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【解答题强化训练·50道必刷题】上海市数学九年级上册期中试卷
1．如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
2．计算：
3．如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．
4．图1是一把小折叠椅的实物图，图2是它的侧面平面图，当它完全展开时，测得，．（参考数据：，结果精确到）
（1）求AE的长；
（2）若地面BC，且E为BD的中点，A为DE的中点，求EF与BC之间的距离．
5．如图，在 ABCD中，AB＝4，AD＝9，点E是AD上的一点，AE＝2DE，延长BE交CD的延长线于F，求FD的长．
6．如图，学校为了照明，在墙BC上方安装一个小型灯杆AB（点A为灯泡的位置，A、B、C三点在一直线上），当小明站在E处时，他在地面上的影长EF＝1m，小亮站在H处时，他在地面上的影长HM＝1.6m．小亮和小明之间的距离HE＝4m，已知小明的身高DE为1.5m．小亮的身高CH为1.6m，灯杆AB的高为1.8m，求墙BC的高．
7．如图是某动车站出口处自动扶梯示意图，自动扶梯 的倾斜角为 ，在自动扶梯下方地面D处测得扶梯顶端A的仰角为 ，B、D之间的距离为 .求自动扶梯的垂直高度 .（ ， ， ， ， ， ，结果精确到 ）
8．如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F， ＝ ＝ ．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数：
（3）若连接EC，求证：△ABD∽△ACE．
9．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE．
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．
10．如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1： ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
11．如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
12．“轻轨飞梭如影重，上天入地驶楼中”，8D魔幻城市重庆吸引了全国各地的游客，而李子坝的“轻轨穿梭”成了游客们争相打卡的热门景点.如图，已知斜坡CD底端C距离轻轨所穿楼栋AB底端A处30米远，斜坡CD长为42米，坡角为，为了方便游客拍照，现需在距斜坡底端C处12米的M处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CE的观景平台MN和一条新的坡角为的斜坡DN.
（1）求观景平台MN的长；（结果保留根号）
（2）小育在处测得轻轨所穿楼栋AB顶端的仰角为，点在同一个平面内，点、C、E在同一条直线上，且，求轻轨所穿楼栋AB的高度.
13．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行.如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4 km至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离.
14．如图，学校某数学兴趣小组想测量操场对面旗杆AB的高度，他们在E处测得旗杆顶部A的仰角为65°，再向旗杆相方方向走了4米达到D处，再继续沿着坡度为 的楼梯向上走了 米达到C处，在C处测得旗杆顶部A的仰角为35°，求旗杆的高度 为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据： ， ， ， ， ， ）．
15．如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为 ，垂直高度都为 .测得在 点的仰角 ，测得在 点的仰角 .求银幕 的高度.（参考数据： ， ， ， ， ， ）
16．越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措.某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角 ，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角 （点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度 的长.（结果精确到1米；参考数据： ）
17．如图 31-9， 的顶点是边长为 1 的正方形网格的格点．
（1） 直接写出 和 的值；
（2）求 的值．
18．将一副直角三角尺如图放置，A，E，C在一条直线上，边AB与DE交于点F，已知∠B=60°，∠D=45°，AD=AC= ，求DF的长.
19．某店铺门前安装了一个监控摄像头，如图所示，摄像头与地面的距离AB为3.5米，监控最远距离约为20米，即AC=20米，该款摄像头的监控角度∠DAC=40，那么你能求出该摄像头的监控盲区BD的长吗
（精确到0.01．参考数据：）
20．计算： ．
21．如图，在昆明市轨道交通的修建中，规划在A、B两地修建一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度．（结果精确到1m，参考数据： ， ）
22．因为一条湖的阻断，无法测量AC两地之间的距离，在湖的一侧取点B，使得点A恰好位于点B北偏东70°方向处，点C恰好位于点B的西北方向上，若经过测量，AB=10千米．你能否经过计算得出AC之间的距离．（精确到0.1，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34）
23．为营造“安全出行”的良好交通氛围，实时监控道路交迸，某市交管部门在路口安装的高清摄像头如图所示，立杆MA与地面AB垂直，斜拉杆CD与AM交于点C，横杆DE∥AB，摄像头EF⊥DE于点E，AC=55米，CD=3米，EF=0.4米，∠CDE=162°。
（1）求∠MCD的度数；
（2）求摄像头下端点F到地面AB的距离。（精确到百分位）
（参考数据：sin72°=0.95，cos72°≈0.31，tan72°=3.08，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
24．宝轮寺塔——中国四大回音建筑之一，位于三门峡市陕州风景区，始建于隋唐时期，因能发出“呱呱”的声音而俗称“蛤蟆塔”.当地某校数学实践活动小组的同学们一起对该塔的高度（ ）进行测量.因塔底部 无法直接到达，制定了如下的测量方案：先在该塔正前方广场地面 处测得塔尖 的仰角（ ）为45°，因广场面积有限，无法再向 点的正后方移动，故操控无人机飞到 点正上方10米的 处测得塔尖 的仰角为32°， ， ， ， 四点在同一个平面内，求塔高（ ）为多少米.（结果精确到0.1米，参考数据： ， ， ）
25．数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．
（参考数据：，，，）
26．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们的东北方向距离12海里处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻艇以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻队出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.
27．周末，小马和小聪想用所学的数学知识测量图书馆前小河的宽.测量时，他们选择河对岸边的一棵大树，将其底部作为点 ，在他们所在的岸边选择了点 ，使得 与河岸垂直，并在 点竖起标杆 ，再在 的延长线上选择点 竖起标杆 ，使得点 与点 ， 共线.
已知： ， ，测得 ， ， .测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 .
28．五一期间，小红到郊野公园游玩，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向，然后沿北偏东37°方向走200m米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与景点B之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin37≈0.60，cos37°=0.80，tan37°≈0.75
29．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）．
（1）若点A（，3），则A′的坐标 ；
（2）若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积 ．
30．如图，在等边三角形ABC中，点E为CB边上一点（与点C不重合），点F是AC边上一点，若AB＝5，BE＝2，∠AEF＝60°，求AF的长度．
31．如图，在矩形纸片ABCD中，已知边AB＝3，BC＝5，点E在边CD上，连接AE，将四边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形AB′C′E，且B′C′恰好经过点D.求线段CE的长度.
32．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．今年首个超强台风“圣帕”第0709号超强台风于8月13日在北纬21.3度，东经123.3度的太平洋上生成，其中心气压925百帕，近中心最大风速55米/秒，生成时还是热带风暴的“圣帕”，在连跳两级后，15日晚8时已“变身”为超强台风．向台湾东部沿海逼近并登陆台湾岛，之后于19日上午将在福建中南部沿海福州一带再次登陆．在这之前，台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：
（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
33．小红学面镜成像原理后，利用这一原理测量一古楼的高度，在水平面的点E处放一平面镜（为法线）（为眼睛到脚底的高度）恰好能看到古楼最高点A处，测得，，．（参考数据：，，，结果保留整数）
（1）求之间的距离；
（2）求古楼的高度．
34．小红和爸爸绕着小区广场锻炼如图在矩形广场 边 的中点 处有一座雕塑.在某一时刻，小红到达点 处，爸爸到达点 处，此时雕塑在小红的南偏东 方向，爸爸在小红的北偏东 方向，若小红到雕塑的距离 ，求小红与爸爸的距离 .（结果精确到 ，参考数据： ， ， ）
35．如图，一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得点A的仰角为30°。求树高。(结果精确到0.1米；参考数据： ≈1.414， ≈1.732)
36．小琪要测量某建筑物的高度如图，小琪在点处测得该建筑物的最高点的仰角为，再往该建筑物方向前进至点处测得最高点的仰角为根据测得的数据，计算该建筑物的高度结果取整数．参考数据：，，．
37．某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
38．如图，在淮河的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度 的山坡 ，点 与点 在同一水平面上， 与 在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼 的高度，在坡底 处测得楼顶 的仰角为 ，然后沿坡面 上行了 米到达点 处，此时在 处测得楼顶 的仰角为 ，求楼 的高度.（结果保留整数）（参考数 ）
39．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．
如图，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为．（点F、G都在直线上）
（1）求的长（结果保留根号）；
（2）山峰高度的长（结果精确到米）．
（参考数据：，）
40．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，．
（1）设，，试用向量、表示向量；
（2）先化简，再求作：（直接作在图中）
41．某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC=840m，BC=500m.请求出点O到BC的距离.参考数据：sin73.7°≈ ，cos73.7°≈ ，tan73.7°≈
42．小刚和小华约定一同去公园游玩，如图，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小刚自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处：小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：，，，）
43．如图，C岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向．
（1）从岛看A，B两岛的视角的度数为 .
（2）测量发现岛与岛之间的距离AC为milemile），求岛与岛之间的距离．（结果精确到mile．参考数据：，）
44．已知：如图，在中，，M是BC的中点，于点E，交BA的延长交于点D．
求证：
（1）；
（2）
45．如图 ，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上， ，垂足为点E， ，垂足为点F.
（1）发现问题：在图 中， 的值为 .
（2）探究问题：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转 角 ，如图 所示，探究线段AG与BE之间的数量关系，并证明你的结论.
（3）解决问题：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图 所示，延长CG交AD于点H；若 ， ，直接写出BC的长度.
46．图1是一种利用风力带动风车叶片旋转，再通过增速机将旋转的速度提升来促使发电机发电的装置，图2是其结构示意图，风车的三个叶片OA=OB=OC=20m，每两个叶片之间的夹角为120°，点O为叶片旋转的轴心，管状塔OM垂直于山顶水平地面，OM=60m．
（1）在图2中，若∠BOM=20°，则∠COM的度数为 ，点B到地面的距离可表示为
（2）在图2的基础上，风车三个叶片顺时针旋转90°后，求风车最高点到地面的距离．
(参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，结果保留一位小数)
47．如图，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A、B两处距离为99海里，可疑船只正沿南偏东53°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东27°方向前去拦截，2小时后刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的速度．
（参考数据：sin27°≈，cos27°≈，tan27°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
48．定义：在等腰三角形ABC中，如果腰长是底边长的两倍，那么称是“等腰倍边三角形”.
（1）如图①，在等腰倍边三角形ABC中，AB，求AB和的值.
（2）如图②，在中，，对角线AC，BD相交于点.若分成的四个以为顶点的三角形中，和为等腰倍边三角形，请求出AC的值.
49．如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连结AG，分别交BD、CD于点E、F，连结CE．
（1）求证：∠DAE=∠DCE；
（2）当CE=2EF时，EG与EF的等量关系是 ．
50．如图，在等腰直角△中，，已知、，M为中点．
（1）求点的坐标：
（2）求的大小；
（3）在x轴上是否存在点，使得以为顶点三角形与△相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【解答题强化训练·50道必刷题】上海市数学九年级上册期中试卷
1．如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
【答案】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴ ，
∵AF：BF=1：2，
∴ = ，
∴ ，
即FE= BC，
∵BC：CD=2：1，
∴CD= BC，
∵FE∥BD，
∴ ．
即FN：ND=2：3．
【解析】【分析】 过点F作FE∥BD，交AC于点E ，再根据平行线分线段成比例进行作答即可。
2．计算：
【答案】解：原式=2 +1 × 2-
=2+
【解析】【分析】根据二次根式的化简 ，零指数幂运算法则，绝对值，特殊角的三角函数值计算即可。
3．如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．
【答案】解：过点A作AH⊥BC于H，∵S△ABC=27，∴ ，∴AH=6，∵AB=10，∴BH= = =8，∴tanB= = = ．
【解析】【分析】 过点A作AH⊥BC于H，根据△ABC的面积为27可求出AH的长，在直角三角形ABH中用勾股定理求出BH的长，则tanB的值可求。
4．图1是一把小折叠椅的实物图，图2是它的侧面平面图，当它完全展开时，测得，．（参考数据：，结果精确到）
（1）求AE的长；
（2）若地面BC，且E为BD的中点，A为DE的中点，求EF与BC之间的距离．
【答案】（1）解：如下图，过点F作于点H．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
∴
（2）解：如上图，过点E作于点C．
∵E为BD的中点，A为DE的中点，
∴．
∵，∴．
在中，
．
∴EF与地面BC的距离约为
【解析】【分析】（1）通过构造垂线，得到两个特殊三角形：等腰Rt△AHF和∠HFE=30°的Rt△HFE，根据EF=10cm，求出EH=5cm，FH=cm，可知cm，则AE=(5+)cm，在把 代入，即可求出AE的长；（2）构造辅助线，可知EG的长即为EF与BC之间的距离，由题目所给中点条件可知，，在利用平行得到，在利用∠EBG的正弦函数值即可求出EG的长。
5．如图，在 ABCD中，AB＝4，AD＝9，点E是AD上的一点，AE＝2DE，延长BE交CD的延长线于F，求FD的长．
【答案】∵AD=9，AE=2DE，
∴AE=6，DE=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴ ，
∴ ，
解得：DF=2．
【解析】【分析】求出AE和DE，根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据相似三角形的判定得出△ABE∽△DFE，根据相似得出比例式，代入求出DF即可．
6．如图，学校为了照明，在墙BC上方安装一个小型灯杆AB（点A为灯泡的位置，A、B、C三点在一直线上），当小明站在E处时，他在地面上的影长EF＝1m，小亮站在H处时，他在地面上的影长HM＝1.6m．小亮和小明之间的距离HE＝4m，已知小明的身高DE为1.5m．小亮的身高CH为1.6m，灯杆AB的高为1.8m，求墙BC的高．
【答案】解：∵DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴ ，
∴ ，
∴
∵GH∥AC．
∴△GHM∽△ACM，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ m，
∴AC＝13.8m，
∴BC＝AC﹣AB＝12m，
∴墙的高BC为12m．
【解析】【分析】先求出 △DEF∽△ACF， 再利用相似三角形的性质求解即可。
7．如图是某动车站出口处自动扶梯示意图，自动扶梯 的倾斜角为 ，在自动扶梯下方地面D处测得扶梯顶端A的仰角为 ，B、D之间的距离为 .求自动扶梯的垂直高度 .（ ， ， ， ， ， ，结果精确到 ）
【答案】解：
∵ 是 的外角，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
在 中， ，
，
，
.
答：自动扶梯的垂直高度 约为 .
【解析】【分析】利用三角形的外角的性质，可证得∠ABC=∠DAB，利用等角对等边可得到AD=BD，再在Rt△ADC中，利用解直角三角形求出AC的长.
8．如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F， ＝ ＝ ．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数：
（3）若连接EC，求证：△ABD∽△ACE．
【答案】（1）证明：∵ ＝ ＝ ．
∴△ABC∽△ADE；
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC-∠DAF＝∠DAE-∠DAF，
即∠BAD＝∠CAE；
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵∠ABC＝∠ABE+∠EBC，∠ADE＝∠ABE+∠BAD，
∴∠EBC＝∠BAD＝21°；
（3）证明：连接CE，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC-∠DAF＝∠DAE-∠DAF，
即∠BAD＝∠CAE，
∵ ＝ ．
∴△ABD∽△ACE．
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定及性质得到相等的一组对应角，减去同角后，得到一组新的等角；（2）同（1）的思路，只是换了一组对应角；（3）在（1）的基础上，一组对应角相等、角的两边对应成比例，故可判定所在三角形相似.
9．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE．
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＋∠DEC＝90°，
∴∠BAE＝∠DEC，
∴△ABE∽△ECD.
（2）解：在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，
∴BE＝3，
∴EC＝BC－BE＝5－3＝2，
∵△ABE∽△ECD，
∴，
∴，
∴CD＝.
【解析】【分析】（1）先根据垂直得到∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°，进而结合题意进行角的运算得到∠BAE＝∠DEC，再根据相似三角形的判定即可求解；
（2）先根据勾股定理求出BE，进而即可得到EC，从而根据相似三角形的性质得到CD。
10．如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1： ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
【答案】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，
∵i= = =tan∠ECF，
∴∠ECF=30°，
∴EF= CE=10米，CF=10 米，
∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10 ）米，
在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，
∴AH=HE=（25+10 ）米，
∴AB=AH+HB=（35+10 ）米．
答：楼房AB的高为（35+10 ）米．
【解析】【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE=20米，坡度为i=1： ，分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高．
11．如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
【答案】解：设正方形的边长为x mm，
则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得x＝48 mm，
∴这个正方形零件的边长是48mm．
【解析】【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
12．“轻轨飞梭如影重，上天入地驶楼中”，8D魔幻城市重庆吸引了全国各地的游客，而李子坝的“轻轨穿梭”成了游客们争相打卡的热门景点.如图，已知斜坡CD底端C距离轻轨所穿楼栋AB底端A处30米远，斜坡CD长为42米，坡角为，为了方便游客拍照，现需在距斜坡底端C处12米的M处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CE的观景平台MN和一条新的坡角为的斜坡DN.
（1）求观景平台MN的长；（结果保留根号）
（2）小育在处测得轻轨所穿楼栋AB顶端的仰角为，点在同一个平面内，点、C、E在同一条直线上，且，求轻轨所穿楼栋AB的高度.
【答案】（1）解：如图，
由题意得，MF⊥DE，FM∥EC，
∴∠DMF=∠DCE=30°，
∵DC=42m，CM=12m，
∴DM=CD-CM=30（m），
在Rt△DFM中，DF=DM=15m，
FM=DF=15(m)，
在Rt△DFN中，∠DNF=45°，tan∠DNF=，
∴FN==15（m），
∴MN=FM-FN=（15-15）m，
答：观景平台MN的长为()米
（2）解：如图，
由题意得，FN=EP=15m，EF=AH，FH=EA，
在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=42m，
∴DE=CD=21m，CE=DE=21m，
∵AC=30m，
∴FH=AE=AC+CE=（30+21）m，
∴NH=FH-FN=30+21-15=（21+15）m，
在Rt△BNH中，∠BNH=30°，
∵tan∠BNH=，
∴BH =NH·tan30°=（21+15）×=（21+5）m，
∵DF=15m，
∴EF=AH=DE-DF=21-15=6（m），
∴AB =BH+AH=(27+5)m.
答：轻轨所穿楼栋AB的高度为米
【解析】【分析】（1）由题意，由线段的和差DM=CD-CM求出DM的值，在Rt△DFM中，根据锐角三角函数tan∠DNF=求出FN的值，然后由线段的和差MN=FM-FN可求解；
（2）解Rt△DEC可求得CE的值，由线段的和差FH=AE=AC+CE求出FH的值，同理根据NH=FH-FN求出NH的值，在Rt△BNH中，根据锐角三角函数tan∠BNH=求出BH的值，然后由线段的和差AB =BH+AH可求解.
13．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行.如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4 km至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离.
【答案】解：过B作BD⊥AC于点D.
在Rt△ABD中，BD=AB sin∠BAD=4× = （千米），
∵△BCD中，∠CBD=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD=BD= （千米），
∴BC= BD= （千米）.
答：B，C两地的距离是 千米.
【解析】【分析】过B作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用d等腰直角三角形的性质求得BC的长．
14．如图，学校某数学兴趣小组想测量操场对面旗杆AB的高度，他们在E处测得旗杆顶部A的仰角为65°，再向旗杆相方方向走了4米达到D处，再继续沿着坡度为 的楼梯向上走了 米达到C处，在C处测得旗杆顶部A的仰角为35°，求旗杆的高度 为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据： ， ， ， ， ， ）．
【答案】解：如图：作 于 ， 于 ，
则 ， ，
楼梯 的坡度为 ， ，
， ，
在 中， ， ，
，
，
，
，
在 中， ， ，
，
，解得： ，
，
即旗杆的高度 约为15.0米．
【解析】【分析】 作 于 ， 于 ，则 ， ， 然后求出BG=DH=3，CH=6，在Rt△ACG中解直角三角形可得AG，然后根据线段的和差计算即可。
15．如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为 ，垂直高度都为 .测得在 点的仰角 ，测得在 点的仰角 .求银幕 的高度.（参考数据： ， ， ， ， ， ）
【答案】解：延长 ， 交 于 、 ，
由题意知 ，
在 中， ，
∴ ，即 ，
在 中， ，
∴ ，即 ，
又∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ .
答：银幕 的高度为 .
【解析】【分析】延长CE，DF交AB于点H，G，易证∠AGD=∠AHC=90°，在Rt△AGD中，利用解直角三角形，表示出GD的长；在Rt△ACH中，利用解直角三角形表示出CH的长；再根据AH=AG+GH，可表示出CH的长；然后根据GD-CH=1，建立方程求出AG的长，从而可求出AB的长.
16．越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措.某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角 ，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角 （点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度 的长.（结果精确到1米；参考数据： ）
【答案】解：过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，
∵∠EFN=∠FND=∠EDN=∠A=90°，
∴四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，
∴FN=ED=AB=1.6米，AD=BE=3.5米，
∵∠MEF=45°，∠EFM=90°，
∴MF=EF=x，
∴FB=FE+EB=x+3.5，
∴tan∠MBF= ，
∴解得 米，
经检验 米符合题意，
∴MN=MF+FN=6.5+1.6=8.1≈8米.
【解析】【分析】过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，结合已知可知四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，由矩形的性质可得FN=ED=AB，AD=BE；由等腰直角三角形的性质得MF=EF=x，由线段的构成FB=FE+EB可将FB用含x的代数式表示出来，根据锐角三角函数tan∠MBF=可得关于x的方程，解方程求得x的值，再根据线段的构成MN=MF+FN可求解.
17．如图 31-9， 的顶点是边长为 1 的正方形网格的格点．
（1） 直接写出 和 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）；
（2）解：如图，过点作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，．
【解析】【解答】（1）解：
如图，过点作于，于．
在直角中，；
在直角中，；
【分析】本题考查锐角三角函数的定义和勾股定理.
（1）过点作于，于，先利用余弦的定义可得：，代入数据可求出cosB，根据图形可得：，利用正切的定义可得：，代入数据可求出答案.
（2）过点作于，利用三角形的面积计算公式可得：，代入数据进行计算可求出CD，利用正弦的定义可得：，代入数据可求出sinA.
18．将一副直角三角尺如图放置，A，E，C在一条直线上，边AB与DE交于点F，已知∠B=60°，∠D=45°，AD=AC= ，求DF的长.
【答案】解：∵AD=，AE=DE，∠AED=90°，
∴AE=DE== ，
∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC=AC=×=，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴AE：AC=EF：BC，
∴：=EF：，
∴EF=1，
∴DF=DE-EF=-1.
【解析】【分析】因为△ACD和△ABC都是特殊三角形，先根据已知线段求出各边的长，再由同垂直一条直线的两条直线平行可得DE∥BC，于是由平行线分线段成比例的性质求得EF的长，则DF的长可求.
19．某店铺门前安装了一个监控摄像头，如图所示，摄像头与地面的距离AB为3.5米，监控最远距离约为20米，即AC=20米，该款摄像头的监控角度∠DAC=40，那么你能求出该摄像头的监控盲区BD的长吗
（精确到0.01．参考数据：）
【答案】解：在Rt中，米，米，
在Rt中，，
(米).
答：该摄像头的监控盲区BD的长约为2.98米.
【解析】【分析】根据正弦函数得到，则，再结合题意进行角的运算即可求出∠BAD的度数，进而根据正切函数即可得到(米).
20．计算： ．
【答案】解：2sin30°一3tan45° sin45°＋4cos60°
＝2×﹣3×1×＋4×
＝1﹣＋2
＝3﹣
【解析】【分析】先根据特殊角的三角函数值进行转化，进而根据二次根式的混合运算即可求解.
21．如图，在昆明市轨道交通的修建中，规划在A、B两地修建一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度．（结果精确到1m，参考数据： ， ）
【答案】解：过点C作CD⊥AB于D，由题意知：∠CAB=45°，∠CBA=30°，∴CD= BC=200（m），BD=CBcos（90°﹣60°）=400× =200 （m），AD=CD=200（m），∴AB=AD+BD=200+200 ≈546（m），答：这段地铁AB的长度为546m．
【解析】【分析】过点C作CD⊥AB于D，将两个特殊角放在两个直角三角形中，在直角三角形BCD中，由题意可得CD= BC=200（m），则BD=CBcos（90°﹣60°）=400×=200；在直角三角形ACD中，由题意可得AD=CD=200（m），所以AB=AD+BD=200+200 ≈546（m），
22．因为一条湖的阻断，无法测量AC两地之间的距离，在湖的一侧取点B，使得点A恰好位于点B北偏东70°方向处，点C恰好位于点B的西北方向上，若经过测量，AB=10千米．你能否经过计算得出AC之间的距离．（精确到0.1，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34）
【答案】解：过B作BH⊥AC于H，由题意，
∠BHC=∠BHA=90°，∠ABH=70°，∠CBH=45°，AB=10千米，
在Rt△ABH中，
∵sin∠ABH=，
∴AH=9.4千米
∵cos∠ABH=
∴BH=3.4千米
在Rt△BHC中，
∵∠BHC=90°，
∠HBC=∠C=45°
∴CH=BH=3.4千米
∴AC=9.4+3.4=12.8（千米）
答：AC之间的距离约为12.8千米.
【解析】【分析】过B作BH⊥AC于H，先利用锐角三角函数求出AH和BH的长，再根据等腰直角三角形性质可得CH=BH=3.4千米，最后利用AC=CH+AH计算即可。
23．为营造“安全出行”的良好交通氛围，实时监控道路交迸，某市交管部门在路口安装的高清摄像头如图所示，立杆MA与地面AB垂直，斜拉杆CD与AM交于点C，横杆DE∥AB，摄像头EF⊥DE于点E，AC=55米，CD=3米，EF=0.4米，∠CDE=162°。
（1）求∠MCD的度数；
（2）求摄像头下端点F到地面AB的距离。（精确到百分位）
（参考数据：sin72°=0.95，cos72°≈0.31，tan72°=3.08，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
【答案】（1）解 ：如图4，延长ED，AM交于点P，
∵DE∥AB，MA⊥AB
∴EP⊥MA，即∠MPD=90°
∵∠CDE=162°
∴∠MCD=162°-90°=72°
（2）解 ：如图4，在Rt△PCD中，CD=3米，∠MCD=72°
∴PC=CD·cos∠MCD=3·cos72°≈3×0.31=0.93米
∵AC=5.5米，EF=0.4米，
∴PC+AC-EF=0.93+5.5-0.4=6.03米
答：摄像头下端点F到地面AB的距离为6.03米。
【解析】【分析】（1）延长ED，AM交于点P，根据平行线的性质得出∠MPD=90°，根据三角形外角的定理即可得出答案；
（2）在Rt△PCD中，利用余弦函数的定义得出PC=CD·cos∠MCD，从而得出PC的值，根据线段的和差由PC+AC-EF得出摄像头下端点F到地面AB的距离。
24．宝轮寺塔——中国四大回音建筑之一，位于三门峡市陕州风景区，始建于隋唐时期，因能发出“呱呱”的声音而俗称“蛤蟆塔”.当地某校数学实践活动小组的同学们一起对该塔的高度（ ）进行测量.因塔底部 无法直接到达，制定了如下的测量方案：先在该塔正前方广场地面 处测得塔尖 的仰角（ ）为45°，因广场面积有限，无法再向 点的正后方移动，故操控无人机飞到 点正上方10米的 处测得塔尖 的仰角为32°， ， ， ， 四点在同一个平面内，求塔高（ ）为多少米.（结果精确到0.1米，参考数据： ， ， ）
【答案】解：过点 作 于点 ，
则四边形 为矩形；
∴
设 ，在 中，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
在 中，
∵ ， ， ，
，∴ ，即 ，
∴
答：塔高（ ）为26.3米.
【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE为矩形，由矩形的性质可得BE=CD=10，设AB=x，则BC=x，DE=x，AE=x-10，DE=x，然后根据三角函数的概念进行求解.
25．数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．
（参考数据：，，，）
【答案】解：如图，延长EF交AG于点H，则，
过点B作于点P，则四边形BFHP为矩形，
∴，．
由，可设，则，
由可得，
解得或（舍去），
∴，，
设米，米，
在中，
即，则①
在中，，
即②
由①②得，．
答：塔顶到地面的高度EF约为47米．
【解析】【分析】延长EF交AG于点H，则，过点B作于点P，则四边形BFHP为矩形，设米，米，根据锐角三角函数可得，则， ，再求出a、b的值即可。
26．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们的东北方向距离12海里处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻艇以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻队出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.
【答案】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为 小时；如图所示，
由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10 ，AC=14 ，
过点A作AD⊥CB的延长线于点D，
在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=45°+（90°-75°）=60°，
∴BD=AB cos60°= ，AD=AB sin60°=6 ，
∴CD=10 +6.
在Rt△ACD中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： (不合题意舍去).
答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时.
【解析】【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为 小时，由题意得出∠ABC=120°，AB=12，BC=10 ，AC=14 ，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，由三角函数得出BD、AD的长度，得出CD=10 +6.在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可.
27．周末，小马和小聪想用所学的数学知识测量图书馆前小河的宽.测量时，他们选择河对岸边的一棵大树，将其底部作为点 ，在他们所在的岸边选择了点 ，使得 与河岸垂直，并在 点竖起标杆 ，再在 的延长线上选择点 竖起标杆 ，使得点 与点 ， 共线.
已知： ， ，测得 ， ， .测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 .
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ∽
∴ ，
又∵ ， ， ，
∴
∴ ，即河宽为20米。
【解析】【分析】根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出CB∥DE，根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所截的三角形与原三角形相似得出 ∽ ，根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式列出方程，求解即可算出AB的长，从而得出答案。
28．五一期间，小红到郊野公园游玩，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向，然后沿北偏东37°方向走200m米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与景点B之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin37≈0.60，cos37°=0.80，tan37°≈0.75
【答案】解：如图，作PC⊥AB于C，则∠ACP=∠BCP=90°，
由题意，可得∠A=37°，∠B=45°，PA=200m．
在Rt△ACP中，∵∠ACP=90°，∠A=37°，
∴AC=AP cosA=200×0.80=160，PC=AP sinA=200×0.60=120．
在Rt△BPC中，∵∠BCP=90°，∠B=45°，
∴BC=PC=120．
∴AB=AC+BC=160+120=280（米）．
答：景点A与B之间的距离大约为280米．
【解析】【分析】作PC⊥AB于C，先利用解直角三角形的方法求出AC的长，再结合∠BCP=90°，∠B=45°，可得BC=PC=120，最后利用线段的和差求出AB的长即可。
29．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）．
（1）若点A（，3），则A′的坐标 ；
（2）若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积 ．
【答案】解：（1）∵B（3，1），B′（6，2）．
∴点A（，3），则A′的坐标为：（×2，3×2）即（5，6）；
（2）∵△ABC的面积为m，
∴△A′B′C′的面积为4m．
故答案为：（1）（5，6）（2）4m．
【解析】【分析】（1）利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky）．
（2）利用面积比等于位似比的平方得出即可．
30．如图，在等边三角形ABC中，点E为CB边上一点（与点C不重合），点F是AC边上一点，若AB＝5，BE＝2，∠AEF＝60°，求AF的长度．
【答案】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AC＝BC＝AB＝5，
∵BE＝2，
∴CE＝3，
∵∠AEC＝∠BAE＋∠B，
即∠AEF＋∠CEF＝∠BAE＋∠B，
而∠AEF＝60°，∠B＝60°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠B＝∠C，
∴△ABE∽△ECF，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CF＝ ，
∴AF＝AC﹣CF＝5﹣ ＝
【解析】【分析】利用等边三角形的性质可得∠B＝∠C＝60°，AC＝BC＝AB＝5，利用三角形外角的性质可得∠BAE＝∠CEF，证明△ABE∽△ECF，可得 ＝ ，据此求出CF，利用AF＝AC﹣CF即得结论.
31．如图，在矩形纸片ABCD中，已知边AB＝3，BC＝5，点E在边CD上，连接AE，将四边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形AB′C′E，且B′C′恰好经过点D.求线段CE的长度.
【答案】解：设CE=EC'=x，则DE=3 x，
∵∠ADB'+∠EDC'=90°，∠B'AD+∠ADB'=90°，
∴∠B'AD=∠EDC'，
∵∠B'=∠C'=90°，AB'=AB=3，AD=5，
∴DB'= = ，
∴△ADB'∽△DEC`，
∴ ，
∴ ，
∴x= .
∴CE= .
【解析】【分析】设CE=EC'=x，则DE=3 x，由△ADB''∽△DEC，可得AD∶DE=DB'∶EC′，列出方程即可解决问题.
32．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．今年首个超强台风“圣帕”第0709号超强台风于8月13日在北纬21.3度，东经123.3度的太平洋上生成，其中心气压925百帕，近中心最大风速55米/秒，生成时还是热带风暴的“圣帕”，在连跳两级后，15日晚8时已“变身”为超强台风．向台湾东部沿海逼近并登陆台湾岛，之后于19日上午将在福建中南部沿海福州一带再次登陆．在这之前，台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：
（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
【答案】解：（1）该城市会受到台风影响．
理由：如图1，过点A作AD⊥BC于D点，则AD即为该城市距离台风中心的最短距离．
在Rt△ABD中，因为∠B=30°，AB=240．
AD=×240=120（千米）．
由题可知，距台风中心在（12﹣4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响．
因为120千米＜200千米，因此该城市将会受到“圣帕”影响．
（2））依题（1）可知，当点A距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，
故在BC上作AE=AF=200；
台风中心从点E移动到点F处时，
该城市会处在台风影响范围之内．（如图2）
DE=160（千米）．
所以EF=2×160=320（千米）．
又知“圣帕”中心以20千米/时的速度移动．
所以台风影响该城市320÷20=16（小时）．
（3）∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（120÷25）=7.2（级）．
答：该城市受台风影响最大风力7.2级．
【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D点，求出AD的长，比较即可得到答案；
（2）根据题意找出点E和点F，根据勾股定理求出EF的长，根据台风的速度求出时间；
（3）根据每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级计算即可．
33．小红学面镜成像原理后，利用这一原理测量一古楼的高度，在水平面的点E处放一平面镜（为法线）（为眼睛到脚底的高度）恰好能看到古楼最高点A处，测得，，．（参考数据：，，，结果保留整数）
（1）求之间的距离；
（2）求古楼的高度．
【答案】（1）解：由题意得：，
在中，，，
，
之间的距离为
（2）解：法线，，
，
，
，
，
，
解得
【解析】【分析】（1）在中，利用解直角三角形求出CE的长.
（2）利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，根据相似三角形的对应边成比例求出即可．
（1）解：由题意得：，
在中，，，
，
之间的距离为；
（2）解：法线，，
，
，
，
，
，
解得．
34．小红和爸爸绕着小区广场锻炼如图在矩形广场 边 的中点 处有一座雕塑.在某一时刻，小红到达点 处，爸爸到达点 处，此时雕塑在小红的南偏东 方向，爸爸在小红的北偏东 方向，若小红到雕塑的距离 ，求小红与爸爸的距离 .（结果精确到 ，参考数据： ， ， ）
【答案】解：解：过点P作PE⊥BC，如图：
根据题意，则四边形ABEP是矩形，
∴ ，
在Rt△APM中，PM=30，∠APM=45°，
∴ ，
∵点M是AB的中点，
∴ ，
∴ ，
在Rt△PEQ中，∠PQE=60°， ，
∴ ；
∴小红与爸爸的距离
【解析】【分析】过点P作PE⊥BC，则四边形ABEP是矩形，由解直角三角形求出 ，则 ，然后求出PQ即可.
35．如图，一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得点A的仰角为30°。求树高。(结果精确到0.1米；参考数据： ≈1.414， ≈1.732)
【答案】解：设树AB的高度为x，在直角三角形ABC中，因为∠ACB=45°，所以BC=AB=x。
在三角形ADB中，tanD===，
即DB=x。
所以DC=10=DB-CB=x-x=10，解得x=≈13.67。
【解析】【分析】根据题目条件，可以得到树的高度等于CB，根据树的高度，利用∠D的正切值表示出DB，可以根据DB和CB的差为DC列方程求出树的高度。
36．小琪要测量某建筑物的高度如图，小琪在点处测得该建筑物的最高点的仰角为，再往该建筑物方向前进至点处测得最高点的仰角为根据测得的数据，计算该建筑物的高度结果取整数．参考数据：，，．
【答案】解：设，
，，
，
在中，，
，
解得：，
答：该建筑物的高度是．
【解析】【分析】 设， 在Rt△BCD中，得BD=CD=xm， 在Rt△ACD中，利用∠CAD的正切，即可求解.
37．某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
【答案】解：如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N．由题意 = ，即 = ，CM= ，在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，MN=BC=4，∠AMN=72°，∴tan72°= ，∴AN≈12.3，∵MN∥BC，AB∥CM，∴四边形MNBC是平行四边形，∴BN=CM= ，∴AB=AN+BN=13.8米．
【解析】【分析】如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N．由正切定义得出AN的长，进而判断出四边形MNBC是平行四边形，根据平行四边形的性质得出BN的长，进而得出答案。
38．如图，在淮河的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度 的山坡 ，点 与点 在同一水平面上， 与 在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼 的高度，在坡底 处测得楼顶 的仰角为 ，然后沿坡面 上行了 米到达点 处，此时在 处测得楼顶 的仰角为 ，求楼 的高度.（结果保留整数）（参考数 ）
【答案】解：在Rt△DEC中，∵i= = ，DE2+EC2=CD2，CD=10，
∴DE2+（ DE）2=102，
解得：DE=5（m），
∴EC= m，
过点D作DG⊥AB于G，过点C作CH⊥DG于H，如图所示：
则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形，
∵∠ACB=45°，AB⊥BC，
∴AB=BC，
设AB=BC=xm，则AG=（x-5）m，DG=（x+ ）m，
在Rt△ADG中，∵ =tan∠ADG，
，
解得：x=15+5 ≈24，
答：楼AB的高度为24米．
【解析】【分析】由i= = ，DE2+EC2=CD2，解得DE=5m，EC= m，过点D作DG⊥AB于G，过点C作CH⊥DG于H，则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形，证得AB=BC，设AB=BC=xm，则AG=（x-5）m，DG=（x+ ）m，在Rt△ADG中， =tan∠ADG，代入即可得出结果．
39．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．
如图，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为．（点F、G都在直线上）
（1）求的长（结果保留根号）；
（2）山峰高度的长（结果精确到米）．
（参考数据：，）
【答案】（1）解：由题意得：，，
在中，，，
（米），
在中，，，
（米），
米，
米，
的长为米；
（2）解：设米，在中，，
（米），
∵米，
米，
在中，，
，
，
解得：，
米，
∴山峰高度的长约为米．
【解析】【分析】（1）根据题意得到，，然后在和中，利用解直角三角形求出和的长，解题即可；
（2）设米，在中，利用锐角三角函数的定义得到的长，从而表示长，再在中，利用解直角三角形可得，列方程解题即可．
40．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，．
（1）设，，试用向量、表示向量；
（2）先化简，再求作：（直接作在图中）
【答案】（1）解：
∴
=
=
（2）解：
=
=
如图，延长AB，以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，交射线AB于点E，
作线段AD的垂直平分线，交AD于点F，连接FE，
则即为所求．
【解析】【分析】（1）根据，，可得，根据求解即可；
（2）根据平面向量的运算法则求解即可求得答案．
41．某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC=840m，BC=500m.请求出点O到BC的距离.参考数据：sin73.7°≈ ，cos73.7°≈ ，tan73.7°≈
【答案】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，
则四边形ONCM为矩形，
∴ON=MC，OM=NC，
设OM=x，则NC=x，AN=840﹣x，
在Rt△ANO中，∠OAN=45°，
∴ON=AN=840﹣x，则MC=ON=840﹣x，
在Rt△BOM中，BM= = x，
由题意得，840﹣x+ x=500，
解得，x=480，
答：点O到BC的距离为480m
【解析】【分析】 作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N， 根据矩形的性质得出ON=MC，OM=NC，设OM=x，然后把NC和AN用x表示，在Rt△BOM中， 利用正切三角函数构造方程求解即可.
42．小刚和小华约定一同去公园游玩，如图，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小刚自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处：小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：，，，）
【答案】解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，
∵BC⊥AB，
∴四边形BCFE是矩形，
∴BE=CF，EF=BC=150 m，
设DF=x m，则DE=（x+150）m，
在Rt△ADE中，∠BAD=30°，
∴AD=2DE=2（x+150）m，
在Rt△DCF中，∠FCD=22.6°，
∴m，
∵AD=CD+BC，
∴2（x+150）= +150，
解得x=250（m），
∴DF=250 m，
∴DE=250+150=400 m，
∴AD=2DE=800 m，
∴CD=800-150=650 m，
由勾股定理得 m，
m，
∴AB=AE+BE=+600≈1293（m），
答：公园北门A与南门B之间的距离约为1293 m．
【解析】【分析】作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，利用锐角三角函数求出CD和DF的长，再利用勾股定理求出AE和BE的长，最后利用线段的和差可得AB=AE+BE=+600≈1293。
43．如图，C岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向．
（1）从岛看A，B两岛的视角的度数为 .
（2）测量发现岛与岛之间的距离AC为milemile），求岛与岛之间的距离．（结果精确到mile．参考数据：，）
【答案】（1）
（2）解：∵∠BAC=20°，∠C=70°，
∴∠ABC=90°，
∵AC=20n mile ，
∴cos20°=.
∴AB=20×0.940≈18.8(nmile)
【解析】【解答】解：（1）如图.
∵AD//BE，
∴∠DAB+∠ABE=180°.
∵∠DAB=∠DAC+∠CAB，∠ABE=∠ABC+∠CBE，∠DAC=45°，∠CBE=25°，
∴∠CAB+∠CBA=180°-45°-25°=110°，
∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠CBA）=180°-110°=70°．
故答案为：70°．
【分析】(1)先利用平行线的性质，得出∠DAB+∠ABE=180°，结合已知角求出∠CAB+∠CBA，再利用三角形的内角和求出∠ACB；
（2）先说明∠ABC=90°，再用余弦函数求出，代入AC，求出AB.
44．已知：如图，在中，，M是BC的中点，于点E，交BA的延长交于点D．
求证：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：，
，
．
，
，
．
是的中点，
，
．
．
，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
．
【解析】【分析】（1）看到 这样的式子，要首先想到MA是MD和ME的比例中项，即像的样子的成比例线段，故尝试寻找线段所在的三角形相似三角形，即，
两三角形有个公共角，还需要证明一组角相等才行；观察图形，易根据等角的余角相等，证明 ，再根据斜边中线等于斜边一半定理，找到等边，等边对等角，得到一组等角，至此，相似可证，整理思路写下过程即可。
（2）线段成比例，首先找相似，根据上一问的结论三边对应成比例 ， 用瞪眼法反复观察这个等式，由 想到等量代换得到 即可求证。
45．如图 ，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上， ，垂足为点E， ，垂足为点F.
（1）发现问题：在图 中， 的值为 .
（2）探究问题：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转 角 ，如图 所示，探究线段AG与BE之间的数量关系，并证明你的结论.
（3）解决问题：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图 所示，延长CG交AD于点H；若 ， ，直接写出BC的长度.
【答案】（1）
（2）解： ，
理由如下：
如图 ，
四边形ABCD，四边形GECF是正方形，
， ，
， ，
，
， ，
，且 ，
∽ ，
，
即 ，
（3）解：如图 ，过点H作 于点M，
四边形ABCD，四边形GECF是正方形，
， ，
，
为等腰直角三角形，
，
，
在 中，
，
，且
∽
，
即 ，
，
在 中，
，
的长度为 .
【解析】【解答】（1） 四边形ABCD是正方形，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】（1）由正方形的性质可得 ， ，可证 ， ，可得 ，由平行线分线段成比例可得 ；（2）由正方形的性质可得 ，即可证 ∽ ，可得 ，则 ；（3）过点H作 于点M，构造等腰 ，利用HG的长度分别求出HM，GM，AH的长度，再利用 与 相似即可求出AC的长度，进一步求出BC的长度.
46．图1是一种利用风力带动风车叶片旋转，再通过增速机将旋转的速度提升来促使发电机发电的装置，图2是其结构示意图，风车的三个叶片OA=OB=OC=20m，每两个叶片之间的夹角为120°，点O为叶片旋转的轴心，管状塔OM垂直于山顶水平地面，OM=60m．
（1）在图2中，若∠BOM=20°，则∠COM的度数为 ，点B到地面的距离可表示为
（2）在图2的基础上，风车三个叶片顺时针旋转90°后，求风车最高点到地面的距离．
(参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，结果保留一位小数)
【答案】（1）100°；60-20cos20°
（2）解：如图2，当风车的三个叶片顺时针旋转90°后，
∠AOM=130°，∠BOM=110°，∠COM=10°。
∴此时点A最高．
过点A作AD⊥MO，交MO的延长线于点D，
则∠AOD=180°-∠AOM=50°．
在Rt△AOD中，cos∠AOD=
即OD=20×cos50°≈12.86(m)，
∴DM=12.86+60≈72.9(m)，
∴风车最高点到地面的距离约为72.9m
【解析】【解答】解：（1）∵∠BOC=120°，BOM=20°，
∴∠COM=∠BOC-∠BOM=120°-20°=100°，
过点B作OM的垂线，交OM于点E，如图．
在Rt△OBE中，OB=20m，
∴OE=OB·cos∠BOE=20cos20°，
∴EM=OM-OE=60-20cos20°，
故答案为：100°，60-20cos20°．
【分析】(1)根据已知条件，利用角的和差进行计算，作如图所示直角三角形，解直角三角形即可；
(2)先求出按顺时针旋转90°后，∠AOM=130°，∠BOM=110°，∠COM=10°，再作出直角三角形ODA，然后解三角形即可.
47．如图，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A、B两处距离为99海里，可疑船只正沿南偏东53°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东27°方向前去拦截，2小时后刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的速度．
（参考数据：sin27°≈，cos27°≈，tan27°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
【答案】解：如图，根据题意可得，在△ABC中，AB=99海里，∠ABC=53°，∠BAC=27°，
过点C作CD⊥AB，垂足为点D．
设BD=x海里，则AD=（99﹣x）海里，
在Rt△BCD中，tan53°=，
则tan27°=，
CD=x tan53°≈x（海里）．
在Rt△ACD中，则CD=AD tan27°≈（99﹣x），
则x=（99﹣x），
解得，x=27，
即BD=27．
在Rt△BCD中，cos53°=，
则BC===45，
45÷2=22.5（海里/时），
则该可疑船只的航行速度约为22.5海里/时．
【解析】【分析】先过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD=x海里，得出AD=（99﹣x）海里，在Rt△BCD中，根据tan53°=，求出CD，再根据x=（99﹣x），求出BD，在Rt△BCD中，根据cos53°= ，求出BC，从而得出答案．
48．定义：在等腰三角形ABC中，如果腰长是底边长的两倍，那么称是“等腰倍边三角形”.
（1）如图①，在等腰倍边三角形ABC中，AB，求AB和的值.
（2）如图②，在中，，对角线AC，BD相交于点.若分成的四个以为顶点的三角形中，和为等腰倍边三角形，请求出AC的值.
【答案】（1）解：根据题意得：等腰倍边三角形ABC，AB＝AC，BC＝2，则AB＝4，
过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∴BD＝CD＝1，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，
得：AD＝，
∴tanB＝=．
（2）解：当△AOB（或△COD）为等腰倍边三角形，
①若AB为底，
∴AO＝BO＝16，
∴AC＋BD=2（AO+BO）＝64；
②若AB为腰，
∴AO与BO其中一条是8，另一条是4，
∴AC＋BD=2（AO+BO）＝24；
综上，AC+BD的长为64或24.
【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，先利用等腰三角形“三线合一”的性质求出BD＝CD＝1，再利用勾股定理求出AD的长，最后利用正切的定义求解即可；
（2）分类讨论：①若AB为底，②若AB为腰，再分别利用等腰三角形的性质及平行四边形的性质求解即可.
49．如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连结AG，分别交BD、CD于点E、F，连结CE．
（1）求证：∠DAE=∠DCE；
（2）当CE=2EF时，EG与EF的等量关系是 ．
【答案】（1）解：证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDB；
在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE．
（2）FG=EG﹣EF=4EF﹣EF=3EF
【解析】【解答】（2）解：结论：FG=3EF．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠G，
由题意知：△ADE≌△CDE
∴∠DAE=∠DCE，
则∠DCE=∠G，
∵∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC，
∴ ，
∵EC=2EF，
∴ ，
∴EG=2EC=4EF，
∴FG=EG﹣EF=4EF﹣EF=3EF．
【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形可得AD=CD，∠ADE=∠CDB，根据全等三角形的判定方法可得△ADE≌△CDE，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△CEF∽△GEC，可得EF：EC=CE：GE，又因为EC=2EF，就能得出FG与EF的关系.
50．如图，在等腰直角△中，，已知、，M为中点．
（1）求点的坐标：
（2）求的大小；
（3）在x轴上是否存在点，使得以为顶点三角形与△相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：过点C作轴，点D为垂足
在等腰直角△ABC中，
在△OAB和△DCA中：
∴△OAB≌△DCA（A.A.S）
（2）解：过点M作轴，点H为垂足
则
M为BC中点
∴H为OD中点，
∴MH为梯形CDOB的中位线
，△OMH为等腰直角三角形
（3）解：由（2）知
∴点P只能在轴正半轴
设，则
即，解得
【解析】【分析】（1）作轴于．根据AASA证明，利用全等三角形的性质求解；
（2）过点作轴，垂足为点．根据平行线等分线段定理证得是中点，再求出坐标；
（3）在中，，得，证得平分，再由与相似，根据相似的性质求出点坐标.
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