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【解答题强化训练·50道必刷题】湘教版数学九年级上册期中试卷
1．百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
2．已知、是关于的一元二次方程的两实根．
（1）则 ；1 ；
（2）若，求的值．
3．已知函数y=(k-2)为反比例函数．
（1）求k的值；
（2）它的图象在第几象限内，在各象限内，y随x增大而怎么 ；
（3）求出﹣2≤x≤﹣时，y的取值范围．
4．如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度．
5．某学校准备修建一个面积为的矩形花圃，设矩形花圃的一边长为，相邻的另一边长为．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若矩形的一边长x满足，求另一边长y的取值范围；
（3）杭杭在实践后得到如下结论：在面积为的情况下，不存在周长为的矩形．请判断他的说法是否正确，并说明理由．
6．关于x的方程x2﹣（k+1）x﹣6=0的一个根是2，求k的值和方程的另一根．
7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中.
（1）求的面积；
（2）请根据图象直接写出不等式的解集.
8． 关于 的方程 有两个不相等的实数根， 求 的取值范围．
9．已知一次函数y=kx与反比例函数y=的图象都经过点A（m，1）.
（1）求一次函数的表达式.
（2）求一次函数与反比例函数图象的另一个交点的坐标.
10．如图，在4×5网格图中，其中每个小正方形边长均为1，梯形ABCD和五边形EFGHK的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以B为位似中心，在网格图中作四边形A′BC′D′，使四边形A′BC′D′和梯形ABCD位似，且位似比为2：1；
（2）求（1）中四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分的周长．（结果保留根号）
11．如图所示，王刚同学所在的学习小组欲测量校园里一棵大树的高度，他们选王刚作为观测者，并在王刚与大树之间的地面上直立一根高为2m的标杆CD，然后，王刚开始调整自己的位置，当他看到标杆的顶端C与树的顶端E重合时，就在该位置停止不动，这时其他同学通过测量，发现王刚的脚离标杆底部的距离为1m，离大树底部的距离为9m，王刚的眼离地面的高度AB为1.5m，那么大树EF的高为多少？
12．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求m的取值范围.
13．如图所示，在△ABC中，已知DE∥BC．
（1）△ADE与△ABC相似吗？为什么？
（2）它们是位似图形吗？如果是，请指出位似中心．
14．如图，将一张长方形纸板ABCD剪去四个边角（阴影部分）后制作成一个有盖的长方体纸盒（无缝衔接），在剪去的四个边角中，左侧两个是边长为5cm的正方形，右侧两个是有一边长为5cm的长方形，且AD=2AB，设AB=xcm．
（1）请用含x的代数式分别表示长方体纸盒底面的长和宽：EH= cm，EF= cm；
（2）若所制作的长方体纸盒的容积为1500m3，求长方体纸盒的表面积．
15．两个正数的和是12，求它们积的最大值.
（1）你有哪些解决问题的方法
（2）解决这个问题的过程中你积累了哪些经验
（3）你还能提出哪些类似的问题 与同伴进行交流.
16．为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克10元的价格收购了6000千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题：
①该苹果的市场价预计每天每千克上涨0.1元；
②这批苹果平均每天有10千克损坏，不能出售；
③每天的冷藏费用为300元；
④这批苹果最多保存110天。
若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售。
（1）多少天后这批苹果的市场价为每千克13元？
（2）求2天后一次性全部售出所得的利润为多少元？
（3）若天后一次性出售所得利润为9600元，求的值。
17．已知关于x的方程x2-7x+（12-a） =0有两个不相等的实数根，
（1）求a的取值范围；
（2）当a取满足条件的最小整数值时，求方程的根．
18．如果（b+d+f≠0），且a+c+e＝5（b+d+f）．求k的值．
19．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为xm．
（1）求车棚的长BC．（用含x的代数式表示）
（2）若矩形车棚ABCD的面积为450m2，求车棚的长和宽．
（3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
20． 某合作社从2022年到2024年种植“红美人”，2022年“红美人”平均亩产量为，引进先进的种植技术后，“红美人”产量提高，2024年平均亩产量达到．
（1）若2022年到2024年“红美人”平均亩产量的年增长率相同，求“红美人”平均亩产量的年增长率．
（2）已知该合作社目前“红美人”种植面积为10亩，每亩的种植成本为3万元，为扩大生产，该合作社决定2025年增加“红美人”种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少万元，在保持种植成本不变的前提下，则2025年该合作社应增加种植面积多少亩？
21．为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式．某果农种植了一批樱桃和枇杷，并直播带资进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为1000千克，销售均价为30元/千克．枇杷的销售量为2000千克，销售均价为20元/千克．第二季度樱桃的销售量比第一季度减少了，销售均价与第一季度相同．枇杷的销售量比第一季度增加了．若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二樱桃和枇杷的销售总金额相同，求m的值．
22．如图，在与中，点、分别在边、上，且，若 ▲ ，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
23．用反证法证明：若二次方程8x2﹣（k﹣1）x+k﹣7=0有两个不等实数根，则两根不可能互为倒数．
24．如图，l1∥l2∥l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5．求BC、BE的长？
25．如图，△ABC与△DOE是位似图形，A（0，3），B（﹣2，0），C（1，0），E（6，0），△ABC与△DOE的位似中心为M．
（1）写出D点的坐标；
（2）在图中画出M点，并求M点的坐标．
26．用长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是，设与墙垂直的一边长为．
（1）当时，矩形菜园面积是，求x；
（2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到？
27．如图所示，在宽为16m，长为20m的矩形耕地上，修筑同样宽的两条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的四块试验田，要使试验田的面积为285m2，道路应为多宽？
28．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x.
（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.
（3）把长为1的木条分成两段，使较短的一段的长与全长的积等于较长的一段的长的平方，求较短的一段的长x.
29．随着消费观念的转变，越来越多的人开始用茶代替碳酸饮料.据统计，某购物网站一款热卖茶叶4月的销量为3万盒，6月的销量为3.63万盒.
（1）求该购物网站这款茶叶销量的月平均增长率.
（2）假设该购物网站这款茶叶销量的月平均增长率保持不变，则7月的销量能不能达到4万盒 请通过计算说明.
30．如图，已知，AD是△ABC的中线，且∠DAC＝∠B，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD．
（2）若AB＝15，BC＝10，试求AC和AD的长．
31．某著名的旅游城市2016年“十一”黄金周期间，接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次．
（1）求出2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）该市一家特色小面店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该小面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．若规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家能实现每天盈利6300元？
32．泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副，鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．
（1）填表：
月份 九月 十月 清仓
销售单价（元） 100
50
销售量（件） 200
（2）如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？
33．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx +b(k≠0)的图象与反比例函数的图象相交于 A(-1，2)，B(m，-1)两点。
（1）求反比例函数和一次函数的表达式.
（2）过点 B作直线l∥y轴，过点 A 作AD⊥l 于点D，C是直线l上一动点，若 DC=2DA，求点 C的坐标.
34．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD=180米，DC=60米，EC=50米，你能知道小河的宽是多少吗？
35．如图，用一条长20m的绳子围成矩形，设边的长为．
（1）直接写出的长；（用含x的代数式表示）
（2）矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学知识说明理由．
36．从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽m，竖着比城门高m，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿杆，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程，并把它化为一般形式．
37． 为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到100℃）后再饮用．某款家用饮水机，具有加热、保温等功能．现将20℃的自来水加入到饮水机中，先加热到100℃．此后停止加热，水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为50℃，则水温下降到50℃后不再改变，此时可以正常饮用．整个过程中，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）水温从20℃加热到100℃，需要 min；请直接写出加热过程中水温y与通电时间x之间的函数关系式： ．
（2）观察判断：在水温下降过程中，y与x的函数关系是 函数，并尝试求该函数的解析式．
（3）已知冲泡奶粉的最佳温度在40℃左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置为40℃．现将20℃的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热．则从加入自来水开始，需要等待多长时间才可以接水冲泡奶粉？
38．今年，本市的夏季特别炎热，各类饮料的销售量持续上升。为民超市六月份可乐饮料的销售量为1000箱，7、8两个月份的销售量总共为2310箱。如果假设7、8月份可乐饮料销售的平均增长率相同，求每个月的增长率。
39．解方程2x2﹣3x﹣2=0；
40．如图，在菱形中，，点在射线上，连接，绕点顺时针旋转，旋转后得到的线段与对角线交于点，旋转角．射线与射线交于点．
（1）如图1，当点在线段上时，求证：．
（2）如图2，点在线段的延长线上，当时，求线段的长．
（3）如图3，连接，当时，求线段的长．
41．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与双曲线的交点为，且的面积为．
（1）求a，k的值；
（2）直线与双曲线的交点为C，D（C在D的左边）．
①连接AC，AD，若的面积为24，求点C的坐标；
②直线与直线交于点E，过点D作，交直线于点F，G为线段DF上一点，且，连接AG，求的最小值．
42．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．
（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．
43．用木条制成如图的形式，A、B、C三点钉上钉子，在D和D′处加上粉笔，当用D′画图时，在D处的笔同时也画出一个图形．请问：这样画出的两个图形是相似图形吗？
44．如图1，在正方形中，点E在上（不与点B，C重合），点F在边上，，连接交于点M．
（1）求证：；
（2）如图2，连接与交于点G，连接交于点H．
①求证：；
②当时，求的值；
（3）如图3，若E是的中点，以点B为圆心，为半径作，P是上的一个动点，连接交于点N，则的最大值为 ．
45．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝-2x+6的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（a，4），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ是完美筝形时，求P，Q两点的坐标．
46．如图， 点 在反比例函数 的图象上， 轴， 轴， 垂足 分别在 轴的正、负半轴上， ． 若 是 的中点， 连结 ， 且 的面积是 面积的 2 倍， 求 的值．
47．在实数范围内只有一个实数是关于x的方程 的根，求实数k的所有可能值.
48．材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：；
材料2：如果实数m、n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）①已知一元二次方程的两根分别为，则______，______．
②已知实数a，b满足：，则______．
（2）已知实数m、n、t满足：，且，求的取值范围．
（3）设实数a，b分别满足，且，求的值．
49．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．
（1）求k、b的值．
（2）点C是轴上一点，若的面积为24，求点的坐标．
50．学校数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在中，点在线段上，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点作，交AO的延长线于点，通过构造就可以解决问题（如图2）．
（1）请回答： °。 ．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点，，，求DC的长．
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【解答题强化训练·50道必刷题】湘教版数学九年级上册期中试卷
1．百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【答案】解：设每件童装应降价元，则
，
即：，
解得：，，
要扩大销售量，减少库存，
舍去．
答：每件童装应降价20元．
【解析】【分析】 设每件童装应降价元， 根据单件利润×销量=总利润，即可得出方程 ， 解方程可得： ，， 根据题意，舍去，即可得出答案为，即 每件童装应降价20元．
2．已知、是关于的一元二次方程的两实根．
（1）则 ；1 ；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：，
即，
，
整理得，
解得，，
此一元二次方程有两实数根，
解得，
的值为．
【解析】【解答】解：（1）∵、是关于的一元二次方程的两实根
∴，
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和应用。关于的一元二次方程的两个实数根是、，则，.
3．已知函数y=(k-2)为反比例函数．
（1）求k的值；
（2）它的图象在第几象限内，在各象限内，y随x增大而怎么 ；
（3）求出﹣2≤x≤﹣时，y的取值范围．
【答案】解：（1）由题意得：k2﹣5=﹣1，
解得：k=±2，
∵k﹣2≠0，
∴k=﹣2；
（2）∵k=﹣2＜0，
∴反比例函数的图象在二、四象限，在各象限内，y随着x增大而增大；
故答案为：二、四，增大；
（3）∵反比例函数表达式为y=-，
∴当x=﹣2时，y=2，当x=-时，y=8，
∴当﹣2≤x≤﹣时，2≤y≤8．
【解析】【分析】（1）根据反比例函数的定义确定k的值即可；
（2）根据反比例函数的性质结合求得的k的符号描述其图象的位置及增减性即可；
（3）分别代入自变量的值结合其增减性即可确定函数值的取值范围．
4．如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度．
【答案】解：设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m．
根据题意，得（2-1.5）x（x+0.5）×120=180，
解得x1=-2，x2=1.5．
所以x=1.5，x+0.5=2．
答：小莉房间窗户的宽度为1.5m，则高度为2m
【解析】【分析】设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m．由窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．得出两种方式用布长度的差为：（2-1.5)x米，则多用布部分的总价为：（2-1.5）x（x+0.5）×120元，根据波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，列出方程，求解并检验即可。
5．某学校准备修建一个面积为的矩形花圃，设矩形花圃的一边长为，相邻的另一边长为．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若矩形的一边长x满足，求另一边长y的取值范围；
（3）杭杭在实践后得到如下结论：在面积为的情况下，不存在周长为的矩形．请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【答案】（1）解：根据题意得：，
；
（2）解：∵，
∴当时，随的增大而减小，
，
，即，
又∵，
；
（3）解：杭杭的说法正确，理由如下：
假设存在周长为的矩形，
根据题意得：，即，
整理得：，
，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即杭杭的说法正确．
【解析】【分析】（1）根据矩形面积计算公式即可得出 y关于x的函数表达式；
（2）首先根据，得出反比例函数的性质，然后求出时，，再结合，即可得出结论；
（3）假设存在周长为的矩形，利用矩形的周长公式，可得出关于的分式方程，然后可判断方程无解，即可得出假设不成立，即杭杭的说法正确。
6．关于x的方程x2﹣（k+1）x﹣6=0的一个根是2，求k的值和方程的另一根．
【答案】解：把x=2代入x2﹣（k+1）x﹣6=0，
得4﹣2（k+1）﹣6=0，
解得k=﹣2，
解方程x2+x﹣6=0，
解得：x1=2，x2=﹣3．
答：k=﹣2，方程的另一个根为﹣3．
【解析】【分析】将x=2代入原方程，可求出k的值，进而可通过解方程求出另一根．
7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中.
（1）求的面积；
（2）请根据图象直接写出不等式的解集.
【答案】（1）解：
（2）
【解析】【分析】(1)先把点A代入求出a，k，再联立求出点B坐标，再根据割补法求出的面积
(2)观察图像， 不等式的解集就是一次函数的函数值大于反比例函数值时，x的取值范围，即一次函数在反比例函数图象上的部分.
8． 关于 的方程 有两个不相等的实数根， 求 的取值范围．
【答案】解：∵关于x 的方程（ 有两个不相等的实数根.
解得：k>-3且k≠1.
【解析】【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-1≠0且，然后求出两不等式的公共部分即可.
9．已知一次函数y=kx与反比例函数y=的图象都经过点A（m，1）.
（1）求一次函数的表达式.
（2）求一次函数与反比例函数图象的另一个交点的坐标.
【答案】（1）解：把x=m，y=1代入，
，m=3，
∴A (3，1)
把x=3，y=1代入y=kx得
3k=1，
∴
（2）解：解方程组
解得，
故另一交点的坐标为(-3，-1)
【解析】【分析】(1)将A(m，1)点代入反比例函数，求得m的值，再将A点坐标代入正比例函数y=kx，求得正比例函数的解析式；
(2)解正比例函数与反比例函数联立的方程组就可以求出正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标.
10．如图，在4×5网格图中，其中每个小正方形边长均为1，梯形ABCD和五边形EFGHK的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以B为位似中心，在网格图中作四边形A′BC′D′，使四边形A′BC′D′和梯形ABCD位似，且位似比为2：1；
（2）求（1）中四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分的周长．（结果保留根号）
【答案】解：（1）如图所示：四边形A′BC′D′就是所要求作的梯形；
（2）四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分是平行四边形EFGD′，ED′=FG=1，
在Rt△EDF中，ED=DF=1，
由勾股定理得EF==，
∴D′G=EF=，
∴四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分的周长=ED′+FG+D′G+EF，
=1+1++，
=2+2．
故答案为：2+2．
【解析】【分析】（1）分别延长BA、BC、BD到A′、C′、D′，使BA′=2BA，BC′=2BC，BD′=2BD，然后顺次连接A′BC′D′即可得解；
（2）根据网格图形，重叠部分正好是以格点为顶点的平行四边形，求出两邻边的长的，然后根据平行四边形的周长公式计算即可．
11．如图所示，王刚同学所在的学习小组欲测量校园里一棵大树的高度，他们选王刚作为观测者，并在王刚与大树之间的地面上直立一根高为2m的标杆CD，然后，王刚开始调整自己的位置，当他看到标杆的顶端C与树的顶端E重合时，就在该位置停止不动，这时其他同学通过测量，发现王刚的脚离标杆底部的距离为1m，离大树底部的距离为9m，王刚的眼离地面的高度AB为1.5m，那么大树EF的高为多少？
【答案】解：作AH⊥EF于H，AH交CD于G点，如图，
易得BD＝1，BF＝9，四边形ABDG和四边形ABFH均为矩形
∴DG＝HF＝AB＝1.5，AG＝BD＝1，
∴CG＝CD﹣DG＝2﹣1.5＝0.5，
∵CG∥EH，
∴△ACG∽△AEH，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得EH＝4.5，
∴EF＝EH+FH＝4.5+1.5＝6（m），
答：大树EF的高为6m.
【解析】【分析】作AH⊥EF于H，AH交CD于G点，利用CG∥EH判断△ACG∽△AEH，然后利用相似比计算出EH，从而得到EF的长.
12．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求m的取值范围.
【答案】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴m≠0且△＞0，即4﹣4m （﹣1）＞0，解得m＞﹣1，
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0，
∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根.
【解析】【分析】由关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，由一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△＞0，即4﹣4m （﹣1）＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围.
13．如图所示，在△ABC中，已知DE∥BC．
（1）△ADE与△ABC相似吗？为什么？
（2）它们是位似图形吗？如果是，请指出位似中心．
【答案】解：（1）△ADE与△ABC相似．
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE；
（2）是位似图形．由（1）知：△ADE∽△ABC．
∵△ADE和△ABC的对应顶点的连线BD，CE相交于点A，
∴△ADE和△ABC是位似图形，位似中心是点A．
【解析】【分析】（1）直接利用相似三角形的判定方法得出答案；
（2）直接利用位似图形的定义得出答案．
14．如图，将一张长方形纸板ABCD剪去四个边角（阴影部分）后制作成一个有盖的长方体纸盒（无缝衔接），在剪去的四个边角中，左侧两个是边长为5cm的正方形，右侧两个是有一边长为5cm的长方形，且AD=2AB，设AB=xcm．
（1）请用含x的代数式分别表示长方体纸盒底面的长和宽：EH= cm，EF= cm；
（2）若所制作的长方体纸盒的容积为1500m3，求长方体纸盒的表面积．
【答案】（1）x－5；x－10
（2）解：由题意，得5(x－5)(x－10)=1500，
解得（舍去），
则x－5=25－5=20(cm)，x－10=25－10=15(cm)，
答：长方体纸盒的表面积为950 .
【解析】【解答】解：（1）由题意得，EH=（x-5）cm，EF=x-5×2=（x-10）cm，
故答案为：（x-5），（x-10）；
【分析】（1）根据题意，根据各线段之间的关系可用含x的代数式表示出EH，EF的长度；
（2）由题意列出一元二次方程并求解，根基实际问题再计算出结果.
15．两个正数的和是12，求它们积的最大值.
（1）你有哪些解决问题的方法
（2）解决这个问题的过程中你积累了哪些经验
（3）你还能提出哪些类似的问题 与同伴进行交流.
【答案】（1）解：可用代数配方法.
（2）解：经验：两数相等时积最大，多方法验证可提高解题效率.
（3）解：两个正数的和是20，求它们积的最大值；
两个正数的和是15，当其中一个数是另一个数的2倍时，它们的积是多少
【解析】【分析】(1)解决问题的方法是代数配方法，利用配方法求最值；
(2)积累的经验是将实际问题转化为数学模型，熟练运用配方法求最值；
(3)提出的类似问题如“两个正数的和是20，求它们积的最大值”“两个正数的和是15，当其中一个数是另一个数的2倍时，它们的积是多少.
16．为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克10元的价格收购了6000千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题：
①该苹果的市场价预计每天每千克上涨0.1元；
②这批苹果平均每天有10千克损坏，不能出售；
③每天的冷藏费用为300元；
④这批苹果最多保存110天。
若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售。
（1）多少天后这批苹果的市场价为每千克13元？
（2）求2天后一次性全部售出所得的利润为多少元？
（3）若天后一次性出售所得利润为9600元，求的值。
【答案】（1）解：（天）
（2）解：（元）
（3）解：
解得，（舍）
答：80天后一次性出售所得利润为9600元．
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，明确利润，成本，总价的数量关系是关键。
（1）根据"（售价-进价）÷上涨单价=存放天数"可得答案；
（2）由“利润=销售单价×销售数量-冷藏费用-成本”列式计算即可；
（3）由（2）数量关系可得一元二次方程，求解即可，注意结合题目要求对方程的根取舍。
17．已知关于x的方程x2-7x+（12-a） =0有两个不相等的实数根，
（1）求a的取值范围；
（2）当a取满足条件的最小整数值时，求方程的根．
【答案】（1）解：a>
（2）解：x1= 3，x2= 4
【解析】【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=49-4（12-a）＞0，
解得，a＞-；
（2）当a取满足条件的最小整数时，a=0，此时方程为x2-7x+12=0，
（x-3）（x-4）=0，解得，x1=3，x2=4；
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，由方程根的判别式，求出a的取值范围；
（2）根据题意，a的取值为a=0，求出方程的根。
18．如果（b+d+f≠0），且a+c+e＝5（b+d+f）．求k的值．
【答案】解：∵，
，
a+c+e＝5（b+d+f）．
，
∴k＝5．
【解析】【分析】由，可得到a=bk，c=dk，e=fk，再将其代入 a+c+e＝5（b+d+f），可求出k的值.
19．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为xm．
（1）求车棚的长BC．（用含x的代数式表示）
（2）若矩形车棚ABCD的面积为450m2，求车棚的长和宽．
（3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：∵不锈钢栅栏的总长为73m，左右两侧各开一个1m的出口，且车棚的宽AB为x m，
∴车棚的长BC为（73+2﹣3x）m
（2）解：根据题意得：（73+2﹣3x）x＝450，
整理得：x2﹣25x+150＝0，
解得：x1＝10，x2＝15，
当x＝10时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×10＝45＞42，不符合题意，舍去；
当x＝15时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×15＝30＜42，符合题意．
答：车棚的长为30m，宽为15m
（3）解：不能围成面积为525m2的自行车车棚，理由如下：
假设能围成面积为525m2的自行车车棚，设AB＝y m，则BC＝（73+2﹣3y）m，
根据题意得：（73+2﹣3y）y＝525，
整理得：y2﹣25y+175＝0，
∵Δ＝（﹣25）2﹣4×1×175＝﹣75＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，
即不能围成面积为525m2的自行车车棚
【解析】【分析】(1)利用BC=不锈钢栅栏的总长+2-3×AB，即可用含x的代数式表示出车棚的长BC；
(2)根据矩形车棚ABCD的面积为450m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合可利用的墙长为42m，即可得出结论；
(3)假设能围成面积为525m2的自行车车棚，设AB=ym，则BC=(73+2-3y)m，根据矩形车棚ABCD的面积为525m2，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=-75<0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即不能围成面积为525m2的自行车车棚.
20． 某合作社从2022年到2024年种植“红美人”，2022年“红美人”平均亩产量为，引进先进的种植技术后，“红美人”产量提高，2024年平均亩产量达到．
（1）若2022年到2024年“红美人”平均亩产量的年增长率相同，求“红美人”平均亩产量的年增长率．
（2）已知该合作社目前“红美人”种植面积为10亩，每亩的种植成本为3万元，为扩大生产，该合作社决定2025年增加“红美人”种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少万元，在保持种植成本不变的前提下，则2025年该合作社应增加种植面积多少亩？
【答案】（1）解：设年增长率为x.
2022年平均亩产量为800kg，2023年则为800(1+x)kg，2024年为800(1+x)2kg，
∴800(1+x)2=1352.
舍去负根，得x=0.3，即年增长率为30%，
答：“红美人”平均亩产量的年增长率为30%
（2）解：设增加种植面积y亩，
原来种植10亩，成本为10×3=30万元
增加后种植面积为(10+y)亩，每亩成本为(3-0.1y)万元
由种植成本不变，列方程：(10+y)(3-0.1y)=30.
解得y=0(舍去)或y=20，即应增加20亩
答：2025年该合作社应增加种植面积20亩
【解析】【分析】(1)设年增长率为x，表示出2024年亩产量，列方程800(1+x)2=1352求解；
(2)设增加面积y亩，表示出增加后的面积和每亩成本，列方程(10+y)(3-0.1y)=30求解.
21．为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式．某果农种植了一批樱桃和枇杷，并直播带资进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为1000千克，销售均价为30元/千克．枇杷的销售量为2000千克，销售均价为20元/千克．第二季度樱桃的销售量比第一季度减少了，销售均价与第一季度相同．枇杷的销售量比第一季度增加了．若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二樱桃和枇杷的销售总金额相同，求m的值．
【答案】解：依题意得：
，
令，则原方程可化为：
，
整理得：，
解得：，，
∴，（不合题意，舍去）．
答：m的值为12.5．
【解析】【分析】根据“果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二樱桃和枇杷的销售总金额相同”列出关于m的方程，解方程即可求解．
22．如图，在与中，点、分别在边、上，且，若 ▲ ，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
【答案】解：若选①；
证明：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
选择②；，不能证明．
若选③；，
证明：∵，
∴，∴，
又∵，
∴．
【解析】【分析】若选择①，根据相似三角形的性质可得∠ADC=∠A′D′C′，，结合邻补角的性质可得∠ADB=∠A′D′B′，根据条件①得，则，然后结合相似三角形的判定定理进行证明；若选择③，根据相似三角形的性质得∠ADC=∠A′D′C′，结合邻补角的性质得∠ADB=∠A′D′B′，然后结合条件③即可证明.
23．用反证法证明：若二次方程8x2﹣（k﹣1）x+k﹣7=0有两个不等实数根，则两根不可能互为倒数．
【答案】证明：假设若二次方程8x2﹣（k﹣1）x+k﹣7=0有两个不等实数根，且两根互为倒数，
设两根为x1，x2，由题意可得：x1 x2==1，
解得：k=15，
故8x2﹣（15﹣1）x+18﹣7=0
即4x2﹣7x+4=0
则b2﹣4ac=49﹣64=﹣15＜0，
此方程无实数根，故假设不成立，原命题正确，
即若二次方程8x2﹣（k﹣1）x+k﹣7=0有两个不等实数根，则两根不可能互为倒数．
【解析】【分析】首先假设若二次方程8x2﹣（k﹣1）x+k﹣7=0有两个不等实数根，且两根互为倒数，进而利用根与系数的关系得出k的值，再利用根的判别式得出矛盾，问题得证．
24．如图，l1∥l2∥l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5．求BC、BE的长？
【答案】解：∵l1∥l2∥l3，∴ = = ，即 = = ，∴BC=6，BF= BE，∴ BE+BE=7.5，∴BE=5
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出FB∶BE=AB∶BC=AD∶DE，根据比例式即可列出方程，求解即可。
25．如图，△ABC与△DOE是位似图形，A（0，3），B（﹣2，0），C（1，0），E（6，0），△ABC与△DOE的位似中心为M．
（1）写出D点的坐标；
（2）在图中画出M点，并求M点的坐标．
【答案】解：（1）过点D作DH⊥OE于点H，
∵△ABC与△DOE是位似图形，A（0，3），B（﹣2，0），C（1，0），E（6，0），
∴BC=3，OE=6，△AOB∽△DHO，
∴位似比为：3：6=1：2，
∴OH=2OB=4，DH=2OA=6，
∴D点的坐标为：（4，6）；
（2）连接DA并延长，交x轴于点M，则点M即为△ABC与△DOE的位似中心；
则MO：MH=1：2，
设MO=x，则MH=x+4，
∴x：（x+4）=1：2，
解得：x=4，
∴M点的坐标为（﹣4，0 ）．
【解析】【分析】（1）首先过点D作DH⊥OE于点H，由△ABC与△DOE是位似图形，A（0，3），B（﹣2，0），C（1，0），E（6，0），可得BC=3，OE=6，△AOB∽△DHO，即可求得位似比，继而求得答案；
（2）首先连接DA并延长，交x轴于点M，则点M即为△ABC与△DOE的位似中心；然后根据位似图形的性质，可得MO：MH=1：2，继而求得答案．
26．用长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是，设与墙垂直的一边长为．
（1）当时，矩形菜园面积是，求x；
（2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到？
【答案】（1）解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，符合题意．
答：x的值为8或20．
（2）解：令①，
整理得：．
，
方程①无实数根，
矩形菜园的面积不能达到．
【解析】【分析】（1）根据题意，矩形的长为（54-2x+2）m，根据矩形的面积公式建立方程，判断方程解的情况即可。
（2）列方程x（54-2x+2）=400，判断方程是否有解即可．
27．如图所示，在宽为16m，长为20m的矩形耕地上，修筑同样宽的两条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的四块试验田，要使试验田的面积为285m2，道路应为多宽？
【答案】解：设道路宽为xm，则根据题意，得
（20－x）(16－x)=285，
解得：x1=35，x2=1，
∵16-x>0，即x<16，
∴x=35舍去，
∴x=1，
答：道路宽为1m.
【解析】【分析】先求出 （20－x）(16－x)=285， 再解方程即可。
28．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x.
（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.
（3）把长为1的木条分成两段，使较短的一段的长与全长的积等于较长的一段的长的平方，求较短的一段的长x.
【答案】（1）解：设正方形的边长为x，根据题意得
∴4x2=25
化为一般形式为4x2-25=0
（2）解：设长方形的长为x，由题意得
x(x-2)=100，
化成一般形式为x2-2x-100=0
（3）解：设较短的一段的长x，根据题意得
x=(1-x)2，
化成一般形式为
【解析】【分析】（1）根据4个完全相同的正方形的面积之和是25，据此可得到关于x的方程.
（2）利用长方形的面积等于长×宽，据此列方程即可.
（3）抓住关键已知条件：较短的一段的长与全长的积等于较长的一段的长的平方，据此列方程即可.
29．随着消费观念的转变，越来越多的人开始用茶代替碳酸饮料.据统计，某购物网站一款热卖茶叶4月的销量为3万盒，6月的销量为3.63万盒.
（1）求该购物网站这款茶叶销量的月平均增长率.
（2）假设该购物网站这款茶叶销量的月平均增长率保持不变，则7月的销量能不能达到4万盒 请通过计算说明.
【答案】（1）解：设该购物网站这款茶叶销量的月平均增长率为x，
依题意得，3（1+x）2=3.63，
解得：x1=0.2，x2=-2.1（不合题意，舍），
答： 该购物网站这款茶叶销量的月平均增长率为10%.
（2）解：不能
理由：7月的销量为3.63（1+10%） =3.993万盒，
∵3.993＜4，
∴ 7月的销量不能达到4万盒 .
【解析】【分析】（1）设该购物网站这款茶叶销量的月平均增长率为x，利用4月的销量×（1+销量的月平均增长率）2=6月的销量，列出方程并解之即可；
（2）利用6月的销量×（1+月平均增长率）求出7月的销量，再与4万盒比较即可.
30．如图，已知，AD是△ABC的中线，且∠DAC＝∠B，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD．
（2）若AB＝15，BC＝10，试求AC和AD的长．
【答案】（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠CED＝∠EDC，
∵∠AEC+∠CED＝180°，∠ADB+∠EDC＝180°，
∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠DAC＝∠B
∴△ACE∽△BAD．
（2）解：∵∠DAC＝∠B，∠ACD＝∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴，
即，
∴，
∵△ACE∽△BAD，
∴，
即，
∴AD＝．
【解析】【分析】（1）由CD=CE得到∠CED=∠EDC，进而可得∠AEC=∠ADB，由已知∠DAC=∠B，即可证明△ACE∽△BAD．
（2）由∠DAC=∠B及公共角相等证明△ACD∽△BCA，进而根据相似三角形的性质列出比例式，求得AC，再由（1）的结论△ACE∽△BAD，根据相似三角形的性质列出比例式，求得AD，即可求解．
31．某著名的旅游城市2016年“十一”黄金周期间，接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次．
（1）求出2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）该市一家特色小面店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该小面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．若规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家能实现每天盈利6300元？
【答案】（1）解：设2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率为x，
则可列方程为1000（1+x)2=1690，
解得x1=-2.3(舍去)，x2=0.3.
答：2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率为0.3.
（2）(2)设每碗售价定为a元，店家才能实现每天利润6300元，依题意有
(a-6)[300+30(25-a)]=6300，
解得a1=20，a2=21(舍去)，
答：当每碗售价定为20元时，店家能实现每天盈利6300元.
【解析】【分析】（1）设2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率为x，根据“2016年“十一”黄金周期间，接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次”列出方程求解；
（2）设每碗售价定为a元，店家才能实现每天利润6300元，根据“ 若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗 ”列出方程求解，解根据“ 规定每碗售价不得超过20元 ”要求取舍.
32．泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副，鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．
（1）填表：
月份 九月 十月 清仓
销售单价（元） 100
50
销售量（件） 200
（2）如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？
【答案】解：（1）填表如下：
时间 九月 十月 清仓时
销售单价（元） 100 100﹣x 50
销售量（件） 200 200+2x 800﹣200﹣（200+2x）
（2）根据题意，得
100×200+（100﹣x）（200+2x）+50[800﹣200﹣（200+2x）]﹣60×800=9200
解这个方程，得x1=20 x2=﹣70
当x=20时，100﹣x=80＞50．
答：第十个月的单价应是80元．
【解析】【分析】（1）根据题意直接用含x的代数式表示即可；
（2）利用“获利9200元”，即销售额﹣进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．
33．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx +b(k≠0)的图象与反比例函数的图象相交于 A(-1，2)，B(m，-1)两点。
（1）求反比例函数和一次函数的表达式.
（2）过点 B作直线l∥y轴，过点 A 作AD⊥l 于点D，C是直线l上一动点，若 DC=2DA，求点 C的坐标.
【答案】（1）解：将点A(-1，2) 代入 得n=-2，
∴反比例函数的表达式为，
将点B(m，-1)代入得m=2，
∴点B(2，-1），
将点A(-1，2)，B(2，-1)分别代入y=kx+b，
得，
解得
∴一次函数的表达式为 ；
（2）解：∵A(-1，2)，B(2，-1)， 点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l 于点D ，
∴D（2，2），AD=3，
∵C是直线l上一动点，若DC=2DA，
∴DC=6，且点C的横坐标为2，
∴点C(2，8）或（2，-4).
【解析】【分析】（1）将点A(-1，2) 代入 可求出n的值，从而求出反比例函数的解析式，进而将点B(m，-1)代入所求的反比例函数的解析式得m=2，从而求出点B的坐标；将点A(-1，2)，B(2，-1)分别代入y=kx+b可得关于字母k、b得方程组，求解得出k、b得值，从而得到一次函数的解析式；
（2）根据点的坐标与图形的性质可得D（2，2），AD=3，点C的横坐标为2，进而结合DC=2DA求出DC的长，根据两点间的距离公式可求出点C的坐标.
34．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD=180米，DC=60米，EC=50米，你能知道小河的宽是多少吗？
【答案】解：∵∠ABD=∠DCE=90°，∠ADB=∠CDE
∴△ABD∽△ECD
∴
∵EC=50，BD=180， DC=60
∴
解得AB=150
答：小河的宽是150米.
【解析】【分析】由对顶角相等可得∠ADB=∠CDE，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABD∽△ECD，然后根据相似三角形的性质可得比例式，把已知的线段代入比例式可得关于AB的方程，解方程可求解.
35．如图，用一条长20m的绳子围成矩形，设边的长为．
（1）直接写出的长；（用含x的代数式表示）
（2）矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学知识说明理由．
【答案】（1）解：（）
（2）解：矩形ABCD的面积不可以是60，理由如下：
设矩形ABCD的面积可以是60，则
整理，得：
∵
∴方程无解
∴矩形ABCD的面积不可以是60
【解析】【解答】（1）∵矩形ABCD的周长为20m，的长为，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）利用矩形的性质及线段的和差求出即可；
（2）根据题意可得，再求解并判断即可.
36．从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽m，竖着比城门高m，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿杆，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程，并把它化为一般形式．
【答案】解：设竹竿的长为x尺．
由题意得：（x﹣）2+（x﹣）2=x2．
即：x2﹣x+=0．
【解析】【分析】用竹竿表示出门框的边长，根据门框的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程求得合适的解即可．
37． 为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到100℃）后再饮用．某款家用饮水机，具有加热、保温等功能．现将20℃的自来水加入到饮水机中，先加热到100℃．此后停止加热，水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为50℃，则水温下降到50℃后不再改变，此时可以正常饮用．整个过程中，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）水温从20℃加热到100℃，需要 min；请直接写出加热过程中水温y与通电时间x之间的函数关系式： ．
（2）观察判断：在水温下降过程中，y与x的函数关系是 函数，并尝试求该函数的解析式．
（3）已知冲泡奶粉的最佳温度在40℃左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置为40℃．现将20℃的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热．则从加入自来水开始，需要等待多长时间才可以接水冲泡奶粉？
【答案】（1）4；
（2）解：反比例
设，将代入得解得，
（3）解：将代入，得
解得
答：需要等待10分钟可以接水。
【解析】【解答】解：（1）根据函数图象可得：当y=100℃时，x=4；
设直线解析式为y=kx+b，
将点（0，20）和（4，100）代入，
可得：，
解得：，
∴直线解析式为（0≤x≤4），
故答案为：4；（0≤x≤4）；
（2）设反比例设，将代入得，
解得，
，
故答案为：（x≥4）
【分析】（1）根据函数图象直接求出当y=100℃时，x=4；再利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（3）将y=40代入反比例函数解析式求出x的值即可.
38．今年，本市的夏季特别炎热，各类饮料的销售量持续上升。为民超市六月份可乐饮料的销售量为1000箱，7、8两个月份的销售量总共为2310箱。如果假设7、8月份可乐饮料销售的平均增长率相同，求每个月的增长率。
【答案】解：设每个月的增长率为x
则，
解得 ， (舍去)
所以每个月的增长率为 .
【解析】【分析】设每个月的增长率公式为x，根据增长率公式分别表示出7、8月份可乐饮料销售量，然后根据7月销售量+8月销售量=2310，依次列出方程、解方程、验证、作答.
39．解方程2x2﹣3x﹣2=0；
【答案】解：（2x+1）（x﹣2）=0，
2x+1=0或x﹣2=0，
所以x1=﹣，x2=2；
【解析】【分析】利用因式分解法解方程；
40．如图，在菱形中，，点在射线上，连接，绕点顺时针旋转，旋转后得到的线段与对角线交于点，旋转角．射线与射线交于点．
（1）如图1，当点在线段上时，求证：．
（2）如图2，点在线段的延长线上，当时，求线段的长．
（3）如图3，连接，当时，求线段的长．
【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD是菱形
∴AB// CD
∴∠BAC=∠DCF
∵∠EDF=∠BAC
∴∠EDF=∠DCF
∵∠DFP=∠CFD
∴△FDP∽△FCD
（2）解：连接DB交AC于点O
∵四边形ABCD是菱形
∴∠DOC=90°
在 Rt 中， ， 由勾股定理得：
由 (1) 得：
四边形 A B C D 是菱形
（3）解：∵四边形 ABCD是菱形
∴∠BAC=∠BCA
∵EFllAB
∴∠EFC=∠BAC
∴∠EFC=∠BCA
∴EF=EC
由（1）得：∠FDE=∠BAC=∠BCA
∵∠FPD=∠EPC
∴△FPD∽△EPC
∵ZFPE=LDPC.
∴△FPE∽△DPC
∴∠PDC=∠EFC
∵∠EFC=∠BAC=∠DAC
∴∠PDC=∠DAC
∴∠DCP=∠ACD
∴△DCP∽△ACD
∴CD2 =CP·CA
由 (2) 得：
四边形 A B C D 是菱形
【解析】【分析】（1）先利用菱形的性质及平行线的性质可得∠BAC=∠DCF，再结合∠DFP=∠CFD，可证出；
（2）连接DB交AC于点O，先利用勾股定理求出OF的长，利用线段的和差求出FC的长，再根据，可得，将数据代入求出，再根据，可得，再求出CE的长即可；
（3）先求出，再利用平行线分线段成比例的性质可得，将数据代入可得，再求出EF的长即可.
41．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与双曲线的交点为，且的面积为．
（1）求a，k的值；
（2）直线与双曲线的交点为C，D（C在D的左边）．
①连接AC，AD，若的面积为24，求点C的坐标；
②直线与直线交于点E，过点D作，交直线于点F，G为线段DF上一点，且，连接AG，求的最小值．
【答案】（1）解：∵直线与y轴交于点A，∴，
∵的面积为，∴，∴点B的坐标为，∴，，
∴直线AB的函数表达式为，双曲线的函数表达式为．
（2）解：
①∵，∴直线过定点，
∵点在双曲线上，点A坐标为，
∴的一边平行于x轴，且其长为8.
又∵的面积为24，所以其高为6，所以此点的坐标为，
∵C在D的左边，∴点C的坐标为，点D的坐标为.
②设直线与直线AB交于点H，则点H的坐标为，
连接HD，HG，则，且，
∴，∴，
∵，，，∴，
∴，∴，即，且，
∵，∴，
又∵，∴，
∴，∴，∴点G的运动轨迹是直线PG．
作点H关于直线PG的对称点，则，
∴当点A，G，三点在同一直线上时，的值最小，即为，
，
∴的最小值为的最小值，即，
∵，，∴，
∴，∴，
∴的最小值．
【解析】【分析】（1）根据直线与y轴交于点A， 求得OA=1，再由的面积为， 求得点B的横坐标的值，得到点B的坐标，从而得到a，k的值，从而求解；
（2） ① 根据直线与坐标轴的交点得到点A的坐标，求得的一边平行于x轴，且其长为8，结合的面积为24， 求得该三角形的高为6，得到点C的坐标，从而求解； ② 连接HD，HG，则，且， 先证明， 求得，结合已知再证明， 进而得到，点G的运动轨迹是直线PG， 作点H关于直线PG的对称点，则，得到当点A，G，三点在同一直线上时，的值最小，即为，最后利用线段的和差关系以及勾股定理即可求解.
42．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．
（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：如图，是相似．
证明：延长FE，与CD的延长线交于点G．
在Rt△AEF与Rt△DEG中，
∵E是AD的中点，
∴AE＝ED．
∵∠AEF＝∠DEG，
∴△AFE≌△DGE．
∴∠AFE＝∠DGE．
∴E为FG的中点．
又CE⊥FG，
∴FC＝GC．
∴∠CFE＝∠G．
∴∠AFE＝∠EFC．
又△AEF与△EFC均为直角三角形，
∴△AEF∽△EFC．
（2）解：① 存在．
如果∠BCF＝∠AEF，即k＝＝时，△AEF∽△BCF．
证明：当＝时，＝，
∴∠ECG＝30°．
∴∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．
∴∠BCF＝90°－60°＝30°．
又△AEF和△BCF均为直角三角形，
∴△AEF∽△BCF．
② 因为EF不平行于BC，
∴∠BCF≠∠AFE．
∴不存在第二种相似情况．
【解析】【分析】（1）延长FE，与CD的延长线交于点G，由E为AD的中点，易证得△AFE≌△DGE （ASA），所以∠AFE＝∠DGE ，EF=EG，再根据EF⊥EC可得FC＝GC，所以∠CFE＝∠G ，等量代换可得∠AFE＝∠CFE，进而可证得△AEF与△EFC 相似；
（2）由题可知，在△AEF与△BFC 中，已有∠A=∠B=90°，故可分两种情况讨论，当∠BCF＝∠AEF时，AE：BC=AF：BF，由点E是AD的中点，可得BC=2AE，故BF=2AF，即AB=3AF，设AF=x，则CD=AB=3x，GD=x，由题易得，故，即，，则BC=AD=2DE=，故可得时，可使得△AEF与△BFC相似；因为EF不平行于BC，不存在第二种相似情况.
43．用木条制成如图的形式，A、B、C三点钉上钉子，在D和D′处加上粉笔，当用D′画图时，在D处的笔同时也画出一个图形．请问：这样画出的两个图形是相似图形吗？
【答案】解：因为木条制成的图形固定，点D和点D′的相对位置固定，
所以点D处的粉笔画图时，点D′处的粉笔会画出形状相同的图形，这两个图形的形状相同，
因此是相似图形．
【解析】【分析】因为D与D′两点是相对位置固定的，所以两者会画出相似的图形。
44．如图1，在正方形中，点E在上（不与点B，C重合），点F在边上，，连接交于点M．
（1）求证：；
（2）如图2，连接与交于点G，连接交于点H．
①求证：；
②当时，求的值；
（3）如图3，若E是的中点，以点B为圆心，为半径作，P是上的一个动点，连接交于点N，则的最大值为 ．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
即，
；
（2）解：①四边形是正方形，
，
，
，
，
再由（1）的证明知：，
，
即；
②解：如图，分别过G、H作的垂线，垂足分别为K、Q；
则；
∵四边形为正方形，
，
，
，
设，
由①知，，
，
，
；
，
，
，
，
即，
；
，
，
，
即，
由勾股定理得：，；
，
，
，
又由（1）知，，
由勾股定理得，
；
（3）2
【解析】【解答】（3）解：如图，延长交于点W，过P作于Y，过P作交射线于点J；
，
，
，
，
则当最大时，最大；
，，
，
；
，
，
；
∵点E是的中点，，
，
由勾股定理得，
，
即，
上式表明：当最大时，最大，从而最大；
此时点P与点W重合，Y与M重合；
，
，
则，
，
的最大值为；
故答案为：2．
【分析】（1）根据正方形的性质和三角形全等的判定即可证明，再由全等三角形的性质及互余关系，即可证明；
（2）①根据正方形的性质得出则，再由（1）的证明即可证明；
②分别过G、H作的垂线，垂足分别为K、Q；证明BK=GK，设，根据正方形的性质和平行线分线段成比例可表示出AB、BE、KE、BK，再由勾股定理和三角形面积公式，表示出GM、GE，即可解答；
（3）延长交于点W，过P作于Y，过P作交射线于点J；易证，则，从而，当最大时，最大；证明，则可得，当最大时，最大，此时点P与点W重合，Y与M重合；由面积关系求出，则可得的值，最后求得结果.
45．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝-2x+6的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（a，4），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ是完美筝形时，求P，Q两点的坐标．
【答案】（1）解：∵一次函数y＝-2x+6的图象过点A，
∴4＝-2a+6，
∴a＝1，
∴点A（1，4），
∵反比例函数y＝的图象过点A（1，4），
∴k＝1×4＝4；
∴反比例函数的解析式为：y＝，
联立方程组可得：，
解得：
∴点B（2，2）；
（2）解：如图，过点A作AE⊥y轴于E，过点C作CF⊥y轴于F，
∴AE∥CF，
∴△AEH∽△CFH，
∴，
当时，则CF＝2AE＝2，
∴点C（-2，-2），
∴BC＝
当＝2时，则CF＝AE＝，
∴点C（-，-8），
∴BC＝
综上所述：BC的长为4或；
（3）解：如图，当∠AQP＝∠ABP＝90°时，设直线AB与y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴于F，设BP与y轴的交点为N，连接BQ，AP交于点H，
∵直线y＝-2x+6与y轴交于点E，
∴点E（0，6），
∵点B（2，2），
∴BF＝OF＝2，
∴EF＝4，
∵∠ABP＝90°，
∴∠ABF+∠FBN＝90°＝∠ABF+∠BEF，
∴∠BEF＝∠FBN，
又∵∠EFB＝∠BFN＝90°，
∴△EBF∽△BNF，
∴，
∴FN＝＝1，
∴点N（0，1），
∴直线BN的解析式为：y＝x+1，
联立方程组得：，
解得：
∴点P（-4，-1），
∴直线AP的解析式为：y＝x+3，
∵AP垂直平分BQ，
∴设BQ的解析式为y＝-x+4，
∴x+3＝-x+4，
∴x＝，
∴点H（，），
∵点H是BQ的中点，点B（2，2），
∴点Q（-1，5）．
【解析】【分析】（1）根据题意先将A（a，4）代入一次函数y＝-2x+6解得a=1，进一步求得反比例函数的解析式，再将一次函数与反比例函数联立方程组即可求解点B的坐标；
（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，根据题意得AE∥CF，进一步得到△AEH∽△CFH，利用相似三角形的性质求得点C（-2，-2），结合已知条件进行分类讨论，当 或 当＝2时，直接利用勾股定理即可求解；
（3）当∠AQP＝∠ABP＝90°时，设直线AB与y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴于F，设BP与y轴的交点为N，连接BQ，AP交于点H，根据直线y＝-2x+6与y轴交于点E，求得点E的坐标，结合已知条件求得EF＝4，因为∠ABP＝90°，利用余角的性质得到∠BEF＝∠FBN，进一步得△EBF∽△BNF，利用相似三角形的性质进一步得FN＝1，即直线BN的解析式，联立方程组解得点P的坐标，进一步得到直线AP的解析式，结合AP垂直平分BQ，设BQ的解析式为y＝-x+4，利用中点坐标公式即可求解.
46．如图， 点 在反比例函数 的图象上， 轴， 轴， 垂足 分别在 轴的正、负半轴上， ． 若 是 的中点， 连结 ， 且 的面积是 面积的 2 倍， 求 的值．
【答案】解：过点B作BF⊥AC交AC的延长线于点F
∵△BCE的面积是△ADE面积的2倍，E是AB的中点，
【解析】【分析】过点B作BF⊥AC交AC的延长线于点F，根据 的面积是 面积的 2 倍求出AC=2BD，根据反比例函数中k的几何意义可得从而推出AB，AF的长，再根据勾股定理可求出BF的长，即可求得.
47．在实数范围内只有一个实数是关于x的方程 的根，求实数k的所有可能值.
【答案】解：
两边同乘以 得：
整理得：
由题意分以下2种情况分析：（1）当 时，原方程可变为：
解得：
经检验， 是原分式方程的唯一实数根，符合题意；（2）当 时，则关于x的方程 只有一个实数根
则方程的根的判别式
解得：
将 代入方程得：
解得：
经检验， 是原分式方程的唯一实数根，符合题意
综上，实数k的所有可能取值为1和 .
【解析】【分析】先将分式方程转化成整式方程，再分二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论，根据一元一次方程的解的性质、一元二次方程的根的判别式分析即可.
48．材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：；
材料2：如果实数m、n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）①已知一元二次方程的两根分别为，则______，______．
②已知实数a，b满足：，则______．
（2）已知实数m、n、t满足：，且，求的取值范围．
（3）设实数a，b分别满足，且，求的值．
【答案】（1）①，；②
（2）解：∵实数m、n、t满足：，
∴m，n是关于x的一元二次方程，即的两个不相等的实数根，
∴，即，
，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
且，
∴。
（3）解：∵实数a，b分别满足，且，
∴，
∴方程可变形为，
∴a，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴．
【解析】【解答】（1）解：①∵一元二次方程的两根分别为，
∴根据韦达定理，可得
，．
故答案为：，
②∵，
∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∴．
故答案为：
【分析】（1）①根据韦达定理：，，代入数据，即可求解
②根据材料2，可知a，b是一元二次方程两个不相等的实数根，根据韦达定理可求出a+b和ab的值，然后再对进行通分，最后再将a+b和ab的值代入即可求解。
（2）由材料2可得m，n是关于x的一元二次方程，即的两个不相等的实数根，根据判别式的定义，可得，然后再根据韦达定理，求出m+n和mn的值，然后再结合，可求出t的取值范围，最后再将展开后将m+n和mn整体代入即可求解；
（3）将方程进行变形：，可知a，是方程的两个不相等的实数根，根据韦达定理，求出和的值，再将对进行变形：，最后再将和的值代入即可求解。
（1）解：①∵一元二次方程的两根分别为，
∴根据韦达定理，可得
，．
故答案为：，
②∵，
∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∴．
故答案为：
（2）解：∵实数m、n、t满足：，
∴m，n是关于x的一元二次方程，即的两个不相等的实数根，
∴，即，
，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
且，
∴；
（3）解：∵实数a，b分别满足，且，
∴，
∴方程可变形为，
∴a，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴．
49．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．
（1）求k、b的值．
（2）点C是轴上一点，若的面积为24，求点的坐标．
【答案】（1）解：将点代入，得：，
将点代入，得：，解得：．
（2）解：对于，当时，，当时，，
点的坐标为，与轴的交点的坐标为，
过点作轴，
点，点，
，，，，
点是轴上的一点，设点的坐标为．
分两种情况讨论如下：
①当点在轴的正半轴上时，
则，，
，
，
即：，
解得：，
点的坐标为；
②当点在轴的负半轴上时，
则，，
，
即：，
，
解得：，
点的坐标为．
综上所述：点的坐标为或．
【解析】【分析】（1）把点A（3，10）分别代入和中可求出k、b的值；
（2） 设点的坐标为 ，分两种情况： ①当点在轴的正半轴上时， ②当点在轴的负半轴上时， 根据的面积为24 分别建立方程并解之即可.
50．学校数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在中，点在线段上，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点作，交AO的延长线于点，通过构造就可以解决问题（如图2）．
（1）请回答： °。 ．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点，，，求DC的长．
【答案】（1）75；
（2）解：过点作交于点，如图所示．
，，
．
，
，
．
，
．
，
，
．
，
，，
．
在中，，即，
解得：，
，．
在中，，即，
解得：．
【解析】【解答】解：（1），
．
，
，
．
又，
，
．
，，
，
．
故答案为：75；．
【分析】（1）根据平行线的性质可得，结合，可证
，利用相似三角形的性追求出OD的长，进而求出AD，再利用三角形内角和求出∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的性质即可求解；
（2）过点作交于点E， 先求出AE，再利用勾股定理先求出BE的长，继而求出CD即可.
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