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【解答题强化训练·50道必刷题】上海市数学七年级上册期中试卷
1．把下列各代数式的序号填入相应集合的括号内：
①2a2b+
；② ；③0；④ ；⑤﹣
mn；⑥2x﹣3y=5；⑦2a+6abc+3k
单项式集合：{ }；
多项式集合：{ }；
二项式集合：{ }．
2．如图是一块长方形的花坛，中间的小长方形种植玫瑰，其余部分种植康乃馨，数据如图所示．
（1）求种植玫瑰的面积；
（2）若，，求种植康乃馨的面积．
3．请把下列代数式按要求分类：（填写编号）
①；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩；
单项式：｛ ｝；
多项式：｛ ｝．
4．三个连续奇数，设中间一个为，求这三个数的和．
5．近年来我国的太阳能电池产业发展迅速．某太阳能电池企业的年产值2011年比2010年翻了一番(增加1倍)．预计2011年至2012年，2012年至2013年按平均年增长率60%增长．若2010年的产值为a万元．请估计2011年，2012年，2013年这三年产值的总和为多少万元．
6．某公司在两地分别有同型号的机器17台和15台，现要运往甲地18台，乙地14台．从两地运往甲、乙两地的费用如下表：
甲地(元/台) 乙地(元/台)
地 600 500
地 400 800
（1）如果从地运往甲地台，请完成下表：
运往甲地的台数 运往乙地的台数
地
地
（2）请用含的代数式表示总运费．
7．定义：若a+b=c，则称a与b是关于c的平衡数.例如：因为1+2=3，所以1与2是关于3的平衡数；因为10+(-5)=5，所以10与-5是关于5的平衡数.
（1）-3与-3是关于 的平衡数；7-x与 是关于2的平衡数.
（2）若M=x2-4x+5，N=x2-2(x2-2x+)+1，试判断M与N是不是关于3的平衡数，并说明理由.
8．写出两个多项式，使它们都有因式 和 ．
9．先化简，再求值：，其中x＝-1，y＝．
10．已知自然数a，b，c 满足 和 求代数式 的值.
11．客车上原有(2a-b)人，中途有一半乘客下车，又有若干人上车后，车上共有乘客(8a-5b)人，求中途上车的乘客人数.当a=10，b=8时，上车的乘客有多少人
12．一个多项式 小明将A前面的“－”抄成了“＋”，化简结果是 求多项式A.
13．已知am=5，an=3，求a2m+3n．
14．计算：7ab-3a2b2+7+8ab2+3a2b2-3-7ab．
15．先化简，再求值：（x+y+2）（x+y﹣2）﹣（x+2y）2+3y2，其中x=﹣ ，y= ．
16．先化简，再求值： （﹣4 +4x+12xy）﹣（﹣ +x+2xy），其中x＝ ，y＝2022.
17．已知x＋y=5，xy=2，求的值.
18．先化简，再求值： ，其中a = -2 ，b= -3
19．我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：，请完成下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式： ；
（2）从图3可知，因式分解： ；
（3）结合图4，已知，，求的值．
20．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出a，b的正确值，并计算a2021 b2020的值．
21．观察下列各式：.
回答下列问题：
（1）单项式分别为：
（2）多项式分别为：
（3）整式有 个；
（4）-ab的系数为 .
（5）次数最高的多项式为
22．1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×1010千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？
23．两个边长分别为a和b的正方形如图所示放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若在图①中大正方形的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
（1）则 ， ；（用含a，b的代数式表示）
（2）若，求的值；
（3）当两个正方形按图③所示摆放时，若，求出图③中的阴影部分的面积．
24．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：
-3x=x2-5x+1.
（1）求所捂的二次三项式；
（2）若 ，求所捂二次三项式的值；
（3）如果 的整数部分为a，则a2= .
25．有一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a(m)，下底宽(a+2b)m，坝高 /2a(m).
（1）求防洪堤坝的横断面面积.
（2）如果防洪堤坝长100m，那么这条防洪堤坝的体积是多少立方米
26．已知2m=3，2n=5，求24m﹣2n的值．
27．先化简，再求值：，其中，．
28．数学注重逻辑思维，如计算(a5)2 时，若忘记了运算法则，可以借助a ，得到正确答案.计算的结果是 .
29．如图， 将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成 9 块， 其中有 2 块是边长为 厘米的大正方形， 2 块是边长都为 厘米的小正方形， 5 块是长为 厘米，宽为 厘米的相同的小长方形，且 ．
（1） 观察图形， 可以发现代数式 可以因式分解为 .
（2）若图中阴影部分的面积为 234 平方厘米， 大长方形纸板的周长为 72 厘米，求图中空白部分的面积．
30．一个立方体的棱长是a3，这个立方体的体积是多少
31．已知A=3a2﹣a+1，B=a2+4a﹣3．若化简A+B+m（m是常数）的结果中没有常数项，求m的值；
32．已知关于x的代数式与的乘积中，不含有x的一次项，求m的值.
33．有这样一道计算题：“计算 的值，其中 .”王聪同学把“ ”错看成“ ”，但计算结果仍正确；许明同学把“ ”错看成“ ”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明.
34．数学活动：
【知识生成】我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到．
【直接应用】（1）已知：，，求的值；
【解决问题】（2）如图2，四边形是长方形，分别以，为边向两边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为54，求长方形的面积；
【知识迁移】（3）若，求的值．
35．分解2x4﹣3x3+mx2+7x+n，其中含因式（x+2）和（x﹣1），求m，n．
36．化简求值：2（2x-3y）-3（3x+2y-1），其中x＝2，y＝-0.5．
37．如图是某居民小区的一块长为b米，宽为2a米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形的四个顶点处修建一个半径为a米的扇形花台，然后在花台内种花，其余种草。如果建造花台及种花费用每平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50元，那么美化这块空地共需资金多少元？
38．已知，，求代数式的值.
39．如果两个关于、的单项式与是同类项（其中）．
（1）求的值；
（2）如果这两个单项式的和为零，求的值．
40．先简化，再求值： ，其中 ，
41．王琦同学在自习课准备完成以下题目：化简(□x2-6X+5) - (-6X+8x2-2)，发现系数“□”印刷不清楚，
（1）他把“□”猜成2，请你化简(2x2-6X+5) - (-6X+8x2-2)
（2）老师见到说：“你猜错了，我看到该题正确答案是常数”，请你通过计算说明原题中“□”是多少？
42．观察下列等式：
第1个等式：12＝13；
第2个等式：（1+2）2＝13+23；
第3个等式：（1+2+3）2＝13+23+33；
第4个等式：（1+2+3+4）2＝13+23+33+43
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出第n（n为正整数）个等式： （用含n的等式表示）；
（3）利用你发现的规律求113+123+133+…+1003值．
43．用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如
图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，请求出其阴影部分的面积为多少．
44．问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或 a2+2ab+b2
∴（a+b）2 =a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
①请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23=32？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23=（1+2）2=32
尝试解决：
②请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33= ▲ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
问题拓广：
③请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3= ▲ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
45．分解因式：x4+4．（提示：可通过添项，将多项式配成一个完全平方式，再进行分解）
46．如图1，长方形ABCD的边长分别为a，b，请观察图形，解答下列问题：
（1）若用四个完全相同的长方形ABCD拼成如图2所示的正方形，请写出代数式(a+b)2，(a-b)2，ab之间的等量关系：
（2）根据(1)中的等量关系解决问题：若x+y=7，xy=6，求x-y的值.
（3）若以长方形ABCD的各边为一边向外作正方形(如图3)，且四个正方形的周长之和为32，四个正方形的面积之和为20，求长方形ABCD的面积.
47．为创建文明校园环境，高校长制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图所示的板材裁剪而成，其为一个长为，宽为的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图所示的一个大正方形．
（1）用两种不同方法表示图中小正方形阴影部分面积：
方法一： ；
方法二： ；
（2），，这三个代数式之间的等量关系为 ；
（3）根据题中的等量关系，解决如下问题：
已知：，，求：的值；
已知：，求：的值．
48．已知正整数a，b（a≠b）满足a2-b2=220-2a，求a+b的值．
49．如图，有足够多的完全相同的小长方形（图1）和一个大长方形纸片．小长方形两邻边的长分别记为a，b，把小长方形纸片不重叠的摆放在大长方形上，阴影是小长方形没有覆盖的部分，分别记为，．
（1）如图2，若，，，直接写出的面积________，的面积________；
（2）如图2，当，时，直接写出和的周长和是________；
（3）如图3，若大长方形分割为6个小正方形，且中间的最小正方形的边长是2，分别求大长方形的两邻边AB，AC的长．
50．计算：（a－b）2m-1·（b－a）2m·（a－b）2m+1，其中m为正整数．
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【解答题强化训练·50道必刷题】上海市数学七年级上册期中试卷
1．把下列各代数式的序号填入相应集合的括号内：
①2a2b+
；② ；③0；④ ；⑤﹣
mn；⑥2x﹣3y=5；⑦2a+6abc+3k
单项式集合：{ }；
多项式集合：{ }；
二项式集合：{ }．
【答案】解：单项式集合：{③，⑤，…}；
多项式集合：{①，④，⑦，…}；
二项式集合：{①，④，…}
【解析】【分析】根据单项式、多项式、二项式的概念，逐个判断即可。
2．如图是一块长方形的花坛，中间的小长方形种植玫瑰，其余部分种植康乃馨，数据如图所示．
（1）求种植玫瑰的面积；
（2）若，，求种植康乃馨的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴种植玫瑰的面积为平方米；
（2）解：∵
，
当，时，
(平方米)，
∴种植康乃馨的面积是62平方米．
【解析】【分析】（1）根据长方形面积即可求出答案.
（2）用大长方形面积减去小长方形面积，结合多项式乘多项式去括号，化简即可求出答案.
（1）解：∵，
∴种植玫瑰的面积为平方米；
（2）解：∵
，
当，时，
(平方米)，
∴种植康乃馨的面积是62平方米．
3．请把下列代数式按要求分类：（填写编号）
①；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩；
单项式：｛ ｝；
多项式：｛ ｝．
【答案】③④⑤⑨；①⑥⑦⑧
【解析】【解答】解：单项式：｛③④⑤⑨｝；
多项式：｛①⑥⑦⑧｝．
故答案为：③④⑤⑨；①⑥⑦⑧.
【分析】表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，据此逐一判断得出答案.
4．三个连续奇数，设中间一个为，求这三个数的和．
【答案】解：三个连续奇数，设中间一个为，则前一个奇数为，后一个奇数为，
这三个数的和为：．
【解析】【分析】 设中间一个为，则前一个奇数为，后一个奇数为， 再求和，结合合并同类项法则即可求出答案.
5．近年来我国的太阳能电池产业发展迅速．某太阳能电池企业的年产值2011年比2010年翻了一番(增加1倍)．预计2011年至2012年，2012年至2013年按平均年增长率60%增长．若2010年的产值为a万元．请估计2011年，2012年，2013年这三年产值的总和为多少万元．
【答案】解：∵ 2010年的产值为a万元 ， 年产值2011年比2010年翻了一番 ，
∴2011年的年产值为2a万元，
∵ 2011年至2012年，2012年至2013年按平均年增长率60%增长 ，
∴2012年的年产值为2a（1+60％）=3.2a万元，2013年的年产值为3.2a（1+60％）=5.12a万元，
∴ 2011年，2012年，2013年这三年产值的总和为2a+3.2a+5.12a=10.32a万元.
【解析】【分析】根据题意用含a的式子分别表示出2011年、2012年、2013年的年产值为，最后再求和即可.
6．某公司在两地分别有同型号的机器17台和15台，现要运往甲地18台，乙地14台．从两地运往甲、乙两地的费用如下表：
甲地(元/台) 乙地(元/台)
地 600 500
地 400 800
（1）如果从地运往甲地台，请完成下表：
运往甲地的台数 运往乙地的台数
地
地
（2）请用含的代数式表示总运费．
【答案】（1）地：；地：，
（2）解：由（1）知总运费为
答：总运费为元．
【解析】【解答】（1）解：根据题意，填表如下：
运往甲地的台数 运往乙地的台数
地
地
【分析】（1）依题意可得，全部要运完，如果从地运往甲地台，则从运往乙地的台数为；从地运往甲地的台数为，地运往乙地的台数为；
（2）由（1）的台数分别乘以对应每台运费，再求和列出代数式化简．
（1）解：根据题意，填表如下：
运往甲地的台数 运往乙地的台数
地
地
（2）解：由（1）知总运费为
答：总运费为元．
7．定义：若a+b=c，则称a与b是关于c的平衡数.例如：因为1+2=3，所以1与2是关于3的平衡数；因为10+(-5)=5，所以10与-5是关于5的平衡数.
（1）-3与-3是关于 的平衡数；7-x与 是关于2的平衡数.
（2）若M=x2-4x+5，N=x2-2(x2-2x+)+1，试判断M与N是不是关于3的平衡数，并说明理由.
【答案】（1）-6；x-5
（2）M与N是关于3的平衡数.理由：
因为M=x2-4x+5，N=x2-2(x2-2x+)+1，
所以M+N
=x2-4x+5+x2-2(x2-2x+)+1
=x2-4x+5+x2-2x2+4x-3+1
=3，
所以M与N是关于3的平衡数.
【解析】【解答】解：
∴-3与-3是关于-6的平衡数，
与x-5是关于2的平衡数，
故答案为：-6；x-5；
【分析】(1)根据题中新定义和有理数的加法运算法则、整式的加减运算法则求解即可；
(2)根据题中新定义和整式的加减运算法则求解即可.
8．写出两个多项式，使它们都有因式 和 ．
【答案】解：由题意可得：
符合题意的多因式有：，． (答案不唯一)
【解析】【分析】根据因式分解的性质即可即可求出答案.
9．先化简，再求值：，其中x＝-1，y＝．
【答案】解：原式
当x＝-1，y＝时，
原式
＝3＋1
＝4
【解析】【分析】先利用整式的混合运算的计算方法化简，再将x、y的值代入计算即可。
10．已知自然数a，b，c 满足 和 求代数式 的值.
【答案】解：由 得((a-2)(a+1)>0，
∵ a为自然数，
∴a>2，即a的最小值为3.
∴ 只有当a=3，b=2，c=6时，该不等式成立.
故原式
【解析】【分析】将 分解得到((a-2)(a+1)>0，由于a为自然数，得到a的最小值为3，由已知条件配方得到利用平方的非负性可得只有当a=3，b=2，c=6时，该不等式成立，由此即可解答.
11．客车上原有(2a-b)人，中途有一半乘客下车，又有若干人上车后，车上共有乘客(8a-5b)人，求中途上车的乘客人数.当a=10，b=8时，上车的乘客有多少人
【答案】解： (8a-5b) - (2a-b)
，
当 a=10，b=8 时，原式=7×10-=34人.
∴上车的乘客有34人
【解析】【分析】原有 人，中途下了一半，所以车上还有 人，又上了若干人后，车上共有乘客( 人. 中途上车的乘客数=车上共有乘客数-车上原有的乘客数的一半，所以中途上车的乘客数是 再把a， b 的值代入求值.
12．一个多项式 小明将A前面的“－”抄成了“＋”，化简结果是 求多项式A.
【答案】解：
.
【解析】【分析】由题意：和减去一个加数等于另一个加数求出多项式A，列式去括号合并即可得到结果.
13．已知am=5，an=3，求a2m+3n．
【答案】解：∵am=5，an=3，
∴a2m+3n
=a2m a3n
=（am）2 （an）3
=52×33
=675
【解析】【分析】先根据同底数幂的乘法进行变形，再根据幂的乘方变形，最后代入求出即可．
14．计算：7ab-3a2b2+7+8ab2+3a2b2-3-7ab．
【答案】解：原式=（7﹣7）ab+（﹣3+3）a2b2+8ab2+（7﹣3）=8ab2+4．
【解析】【分析】利用合并同类项法则计算求解即可。
15．先化简，再求值：（x+y+2）（x+y﹣2）﹣（x+2y）2+3y2，其中x=﹣ ，y= ．
【答案】解：原式=（x2+2xy+y2﹣4）﹣（x2+4xy+4y2）+3y2=x2+2xy+y2﹣4﹣x2﹣4xy﹣4y2+3y2=﹣2xy﹣4，
当x=﹣ ，y= 时，原式= ﹣4=﹣
【解析】【分析】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
16．先化简，再求值： （﹣4 +4x+12xy）﹣（﹣ +x+2xy），其中x＝ ，y＝2022.
【答案】解：∵ （﹣4 +4x+12xy）﹣（﹣ +x+2xy）
=﹣ +x+3xy+ -x-2xy
=xy，
当x＝ ，y＝2022时，
原式=
=1011.
【解析】【分析】先去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项进行化简，然后将x、y的值代入进行计算.
17．已知x＋y=5，xy=2，求的值.
【答案】解：∵x＋y=5，xy=2
∴
=
=
=25－4
=21.
【解析】【分析】根据完全平方公式可得x2+y2=(x+y)2-2xy，然后将已知条件代入进行计算.
18．先化简，再求值： ，其中a = -2 ，b= -3
【答案】解：
=
=
当a = -2 ，b= -3时，原式=
【解析】【分析】利用去括号、合并同类项即可将原式化简，再将a、b值代入计算即可.
19．我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：，请完成下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式： ；
（2）从图3可知，因式分解： ；
（3）结合图4，已知，，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：根据题意，补全图形并求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图：
则可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴
【解析】【解答】（1）解：根据题意，求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图：
则可得：，
故答案为：；
（2）根据题意，求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图：
则可得：，
则，
故答案为：；
【分析】（1）根据图形的构成，求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积即可求解；
（2）根据图形的构成，求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，即可求解；
（3）补全图形，并求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积得出，整体代入即可求解．
（1）解：根据题意，求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图：
则可得：，
故答案为：；
（2）根据题意，求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图：
则可得：，
则，
故答案为：；
（3）根据题意，补全图形并求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图：
则可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴．
20．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出a，b的正确值，并计算a2021 b2020的值．
【答案】解：由题意得：，
解得：，
∴a2021 b2020
＝a a2020 b2020
＝a （ab）2020
．
【解析】【分析】分别把方程组的解代入到没有看错的方程中得到关于a，b的新方程组，解方程组求出，的值，再逆用积的乘方法则计算即可．
21．观察下列各式：.
回答下列问题：
（1）单项式分别为：
（2）多项式分别为：
（3）整式有 个；
（4）-ab的系数为 .
（5）次数最高的多项式为
【答案】（1）﹣ab；
（2）a+b，a2+a﹣1
（3）4
（4）-1
（5）a2+a﹣1
【解析】【解答】解：（1）单项式为： 。
故答案为：；
（2） 多项式分别为：。
故答案为：；
（3）整式有：，共4个.
故答案为：4；
（4） -ab的系数为 ：-1.
故答案为：-1；
（5） 的次数为1次，的次数为2次，
∴次数最高的多项式为：。
故答案为：。
【分析】（1）根据单项式的定义进行识别即可得出答案；
（2）根据多项式的定义进行识别即可得出答案；
（3）根据整式的定义进行识别即可得出答案；
（4）根据单项式的系数的定义可直接得出答案；
（5）根据多项式的次数的定义可分别求得两个多项式的次数，即可得出答案。
22．1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×1010千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？
【答案】解：3.75×105×1×1010＝3.75×1015(千克)．
答：这些镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×1015千克煤放出的热量．
【解析】【分析】根据镭的重量与每千克的镭释放的热量，可得出释放的总热量，列出式子，根据同底数幂的乘积，底数不变，指数不变，可得出结果。
23．两个边长分别为a和b的正方形如图所示放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若在图①中大正方形的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
（1）则 ， ；（用含a，b的代数式表示）
（2）若，求的值；
（3）当两个正方形按图③所示摆放时，若，求出图③中的阴影部分的面积．
【答案】（1），
（2）解：∵，
∴
.
（3）解：由图可得，，
∵，
∴．
【解析】【解答】（1）解：由图可得，，，
故答案为：，。
【分析】（1）结合图形，利用正方形和长方形的面积关系求解即可；
（2）根据（1）所求的结论，将代入计算求解即可；
（3）先求出S3，再根据计算求解即可。
（1）解：由图可得，，，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：由图可得，，
∵，
∴．
24．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：
-3x=x2-5x+1.
（1）求所捂的二次三项式；
（2）若 ，求所捂二次三项式的值；
（3）如果 的整数部分为a，则a2= .
【答案】（1）解：由已知得 .
（2）解：原式=
（3）9
【解析】【分析】（1）根据多项式次数、项数的定义，可求解。
（2）将x的值代入，利用完全平方公式，可求得结果。
（3）根据整数部分为a，可求得a2的值。
25．有一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a(m)，下底宽(a+2b)m，坝高 /2a(m).
（1）求防洪堤坝的横断面面积.
（2）如果防洪堤坝长100m，那么这条防洪堤坝的体积是多少立方米
【答案】（1）解：解：横断面面积=×(a+a+2b）×a
=
=
（2）解： 这条防洪堤坝的体积 =100× =.
【解析】【分析】 （1）根据梯形的面积公式=（上底+下底）×高，即可计算；
（2）根据柱体的体积=横截面面积×高，列代数式计算即可.
26．已知2m=3，2n=5，求24m﹣2n的值．
【答案】解：∵2m=3，2n=5，
∴原式=（2m）4÷（2n）2=34÷52=．
【解析】【分析】先把原式化为（2m）4÷（2n）2，再把2m=3，2n=5代入进行计算即可．
27．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
当，时，原式
【解析】【分析】根据去括号法则"括号前面是“+”号，去掉括号不变号；括号前面是“-”号，去掉括号全变号。"和合并同类项法则"合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变"计算即可代数式化简，再把a、b的值代入化简后的代数式计算即可求解.
28．数学注重逻辑思维，如计算(a5)2 时，若忘记了运算法则，可以借助a ，得到正确答案.计算的结果是 .
【答案】0
【解析】【解答】解：（a3）3-a2.a7=a9-a9=0.
【分析】根据幂的乘方法则可知（a3）3=a9；根据同底数幂相乘的乘法法则可知：a2.a7=a9，所以（a3）3-a2.a7=0.
29．如图， 将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成 9 块， 其中有 2 块是边长为 厘米的大正方形， 2 块是边长都为 厘米的小正方形， 5 块是长为 厘米，宽为 厘米的相同的小长方形，且 ．
（1） 观察图形， 可以发现代数式 可以因式分解为 .
（2）若图中阴影部分的面积为 234 平方厘米， 大长方形纸板的周长为 72 厘米，求图中空白部分的面积．
【答案】（1）
（2）解： 图中阴影部分的面积为 234 平方厘米， 大长方形纸板的周长为 72 厘米．
空白部分的面积为 (平方厘米)．
【解析】【解答】解：（1）观察图形， 可得 ．
【分析】（1）由已知结合图形可以看出，大长方形面积=2块边长为a厘米的大正方形的面积+2 块边长为 b 厘米的小正方形面积+ 5 块长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形的面积。即大长方形面积=2a2+5ab+2b2.同时大长方形面积=大长方形的长×大长方形的宽，大长方形的长为2a+b，宽为a+2b，所以大长方形面积=（2a+b）（a+2b）。所以2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）.
（2）由（1）可知，空白部分是5个小长方形，所以空白部分面积=5个小长方形面积。由已知图中阴影部分的面积为 234 平方厘米， 大长方形纸板的周长为 72 厘米，可以得到2a2+2b2=234，
2（a+2b+2a+b）=72，整理后为a2+b2=117，a+b=12.把a+b=12两边分别平方可得：
（a+b）2=122，展开a2+2ab+b2=144，再把a2+b2=117整体代入，求出ab的值，进而求出5ab的值即为图中空白部分的面积．
30．一个立方体的棱长是a3，这个立方体的体积是多少
【答案】解：这个立方体的体积是.
答：这个立方体的体积为.
【解析】【分析】将该立方体的棱长代入体积计算公式（x为棱长）计算即可.
31．已知A=3a2﹣a+1，B=a2+4a﹣3．若化简A+B+m（m是常数）的结果中没有常数项，求m的值；
【答案】解：∵A=3a2﹣a+1，B=a2+4a﹣3
∴A+B+m=3a2﹣a+1+ a2+4a﹣3+ m=4a2+3a-2+m
∵没有常数项
∴-2+m=0
∴m=2．
【解析】【分析】将A+B+m用含a的代数式运算出来，化简后，使得常数项为0，即可求出m的值．
32．已知关于x的代数式与的乘积中，不含有x的一次项，求m的值.
【答案】解：，
∵乘积中不含x的一次项，
∴，
∴，
即当时，乘积中不含x的一次项.
【解析】【分析】根据多项式与多项式的乘法法则可得(2x+1)(x+m)=2x2+(1+2m)x+m，根据乘积中不含x的一次项可得1+2m=0，求解可得m的值.
33．有这样一道计算题：“计算 的值，其中 .”王聪同学把“ ”错看成“ ”，但计算结果仍正确；许明同学把“ ”错看成“ ”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明.
【答案】解： ，
，
，
，
因为化简结果中不含 ，
所以王聪同学把“ ”错看成“ ”，计算结果仍正确，
因为化简结果中是 ，即 的偶次方，
所以许明同学把“ ”错看成“ ”，计算结果也是正确的.
【解析】【分析】根据去括号法则"括号前面是“+”号，去掉括号不变号；括号前面是“-”号，去掉括号全变号。"和合并同类项法则"合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变"计算即可化简，其结果不含x，而含y的次数是偶次，所以求值的结果与x的取值和y的符号无关.
34．数学活动：
【知识生成】我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到．
【直接应用】（1）已知：，，求的值；
【解决问题】（2）如图2，四边形是长方形，分别以，为边向两边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为54，求长方形的面积；
【知识迁移】（3）若，求的值．
【答案】解：（1），
；
（2）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，
，
，
，
，
；
（3）设，，则，，
．
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式的定义及计算方法可得，再求出ab的值即可；
（2）先求出a+b=8，，再利用完全平方公式求出ab=5，再求出即可；
（3）设，，则，，再求出即可．
35．分解2x4﹣3x3+mx2+7x+n，其中含因式（x+2）和（x﹣1），求m，n．
【答案】解：∵分解2x4﹣3x3+mx2+7x+n，其中含因式（x+2）和（x﹣1），
∴x=1、x=﹣2肯定是关于x的方程2x4﹣3x2+mx2+7x+n=0的两个根，
∴，
解得：．
【解析】【分析】由“多项式2x4﹣3x3+mx2+7x+n含有因式（x﹣1）和（x+2）”得到“x=1、x=﹣2肯定是关于x的方程2x4﹣3x3+mx2+7x+n=0的两个根”，所以将其分别代入该方程列出关于m、n的方程组，通过解方程组来求m、n的值．
36．化简求值：2（2x-3y）-3（3x+2y-1），其中x＝2，y＝-0.5．
【答案】解：原式=4x-6y-9x-6y+3
=-5x-12y+3，
当x=2，y=-0.5时
原式=-5×2-12×0.5+3=-10-6+3=-1.
【解析】【分析】先去括号（去括号注意：括号前的数要与括号里的每一项相乘，不能漏乘；括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号），再合并同类项（同类项才能合并），然后将x、y的值代入化简后的代数式求值即可.
37．如图是某居民小区的一块长为b米，宽为2a米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形的四个顶点处修建一个半径为a米的扇形花台，然后在花台内种花，其余种草。如果建造花台及种花费用每平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50元，那么美化这块空地共需资金多少元？
【答案】解：花台面积为π a2平方米，草地面积为2ab-πa2平方米
100πa2 + 50(2ab-πa2)= 50πa2+100ab (元)
答：美化这块空地共需资金(50πa2 + 100ab)元。
【解析】【分析】 根据4个扇形花台拼起来刚好围成一个完整的圆， 得出花台面积为πa2平方米，所需资金为100πa2元，根据草地面积=长方形的面积-花台面积，得出草地面积为（2ab-πa2）平方米，所需资金为50（2ab-πa2）元，再根据共需资金=花台所需资金+草地所需资金列出式子进行化简，即可得出答案.
38．已知，，求代数式的值.
【答案】解：∵
，
又∵，，
∴原式
【解析】【分析】根据去括号、合并同类项法则可将待求式变形为5ab-6(a+b)，然后将a+b=-4、ab=3代入计算即可.
39．如果两个关于、的单项式与是同类项（其中）．
（1）求的值；
（2）如果这两个单项式的和为零，求的值．
【答案】（1）解：由同类项的定义可得：，
解得：；
（2）解：两个单项式的和为零，
，
，即，
．
【解析】【分析】
（1）根据同类项的定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可列关于a的方程，解方程即可求解；
（2）根据题意可得两个单项式的系数互为相反数且两个单项式是同类项，然后根据合并同类项的法则把系数相加可得关于m、n的等式，然后代入计算即可求解．
（1）解：由同类项的定义可得：，
解得：；
（2）解：两个单项式的和为零，
，
，即，
．
40．先简化，再求值： ，其中 ，
【答案】解：原式
当 ， ，
原式
【解析】【分析】根据去括号法则先将多项式去括号，然后合并同列项进行化简，最后代入求值即可.
41．王琦同学在自习课准备完成以下题目：化简(□x2-6X+5) - (-6X+8x2-2)，发现系数“□”印刷不清楚，
（1）他把“□”猜成2，请你化简(2x2-6X+5) - (-6X+8x2-2)
（2）老师见到说：“你猜错了，我看到该题正确答案是常数”，请你通过计算说明原题中“□”是多少？
【答案】（1）解：-6x +7
（2）解：8
【解析】【解答】解：
（1） (2x2-6X+5) - (-6X+8x2-2)
＝2x2-6X+5+6X-8x2+2
＝-6x2+7
故答案为：-6x2+7
（2）设“□”为a，则有：
(ax2-6X+5) - (-6X+8x2-2)
＝ax2-6X+5+6X-8x2+2
＝(a-8)x2+7
∵结果为常数，∴a-8=0，∴a=8
即“□”为8，
故答案为：8
【分析】
（1）先去括号，再合并同类项即可。注意去括号时符号的变化；
（2）先去括号，再合并同类项，因为结果为常数，所以字母的系数一定为0，由此可求出a.
42．观察下列等式：
第1个等式：12＝13；
第2个等式：（1+2）2＝13+23；
第3个等式：（1+2+3）2＝13+23+33；
第4个等式：（1+2+3+4）2＝13+23+33+43
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出第n（n为正整数）个等式： （用含n的等式表示）；
（3）利用你发现的规律求113+123+133+…+1003值．
【答案】解：（1）；
（2）；
（3） ，
．
【解析】【分析】（1）根据题设中的算式，结合算式的计算规律，可直接写出第5个等式，得到答案．
（2）利用题设中给定算式的，总结出规律：从1开始连续几个整数的和的平方等于这些数的立方的和”，进而写出第n（n为正整数）个等式，得到答案．
（3）根据题意，化简得到，结合（2）中总结的规律，得到算式，即可求出结果．
43．用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如
图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，请求出其阴影部分的面积为多少．
【答案】解：设矩形的长为a，宽为b，根据图①得：（a-b）2=12，根据图②得：（a-2b）2=8，
∴，解得，
由图③知阴影部分面积=（a-3b）2=（4-2-+）2=（-2+4）2=44-16。
【解析】【分析】根据图中面积关系可列出关于a、b的代数式，并分别求出a、b，代入后即可计算。
44．问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或 a2+2ab+b2
∴（a+b）2 =a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
①请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23=32？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23=（1+2）2=32
尝试解决：
②请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33= ▲ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
问题拓广：
③请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3= ▲ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
【答案】①解：∵如图，左图的阴影部分的面积是a2﹣b2，
右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
这就验证了平方差公式；
②62；
③[ n（n+1）]2
【解析】【解答】解：②如图，
A表示1个1×1的正方形，即1×1×1=13；
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23；
G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3=33；
而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，
由此可得：13+23+33=（1+2+3）2=62；
故答案为：62；
③由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，
又∵1+2+3+…+n= n（n+1），
∴13+23+33+…+n3=[ n（n+1）]2．
故答案为：[ n（n+1）]2．
【分析】①从大正方形减去小正方形，阴影部分为a2﹣b2，第二个图阴影部分的面积为（a+b）（a-b），可以推证平方差公式。
②如图，A表示面积为1×1的正方形，B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，表示出总和即等于大正方形的面积即62。
③由②的推断可知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+4+...+n）2，然后化简求出结果即可。
45．分解因式：x4+4．（提示：可通过添项，将多项式配成一个完全平方式，再进行分解）
【答案】解：原式=x4+4+4x2﹣4x2
=x4+4x2+4﹣4x2
=（x2+2）2﹣4x2
=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
【解析】【分析】首先添项，利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出即可．
46．如图1，长方形ABCD的边长分别为a，b，请观察图形，解答下列问题：
（1）若用四个完全相同的长方形ABCD拼成如图2所示的正方形，请写出代数式(a+b)2，(a-b)2，ab之间的等量关系：
（2）根据(1)中的等量关系解决问题：若x+y=7，xy=6，求x-y的值.
（3）若以长方形ABCD的各边为一边向外作正方形(如图3)，且四个正方形的周长之和为32，四个正方形的面积之和为20，求长方形ABCD的面积.
【答案】（1）(a+b)2=(a-b)2+4ab
（2）解：∵，
∴
（3）解：∵长方形ABCD的边长分别为a，b，且四个正方形的周长之和为32， 四个正方形的面积之和为20，
∴
∴
∴长方形ABCD的面积为3.
【解析】【解答】解：（1）由题意得：，
故答案为：；
【分析】（1）利用含a和b的式子分别表示各部分的面积，进而即可求解；
（2）根据（1）中的式子，即可求解；
（3）根据题意得到进而利用完全平方公式得到即可求解.
47．为创建文明校园环境，高校长制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图所示的板材裁剪而成，其为一个长为，宽为的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图所示的一个大正方形．
（1）用两种不同方法表示图中小正方形阴影部分面积：
方法一： ；
方法二： ；
（2），，这三个代数式之间的等量关系为 ；
（3）根据题中的等量关系，解决如下问题：
已知：，，求：的值；
已知：，求：的值．
【答案】（1）；
（2）
（3），，
，
；
．
【解析】【解答】解：（1）小正方形的面积=边长×边长=（m-n）×（m-n）=（m-n）2；小正方形的面积=大正方形的面积-4×小长方形的面积=；
故答案为：；；
（2）根据小正方形的面积相等可得：，
故答案为：.
【分析】（1）利用不同的表达式表示出小正方形的面积即可；
（2）根据小正方形的面积相等列出等式即可；
（3）①将代数式变形为，再将数据代入求解即可；
②将代数式变形为，再将数据代入求解即可.
48．已知正整数a，b（a≠b）满足a2-b2=220-2a，求a+b的值．
【答案】解：
或
且都是正整数
解得
【解析】【分析】利用移项和添项法可构造平方差公式得到两个正整数的积为221，由于221可能分解成1与221或13与17的乘积，此时可联立得到关于的二元一次方程组，但已知正整数，因此可保留一个方程组，再解方程组即可.
49．如图，有足够多的完全相同的小长方形（图1）和一个大长方形纸片．小长方形两邻边的长分别记为a，b，把小长方形纸片不重叠的摆放在大长方形上，阴影是小长方形没有覆盖的部分，分别记为，．
（1）如图2，若，，，直接写出的面积________，的面积________；
（2）如图2，当，时，直接写出和的周长和是________；
（3）如图3，若大长方形分割为6个小正方形，且中间的最小正方形的边长是2，分别求大长方形的两邻边AB，AC的长．
【答案】（1）40；10
（2）60
（3）解：如图，，
设，，
，，
，
∵，
∴，
解得，
∴，
．
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴；
；
故答案为：40；10；
（2）解：如图，
和的周长和是
∵，，，，
∴
故答案为：60；
【分析】（1）根据图形，利用矩形面积公式即可求解；
（2）由题意得出，，，，根据矩形周长公式列式计算即可求解；
（3）设，用m分别表示各正方形的边长，列式计算即可求解．
（1）解：∵，，，
∴；
；
故答案为：40；10；
（2）解：如图，
和的周长和是
∵，，，，
∴
故答案为：60；
（3）解：如图，，
设，，
，，
，
∵，
∴，
解得，
∴，
．
50．计算：（a－b）2m-1·（b－a）2m·（a－b）2m+1，其中m为正整数．
【答案】 因为m为正整数，所以2m为正偶数，
则
因为m为正整数，所以2m-1，2m+1都是正奇数，
则
【解析】【分析】根据整式的运算性质，结合（a-b）以及（b-a）的符号关系，分别进行讨论，得到答案即可。
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