河北]若，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
请继续完成提升作业《分层精练册》P6—P7
微专题1 代数推理及规律探索
典题精练 聚焦怎么考
类型1 代数推理
1．[2024河北]数字推理 “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示,运算结果为3 036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
图1 图2
A．“20”左边的数是16
B．“20”右边的“”表示5
C．运算结果小于6 000
D．运算结果可以表示为
2．[2022河北]由特殊到一般的推理 如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒.
（1） 甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则_ _ _ _ .
（2） 设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多_ _ _ _ _ _ _ _ 个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有个黑子，则的值为_ _ _ _ .
3．[2022河北]数式推理 发现 两个已知的正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
验证．如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和.
探究．设“发现”中的两个已知的正整数为，，请论证“发现”中的结论正确.
4．函数中的推理 已知直线，直线，均不为0，且.
（1） 当，时，求直线与直线的交点坐标；
（2） 证明：无论，为何值，直线和直线的交点的横坐标都是定值.
类型2 规律探索
5．[2025重庆]图形规律 按如图所示的规律拼图案,其中第①个图中有4个圆点,第②个图中有8个圆点,第③个图中有12个圆点,第④个图中有16个圆点， 按照这一规律,则第⑥个图中圆点的个数是（ ）
A．32 B．28 C．24 D．20
6．[2024河北]坐标规律 平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度.
若“和点”按上述规则连续平移16次后，到达点,则点的坐标为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．坐标规律 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数.例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推.则点经过2 024次运算后得到点_ _ _ _ _ _ _ _ .
8．[2024石家庄模拟]数式规律 观察下列算式：
第1个算式：；
第2个算式：；
第3个算式：.
请结合上述三个算式的规律，回答下列问题：
（1） 写出第4个算式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 根据你发现的规律，写出第为正整数个算式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） 说明任意三个连续的偶数中，最大的数与最小的数的平方差是16的倍数.
9．数式规律 如图,阶梯图的每个台阶上都标着一个数,从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着,,1,9,且任意相邻四个台阶上数的和都相等.
尝试
（1） 求前4个台阶上数的和是多少；
（2） 求第5个台阶上的数是多少；
应用．求从下到上前31个台阶上数的和；
发现．试用含为正整数的式子表示出数“1”所在的台阶数.
请继续完成提升作业《分层精练册》P8—P9
第3讲 分式
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 分式的有关概念及基本性质
1.分式的定义：形如的式子，其中,为整式，中含有字母且.
2．与分式有关的“三个条件”
（1）分式有意义的条件：①_ _ _ _ _ _ _ _ ;
（2）分式的值为零的条件：②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;
（3）使有意义的条件：,,.
3．最简分式：分子与分母中没有③_ _ _ _ _ _ 的分式.
4.基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，即
易错警示
判断一个式子是不是分式，取决于其原始形式而非化简后的结果，如 形式上分母含字母，即使化简后为整式，仍属于分式.
考点2 分式的运算
1．加减运算
同分母:分母不变，把分子相加减，即④_ _ _ _ _ _ _ _ .
异分母:先通分，化为同分母的分式，再加减，
即（关键是通分）.
2．乘除运算
乘法:（关键是约分）.
除法：⑤_ _ _ _ _ _ _ _ .
3．乘方运算：⑥_ _ _ _ _ _ _ _ 为正整数.
4.混合运算
（1）实数的运算法则、运算顺序、各种运算律也适用于分式的运算;
（2）分式运算的结果要化成最简分式或整式.
方法点睛
通分 找最简公分母.
1.分母中能分解因式的先分解因式；
2.取各分母的所有因式的最高次幂（分母中数字因数取其最小公倍数）的积作为最简公分母.
方法点睛
约分 找公因式.
1.分子、分母中能分解因式的先分解因式；
2.取分子、分母中相同因式的最低次幂（数字因数取它们的最大公因数）的积作为公因式.
考点3 分式的化简与求值
化简 （1）有括号先计算括号内的； （2）分式的分子、分母能因式分解的先进行因式分解； （3）进行乘除运算（除法可变为乘法）； （4）约分； （5）进行加减运算时，如果是异分母，那么先通分，化为同分母的分式，此时分母不变，分子合并同类项，最终化成⑦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
求值 代入相应的数或式子求分式的值
易错警示
1.通分时错误:分式通分时,注意分子漏乘的情况;
2.去括号时,符号错误:当括号前是“-”号时,去括号要注意括号内各项均要改变符号;
3.不要把分式的化简与解分式方程的变形相混淆,随意将分母去掉.
夯基综合练
1．[新人教八上P144习题 改编] 若，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知两个不等于0的实数、满足，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
3．已知三个分式：Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ.
（1） 对于分式Ⅱ：分式有意义的条件是_ _ _ _ _ _ ；对于分式Ⅲ：当分式的值为0时，_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 将分式Ⅰ化为最简分式为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（3） 化简：，并从的范围内选择合适的整数值代入求值.
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 分式的有关概念及基本性质
考法命题点1
分式基本性质在化简分式时的应用主要反映在以下两个方面：
1.不改变分式的值，把分子、分母中各项的系数化为整数；
2.分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变.
1．[2020河北]若，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．[新冀教八上P4练习 改编] 变式下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2025江苏常州]若分式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．[ 2025贵州] 变式若分式的值为0,则实数的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
命题点2 分式的运算5年4考
方法命题点2
分式（含异分母分式）的加减运算的关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式乘除运算的关键是约分，约分的关键是确定公因式，当分式的分子、分母出现多项式时，应先将多项式分解因式再计算.
5．[2023河北]化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．[2021河北]由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
7．[2024河北]已知为整式，若计算的结果为,则（ ）
A． B． C． D．
8．[2019河北]如图,若为正整数,则表示的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
命题点3 分式的化简与求值5年3考
易错命题点3
分式化简求值类题目,自选值代入多会设“陷阱”,因此不可随意代入数值.总的来说要注意以下两种情况:（1）当分式运算中不含除法运算时,字母的代入值应使分式的分母不等于0;（2）当分式运算中含除法运算时,字母的代入值不仅应使分式的分母不等于0,还要使除式不等于0.
9．[2025河北]若,则（ ）
A． B． C．3 D．6
10．[2022河北]若和互为倒数，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．[2018河北]老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简.规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简.过程如图所示:
接力中,自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
12．[2025贵州节选]先化简:,再从,0,2中选取一个使原式有意义的数代入求值.
关键
分式化简求值的结果要注意两个最简：
1.化简结果是最简分式或整式；
2.求值结果若含有二次根式，则二次根式应化为最简二次根式或有理数.
请继续完成提升作业《分层精练册》P10—P11
第4讲 二次根式
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 二次根式的有关概念
1.二次根式：一般地，形如 的式子叫作二次根式，其中叫作被开方数.
2．二次根式有意义的条件：被开方数①_ _ _ _ _ _ _ _ 0.
3．
4.同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式.
夯基对点练
1．[人教八下P5习题 改编] 要使有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．[人教八下P10练习 改编] 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
考点2 二次根式的性质
1．③_ _ _ _ _ _ .
2.
3..
4.或.
5.的双重非负性：
易错点睛
当 时，.
考点3 二次根式的运算
加减运算 一般地，二次根式加减时，可先将各二次根式分别化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 知识拓展 还可以推广为
乘法运算 ④_ _ _ _ _ _
除法运算
分母有理化 ;,,且
乘法公式在二次根式中的应用 ;
夯基对点练
3．[人教八下P19复习题 改编] 计算的结果是（ ）
A．1 B． C．5 D．9
4．计算：
（1） _ _ _ _ ;
（2） _ _ _ _ ;
（3） _ _ _ _ ;
（4） _ _ _ _ ;
（5） _ _ _ _ _ _ ;
（6） _ _ _ _ _ _ ;
（7） _ _ _ _ ;
（8） _ _ _ _ _ _ ;
（9） _ _ _ _ _ _ ;
（10） _ _ _ _ .
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 二次根式的有关概念及性质5年1考
方法命题点1
1.遇到含有二次根式 的题时，切勿忘记二次根式的双重非负性，即 且.
2.二次根式、绝对值、偶次方都具有非负性，若几个非负式子的和为0，则这几个非负式子的值均为0.
1．[2024廊坊校级三模]下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．[2024石家庄正定模拟]对于二次根式的乘法运算，一般地，有.该运算法则成立的条件是（ ）
A．, B．, C．, D．,
3．[2025北京]若在实数范围内有意义,则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ .
考法拓展 非负数相关计算
4．[2024四川成都]若,为实数，且,则的值为_ _ _ _ .
命题点2 二次根式的运算5年3考
易错命题点2
1.切记；
2.二次根式的运算中，如果最终结果含二次根式，那么要把二次根式化为最简二次根式，且分母中不含二次根式.
5．[2025河北]计算:（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．[2023河北]若,,则（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．[2024邢台任泽模拟]若,,则（ ）
A．2 B． C． D．3
8．[2020河北]已知：，则_ _ _ _ .
9．[2025邯郸模拟] 变式 计算：,则 表示的数是_ _ _ _ _ _ .
命题点3 二次根式的估值5年1考
方法命题点3
1.确定 在哪两个相邻整数之间：
（1）先对 平方;
（2）找出与平方后所得数相邻的两个开得尽方的整数；
（3）对两个整数开方即可确定 在哪两个相邻整数之间.
2.确定 离哪个整数较近：
（1）首先确定 在哪两个相邻整数之间;
（2）判断被开方数与这两个相邻整数中哪个整数的平方更接近，就离哪个整数较近.
妙招命题点3
常见的无理数的近似值:；；；；.
10．已知,那么与最接近的整数为 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．[2024江苏盐城]矩形相邻两边长分别为、,设其面积为，则在哪两个连续整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
12． 变式 估计的值应在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间
C．9和10之间 D．10和11之间
13． 变式 在数轴上标注了四段范围,如图，则表示的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
14．[2024河北]已知,,均为正整数.
（1） 若,则_ _ _ _ ；
（2） 代数推理若,,则满足条件的的个数总比的个数少_ _ _ _ 个.
【参考答案】
第一模块 数与式
第1讲 实数
考点通关 直击考什么
考点2 实数的相关概念
； 大； ； ； ； 1
考点3 科学记数法与近似数
2．左； 右
考点4 平方根、算术平方根、立方根
；
考点5 实数的大小比较
大
考点6 实数的运算
1．； ； 0
4．1
夯基综合练
1．A
2．3； 2； 5
3．解：（1） ； 4； 5
（2） ；
（3） ；如图，点即为所求.
（4）
（5）
（6）
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 实数的分类及正负数的意义
1．A 2．D
命题点2 实数的相关概念5年1考
3．C 4．B
命题点3 数轴及实数的大小比较5年2考
5．A 6．C
7．解：（1）以为原点，点，对应的数分别为，1，则.
以为原点，点，对应的数分别为，，则.
（2） 原点在点右侧，，
点，，对应的数分别为，，，
.
8．解：（1），，三点所对应的数的和为,
.
（2） 由题意得,
，解得.
4或.
命题点4 科学记数法5年4考
9．C 10．D 11．B 12．D 13．C
14．D
命题点5 平方根、算术平方根、立方根5年2考
15．A 16．B
命题点6 实数的运算5年5考
17．B 18．A 19．B
20．解：（1）第一步开始出现错误.正确的解答过程如下：
.
（2） 原式
.
21．解：（1）原式.
（2） 内是“-”号.
（3） .
第2讲 代数式与整式
考点通关 直击考什么
考点2 整式的相关概念
积； 和
考点3 整式的运算（含乘法公式）
1．；
2．；
3．；
考点4 因式分解
2．；
夯基综合练
1．D 2．D 3．D
4．（1） ； 3
（2） ① ；
② 12
（3）
（4）
（5） （答案不唯一）
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 代数式、整式的概念5年3考
1．C
2．；
3．解：（1）.
（2） 当,时，
.
命题点2 整式的运算5年5考
4．C 5．D 6．D 7．C 8．A 9．A
10．
11．解：（1）A区：；
B区：.
（2） 不能为负数.理由如下：
.
，
、B两区代数式的和不能为负数.
12．解：（1），，
则.当时，.
（2） .
理由：,
,,.
命题点3 乘法公式5年3考
13．C
14．（1）
（2） 4
命题点4 因式分解5年1考
15．C 16．B 17．B
微专题1 代数推理及规律探索
典题精练 聚焦怎么考
类型1 代数推理
1．D
[解析]设三位数从左到右的数字分别为，，，两位数从左到右的数字分别为，.根据题图2可得，，，所以，，因为，，，，都是一位数，所以，，进而可得，，所以“20”左边的数是8，“20”右边的“”表示4，排除选项、；易得“”上边的数是，则运算结果可以表示为，选项正确；当时，运算结果为，排除选项.故选.
2．（1） 4
[解析]根据题意可得，解得.
（2） ； 1
[解析]嘉嘉从甲盒中拿出个黑子放入乙盒，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多个.接下来，嘉嘉又从乙盒拿回个棋子放到甲盒，其中含有个白子，则乙盒仍有个黑子，即.故.
3．解：验证 .
探究，
，为正整数，
一定是偶数.
该偶数的一半为，为两个正整数的平方和.
4．解：（1）当，时，
解得
直线与直线的交点坐标为.
（2） 证明：由
得，
.
，均不为0，且，，
，即直线与直线的交点的横坐标是定值.
类型2 规律探索
5．C
6．D
[解析]当点的横、纵坐标之和为6时，例如的坐标为或，其横、纵坐标之和除以3先余0，再余1，然后余2，之后余1、余2循环，所以当点坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点；当点坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点，排除选项.
当点的横、纵坐标的和为8时，例如的坐标为或或，其横、纵坐标之和除以3先余2，再余1，然后余2、余1循环，所以当点的坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点；当点的坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点；当点的坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点，排除选项.故选项正确.
当点的坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点，排除选项.故选.
7．
8．解：（1）
（2） .
（3）设中间的偶数为为整数，
则，
任意三个连续的偶数中，最大的数与最小的数的平方差是16的倍数.
9．解：（1）.
（2） 由题意,得,解得.
应用 与（2）同理,得第6个到第8个台阶上的数依次是,1,9,可知台阶上的数从下到上按,,1,9的顺序循环.,
从下到上前31个台阶上数的和为.
发现 .
第3讲 分式
考点通关 直击考什么
考点1 分式的有关概念及基本性质
2．； 且
3．公因式
考点2 分式的运算
1．
2．
3．
考点3 分式的化简与求值
最简分式或整式
夯基综合练
1．D 2．A
3．解：（1） ； 或0
（2）
（3）由题意得.
易知且，所以可取，1.
当时，原式.当时，原式.
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 分式的有关概念及基本性质
1．D 2．D 3．A 4．A
命题点2 分式的运算5年4考
5．A 6．C 7．A 8．B
命题点3 分式的化简与求值5年3考
9．B 10．B 11．D
12．解：
.
且，
且，
当时，原式.
（取也可）
第4讲 二次根式
考点通关 直击考什么
考点1 二次根式的有关概念
2．大于或等于
3．分母
夯基对点练
1．A 2．C
考点2 二次根式的性质
1．
考点3 二次根式的运算
夯基对点练
3．A
4．（1） 9
（2） 9
（3） 9
（4） 9
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10） 2
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 二次根式的有关概念及性质5年1考
1．B 2．D
3．
考法拓展 非负数相关计算
4．1
命题点2 二次根式的运算5年3考
5．B 6．A 7．D
8．6
9．
命题点3 二次根式的估值5年1考
10．A 11．C 12．B 13．C
14．（1） 3
（2） 2
[解析],，
，，
，，，
满足条件的的个数总比的个数少2个.
第4页/共31页
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