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【填空题强化训练·50道必刷题】上海市数学九年级上册期中试卷
1．如图，若点 的坐标为 ，则 = .
2．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，则sinA= .
3．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离BC为4米，cos∠ABC= ，则梯子AB的长是
4．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是 （保留根号）．
5．如图，在△ABC中，若DE∥BC， = ，DE=4，则BC的长是 ．
6．如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△ADE：S△COE= ．
7．如图，已知在梯形中，，分别交边、于点、，如果，，，那么的长 ．
8．△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转a度(0°＜a＜180°)得到△DCE，点A与点D对应，点B与点E对应，当点D落在△ABC的边上时，则BD的长
9．如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为知30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为 米（结果保留根号）．
10．在ΔABC中，若AB= ，AC=4，∠B=30°，则 = .
11．在Rt△ABC中，∠C = 90°， ， ，那么BC = ．
12．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=4，则GH的长为 ．
13．如图，是洞孔成像原理的示意图，物体平行物像，根据图中标注的尺寸，如果物体长，那么物像的长度是 ．
14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③ ；④ .正确序号是 .
15．线段AB长10cm，点P在线段AB上，且满足=，那么AP的长为 cm．
16．如图所示，∠EOF 的顶点O 是边长为2的等边三角形ABC的重心， 的两边与 的边交于E，F，∠EOF=120°，则∠EOF 与 的边所围的阴影部分的面积是 .
17．已知，CD是△ABC的高，且∠BCD＝∠CAD，若CD＝ ，AC＝ ，则AB的长为 。
18．计算：tan30°sin60°+cos 30°-sin 45°tan45°= ．
19．如图，在 中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边，于点，若直线将 的面积平分，则线段的长为 ．
20．如图，在△ABC 中，点D，E分别在边AB， BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC=
21．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度为 米．（结果保留根号）
22．已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β= ．
23．如图，已知⊙O的直径AB=3cm，C为⊙O上的一点，sinA= ，则BC= cm．
24．如图，E是的边BA延长线上一点，CE与AD相交于点F，，，，那么 ．
25．将放置在的正方形网格中，顶点在格点上．则的值为 ．
26．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习.如图，滑雪轨道由AB、BC两部分组成，AB、BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角 为30°，BC与水平面的夹角 为45°，则他下降的高度为 米（结果保留根号）.
27．已知点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=，则以PA为边长的正方形的面积是
28．如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足为点E.若CD=5，则AD的长是 .
29．如图所示， 是放置在正方形网格中的一个角，则 的值是 .
30．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线， ，垂足为E，连CE，若 ，则 ．
31．如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米．
32．在梯形中，，对角线与相交于点，如果、 的面积分别是1cm2、4cm2，那么梯形的面积等于 cm2．
33．如果线段a、b满足，那么的值等于 ．
34．一个铝质三角形框架的三条边长分别为，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边，则截法有 种.
35．如图，△ABC中，D是AC上一点，∠CBD=∠A， ，则 的值是 。
36．若某人沿坡度ⅰ=3：4的坡度前进10m，则他所在的位置比原来的位置升高 m．
37．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果=m，=n．那么m与n满足的关系式是：m= （用含n的代数式表示m）．
38．在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，AC=8，BC=6，点D、E分别在AC、AB上，且△ADE是直角三角形，△BDE是等腰三角形，则BE= .
39．如图，河坝的横断面AB的坡比是1：2，坝高BC=3米，则坡面AB的长度是 米.
40．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=3，则sinA的值是 .
41．在Rt△ABC中，，sinA=，则cosB的值等于
42．如图，某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户高为1.5米，表示直角遮阳棚，墙长度为0.5米，此地一年的正午时刻，太阳光与地面的最大夹角为，测得，要使太阳光刚好不射入室内，遮阳棚水平宽应设计为 米．
43．如图，在矩形ABCD中， ，点E在AD边上，且 ，动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作 ，交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为 .
44． 如图，在矩形中，，，点E是边上一点，，分别在边上取点M，N，将矩形沿直线翻折，使得点B的对应点恰好落在射线上，点A的对应点是，那么折痕的长为 ；连接，线段的最小值为 ．
45．如图，正方形ABCD中，AB=4，E为边BC的中点，点F在AE上，过点F作MN⊥AE，分别交边AB、DC于点M、N，联结FC，如果△FNC是以CN为底边的等腰三角形，那么FC= ．
46．如图，在矩形ABCD和矩形AEGH中，AD∶AB=AH∶AE=1∶2.则DH∶CG∶BE= .
47．如图，已知△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，BD平分∠ABC，将△ABC绕着点A旋转后，点B、C的对应点分别记为B1、C1，如果点B1，落在射线BD上，那么CC1的长度为 ．
48．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点E，若BE＝3DE，则BD＝ ．
49．如图，在矩形中，点是线段上的一点，，将沿翻折，得到，若，，则点到的距离为 ．
50．如图，在边长为7的等边△ABC中，D、E分别在边AC、BC上，AD＝2CD，CE＝2BE，连结AE、BD交于点P，则CP的长为 ．
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【填空题强化训练·50道必刷题】上海市数学九年级上册期中试卷
1．如图，若点 的坐标为 ，则 = .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
由勾股定理，得：OA= =2．sin∠1= .
故答案为： ．
【分析】主要考查对锐角三角函数的定义考点的理解.首先要知道sin∠1=.然后根据A的坐标为 ( 1 ， 3 )应用勾股定理求出斜边OA.
2．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，则sinA= .
【答案】
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴AC=BC，
由勾股定理得AB=，
则sinA=，
故答案为：
【分析】等腰直角三角形的两腰相等，且顶角为直角，从而根据勾股定理可得AB=，由正弦函数的定义可求得sinA的值。
3．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离BC为4米，cos∠ABC= ，则梯子AB的长是
【答案】米
【解析】【解答】解：∵ ∠C=90°，BC=4米， cos∠ABC=
∴ cos∠ABC=
∴ AB=米
【分析】本题考查锐角三角函数的应用及定义，根据其定义可得cos∠ABC= ，可知AB.
4．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是 （保留根号）．
【答案】
【解析】【解答】解： P为的黄金分割点，
，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割的定义即可求出答案.
5．如图，在△ABC中，若DE∥BC， = ，DE=4，则BC的长是 ．
【答案】10cm
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，
又∵ = ，
∴ = ，
∴ = ，
∴BC=10cm．
故答案为：10cm
【分析】利用平行线分线段成比例，的长对应线段成比例，结合已知可求出BC的长。
6．如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△ADE：S△COE= ．
【答案】2：1
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，
∴DE为中位线，
∴DE∥BC，DE= BC，
∴△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，
∴S△ADE：S△ABC=1：4，S△DOE：S△COB=1：4，
∵OD：OC=1：2，
∴S△DOE：S△COE=1：2，S△DOB：S△COB=1：2，
∴S△COE= S四边形DBCE，
则S△ADE：S△COE=2：1．
故答案为：2：1
【分析】根据题意得出DE为中位线，由中位线得性质得出DE∥BC，DE= BC，由相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，根据相似三角形的性质得出S△ADE：S△ABC=1：4，S△DOE：S△COB=1：4，故OD：OC=1：2，S△DOE：S△COE=1：2，S△DOB：S△COB=1：2，从而得出结论则S△ADE：S△COE=2：1．
7．如图，已知在梯形中，，分别交边、于点、，如果，，，那么的长 ．
【答案】4
【解析】【解答】过点A作AF∥DC交MN于点E，交BC于点F，如图，
四边形AEND是平行四边形，四边形AFCD是平行四边形，
AD=EN=2，AD=FC=2，
BC=7，
BF=5，
ME∥BF，
，
ME=2，
MN=4.
【分析】过点A作AF∥DC交MN于点E，交BC于点F，可得到四边形AEND是平行四边形，四边形AFCD是平行四边形，进一步求出EN、FC的值，求出BF的值，再利用相似三角形的性质求出ME的值，从而求解.
8．△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转a度(0°＜a＜180°)得到△DCE，点A与点D对应，点B与点E对应，当点D落在△ABC的边上时，则BD的长
【答案】 或1
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝ ＝ ＝5，
如图1，当点D落在AB边上时，
过点C作CH⊥AB于H，
由旋转知，AC＝CD＝3，
∴AH＝DH，
∵∠A＝∠A，∠AHC＝∠ACB＝90°，
∴△ACH∽△ABC，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴AH＝ ，
∴AD＝2AH＝ ，
∴DB＝AB﹣AD＝5﹣ ＝ ；
如图2，当点D落在BC边上时，
由旋转知，AC＝CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝4﹣3＝1；
故答案为： 或1．
【分析】根据题意画出图形，分点D在AB边上和BC边上两种情况讨论，当点D落在AB边上时，过点C作CH⊥AB于H，证△ACH∽△ABC，求出AD的长，可进一步求出BD的长；当点D落在BC边上时，由旋转知，AC＝CD＝3，所以BD＝BC﹣CD＝1．
9．如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为知30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为 米（结果保留根号）．
【答案】100+100
【解析】【解答】解： ∵∠MCA=45°，∠NCB=30°，
∴∠ACD=45°，∠DCB=60°，∠B=30°，
∵CD=100米，
∴AD=CD=100米，DB= 米，
∴AB=AD+DB=100+100 （米），
故答案为：100+100
【分析】利用平行线的性质可得∠A=45°，∠B=30°，从而可求出CD、AD的值，再由三角函数求出BD的值，即可求出AB的值.
10．在ΔABC中，若AB= ，AC=4，∠B=30°，则 = .
【答案】 或
【解析】【解答】分两种情况进行讨论：
①如图，作 于 ，
②作 于 ，
故答案为： 或 .
【分析】分类讨论，利用勾股定理以及三角形的面积公式可求解。
11．在Rt△ABC中，∠C = 90°， ， ，那么BC = ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，
∴可设BC＝a，AC＝3a，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴a2+（3a）2＝40，
解得a＝2，
∴BC＝2，
故答案为：2．
【分析】如图，由Rt△ABC中，tanA＝ ，可设BC＝a，AC＝3a，利用勾股定理可得BC2+AC2＝AB2，即得a2+（3a）2＝40，求出a值即可.
12．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=4，则GH的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵AB∥CH∥CD，
∴ ， ，
∴ + = + =1，
∵AB=2，CD=4，
∴ + =1，
解得：GH= ；
故答案为： ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到对应线段成比例，再代入求值即可得到GH的长.
13．如图，是洞孔成像原理的示意图，物体平行物像，根据图中标注的尺寸，如果物体长，那么物像的长度是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
由题意得，AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴
∵AB＝8，∴CD＝
故答案为：
【分析】易知△AOB∽△COD，根据对应高的比等于相似比例求出CD即可。
14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③ ；④ .正确序号是 .
【答案】①②③
【解析】【解答】解： ， 分别是正方形 边 ， 的中点，
，
在 和 中，
，
，
， ，故①正确；
又 ，
，
，
，故②正确；
根据题意得， ， ，
，
，
，
，
令 ，则
在 中，设 ，
，
，
，故③正确；
， ，
，
， ，
，
的面积： 的面积 ，
，故④说法错误，不符合题意，
故答案为：①②③.
【分析】①先用边角边证明△ABE≌△BCF，即可求解；
②由①的全等三角形并结合角的关系求得∠BGE＝90°，即可求得AE⊥BF；
③由题意可设PF=k(k＞0)，PB =2k，在Rt△BPQ中，设QB=x，用勾股定理可得x与k之间的关系式，整理可将x用含k的代数式表示，于是根据正弦的定义即可求解；
④根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证△BGE∽△BCF，根据相似三角形的性质即可求解．
15．线段AB长10cm，点P在线段AB上，且满足=，那么AP的长为 cm．
【答案】 5﹣5
【解析】【解答】解：设AP=x，则BP=10﹣x，
∵=，
∴，
∴x1=5﹣5，x2=﹣5﹣5（不合题意，舍去），
∴AP的长为（5﹣5）cm．
故答案为：5﹣5．
【分析】设AP=x，根据线段AB长10cm，得出BP=10﹣x，再根据=，求出x的值即可得出答案．
16．如图所示，∠EOF 的顶点O 是边长为2的等边三角形ABC的重心， 的两边与 的边交于E，F，∠EOF=120°，则∠EOF 与 的边所围的阴影部分的面积是 .
【答案】
【解析】【解答】解：连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O为等边△ABC的重心，
∴∠OBC＝∠OBA＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBA＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴OB＝OC，∠BOC＝120°．
∵ON⊥BC，BC＝2，
∴BN＝NC＝1，
∴ON＝tan∠OBN BN＝，
∴S△OBC＝BC ON＝．
∵∠EOF＝∠BOC＝120°，
∴∠EOF ∠BOF＝∠BOC ∠BOF，即∠EOB＝∠FOC．
在△EOB和△FOC中，
，
∴△EOB≌△FOC（ASA），
∴S阴影＝S△OBC＝
故答案为：.
【分析】连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，又等边三角形和重心的性质可推知BN＝NC＝1，解直角三角形可求出S△OBC，利用ASA证明△EOB≌△FOC（ASA），可得结论．
17．已知，CD是△ABC的高，且∠BCD＝∠CAD，若CD＝ ，AC＝ ，则AB的长为 。
【答案】1或7
【解析】【解答】解： CD是△ABC的高，
即： 解得：
或
故答案为：1或7.
【分析】在直角三角形ACD中，由题意用勾股定理可求得AD的长，由有两个角对应相等的两个三角形相似可得△BCD∽△CAD，于是可得比例式：，由已知条件可求出BD的长，由题意高CD可在三级形的内部、也可在三角形的外部，所以AB的长有两种情况：AB=AD+BD或AB=AD BD。
18．计算：tan30°sin60°+cos 30°-sin 45°tan45°= ．
【答案】
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】把三角函数值代入即可求得.
19．如图，在 中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边，于点，若直线将 的面积平分，则线段的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接AC，交MN于点O，
∵直线l将平行四边形ABCD的面积平分，AC为对角线，
∴点O为AC的中点，
∴OA=OC，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠NAO=∠MCO，
在△AON和△COM中
∴△AON≌△COM（ASA），
∴AN=MC，
∵AB∥CD，
∴△DEM∽△ANE，
∴
∴即
解之：.
故答案为：.
【分析】连接AC，交MN于点O，利用已知可证得OA=OC，利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得∠NAO=∠MCO，利用ASA证明△AON≌△COM，利用全等三角形的性质可证得AN=MC；再证明△DEM∽△ANE，利用相似三角形的对应边成比例可得到关于MC的方程，解方程求出MC的长.
20．如图，在△ABC 中，点D，E分别在边AB， BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC=
【答案】
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴，
∴，
∴EC=.
故答案为：.
【分析】根据平行线分线段成比例得出，代入数值进行计算，即可得出EC的长.
21．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度为 米．（结果保留根号）
【答案】30+10
【解析】【解答】解：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，
设CK=HB=x，
∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，
∴∠CAK=∠ACK=45°，
∴AK=CK=x，BK=HC=AK﹣AB=x﹣30，
∴HD=x﹣30+10=x﹣20，
在Rt△BHD中，∵∠BHD=30°，∠HBD=30°，
∴tan30°= ，∴ = ，解得x=30+10 ．
∴河的宽度为（30+10 ）米．
【分析】如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，设CK=HB=x，根据tan30°= 列出方程即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型．
22．已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β= ．
【答案】75°
【解析】【解答】解：∵|sinα﹣|+=0，
∴sinα=，tanβ=1，
∴α=30°，β=45°，
则α+β=30°+45°=75°．
故答案为：75°．
【分析】根据非负数的性质求出sinα、tanβ的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数．
23．如图，已知⊙O的直径AB=3cm，C为⊙O上的一点，sinA= ，则BC= cm．
【答案】
【解析】【解答】∵AB为⊙O的直径，∴∠C=90°，∵sinA= ，∴ ，又AB=3cm，∴BC= cm．
【分析】灵活运用圆周角的性质及锐角三角函数进行计算即可。
24．如图，E是的边BA延长线上一点，CE与AD相交于点F，，，，那么 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴△EAF∽△EBC，
∴，
∵，，，
∴BE=3，
∴，
∴AF=1．
故答案为：1．
【分析】根据平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，即可得出AF的值。
25．将放置在的正方形网格中，顶点在格点上．则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接BC，如图，
在△ABD和△BCE中，
△ABD≌△BCE（SAS），
∴AB=BC，∠CBE=∠BAD，
∵∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
即∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∴sin∠BAC=.
故答案为：.
【分析】证明△ABD≌△BCE（SAS），从而得△ABC是等腰直角三角形，所以得到∠BAC=45°，最后即可求解.
26．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习.如图，滑雪轨道由AB、BC两部分组成，AB、BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角 为30°，BC与水平面的夹角 为45°，则他下降的高度为 米（结果保留根号）.
【答案】
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BM于点E，BF⊥CN于点F，
∵ 为30°， 为45°，AB＝BC＝200米，
∴在直角三角形ABE中，有sin30°＝
∴AE＝AB sin30°＝100（米），
同理在直角三角形BCF中，有sin45°＝ ， 即BF＝BC sin45°＝ （米），
所以他下降的高度为：AE＋BF＝ 米.
故答案为： .
【分析】过点A作AE⊥BM于点E，BF⊥CN于点F，利用解直角三角形求出AE，BF的长，然后求出AE+BF的值.
27．已知点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=，则以PA为边长的正方形的面积是
【答案】4
【解析】【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，
∴PA＝AB，
∵AB=+1，
∴PA＝2，
∴以PA为边的正方形面积=2×2=4.
故答案为：4．
【分析】根据黄金分割的定义可知PA为较长线段时，PA＝AB，求得PA长，再根据正方形面积计算即可.
28．如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足为点E.若CD=5，则AD的长是 .
【答案】5
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，
∴∠C=∠B=45°，
∴，
∵∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，
∴AD=DE=5.
故答案为：5.
【分析】根据等腰三角形求出∠C=45°，求出DE，根据角平分线性质得出AD=DE，即可求出答案.
29．如图所示， 是放置在正方形网格中的一个角，则 的值是 .
【答案】
【解析】【解答】连接AB如图所示：
设小正方形的边长为1，
∴ = =10， ， ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
故答案为： .
【分析】由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB，设小正方形的边长为1，可以求出OA、OB、AB的长度，由勾股定理的逆定理可得 是直角三角形，再根据三角函数的定义可以求出答案.
30．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线， ，垂足为E，连CE，若 ，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过 作 于
设
矩形
矩形
矩形
故答案为：
【分析】过 作 于 设 结合图形性质，分别求解 再证明 可得 再求解 再利用正切的含义可得答案．
31．如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米．
【答案】6
【解析】【解答】解：设甲的影长是x米，
∵BC⊥AC，ED⊥AC，
∴ED∥BC
∴△ADE∽△ACB，
∴ = ，
∵CD=1m，BC=1.8m，DE=1.5m，
∴ = ，
解得：x=6．
所以甲的影长是6米．
【分析】将实际问题转化为数学问题，由已知易证明ED∥BC，从而得到△ADE∽△ACB，再根据相似三角形的性质对应边成比例，建立方程，解方程即可求解。
32．在梯形中，，对角线与相交于点，如果、 的面积分别是1cm2、4cm2，那么梯形的面积等于 cm2．
【答案】9
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴△OAD∽△COB，
∴，
∴AO：CO=DO：BO=1：2，
∴，
∴，
同理求出
，
故答案为：9．
【分析】先求出AO：CO=DO：BO=1：2，再求出，最后求解即可。
33．如果线段a、b满足，那么的值等于 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
将代入，得
故答案为：
【分析】根据可得，再将其代入计算即可。
34．一个铝质三角形框架的三条边长分别为，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边，则截法有 种.
【答案】1
【解析】【解答】解：∵两根铝材的长分别为27cm与45cm，
若45cm为一边时，则另两边的和最大为27cm，27＜45，不能构成三角形，
∴必须以27cm为边，45cm的铝材裁出另外两边，
设另外两边的长分别为x、y，
①若27cm与24cm为对应边，则，
解得x=33.75，y=40.5，
∵x+y=33.75+40.5＞45，故此种情况不成立；
②当27cm与36cm为对应边，则，
解得x=18，y=22.5，
∵18+22.5＜45，故此种情况成立；
③当27cm与30cm为对应边，则，
解得x=21.6，y=32.4，
∵21.6+32.4＞45，故此种情况不成立，
综上满足条件的剪裁方法只有1种.
故答案为：1.
【分析】先判断出两根铝材哪根为边，需截哪根，再根据相似三角形的对应边成比例求出另外两边的长，由另外两边的长的和与另一根铝材相比较即可.
35．如图，△ABC中，D是AC上一点，∠CBD=∠A， ，则 的值是 。
【答案】
【解析】【解答】解：∵ ∠CBD=∠A，∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴，
设CD=2x，BC=3x，
∴AC=4.5x，
∴AD=2.5x，
∴.
故答案为：.
【分析】先证出△CBD∽△CAB，得出，设CD=2x，BC=3x，得出AD=2.5x，即可求出的值.
36．若某人沿坡度ⅰ=3：4的坡度前进10m，则他所在的位置比原来的位置升高 m．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵坡度ⅰ=3：4，
∴此人行进的垂直距离：水平距离=3：4．
∵此人行进的垂直距离：坡长（此人沿坡行进的距离）=3：5．
∵坡长为10m，
∴此人行进的垂直距离为6m．
∴他所在的位置比原来的位置升高6m．
【分析】利用垂直距离：水平宽度得到垂直距离与斜坡的比，把相应的数值代入计算即可．
37．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果=m，=n．那么m与n满足的关系式是：m= （用含n的代数式表示m）．
【答案】2n+1
【解析】【解答】解：作DH⊥AC于H，如图，
∵线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处，
∴DE=DC，
∴EH=CH，
∵=n，即AE=nEC，
∴AE=2nEH=2nCH，
∵∠C=90°，
∴DH∥BC，
∴= ，即m= =2n+1．
故答案为：2n+1．
【分析】作DH⊥AC于H，如图，根据旋转的性质得DE=DC，则利用等腰三角形的性质得EH=CH，由=n可得AE=2nEH=2nCH，再根据平行线分线段成比例，由DH∥BC得到= ，所以m= ，然后用等线段代换后约分即可．
38．在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，AC=8，BC=6，点D、E分别在AC、AB上，且△ADE是直角三角形，△BDE是等腰三角形，则BE= .
【答案】
【解析】【解答】解：设 ， 是直角三角形，当 时，如图，
∵ ，
∴等腰三角形 中， ，
∵ ，
∴ ∥ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，即 ，
当 时，如图，
∵ ，
∴等腰三角形 中， ，
∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： 或 .
【分析】设 ， 是直角三角形，由于题中没有明确的告知谁是直角，故需要分类讨论：①当 时，如图，根据三角形外角的定理判断出∠DEB是一个钝角，故等腰三角形 中， ，然后判断出 ∽ ，根据相似三角形的对应边成比例得出，在中，利用勾股定理算出AB的长，然后根据比例式算出x的值，得出答案；②当 时，如图，根据邻补角的定义得出，故等腰三角形 中， ，然后判断出 ∽ ，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式即可求出BE的长，综上所述即可得出答案。
39．如图，河坝的横断面AB的坡比是1：2，坝高BC=3米，则坡面AB的长度是 米.
【答案】
【解析】【解答】解： ∵坡比是1：2，
∴AC=2BC=6米，
∴AB===3.
故答案为：3.
【分析】先根据坡比的定义求出AC长，然后根据勾股定理求AB长即可.
40．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=3，则sinA的值是 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图：
在Rt△ABC中：sinA=
∵AB=4，BC=3
∴sinA=
故本题答案为： .
【分析】画出图形，直接利用正弦函数的定义进行求解即可.
41．在Rt△ABC中，，sinA=，则cosB的值等于
【答案】
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴cosB=sinA，
∵sinA=，
∴cosB=．
故答案为：．
【分析】根据互余两角的三角函数关系进行解答．
42．如图，某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户高为1.5米，表示直角遮阳棚，墙长度为0.5米，此地一年的正午时刻，太阳光与地面的最大夹角为，测得，要使太阳光刚好不射入室内，遮阳棚水平宽应设计为 米．
【答案】1.2
【解析】【解答】解：如图，过点作地面的平行线，过点作，
太阳光与地面的最大夹角为，
，
垂直于地面，
，
，，
四边形是矩形，
，，
米，米，
（米，
米，
，
，即，
解得（米，
遮阳棚水平宽应设计为1.2米．
故答案为：1.2．
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意可知当太阳光线恰好与平行时，此时太阳光刚好不射入室内，过点作地面的平行线，过点作，根据题意先证明四边形是矩形，利用线段的运算求出米，再根据直角三角形的正切函数可得，代入数据可求出的长．
43．如图，在矩形ABCD中， ，点E在AD边上，且 ，动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作 ，交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示：过点M作 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段，
当P与A重合时， ，
当P与B重合时，
， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ 是 的中位线，
∴ .
故答案为：9.
【分析】过点M作 ，证明 ，得到MG=MH，从而可知：点M的轨迹是一条平行于BC的线段，然后证明 ，求得 ，最后根据三角形中位线定理可得答案.
44． 如图，在矩形中，，，点E是边上一点，，分别在边上取点M，N，将矩形沿直线翻折，使得点B的对应点恰好落在射线上，点A的对应点是，那么折痕的长为 ；连接，线段的最小值为 ．
【答案】；
【解析】【解答】过M作MF⊥BC于点F，如图，
可得MF=AB=9，
在中，
由折叠性质可得，MN⊥，
连接并延长，交CD的延长线于H，过点C作CG⊥AH于G，如图，
根据折叠的性质可得
四边形ABEH是平行四边形，
CH=CE+EH=4+9=13，
又
线段的最小值为
故答案为： ； .
【分析】过M作MF⊥BC于点F，证明利用相似三角形的性质即可求得MN的长；连接并延长，交CD的延长线于H，过点C作CG⊥AH于G，利用相似三角形的性质即可求得CG的长，再根据即可求解线段的最小值.
45．如图，正方形ABCD中，AB=4，E为边BC的中点，点F在AE上，过点F作MN⊥AE，分别交边AB、DC于点M、N，联结FC，如果△FNC是以CN为底边的等腰三角形，那么FC= ．
【答案】
【解析】【解答】解：延长AE，DC交于点A′，过点F作FH⊥CD于H，
∵ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，AB∥CD，
∴∠1=∠A′．
在△ABE和△A′CE中，
．
∴△ABE≌△A′CE（AAS）．
∴AB=A′C=4．
∵E为边BC的中点，
∴BE=EC= BC=2．
∴AE= ．
∴sin∠1= ．
∴sin∠A′= ．
∵AE⊥MN，
∴∠A′FN=90°．
∴∠A′+∠2=90°．
∴cos∠2=sin∠A′= ．
∵FN=FC，FH⊥CN，
∴NH=CH= CN．
设NH=x，则NC=2x．
∴A′N=A′C+NC=4+2x．
在Rt△FHN中， ，
∴FN= x．
在Rt△A′FN中，cos∠2= ，
∴ ．
∴x= ．
∴FC=FN= x= ．
故答案为： ．
【分析】延长AE，DC交于点A′，过点F作FH⊥CD于H，先证明△ABE≌△A′CE，可得AB=A′C=4，利用勾股定理求出AE的长，进而求出sin∠A′.利用互为余角的三角函数关系，求出cos∠2的值，在Rt△FHN和Rt△A′FN中利用cos∠2的值列出方程，即可求出结论.
46．如图，在矩形ABCD和矩形AEGH中，AD∶AB=AH∶AE=1∶2.则DH∶CG∶BE= .
【答案】
【解析】【解答】解：连接AC，AG，
∵在矩形ABCD和矩形AEGH中，
∴∠DAH+∠HAB=90°，∠BAE+∠HAB=90°，HG=AE，
∴∠DAH=∠BAE，
∵AD∶AB=AH∶AE=1∶2，
∴△ADH∽△ABE，
∴DH：BE=AD：AB=1：2，
在Rt△AHG中，HG=2AH，
∴，
∴AH：AG：AE=1：：2，
当AH与DA重合时，将矩形AHGE绕着点A旋转至矩形AHGE，
∴△ACG∽△ABE∽△ADH，
∴
∴DH：CG：BE=1：：2.
故答案为：1：：2
【分析】连接AC，AG，利用矩形的性质和余角的性质可证得HG=AE，∠DAH=∠BAE，利用有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ADH∽△ABE，利用相似三角形的对应边成比例，可得到DH：BE的比值，利用勾股定理可表示出AG的长，可得到AH：AG：AE的比值；再证明△ACG∽△ABE∽△ADH，利用相似三角形的对应边成比例，可求出DH：CG：BE的坐标.
47．如图，已知△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，BD平分∠ABC，将△ABC绕着点A旋转后，点B、C的对应点分别记为B1、C1，如果点B1，落在射线BD上，那么CC1的长度为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
∵∠C=90 ，BC=3，AC=4，
∴AB=5，
∵将△ABC绕着点A旋转后得△AB1C1，
∴AC1=AC=4，AB1=AB=5，∠CAC1=∠BAB1，
∴∠AB1B=∠ABB1，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABB1=∠CBB1，
∴∠AB1B=∠CBB1，
∴AB1∥BC，
∴∠B1AC=∠ACB=90 ，
∴△AB1D∽△CBD，
∴
∴AD=，CD=，
∴B1D=，BD=
∴BB1=
∵∠C1AC=∠B1AB，AC=AC1，AB=AB1，
∴△ACC1∽△ABB1，
∴
∴CC1=
故答案为：
【分析】根据勾股定理得到AB=5，根据旋转的性质得到AC1=AC=4，AB1=AB=5，∠CAC1=∠BAB1，推出AB1∥BC，根据平行线的性质得到∠B1AC=∠ACB=90°，然后判断出△AB1D∽△CBD，根据相似三角形的性质得到AD，CD的长，根据勾股定理算出B1D的长，BD的长，进而推出△ACC1∽△ABB1，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式即可求出CC1的长。
48．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点E，若BE＝3DE，则BD＝ ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图：
过B作BO⊥AC于点O，连接OD，过D作DM⊥AC于点M.
∵AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形
∴OA=OC=3，
∴.
又∵∠ADC＝90°，
∴OA=OC=OD=3.
∵BO⊥AC，DM⊥AC，
∴BO//DM.
∴△BOE∽△DME
∴.
∴
∵Rt△DOM中，OD=3，
∴，
∴EM=
∴Rt△DEM中，，
∴.
故答案为：.
【分析】过B作BO⊥AC于点O，连接OD，过D作DM⊥AC于点M.根据△BOE∽△DME得到OE：ME=OB：DM=3，可求出DM长，再根据∠ADC=90°，O为AC中点，得OD长，从而可求出OM长，再根据OE：ME=3，求出EM长，在Rt△DEM中利用勾股定理可求出DE长，从而得DB.
49．如图，在矩形中，点是线段上的一点，，将沿翻折，得到，若，，则点到的距离为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过F作FG⊥DC于G，EF（EF延长线）交CD于H，
∵
∴∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC=3，
∴∠CEB+∠ECB=90°
∴∠AED=∠BCE，
∴△AED∽△BCE，
∴，
设AE=x，则BE=10-x，
∴，
整理得，
解得，
经检验都符合题意是原方程的解，
当AE=1时，BE=9，根据折叠，EF=EB=9，FC=BC=3，∠EFC=∠B=90°，∠BEC=∠FEC，
∵四边形ABCD为矩形
∴DC//AB，
∴∠HCE=∠BEC=∠HEC，
∴EH=HC，
设EH=HC=m，则HF=9-m，
在Rt△FHC中由勾股定理得，即
解得
∴S△FHC=，
∴，
当AE=9时，BE=1，根据折叠，EF=EB=1，FC=BC=3，∠EFC=∠B=90°，∠CEB=∠CEF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴DC//AB，
∴∠HDE=∠AED，
∵∠DEH+∠FEC=∠AED+∠BEC=90°，
∴∠DEH =∠AED=∠HDE，
∴DH=HE，
设DH=HE=n，则HF=HE-EF=n-1，HC=DC-DH=10-n，
在Rt△HFC中，由勾股定理，即
解得
∴HC=10-5=5，HF=5-1=4
∴S△CHF=，
∴，
∴点到的距离为．
故答案为．
【分析】过F作FG⊥DC于G，EF（EF延长线）交CD于H，先证出△AED∽△BCE，可得，设AE=x，则BE=10-x，将数据代入可得，求出x的值，再分类讨论：①当AE=1时，BE=9，②当AE=9时，BE=1，再利用矩形的性质及勾股定理分别求解即可。
50．如图，在边长为7的等边△ABC中，D、E分别在边AC、BC上，AD＝2CD，CE＝2BE，连结AE、BD交于点P，则CP的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连结 DE，取CE的中点F，连结 DF. 则CE＝2CF＝2EF.
∵△ABC 是等边三角形，边长为7，
∴ AC=BC=7，∠ACB=60°.
∵AD＝2CD，AD+CD=AC，
∴AC＝3CD.
∵CE＝2BE，CE+BE=BC，
∴BC＝3BE.
∴CD = BE.
∴CE＝2CD.
∵CE＝2CF，
∵CF＝CD.
∴△CDF为等边三角形.
∴CF＝CD=DF.
∴∠CDE=90°.
∴DE=CD=AC=.
∴AE =
∵AB=BC，∠ABE=∠BCD，BE=CD，
∴△ABE△BCD.
∴∠BAE=∠CBD.
∴∠APD=∠BAE+∠ABP=∠CBD+∠ABP=∠ABC.
∴∠APD=∠ACE.
∵∠PAD=∠CAE，
∴△APD△ACE.
∴
∵∠PAC=∠DAE，
∴△APC△ADE.
∴
∴PC = .
故答案为：.
【分析】连结 DE，取CE的中点F，连结 DF. 先证△CDF为等边三角形，然后根据勾股定理，得出DE，AE的长，接着证明△APD△ACE，即可得出结论.
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