第七模块 图形的变化 讲义（含答案） 2026年中考数学一轮专题复习（通用版）
文档属性
| 名称 | 第七模块 图形的变化 讲义（含答案） 2026年中考数学一轮专题复习（通用版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-12 16:15:20 | ||
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文档简介
第七模块 图形的变化
五年考频统计
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
1.投影与视图 几何体及其展开图 5年2考 2.图形的变换 图形的平移 5年2考
视图 5年3考 图形的旋转 5年3考
2.图形的变换 图形的轴对称 5年4考 3.尺规作图 尺规作图 5年考
模块体系构建
第1讲 投影与视图
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 几何体及其展开图
1.常见几何体的表面展开图
常见几何体 长方体 圆柱 圆锥 正三棱柱
表面展开图图示
展开图特征 3对大小相同的矩形 2个大小相同的圆和1个矩形 1个圆和1个扇形 2个全等的等边三角形和3个相同的矩形
2.正方体的表面展开图（颜色相同的为折成正方体时的相对面）
（1）一四一型（巧记：中间四个面，上下各一面）
（2）二三一型（巧记：中间三个面，一二隔河见） （3）二二二型（巧记：中间两个面，楼梯天天见） （4）三三型（巧记：中间没有面，三三连一线）
3.立体图形的折叠：一个几何体能展开成一个平面图形，这个平面图形就可以折叠成相应的几何体，展开与折叠是一个互逆过程.
4.立体图形中的最短路径问题：先把立体图形展开成平面图形，根据“两点之间，线段最短”原则，在平面图形上构造直角三角形来解决此类问题.
考点2 投影
1．平行投影：由①_ _ _ _ _ _ _ _ 形成的投影叫作平行投影.（在平行投影中，如果投影线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影）
2.中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫作中心投影.
温馨提示
1.形成中心投影的光线交于一点，形成平行投影的光线互相平行.
2.在同一时刻，同一地点，不同物体在太阳光下的影长与它们的高度成正比，即物体影长之比等于其对应高度的比.
考点3 三视图的概念与画法
视图 视图的画法
主视图 在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫作主视图 （1）画三视图时,三个视图要放在正确的位置,并且注意主视图与俯视图的②_ _ _ __ ,主视图与左视图的③_ __ _ _ ,左视图与俯视图的④__ _ _ ； （2）主视图在左上方,它的正下方是俯视图,左视图在主视图的右边； （3）画图时，看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成⑤_ _ _
俯视图 在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫作俯视图
左视图 在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫作左视图
知识点睛 常见几何体的三视图
几何体
三视图
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 几何体及其展开图5年2考
1．易错题 图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2的①②③④某一位置，不能使所组成的图形围成正方体的位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
易错
判断正方体的表面展开图时要注意不能出现“”“”图形,更不能出现五个小正方形排一行的情况.若出现“”图形,则另两个小正方形必须在“”的上、下两侧.
2．[2022河北]①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（ ）
① ② ③ ④
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
3．[2021河北]一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（ ）
A．代表 B．代表 C．代表 D．代表
4．[冀教九下P109习题B组 改编] 变式 将三个面分别标有字母、、的立方体盒子（如图）展开，以下展开图中，可能是它的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
方法，
根据正方体的表面展开图找相对面的方法:先确定同一行（或列）中相间排列的两个面是相对面（即相对的两个面中间一定隔着一个小正方形,且没有公共边和公共顶点）;再确定处于“”形两端的面也是相对面.
命题点2 视图5年3考
方法命题点2
由三视图想象立体图形时,首先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面,然后综合起来确定几何体的形状,再根据三个视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系,确定几何体的尺寸.
5．[2024河北]如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是 （ ）
A． B． C． D．
6．[2020河北]图中的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）
A．仅主视图不同
B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同
D．主视图、左视图和俯视图都相同
7．[2025河北]一个几何体由圆柱和正方体组成,其主视图、俯视图如图所示,则其左视图为（ ）
A． B． C． D．
8．[2023河北]如图1，一个的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2,平台上至少还需再放这样的正方体（ ）
图1 图2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9． 变式 一个由若干个小正方体组成的几何体的三视图如图所示.则该几何体最多可以由多少个小正方体组合而成？（ ）
A．6个 B．9个 C．11个 D．13个
易错、
由三视图确定小正方体的个数时，答案有时不唯一，特别是只给出两种视图的情况.当给出的视图中含有俯视图时，可先由俯视图把握几何体的堆叠方式，即结合其他视图在俯视图的每个小正方形中标出对应列的小正方体个数，再确定所搭成的几何体中小正方体的个数情况.
10．[2019河北]图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，且，，则（ ）
图1 图2
A． B．
C． D．
11．[人教九下P111复习题 改编] 图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图.
（1） 在图②的横线上填写“主”“俯”或“左”；
（2） 根据两种视图中的数据单位： ，计算这个组合几何体的表面积.
方法
三视图的相关计算
1.根据三视图判断几何体的形状，并将提供的数据与几何体相对应，利用相应面积或体积公式进行计算；
2.对于不完整的三视图，要分析其可能出现的所有情况，从中选择符合要求的情况进行计算.
请继续完成提升作业《分层精练册》P96—P97
第2讲 图形的变换
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 图形的轴对称
1．轴对称图形和轴对称
轴对称图形 轴对称
定义 如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能完全重合,那么就称这个图形为轴对称图形,这条直线称为对称轴.对称轴一定为直线 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形重合,那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作对称轴.两个图形中的对应点（折叠后重合的点）叫作对称点
图示
区别 （1）轴对称图形是一个具有特殊形状的图形,只对一个图形而言; （2）对称轴不一定只有一条 （1）两个图形成轴对称是指两个图形的位置关系,必须涉及两个图形; （2）只有一条对称轴
轴对称的性质 （1）关于某条直线对称的两个图形是全等图形; （2）如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的①_ _ _ _ _ _ _ _ ； （3）两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交,那么交点在②_ _ _ _ _ _ 上
2．折叠的性质
图示 性质
在矩形中，将沿折叠得到，连接 ,
，，
与关于直线成轴对称
直线③_ _ _ _ _ _ _ _ ，即，； 直线平分与；，
（1）几何图形折叠的本质是轴对称，折叠前后两部分图形关于折痕所在直线成轴对称，即折痕所在直线是对称轴，折痕所在直线可看作对应点所连线段的垂直平分线； （2）折叠前后两部分图形满足轴对称的性质（即全等性与对称性）
夯基对点练
1．[新北师七下P125习题 改编] 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中， ，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处.若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使得点落在边上的点处，折痕为，若和的周长分别是20和6，则的长是_ _ _ _ .
考点2 图形的平移
1.定义：在平面内,将某个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.
2．性质:
（1）平移前后,对应线段④_ _ _ _ 且平行（或一边在同一直线上）,各组对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等;
（2）平移前后,对应角⑤_ _ _ _ 且对应角的两边分别平行（或一边在同一直线上）;
（3）平移不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置,平移前后两图形全等.
3．示例:如图，四边形平移到四边形的位置，则线段的对应线段是，,;线段⑥_ _ _ _ （填“平行”或“垂直”）于线段，线段⑦_ _ _ _ （填“平行”或“垂直”）于线段;;.
夯基对点练
4．将沿方向平移得到.若，且阴影部分的面积与的面积比为，则平移距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点3 图形的旋转
1．中心对称图形与中心对称
中心对称图形（常见的中心对称图形有平行四边形、正六边形、圆等） 中心对称
概念 把一个图形绕某个点旋转⑧_ _ _ _ _ _ _ _ ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心 把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作它们的对称中心,旋转前后对应的点叫作对称点
图示
区别 一个图形 两个图形
性质 经过对称中心的任意一条直线把该图形分成面积相等的两部分 （1）关于某点成中心对称的两个图形⑨ _ _ ； （2）对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分； （3）对应线段平行（或者在同一条直线上）且相等
2．图形的旋转
（1）概念：在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向旋转一定的角度,这样的图形运动称为旋转.
这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角.
（2）三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角.
（3）性质：.对应点到旋转中心的距离⑩_ _ _ _ ；
.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；.对应线段相等，对应角 _ _ _ _ ；
.旋转不改变图形的形状和大小，只改变位置.
（4）示例：如图，旋转到的位置，若 ，则
.旋转中心是点,旋转角是 ；
.点的对应点是点，点的对应点是点;
.线段的对应线段是，,;
.的对应角是， .
知识点睛 图形对称、平移、旋转的作图步骤
（1）找出图形的关键点；
（2）把关键点按要求进行对称、平移、旋转得到其对应点；
（3）按原图形连接各关键点的对应点，得到变换后的图形.
夯基对点练
5．[人教九上P69习题 改编] 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中， ， ，将绕点顺时针旋转至，使得点恰好落在上，则旋转角度为（ ）
A． B． C． D．
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 图形的轴对称5年4考
1．[2024河北]如图，与交于点,和关于直线对称，点,的对称点分别是点,.下列不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2021河北]如图，直线，相交于点为这两直线外一点，且.若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5 C．6 D．7
妙招
连接,,可知，再利用三角形三边关系进行判断.
3． 变式 如图，内有一点，，分别是关于，的对称点，连接交于点，交于点，连接，.若的周长是，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．[2019河北]如图，在由小正三角形组成的网格中，已涂黑6个小正三角形，还需涂黑个小正三角形，使它们与原来被涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则的最小值为（ ）
A．10 B．6 C．3 D．2
5．[2025河北]如图,将矩形沿对角线折叠,点落在处,交于点.将沿折叠,点落在内的处,下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．[2025唐山模拟]如图，将平行四边形折叠，使点落在边上的点处，折痕为，点在边上．若， ，当取得最小值时，AP的长为（ ）
A． B． C．2 D．
妙招
确定 取最小值时的图形是解题的关键，当 时，取得最小值，设 的长为，得到 的长,由折叠性质得,即可列方程求解．
命题点2 图形的平移5年2考
要点命题点2
平移的过程中，不仅仅会出现全等图形，根据平移的性质“各对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等”推理，还会出现平行四边形.
7．已知在直角三角形中， ，将此直角三角形沿射线方向平移，到达直角三角形的位置（如图所示），其中点落在的中点处，此时与相交于点，如果，，那么四边形的面积为_ _ _ _ .
8． 变式 如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，，则阴影部分的面积等于_ _ _ _ .
9．[新人教七下P30习题 改编] 动手操作：
图1 图2 图3
（1） 如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接，，四边形的面积是_ _ _ _ .
（2） 如图2，在的网格中，将向右平移3个单位长度得到，请画出平移后的；连接，，求多边形的面积.
（3） 拓展延伸：如图3，在一块长为米，宽为米的矩形草坪上修建一条水平宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
方法
作平移图形的一般步骤
1.根据题意，确定平移的方向和平移的距离；
2.确定原图形的关键点；
3.按平移的方向和平移的距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；
4.按原图形依次连接各对应点，得到平移后的图形.
命题点3 图形的旋转5年3考
10．[2019河北]对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数.
图1
图2 图3 图4
甲：如图2，思路是当为矩形对角线长时就可以移转过去；结果取.
乙：如图3，思路是当为矩形外接圆直径长时就可以移转过去；结果取.
丙：如图4，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可以移转过去；结果取.
下列正确的是（ ）
A．甲的思路错，他的值对
B．乙的思路和他的值都对
C．甲和丙的值都对
D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对
11．[新冀教八上P149数学活动改编] 问题探究
（1） 如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的直线将它分成面积相等的两部分.
（2） 图②是一个由正方形和圆构成的组合图形，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分.（不写作图过程，保留作图痕迹）
拓展应用
（3） 图③是由两个长方形拼成的组合图形，用一条直线将组合图形分成面积相等的两部分.（不写作图过程，保留作图痕迹）
知识
中心对称图形与面积等分
1.一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分.如图所示.
2.由两个中心对称图形组成的图形，过两个对称中心的直线可以平分组合图形的面积.如图所示.
12．[2025保定清苑期中]一次小组合作探究课上，嘉嘉将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），发现且.小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答.
图1 图2 图3 图4
（1） 将正方形绕点按逆时针方向旋转至如图2所示的位置，则与的数量关系为_ _ _ _ _ _ _ _ ，位置关系为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转至如图3所示的位置，试问当与的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由.
（3） 把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，将矩形绕点按顺时针方向旋转至如图4所示的位置，写出与的数量关系并说明理由.
请继续完成提升作业《分层精练册》P98—P101
微专题10 图形的折叠、裁剪与拼接
典题精练 聚焦怎么考
类型1 图形的折叠
方法解读
1.已知:如图,将矩形纸片 沿 折叠,点 的对应点 落在边 上,连接.
图形折叠的性质及结论:
（1）折叠问题的本质是轴对称变换.
①线段相等:,;
②角相等:,,;
③折痕所在直线可看作垂直平分线:垂直平分.
（2）折叠问题中的全等、相似关系:
①全等关系:;
②相似关系:（一线三垂直模型）.
（3）利用勾股定理求线段长:，.
2.图形拓展
1．如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处.若点在边上，，，则_ _ _ _ _ _ .
2．如图，将矩形沿对角线折叠，使点翻折到点处，连接，若，则的值为_ _ _ _ _ _ .
3．在矩形纸片中,为的中点,连接,将沿折叠得到,连接.若,,则的长是_ _ _ _ _ _ .
4．在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，用如图①所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点恰好落在点处，得到折痕，如图②.
根据以上操作，若，，则线段的长是_ _ _ _ .
图① 图②
5．如图，已知在矩形中，点在边上，，将矩形沿着过点的直线翻折后，点，分别落在边下方的点，处，且点，，在同一条直线上，折痕与边交于点，与交于点.设，那么的周长为_ _ _ _ .
类型2 图形的裁剪与拼接
方法解读 情形一 以三角形为背景
分别找出 的边,的中点,,沿 把三角形分成两部分.
1.直角三角形（图1）:将 绕点 旋转 ,最后拼成一个矩形.
2.锐角三角形（图2）：作,再沿 把 分成两个直角三角形,通过旋转，最后拼成一个矩形.
3.钝角三角形（图3）：作,沿 把四边形 分成两部分,通过旋转、平移，最后拼成一个矩形.
6．综合实践活动课上，小亮将一张面积为，其中一边为的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形（如图2），则该矩形的周长为_ _ _ _ .
图1 图2
方法解读 情形二 以正方形为背景
一大一小两个正方形可以裁剪拼接成一个新的大正方形.
拓展：如图，在正方形中，当满足 时，正方形可裁剪拼接成矩形，反之亦然.
7．现有一张纸片， ，，.有甲、乙两种剪拼方案，将它们沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
A．甲、乙方案都不可以 B．甲方案不可以、乙方案可以
C．甲、乙方案都可以 D．甲方案可以、乙方案不可以
方法解读 情形三 以矩形为背景
图形拼接（无缝隙、无重叠）中面积、周长的变化情况：
1.总面积不变.
2.一个图形裁剪成两个图形，周长增加两个裁剪痕迹的长;两个图形拼成一个图形，周长减少两个拼接线的长.
8．如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以
C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以
9． 变式- 以不规则图形为背景 如图是由5个边长为1的正方形组成的图形，现将它剪拼成一个大正方形.
（1） 在网格中画出剪痕和剪拼后的图形；
（2） 剪拼成的大正方形的边长是_ _ _ _ _ _ .
10．[2024河北]综合与实践 情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心为顶点的等腰直角三角形后得到的.该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示.
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形.
如图3，嘉嘉沿虚线,裁剪，将该纸片剪成①②③三块，再按照图4所示进行拼接.根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1） 直接写出线段的长；
（2） 直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长.
探究．淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形.
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长.
11．[2025河北]综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分,焊接成直角护板（如图1）,需找到合适的切割线.
［模型］已知矩形（数据如图2所示）.作一条直线,使与所夹的锐角为 ,且将矩形分成周长相等的两部分.
图1 图2
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题.
［探究］根据以上描述,解决下列问题.
（1） 图2中,矩形的周长为_ _ _ _ .
（2） 在图3的基础上,用尺规作图作出直线（作出一条即可,保留作图痕迹,不写作法）.
（3） 根据淇淇的作图过程,请说明图4中的直线符合要求.
［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论,请继续研究下面的问题.
（4） 如图5,若直线将矩形分成周长相等的两部分,分别交边,于点,,过点作于点,连接.
图5
① 当 时,求的值;
② 当最大时,直接写出的长.
请继续完成提升作业《分层精练册》P102
微专题11 几何最值问题
典题精练 聚焦怎么考
类型1 利用垂线段最短求最值
方法解读
1.求直线 外一定点 到直线 上一动点 的距离的最小值.
作法：过点 作 直线，垂足为.
结论：为垂线段时，点 到点 的距离最小.
2.如图，点 是 内部一定点，点，分别是，
上的动点，的最小值为 的长（作点 关于 的对称点，作 交 于点.理由是垂线段最短）.
1．如图，在中， ，，，是的平分线.若，分别是和上的动点，则的最小值是_ _ _ _ _ _ .
2．如图，点、分别是矩形的边和对角线上的点，连接、，已知，.
（1） 的值为_ _ _ _ _ _ ;
（2） 求的最小值.
类型2 利用两点之间线段最短求最值
方法解读 情形一 “两点一线”型（一条定线两个定点）
两定点，位于直线 同侧，在直线 上找一点，使得 的值最小.
解题思路：将两定点同侧问题转化为异侧问题.
作法：如图，作点 关于直线 的对称点,连接，与直线 交于点.
3．在正方形中，，点在边上，点在对角线上，当点是边的中点时，求的最小值.
4． 变式 如图，在平行四边形中，，，是的中点，是边上的一动点，若，求的最小值.
方法解读 情形二 “一点两线”型（两条定线一个定点）
点 是 内部的一定点，在 上找一点，在 上找一点，使得 周长最小.
解题思路：要使 的周长最小，即 的值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一条直线上.
作法：如图，分别作点 关于，的对称点,，连接 交 于点，交 于点.
5．如图，在四边形中， ， ，点，分别为和上的动点，连接，，.当的周长最小时，求的度数.
类型3 利用三角形三边关系及三点共线求最值
方法解读
如图1，为定线段，点 为平面内一动点.
图1
1.如图2，当点在线段上时，的值最小，最小值为的长.
2.如图3，当点在线段的延长线上时，的值最大，最大值为的长.
6．如图，的顶点，分别在直角的两边，上运动（不与点重合），的对角线，相交于点，连接，若，则周长的最小值是_ _ _ _ .
7．如图，在矩形中，,是边上一点，且，是直线上一动点，则的最大值为_ _ _ _ .
类型4 利用隐形圆求最值
方法解读 定点定长作圆
已知 平面内,点 为定点,点 为动点,且 长度固定
图示
结论 点 的轨迹是以点 为圆心,长为半径的圆 点,,均在 上
8．如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与点，重合），连接，沿折叠，点对应点记为，连接，则的最小值为_ _ _ _ .
解题思路
点 关于直线 的对称点是，则 是定点，的长是定值.
方法解读 定弦定角作圆
已知 中,的长为定值,（定角）
图示
结论 1.确定点 的运动轨迹,有三种情况: （1）如图①,当时,点 的运动轨迹为优弧 不含点、,; （2）如图②,当时,点 的运动轨迹为（不含点、）（弦 为直径）; （3）如图③,当时,点 的运动轨迹为劣弧 不含点、. 图① 图② 图③ 2.构成等腰三角形时,点到的距离最大,此时的面积最大
9．如图，，点是线段外的动点且 ，，分别是，的中点，则长度的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
解题思路
点 在以 为弦的圆（优弧）上运动且不与、重合.
方法解读 定角定高作圆
已知 在 中,（定角）,是 边上的高,且（定高）
图示
结论 构成等腰三角形 时, 的长最小; 的面积最小; 的周长最小
10．某园林单位要在一个绿化带内开挖一个形如的工作面,使得 ,是边上的高,且,则的面积的最小值是_ _ _ _ _ _ .
方法解读 四点共圆
已知 四边形 中， 定线 对等角：
图示
结论 ,,,四点共圆 ,,,四点共圆
11．如图，在四边形中，， ，则四边形面积的最大值为_ _ _ _ .
请继续完成提升作业《分层精练册》P103
第3讲 尺规作图
考点通关 直击考什么
考点 基本尺规作图
1.作一条线段等于已知线段 作法 （1）作射线； （2）以点为圆心，线段①_ _ _ _ _ _ 的长为半径作弧，交射线于点，即为所求作的线段
依据 圆弧上的点到圆心的距离等于半径
应用 已知三边作三角形 作圆的内接正六边形
2.作一个角等于已知角 作法 （1）在 上以点为圆心，以适当的长为半径作弧，交 的两边于点，； （2）作射线； （3）以点为圆心，②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 长为半径作弧，交于点； （4）以点为圆心，长为半径作弧，与前弧相交于点； （5）过点作射线，即为所求作的角
依据 （1）三边分别相等的两个三角形全等； （2）全等三角形的对应角相等
应用 过直线外一点作直线与已知直线平行 过三角形边上一点作一个三角形与原三角形相似
3.作已知角的平分线 作法 （1）以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，； （2）分别以点，为圆心，以大于③_ _ _ _ _ _ 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； （3）过点作射线，即为所求作
依据 （1）三边分别相等的两个三角形全等； （2）全等三角形的对应角相等
应用 在角的内部作一点，使得该点到角两边的距离相等 作三角形内切圆
4.作线段的垂直平分线 作法 （1）分别以点，为圆心，大于④_ _ _ _ _ _ 的长为半径，在两侧作弧，两弧交于，两点； （2）作直线，直线即为所求作
依据 （1）到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； （2）两点确定一条直线
应用 过三角形的一个顶点作直线，把三角形分成面积相等的两部分 已知不重合两点，，作一点，使其到，的距离相等（注：点为直线上任意一点） 已知底边与底边上的高线作等腰三角形
过不在同一直线上的三点作圆（即作三角形的外接圆） 作圆的内接正方形 作圆的内接正六边形
5.过一点作已知直线的垂线 点在直线上 作法 （1）以直线上的点为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点和点； （2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径向直线同侧作弧，两弧交于点； （3）作直线，直线即为所求作
依据 等腰三角形三线合一
点在直线外 作法 （1）在直线另一侧取点； （2）以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点和点； （3）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在直线同侧交于点； （4）作直线，直线即为所求作
依据 （1）圆弧上的点到圆心的距离等于半径； （2）到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
*6.过直线外一点作已知直线的平行线（2022年版课标新增） 作法 （1）在直线上取点； （2）连接，并作的⑤_ _ _ _ _ _ ； （3）以点为圆心，长为半径作弧，交角平分线于点； （4）作直线，直线即为所求作的平行线
依据 “角平分线等腰三角形”推出平行关系
*7.过圆外一点作圆的切线（2022年版课标新增） 作法 （1）连接点和圆心，并作线段的中点； （2）以点为圆心，长为半径作，与交于，两点； （3）作直线，，直线和直线即为的两条切线
依据 （1）直径所对⑥_ _ _ _ _ _ 是直角； （2）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
命题研究 聚焦怎么考
命题点 尺规作图5年5考
明考向
1.判断符合要求的作图痕迹,,；
2.根据作图痕迹判断结论正误；
3.根据作图痕迹进行计算，.
1．[2024河北]观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的 （ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
2． 变式 尺规作图要求：Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ.作线段的垂直平分线；Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ.作角的平分线.下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是
A．①—Ⅳ,②—Ⅱ,③—Ⅰ,④—Ⅲ B．①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④—Ⅰ
C．①—Ⅱ,②—Ⅳ,③—Ⅲ,④—Ⅰ D．①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ
3．[2019河北]根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是 （ ）
A． B．
C． D．
4．[2020河北]如图1，已知，用尺规作它的平分线.
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线.射线即为所求.
图1
图2
下列正确的是（ ）
A．，均无限制 B．，的长
C．有最小限制，无限制 D．，的长
5．[2024石家庄桥西一模]如图，已知在中， ，，根据图中尺规作图痕迹， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．[2025湖南]如图，在中，，点是的中点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，则的长是_ _ _ _ .
【参考答案】
第七模块 图形的变化
第1讲 投影与视图
考点通关 直击考什么
考点2 投影
1．平行光线
考点3 三视图的概念与画法
长对正； 高平齐； 宽相等； 虚线
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 几何体及其展开图5年2考
1．A
2．D 3．A 4．C
命题点2 视图5年3考
5．D 6．D 7．A 8．B 9．C
10．A
11．解：（1） 主； 俯.
（2）这个组合几何体的表面积.
第2讲 图形的变换
考点通关 直击考什么
考点1 图形的轴对称
1．垂直平分线； 对称轴
2．垂直平分
夯基对点练
1．D 2．C
3．7
考点2 图形的平移
2．相等； 相等
3．平行； 平行
夯基对点练
4．A
考点3 图形的旋转
1．； 全等
2．相等； 相等
夯基对点练
5．A 6．B
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 图形的轴对称5年4考
1．A 2．B
3．A
4．C
5．D
[解析] 四边形是矩形，， ，.
由折叠的性质可得，，
，， ，
，错误；
由两次折叠可知，
，错误；
，错误，正确.故选．
6．A
[解析]当时，取得最小值,如图所示.
四边形是平行四边形,
,,
,
由折叠的性质得， , ，
.
设，则，
过点作于点，
, ,
,
,.
,,
解得，即的长为.
命题点2 图形的平移5年2考
7．18
8．39
9．解：（1） 6
（2）如图所示.
多边形的面积等于矩形的面积，即面积为6.
（3） 平方米.
命题点3 图形的旋转5年3考
10．B
[解析]当为矩形对角线长时，根据勾股定理得，因为，所以最小整数应为14，所以甲的思路正确，他的值错误；当为矩形外接圆直径长（即矩形对角线长）时，，最小整数应为14，所以乙的思路和他的值都正确；根据丙的思路，，而矩形对角线长，所以丙的思路错误，他的值错误.故选.
11．解：（1） 经过对称中心
（2）如图，直线即为所求.
（3） 如图，直线即为所求.（作法不唯一）
12．解：（1） ； .
（2）当时，.
理由:，
.
四边形和四边形为菱形，，,
,
.
（3） .
理由： 四边形和四边形是矩形,
，
,
又,,
.即.
微专题10 图形的折叠、裁剪与拼接
典题精练 聚焦怎么考
类型1 图形的折叠
1．
2．
3．
4．2
5．6
[解析]作于点，
则，由翻折得.
，，
又 ，
，
，
， ，
， ，
，
易知是等边三角形，
，
在中，,
的周长．
类型2 图形的裁剪与拼接
6．22
7．C
[解析]如图1，将移至①处，移至②处，四边形移至③处，即可得到一个与原来面积相等的正方形.
图1
如图2，将，，分别移至①②③处，即可得到一个与原来面积相等的正方形.
图2
甲、乙方案都可以，故选.
8．A
9．解：（1）作图如下.（作法不唯一）
（2） .
10．解：（1） .
（2）与线段相等的线段为,,.
由题意知，, ，,.
探究 由操作（2）可知题图2中最短两边长为，所以在图形右下方剪下一个直角边长为的等腰直角三角形即可（如图1），此时；另一种方案是在图形的左下方剪下一个直角边长为的等腰直角三角形（如图2），此时.（答出一种情况即可）
图1 图2
11．解：（1） 10
（2）如图所示.（答案不唯一）
提示：在上截取，过点，作直线，交于点.
（3） 四边形是矩形，，，，， ，
，， 直线垂直平分，
，，，
， 四边形为平行四边形，，
，，
，即四边形与四边形周长相等. 直线符合要求.
（4） ① 连接，交于点，过点作于点，过点作于点，
，，
把矩形分成了周长相等的两部分，
点为矩形对角线的交点，，，，
， ，
为等腰直角三角形，
，
，
.
② .
详解：如图所示，连接，由①可知为的中点.取中点，连接.
， 点在以为直径的上，
当与相切时，最大.
，，，，
，
过点作， ，
四边形是矩形，
，，
，
，，
，，
，
，
与相切于点，
，
．
微专题11 几何最值问题
典题精练 聚焦怎么考
类型1 利用垂线段最短求最值
1．
2．解：（1）
（2）如图,作点关于的对称点,作于,交于,此时,即的最小值为的长.
, ,,
,.,.的最小值为.
类型2 利用两点之间线段最短求最值
3．解：取的中点，连接，，易知、关于直线对称，则，，故的最小值为的长.
.
的最小值为.
4．解：作点关于的对称点，连接，，，则，
,
的最小值为的长度.
，,，
在中，，, ，
,关于直线对称， ，，
，
，
的最小值为.
5．解：作分别关于和的对称点，，连接，交于，交于，此时的长为周长的最小值.
， ，
由对称得，，
，
.
类型3 利用三角形三边关系及三点共线求最值
6．20
[解析]取的中点，连接，， 四边形是平行四边形，
，又 点是的中点， ，，，
，，
周长的最小值为20.
7．5
[解析]当点、、三点共线时，的值最大，最大值为的长.
在中，,，
所以.
类型4 利用隐形圆求最值
8．2
9．B
10．
11．18
第3讲 尺规作图
考点通关 直击考什么
考点1 基本尺规作图
； 或； ； ； 平分线； 圆周角
命题研究 聚焦怎么考
命题点 尺规作图5年5考
1．B 2．D 3．C 4．B 5．B
6．3
第30页
五年考频统计
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
1.投影与视图 几何体及其展开图 5年2考 2.图形的变换 图形的平移 5年2考
视图 5年3考 图形的旋转 5年3考
2.图形的变换 图形的轴对称 5年4考 3.尺规作图 尺规作图 5年考
模块体系构建
第1讲 投影与视图
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 几何体及其展开图
1.常见几何体的表面展开图
常见几何体 长方体 圆柱 圆锥 正三棱柱
表面展开图图示
展开图特征 3对大小相同的矩形 2个大小相同的圆和1个矩形 1个圆和1个扇形 2个全等的等边三角形和3个相同的矩形
2.正方体的表面展开图（颜色相同的为折成正方体时的相对面）
（1）一四一型（巧记：中间四个面，上下各一面）
（2）二三一型（巧记：中间三个面，一二隔河见） （3）二二二型（巧记：中间两个面，楼梯天天见） （4）三三型（巧记：中间没有面，三三连一线）
3.立体图形的折叠：一个几何体能展开成一个平面图形，这个平面图形就可以折叠成相应的几何体，展开与折叠是一个互逆过程.
4.立体图形中的最短路径问题：先把立体图形展开成平面图形，根据“两点之间，线段最短”原则，在平面图形上构造直角三角形来解决此类问题.
考点2 投影
1．平行投影：由①_ _ _ _ _ _ _ _ 形成的投影叫作平行投影.（在平行投影中，如果投影线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影）
2.中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫作中心投影.
温馨提示
1.形成中心投影的光线交于一点，形成平行投影的光线互相平行.
2.在同一时刻，同一地点，不同物体在太阳光下的影长与它们的高度成正比，即物体影长之比等于其对应高度的比.
考点3 三视图的概念与画法
视图 视图的画法
主视图 在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫作主视图 （1）画三视图时,三个视图要放在正确的位置,并且注意主视图与俯视图的②_ _ _ __ ,主视图与左视图的③_ __ _ _ ,左视图与俯视图的④__ _ _ ； （2）主视图在左上方,它的正下方是俯视图,左视图在主视图的右边； （3）画图时，看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成⑤_ _ _
俯视图 在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫作俯视图
左视图 在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫作左视图
知识点睛 常见几何体的三视图
几何体
三视图
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 几何体及其展开图5年2考
1．易错题 图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2的①②③④某一位置，不能使所组成的图形围成正方体的位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
易错
判断正方体的表面展开图时要注意不能出现“”“”图形,更不能出现五个小正方形排一行的情况.若出现“”图形,则另两个小正方形必须在“”的上、下两侧.
2．[2022河北]①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（ ）
① ② ③ ④
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
3．[2021河北]一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（ ）
A．代表 B．代表 C．代表 D．代表
4．[冀教九下P109习题B组 改编] 变式 将三个面分别标有字母、、的立方体盒子（如图）展开，以下展开图中，可能是它的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
方法，
根据正方体的表面展开图找相对面的方法:先确定同一行（或列）中相间排列的两个面是相对面（即相对的两个面中间一定隔着一个小正方形,且没有公共边和公共顶点）;再确定处于“”形两端的面也是相对面.
命题点2 视图5年3考
方法命题点2
由三视图想象立体图形时,首先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面,然后综合起来确定几何体的形状,再根据三个视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系,确定几何体的尺寸.
5．[2024河北]如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是 （ ）
A． B． C． D．
6．[2020河北]图中的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）
A．仅主视图不同
B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同
D．主视图、左视图和俯视图都相同
7．[2025河北]一个几何体由圆柱和正方体组成,其主视图、俯视图如图所示,则其左视图为（ ）
A． B． C． D．
8．[2023河北]如图1，一个的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2,平台上至少还需再放这样的正方体（ ）
图1 图2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9． 变式 一个由若干个小正方体组成的几何体的三视图如图所示.则该几何体最多可以由多少个小正方体组合而成？（ ）
A．6个 B．9个 C．11个 D．13个
易错、
由三视图确定小正方体的个数时，答案有时不唯一，特别是只给出两种视图的情况.当给出的视图中含有俯视图时，可先由俯视图把握几何体的堆叠方式，即结合其他视图在俯视图的每个小正方形中标出对应列的小正方体个数，再确定所搭成的几何体中小正方体的个数情况.
10．[2019河北]图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，且，，则（ ）
图1 图2
A． B．
C． D．
11．[人教九下P111复习题 改编] 图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图.
（1） 在图②的横线上填写“主”“俯”或“左”；
（2） 根据两种视图中的数据单位： ，计算这个组合几何体的表面积.
方法
三视图的相关计算
1.根据三视图判断几何体的形状，并将提供的数据与几何体相对应，利用相应面积或体积公式进行计算；
2.对于不完整的三视图，要分析其可能出现的所有情况，从中选择符合要求的情况进行计算.
请继续完成提升作业《分层精练册》P96—P97
第2讲 图形的变换
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 图形的轴对称
1．轴对称图形和轴对称
轴对称图形 轴对称
定义 如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能完全重合,那么就称这个图形为轴对称图形,这条直线称为对称轴.对称轴一定为直线 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形重合,那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作对称轴.两个图形中的对应点（折叠后重合的点）叫作对称点
图示
区别 （1）轴对称图形是一个具有特殊形状的图形,只对一个图形而言; （2）对称轴不一定只有一条 （1）两个图形成轴对称是指两个图形的位置关系,必须涉及两个图形; （2）只有一条对称轴
轴对称的性质 （1）关于某条直线对称的两个图形是全等图形; （2）如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的①_ _ _ _ _ _ _ _ ； （3）两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交,那么交点在②_ _ _ _ _ _ 上
2．折叠的性质
图示 性质
在矩形中，将沿折叠得到，连接 ,
，，
与关于直线成轴对称
直线③_ _ _ _ _ _ _ _ ，即，； 直线平分与；，
（1）几何图形折叠的本质是轴对称，折叠前后两部分图形关于折痕所在直线成轴对称，即折痕所在直线是对称轴，折痕所在直线可看作对应点所连线段的垂直平分线； （2）折叠前后两部分图形满足轴对称的性质（即全等性与对称性）
夯基对点练
1．[新北师七下P125习题 改编] 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中， ，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处.若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使得点落在边上的点处，折痕为，若和的周长分别是20和6，则的长是_ _ _ _ .
考点2 图形的平移
1.定义：在平面内,将某个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.
2．性质:
（1）平移前后,对应线段④_ _ _ _ 且平行（或一边在同一直线上）,各组对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等;
（2）平移前后,对应角⑤_ _ _ _ 且对应角的两边分别平行（或一边在同一直线上）;
（3）平移不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置,平移前后两图形全等.
3．示例:如图，四边形平移到四边形的位置，则线段的对应线段是，,;线段⑥_ _ _ _ （填“平行”或“垂直”）于线段，线段⑦_ _ _ _ （填“平行”或“垂直”）于线段;;.
夯基对点练
4．将沿方向平移得到.若，且阴影部分的面积与的面积比为，则平移距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点3 图形的旋转
1．中心对称图形与中心对称
中心对称图形（常见的中心对称图形有平行四边形、正六边形、圆等） 中心对称
概念 把一个图形绕某个点旋转⑧_ _ _ _ _ _ _ _ ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心 把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作它们的对称中心,旋转前后对应的点叫作对称点
图示
区别 一个图形 两个图形
性质 经过对称中心的任意一条直线把该图形分成面积相等的两部分 （1）关于某点成中心对称的两个图形⑨ _ _ ； （2）对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分； （3）对应线段平行（或者在同一条直线上）且相等
2．图形的旋转
（1）概念：在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向旋转一定的角度,这样的图形运动称为旋转.
这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角.
（2）三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角.
（3）性质：.对应点到旋转中心的距离⑩_ _ _ _ ；
.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；.对应线段相等，对应角 _ _ _ _ ；
.旋转不改变图形的形状和大小，只改变位置.
（4）示例：如图，旋转到的位置，若 ，则
.旋转中心是点,旋转角是 ；
.点的对应点是点，点的对应点是点;
.线段的对应线段是，,;
.的对应角是， .
知识点睛 图形对称、平移、旋转的作图步骤
（1）找出图形的关键点；
（2）把关键点按要求进行对称、平移、旋转得到其对应点；
（3）按原图形连接各关键点的对应点，得到变换后的图形.
夯基对点练
5．[人教九上P69习题 改编] 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中， ， ，将绕点顺时针旋转至，使得点恰好落在上，则旋转角度为（ ）
A． B． C． D．
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 图形的轴对称5年4考
1．[2024河北]如图，与交于点,和关于直线对称，点,的对称点分别是点,.下列不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2021河北]如图，直线，相交于点为这两直线外一点，且.若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5 C．6 D．7
妙招
连接,,可知，再利用三角形三边关系进行判断.
3． 变式 如图，内有一点，，分别是关于，的对称点，连接交于点，交于点，连接，.若的周长是，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．[2019河北]如图，在由小正三角形组成的网格中，已涂黑6个小正三角形，还需涂黑个小正三角形，使它们与原来被涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则的最小值为（ ）
A．10 B．6 C．3 D．2
5．[2025河北]如图,将矩形沿对角线折叠,点落在处,交于点.将沿折叠,点落在内的处,下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．[2025唐山模拟]如图，将平行四边形折叠，使点落在边上的点处，折痕为，点在边上．若， ，当取得最小值时，AP的长为（ ）
A． B． C．2 D．
妙招
确定 取最小值时的图形是解题的关键，当 时，取得最小值，设 的长为，得到 的长,由折叠性质得,即可列方程求解．
命题点2 图形的平移5年2考
要点命题点2
平移的过程中，不仅仅会出现全等图形，根据平移的性质“各对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等”推理，还会出现平行四边形.
7．已知在直角三角形中， ，将此直角三角形沿射线方向平移，到达直角三角形的位置（如图所示），其中点落在的中点处，此时与相交于点，如果，，那么四边形的面积为_ _ _ _ .
8． 变式 如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，，则阴影部分的面积等于_ _ _ _ .
9．[新人教七下P30习题 改编] 动手操作：
图1 图2 图3
（1） 如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接，，四边形的面积是_ _ _ _ .
（2） 如图2，在的网格中，将向右平移3个单位长度得到，请画出平移后的；连接，，求多边形的面积.
（3） 拓展延伸：如图3，在一块长为米，宽为米的矩形草坪上修建一条水平宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
方法
作平移图形的一般步骤
1.根据题意，确定平移的方向和平移的距离；
2.确定原图形的关键点；
3.按平移的方向和平移的距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；
4.按原图形依次连接各对应点，得到平移后的图形.
命题点3 图形的旋转5年3考
10．[2019河北]对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数.
图1
图2 图3 图4
甲：如图2，思路是当为矩形对角线长时就可以移转过去；结果取.
乙：如图3，思路是当为矩形外接圆直径长时就可以移转过去；结果取.
丙：如图4，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可以移转过去；结果取.
下列正确的是（ ）
A．甲的思路错，他的值对
B．乙的思路和他的值都对
C．甲和丙的值都对
D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对
11．[新冀教八上P149数学活动改编] 问题探究
（1） 如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的直线将它分成面积相等的两部分.
（2） 图②是一个由正方形和圆构成的组合图形，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分.（不写作图过程，保留作图痕迹）
拓展应用
（3） 图③是由两个长方形拼成的组合图形，用一条直线将组合图形分成面积相等的两部分.（不写作图过程，保留作图痕迹）
知识
中心对称图形与面积等分
1.一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分.如图所示.
2.由两个中心对称图形组成的图形，过两个对称中心的直线可以平分组合图形的面积.如图所示.
12．[2025保定清苑期中]一次小组合作探究课上，嘉嘉将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），发现且.小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答.
图1 图2 图3 图4
（1） 将正方形绕点按逆时针方向旋转至如图2所示的位置，则与的数量关系为_ _ _ _ _ _ _ _ ，位置关系为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转至如图3所示的位置，试问当与的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由.
（3） 把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，将矩形绕点按顺时针方向旋转至如图4所示的位置，写出与的数量关系并说明理由.
请继续完成提升作业《分层精练册》P98—P101
微专题10 图形的折叠、裁剪与拼接
典题精练 聚焦怎么考
类型1 图形的折叠
方法解读
1.已知:如图,将矩形纸片 沿 折叠,点 的对应点 落在边 上,连接.
图形折叠的性质及结论:
（1）折叠问题的本质是轴对称变换.
①线段相等:,;
②角相等:,,;
③折痕所在直线可看作垂直平分线:垂直平分.
（2）折叠问题中的全等、相似关系:
①全等关系:;
②相似关系:（一线三垂直模型）.
（3）利用勾股定理求线段长:，.
2.图形拓展
1．如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处.若点在边上，，，则_ _ _ _ _ _ .
2．如图，将矩形沿对角线折叠，使点翻折到点处，连接，若，则的值为_ _ _ _ _ _ .
3．在矩形纸片中,为的中点,连接,将沿折叠得到,连接.若,,则的长是_ _ _ _ _ _ .
4．在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，用如图①所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点恰好落在点处，得到折痕，如图②.
根据以上操作，若，，则线段的长是_ _ _ _ .
图① 图②
5．如图，已知在矩形中，点在边上，，将矩形沿着过点的直线翻折后，点，分别落在边下方的点，处，且点，，在同一条直线上，折痕与边交于点，与交于点.设，那么的周长为_ _ _ _ .
类型2 图形的裁剪与拼接
方法解读 情形一 以三角形为背景
分别找出 的边,的中点,,沿 把三角形分成两部分.
1.直角三角形（图1）:将 绕点 旋转 ,最后拼成一个矩形.
2.锐角三角形（图2）：作,再沿 把 分成两个直角三角形,通过旋转，最后拼成一个矩形.
3.钝角三角形（图3）：作,沿 把四边形 分成两部分,通过旋转、平移，最后拼成一个矩形.
6．综合实践活动课上，小亮将一张面积为，其中一边为的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形（如图2），则该矩形的周长为_ _ _ _ .
图1 图2
方法解读 情形二 以正方形为背景
一大一小两个正方形可以裁剪拼接成一个新的大正方形.
拓展：如图，在正方形中，当满足 时，正方形可裁剪拼接成矩形，反之亦然.
7．现有一张纸片， ，，.有甲、乙两种剪拼方案，将它们沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
A．甲、乙方案都不可以 B．甲方案不可以、乙方案可以
C．甲、乙方案都可以 D．甲方案可以、乙方案不可以
方法解读 情形三 以矩形为背景
图形拼接（无缝隙、无重叠）中面积、周长的变化情况：
1.总面积不变.
2.一个图形裁剪成两个图形，周长增加两个裁剪痕迹的长;两个图形拼成一个图形，周长减少两个拼接线的长.
8．如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以
C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以
9． 变式- 以不规则图形为背景 如图是由5个边长为1的正方形组成的图形，现将它剪拼成一个大正方形.
（1） 在网格中画出剪痕和剪拼后的图形；
（2） 剪拼成的大正方形的边长是_ _ _ _ _ _ .
10．[2024河北]综合与实践 情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心为顶点的等腰直角三角形后得到的.该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示.
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形.
如图3，嘉嘉沿虚线,裁剪，将该纸片剪成①②③三块，再按照图4所示进行拼接.根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1） 直接写出线段的长；
（2） 直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长.
探究．淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形.
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长.
11．[2025河北]综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分,焊接成直角护板（如图1）,需找到合适的切割线.
［模型］已知矩形（数据如图2所示）.作一条直线,使与所夹的锐角为 ,且将矩形分成周长相等的两部分.
图1 图2
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题.
［探究］根据以上描述,解决下列问题.
（1） 图2中,矩形的周长为_ _ _ _ .
（2） 在图3的基础上,用尺规作图作出直线（作出一条即可,保留作图痕迹,不写作法）.
（3） 根据淇淇的作图过程,请说明图4中的直线符合要求.
［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论,请继续研究下面的问题.
（4） 如图5,若直线将矩形分成周长相等的两部分,分别交边,于点,,过点作于点,连接.
图5
① 当 时,求的值;
② 当最大时,直接写出的长.
请继续完成提升作业《分层精练册》P102
微专题11 几何最值问题
典题精练 聚焦怎么考
类型1 利用垂线段最短求最值
方法解读
1.求直线 外一定点 到直线 上一动点 的距离的最小值.
作法：过点 作 直线，垂足为.
结论：为垂线段时，点 到点 的距离最小.
2.如图，点 是 内部一定点，点，分别是，
上的动点，的最小值为 的长（作点 关于 的对称点，作 交 于点.理由是垂线段最短）.
1．如图，在中， ，，，是的平分线.若，分别是和上的动点，则的最小值是_ _ _ _ _ _ .
2．如图，点、分别是矩形的边和对角线上的点，连接、，已知，.
（1） 的值为_ _ _ _ _ _ ;
（2） 求的最小值.
类型2 利用两点之间线段最短求最值
方法解读 情形一 “两点一线”型（一条定线两个定点）
两定点，位于直线 同侧，在直线 上找一点，使得 的值最小.
解题思路：将两定点同侧问题转化为异侧问题.
作法：如图，作点 关于直线 的对称点,连接，与直线 交于点.
3．在正方形中，，点在边上，点在对角线上，当点是边的中点时，求的最小值.
4． 变式 如图，在平行四边形中，，，是的中点，是边上的一动点，若，求的最小值.
方法解读 情形二 “一点两线”型（两条定线一个定点）
点 是 内部的一定点，在 上找一点，在 上找一点，使得 周长最小.
解题思路：要使 的周长最小，即 的值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一条直线上.
作法：如图，分别作点 关于，的对称点,，连接 交 于点，交 于点.
5．如图，在四边形中， ， ，点，分别为和上的动点，连接，，.当的周长最小时，求的度数.
类型3 利用三角形三边关系及三点共线求最值
方法解读
如图1，为定线段，点 为平面内一动点.
图1
1.如图2，当点在线段上时，的值最小，最小值为的长.
2.如图3，当点在线段的延长线上时，的值最大，最大值为的长.
6．如图，的顶点，分别在直角的两边，上运动（不与点重合），的对角线，相交于点，连接，若，则周长的最小值是_ _ _ _ .
7．如图，在矩形中，,是边上一点，且，是直线上一动点，则的最大值为_ _ _ _ .
类型4 利用隐形圆求最值
方法解读 定点定长作圆
已知 平面内,点 为定点,点 为动点,且 长度固定
图示
结论 点 的轨迹是以点 为圆心,长为半径的圆 点,,均在 上
8．如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与点，重合），连接，沿折叠，点对应点记为，连接，则的最小值为_ _ _ _ .
解题思路
点 关于直线 的对称点是，则 是定点，的长是定值.
方法解读 定弦定角作圆
已知 中,的长为定值,（定角）
图示
结论 1.确定点 的运动轨迹,有三种情况: （1）如图①,当时,点 的运动轨迹为优弧 不含点、,; （2）如图②,当时,点 的运动轨迹为（不含点、）（弦 为直径）; （3）如图③,当时,点 的运动轨迹为劣弧 不含点、. 图① 图② 图③ 2.构成等腰三角形时,点到的距离最大,此时的面积最大
9．如图，，点是线段外的动点且 ，，分别是，的中点，则长度的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
解题思路
点 在以 为弦的圆（优弧）上运动且不与、重合.
方法解读 定角定高作圆
已知 在 中,（定角）,是 边上的高,且（定高）
图示
结论 构成等腰三角形 时, 的长最小; 的面积最小; 的周长最小
10．某园林单位要在一个绿化带内开挖一个形如的工作面,使得 ,是边上的高,且,则的面积的最小值是_ _ _ _ _ _ .
方法解读 四点共圆
已知 四边形 中， 定线 对等角：
图示
结论 ,,,四点共圆 ,,,四点共圆
11．如图，在四边形中，， ，则四边形面积的最大值为_ _ _ _ .
请继续完成提升作业《分层精练册》P103
第3讲 尺规作图
考点通关 直击考什么
考点 基本尺规作图
1.作一条线段等于已知线段 作法 （1）作射线； （2）以点为圆心，线段①_ _ _ _ _ _ 的长为半径作弧，交射线于点，即为所求作的线段
依据 圆弧上的点到圆心的距离等于半径
应用 已知三边作三角形 作圆的内接正六边形
2.作一个角等于已知角 作法 （1）在 上以点为圆心，以适当的长为半径作弧，交 的两边于点，； （2）作射线； （3）以点为圆心，②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 长为半径作弧，交于点； （4）以点为圆心，长为半径作弧，与前弧相交于点； （5）过点作射线，即为所求作的角
依据 （1）三边分别相等的两个三角形全等； （2）全等三角形的对应角相等
应用 过直线外一点作直线与已知直线平行 过三角形边上一点作一个三角形与原三角形相似
3.作已知角的平分线 作法 （1）以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，； （2）分别以点，为圆心，以大于③_ _ _ _ _ _ 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； （3）过点作射线，即为所求作
依据 （1）三边分别相等的两个三角形全等； （2）全等三角形的对应角相等
应用 在角的内部作一点，使得该点到角两边的距离相等 作三角形内切圆
4.作线段的垂直平分线 作法 （1）分别以点，为圆心，大于④_ _ _ _ _ _ 的长为半径，在两侧作弧，两弧交于，两点； （2）作直线，直线即为所求作
依据 （1）到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； （2）两点确定一条直线
应用 过三角形的一个顶点作直线，把三角形分成面积相等的两部分 已知不重合两点，，作一点，使其到，的距离相等（注：点为直线上任意一点） 已知底边与底边上的高线作等腰三角形
过不在同一直线上的三点作圆（即作三角形的外接圆） 作圆的内接正方形 作圆的内接正六边形
5.过一点作已知直线的垂线 点在直线上 作法 （1）以直线上的点为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点和点； （2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径向直线同侧作弧，两弧交于点； （3）作直线，直线即为所求作
依据 等腰三角形三线合一
点在直线外 作法 （1）在直线另一侧取点； （2）以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点和点； （3）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在直线同侧交于点； （4）作直线，直线即为所求作
依据 （1）圆弧上的点到圆心的距离等于半径； （2）到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
*6.过直线外一点作已知直线的平行线（2022年版课标新增） 作法 （1）在直线上取点； （2）连接，并作的⑤_ _ _ _ _ _ ； （3）以点为圆心，长为半径作弧，交角平分线于点； （4）作直线，直线即为所求作的平行线
依据 “角平分线等腰三角形”推出平行关系
*7.过圆外一点作圆的切线（2022年版课标新增） 作法 （1）连接点和圆心，并作线段的中点； （2）以点为圆心，长为半径作，与交于，两点； （3）作直线，，直线和直线即为的两条切线
依据 （1）直径所对⑥_ _ _ _ _ _ 是直角； （2）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
命题研究 聚焦怎么考
命题点 尺规作图5年5考
明考向
1.判断符合要求的作图痕迹,,；
2.根据作图痕迹判断结论正误；
3.根据作图痕迹进行计算，.
1．[2024河北]观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的 （ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
2． 变式 尺规作图要求：Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ.作线段的垂直平分线；Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ.作角的平分线.下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是
A．①—Ⅳ,②—Ⅱ,③—Ⅰ,④—Ⅲ B．①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④—Ⅰ
C．①—Ⅱ,②—Ⅳ,③—Ⅲ,④—Ⅰ D．①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ
3．[2019河北]根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是 （ ）
A． B．
C． D．
4．[2020河北]如图1，已知，用尺规作它的平分线.
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线.射线即为所求.
图1
图2
下列正确的是（ ）
A．，均无限制 B．，的长
C．有最小限制，无限制 D．，的长
5．[2024石家庄桥西一模]如图，已知在中， ，，根据图中尺规作图痕迹， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．[2025湖南]如图，在中，，点是的中点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，则的长是_ _ _ _ .
【参考答案】
第七模块 图形的变化
第1讲 投影与视图
考点通关 直击考什么
考点2 投影
1．平行光线
考点3 三视图的概念与画法
长对正； 高平齐； 宽相等； 虚线
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 几何体及其展开图5年2考
1．A
2．D 3．A 4．C
命题点2 视图5年3考
5．D 6．D 7．A 8．B 9．C
10．A
11．解：（1） 主； 俯.
（2）这个组合几何体的表面积.
第2讲 图形的变换
考点通关 直击考什么
考点1 图形的轴对称
1．垂直平分线； 对称轴
2．垂直平分
夯基对点练
1．D 2．C
3．7
考点2 图形的平移
2．相等； 相等
3．平行； 平行
夯基对点练
4．A
考点3 图形的旋转
1．； 全等
2．相等； 相等
夯基对点练
5．A 6．B
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 图形的轴对称5年4考
1．A 2．B
3．A
4．C
5．D
[解析] 四边形是矩形，， ，.
由折叠的性质可得，，
，， ，
，错误；
由两次折叠可知，
，错误；
，错误，正确.故选．
6．A
[解析]当时，取得最小值,如图所示.
四边形是平行四边形,
,,
,
由折叠的性质得， , ，
.
设，则，
过点作于点，
, ,
,
,.
,,
解得，即的长为.
命题点2 图形的平移5年2考
7．18
8．39
9．解：（1） 6
（2）如图所示.
多边形的面积等于矩形的面积，即面积为6.
（3） 平方米.
命题点3 图形的旋转5年3考
10．B
[解析]当为矩形对角线长时，根据勾股定理得，因为，所以最小整数应为14，所以甲的思路正确，他的值错误；当为矩形外接圆直径长（即矩形对角线长）时，，最小整数应为14，所以乙的思路和他的值都正确；根据丙的思路，，而矩形对角线长，所以丙的思路错误，他的值错误.故选.
11．解：（1） 经过对称中心
（2）如图，直线即为所求.
（3） 如图，直线即为所求.（作法不唯一）
12．解：（1） ； .
（2）当时，.
理由:，
.
四边形和四边形为菱形，，,
,
.
（3） .
理由： 四边形和四边形是矩形,
，
,
又,,
.即.
微专题10 图形的折叠、裁剪与拼接
典题精练 聚焦怎么考
类型1 图形的折叠
1．
2．
3．
4．2
5．6
[解析]作于点，
则，由翻折得.
，，
又 ，
，
，
， ，
， ，
，
易知是等边三角形，
，
在中，,
的周长．
类型2 图形的裁剪与拼接
6．22
7．C
[解析]如图1，将移至①处，移至②处，四边形移至③处，即可得到一个与原来面积相等的正方形.
图1
如图2，将，，分别移至①②③处，即可得到一个与原来面积相等的正方形.
图2
甲、乙方案都可以，故选.
8．A
9．解：（1）作图如下.（作法不唯一）
（2） .
10．解：（1） .
（2）与线段相等的线段为,,.
由题意知，, ，,.
探究 由操作（2）可知题图2中最短两边长为，所以在图形右下方剪下一个直角边长为的等腰直角三角形即可（如图1），此时；另一种方案是在图形的左下方剪下一个直角边长为的等腰直角三角形（如图2），此时.（答出一种情况即可）
图1 图2
11．解：（1） 10
（2）如图所示.（答案不唯一）
提示：在上截取，过点，作直线，交于点.
（3） 四边形是矩形，，，，， ，
，， 直线垂直平分，
，，，
， 四边形为平行四边形，，
，，
，即四边形与四边形周长相等. 直线符合要求.
（4） ① 连接，交于点，过点作于点，过点作于点，
，，
把矩形分成了周长相等的两部分，
点为矩形对角线的交点，，，，
， ，
为等腰直角三角形，
，
，
.
② .
详解：如图所示，连接，由①可知为的中点.取中点，连接.
， 点在以为直径的上，
当与相切时，最大.
，，，，
，
过点作， ，
四边形是矩形，
，，
，
，，
，，
，
，
与相切于点，
，
．
微专题11 几何最值问题
典题精练 聚焦怎么考
类型1 利用垂线段最短求最值
1．
2．解：（1）
（2）如图,作点关于的对称点,作于,交于,此时,即的最小值为的长.
, ,,
,.,.的最小值为.
类型2 利用两点之间线段最短求最值
3．解：取的中点，连接，，易知、关于直线对称，则，，故的最小值为的长.
.
的最小值为.
4．解：作点关于的对称点，连接，，，则，
,
的最小值为的长度.
，,，
在中，，, ，
,关于直线对称， ，，
，
，
的最小值为.
5．解：作分别关于和的对称点，，连接，交于，交于，此时的长为周长的最小值.
， ，
由对称得，，
，
.
类型3 利用三角形三边关系及三点共线求最值
6．20
[解析]取的中点，连接，， 四边形是平行四边形，
，又 点是的中点， ，，，
，，
周长的最小值为20.
7．5
[解析]当点、、三点共线时，的值最大，最大值为的长.
在中，,，
所以.
类型4 利用隐形圆求最值
8．2
9．B
10．
11．18
第3讲 尺规作图
考点通关 直击考什么
考点1 基本尺规作图
； 或； ； ； 平分线； 圆周角
命题研究 聚焦怎么考
命题点 尺规作图5年5考
1．B 2．D 3．C 4．B 5．B
6．3
第30页
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