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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第4章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角. 5.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 6.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 7.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等. 8.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 9.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 10.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 11.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 12.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 13.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 14.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 15.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 16.知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式. 17.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误. 18.通过实例体会反证法的含义. 19.能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；过直线外一点作这条直线的平行线；作一条线段的垂直平分线；作已知角的平分线.
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第3章《三角形》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“三角形”和“定义、命题、定理”。本章内容以三角形为核心，系统整合其定义、性质、分类及全等判定等知识，既承接平行线与相交线的基础，又为后续直角三角形、四边形等内容奠定方法论框架。教材通过“观察—操作—归纳”路径展开教学，如用小棒摆三角形、拼内角验证内角和定理，强化几何直观；同时注重逻辑推理渗透，例如通过三角形内角和定理推导外角性质，引导学生从特殊到一般归纳结论。此外，单元融入等腰三角形、等边三角形等特殊三角形研究，形成“一般—特殊”的认知结构，并通过全等三角形的判定（SSS、SAS等）培养演绎推理能力，体现“几何研究大观念”的单元整体设计理念。
学情分析 八年级学生已具备平行线、角度等几何基础，能初步运用逻辑推理解决简单问题，但对抽象概念的理解仍需直观支持。例如，在三角形三边关系中，学生易混淆“较短两边之和大于第三边”与“任意两边之和大于第三边”，需通过操作实验突破认知障碍；在全等三角形判定中，学生可能因忽视对应关系导致证明错误，需通过对比练习强化条件匹配意识。此外，学生合作探究能力较强，但独立思考与创新表达较弱，需通过角色扮演、开放性问题激发思维活力。
单元目标 （一）教学目标 1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形，知道等腰三角形、等边三角形的概念. 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形. 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形. 4.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算. 5.会根据角的大小对三角形进行分类. 6.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关 计算. 7.初步认识定义、命题、互逆命题、公理、定理、互逆定理的概念. 8.能分清命题的条件和结论，会把命题写成“如果……，那么……”的形式. 9.会判断命题的真假，会用举反例的方法说明一个命题是假命题. 10.会识别两个命题是不是互逆命题，会写出一个简单命题的逆命题. 11.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明. 12.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角. 13.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题. 14.掌握判定两个三角形全等的四个判定定理，并能熟练地判定两个三角形全等. 15.在探索三角形全等的条件及其运用过程中，培养实践能力和逻辑思维能力. 16.知道尺规作图的概念，对尺规作图题会写已知、求作和作法. 17.会用尺规作一个角等于已知角，过直线外一点作这条直线的平行线. 18.在分别给出三边、两边及其夹角、两角及其夹边的条件下，会用尺规作三角形. 19.会利用尺规作图留下的痕迹分析作图类型并能利用相关知识解决问题. 20.掌握等腰三角形、等边三角形的性质，能利用等腰三角形、等边三角形的性质进行计算与证明. 21.掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理，能利用等腰三角形、等边三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形或等边三角形. 22.尝试说理，进一步发展有条理的思考和表达能力，提高演绎推理能力. 23.认识线段的垂直平分线，会利用线段垂直平分线的性质进行相等线段的转化. 24.能运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决问题. 25.会用尺规作一条线段的垂直平分线以及过一点作已知直线的垂线. 26.已知底边及底边上的高线会用尺规作等腰三角形. 27.会用尺规作已知角的平分线. （二）教学重点、难点 重点 1.三角形边角关系与内角和定理的系统掌握. 2.全等三角形的性质及三种基本判定方法的灵活运用. 3.等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的本质理解. 4.定义、命题、证明的逻辑结构与书写规范. 难点 1.从实验验证上升到演绎证明的思维转换. 2.在复杂图形中准确找出全等三角形的对应元素并选择恰当判定. 3.将等腰三角形性质迁移到多步证明与实际问题. 4.对命题条件、结论及逆命题的辨析与反例构造.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1认识三角形24.2命题与证明34.3全等三角形54.4尺规作图24.5等腰三角形34.6线段的垂直平分线2第3章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1 认识三角形（1）1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形.知道等腰三角形、等边三角形的概念。 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。1.能判断三条线段能否构成三角形。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.能准确地表示出三角形的高、角平分线、中线或画出相关图形。任务一：情境导入，观察图形。 任务二：探究新知，认识三角形及三角形有关的概念。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.1 认识三角形（2）1.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。1.会应用三角形的内角和定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。任务一：动手操作，回顾旧知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，应用三角形的外角及内角和进行相关计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.2.1 定义，命题1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。 2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，观察猜想. 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.2 证明，举反例1.理解反例的作用，学会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明。1.会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.会进行一些简单命题的证明。任务一：认真思考，初步感知举反例。 任务二：探究新知，探究举反例和证明. 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.3 定理，推论1.理解定理与推论的概念，掌握定理的证明方法，能运用已知定理推导简单推论。 2.初步认识定理、互逆定理的概念。能运用已知定理推导简单推论。任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究定理和推论。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.3.1 认识全等三角形1.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。1.会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。任务一：认真观察，提出猜想。 任务二：探究新知，全等三角形的性质。 任务三：例题精讲，进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）1.理解“边角边”（SAS）判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和夹角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真观察，进行判断。 任务二：探究新知，掌握边角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）1.理解“角边角、角角边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用ASA、AAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握角边角、角角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.4 全等三角形的判定定理（边边边）1.理解“边边边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SSS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握边边边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.5 全等三角形的应用1.理解全等三角形在测量、设计、证明等实际问题中的应用价值。 2.能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，构建全等三角形模型。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（1）1.掌握尺规作图的基本方法，能正确作出“已知三边的三角形”“一个角等于已知角”“已知两边及其夹角的三角形”。 2.理解三种作图方法的理论依据（SSS、SAS全等判定及角复制原理），并能用几何语言清晰表达步骤。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（2）1.能规范使用直尺和圆规完成“已知两角及其夹边作三角形”与“过直线外一点作平行线”任务，掌握关键步骤。 2.理解两种作图方法的理论依据（AAS全等判定、同位角相等两直线平行），并能用几何语言清晰表达。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（1）1.掌握等腰三角形的性质定理，能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。 2.理解性质定理的证明方法（利用全等三角形），规范书写推理过程。能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的性质。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（2）1.掌握等腰三角形的判定定理，并能运用该定理进行几何证明和计算。 2.理解判定定理与性质的互逆关系。能运用定理证明线段相等或三角形为等腰三角形。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的判定定理。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（3）1.掌握等边三角形的性质和判定定理。 2.能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等边三角形的性质和判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（1）1.理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与逆定理的内容及符号表达。 2.能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，探究线段垂直平分线。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（2）1.掌握线段垂直平分线、过一点作已知直线垂线、已知底边及高线作等腰三角形、作角平分线的尺规作图方法，能规范书写作图步骤。 2.理解各作图方法的几何依据。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，动手操作。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。第4章 小结与评价1.系统回顾三角形的三边关系、内角和定理、外角性质及分类标准。 2.熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.掌握垂直平分线的性质与判定，并能结合尺规作图解决实际问题。1.能够熟练运用三角形的三边关系、内角和定理、外角性质解决问题。 2.能够熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.能够熟练运用垂直平分线的性质与判定解决问题任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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第4章 三角形
4.3.2 全等三角形的判定定理
（边角边）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解“边角边”（SAS）判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和夹角。
01
掌握定理的证明方法，能运用SAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。
02
通过观察、操作、猜想、验证等活动，经历SAS定理的抽象过程，培养几何直观和逻辑推理能力。
03
02
新知导入
回顾
什么是全等三角形？全等三角形有什么性质？
能完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
如何判断两个三角形全等？
如果两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，那么这两个三角形全等.
03
新知探究
思考
如果两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，那么这两个
三角形全等. 能否用更少的条件来判定两个三角形全等？
一个条件
一条边相等
一个角相等
两个条件
两条边相等
两个角相等
一条边和一个角相等
三个条件
三条边相等
三个角相等
……
03
新知探究
提示：根据画图
画一画
一条边对应相等：在△ABC和△A B C 中，BC=B C ， △ABC和△A B C 是否全等？
03
新知探究
提示：根据画图
画一画
一个角对应相等：在△ABC和△A B C 中，∠B=∠B ， △ABC和△A B C 是否全等？
03
新知探究
提示：根据画图
画一画
两条边分别对应相等：在△ABC和△A B C 中，AB=A B ，BC=B C ， △ABC和△A B C 是否全等？
03
新知探究
提示：根据画图
画一画
两个角分别对应相等：在△ABC和△A B C 中，∠BAC=∠A ，∠B=∠B ， △ABC和△A B C 是否全等？
03
新知探究
提示：根据画图
画一画
一条边和一个角分别对应相等：在△ABC和△A B C 中, BC=B C ，∠B=∠B ， △ABC和△A B C 是否全等？
03
新知探究
综上可知，当两个三角形只有一条边（或一个角）相等时，两个三角形不一定全等；当只有两条边（或一边一角、两个角）分别对应相等时，两个三角形也不一定全等.
03
新知探究
提示：根据画图
做一做
每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为 50°，夹这个角的两边长分别为2cm，2.5cm. 将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？
猜测：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
03
新知探究
合作探究
任务一：将△ABC沿射线BB′的方向平移，平移的距离等于线段 BB′的长度。在这个平移下，将△ABC 的像记为△A1B1C1。
任务二：将△A1B1C1绕点B′旋转，旋转角的大小等于∠C1B′C′。在这个旋转下，将△A1B1C1的像记为△A2B2C2 。
任务三：作△A2B2C2关于直线B'C'成轴对称的图形，将其像记为△A3B3C3。
03
新知探究
A
B
C
B'
A′
C′
A1
B'
A′
(B1)
A2
(B2)
(B3)
(A3)
(C2)
(C3)
03
新知探究
全等三角形的判定定理（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
几何语言
在△ABC和△A B C 中，
∴△ABC(边角边)
书写时需按照与图形中“边 角 边”对应的顺序排列条件
03
新知探究
如图，AB和CD相交于O，且AO=BO，CO=DO.
求证：△ACO≌△BDO.
例2
思考：你还能得到什么信息？
∠AOC =∠BOD (对顶角相等)
03
新知探究
如图，AB和CD相交于O，且AO=BO，CO=DO.
求证：△ACO≌△BDO.
例2
证明：在△ACO和△BDO中，
∴△ACO≌△BDO(边角边)
03
新知探究
提示：根据画图
议一议
“两条边与其中一条边的对角分别对应相等的两个三角形全等”是真命题还是假命题？与同学交流你的想法.
假命题
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．满足的三条线段一定能组成三角形
D．对顶角相等
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，已知，欲用“边角边”证明≌，需补充条件（ ）
A．
B．
C．
D．
C
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，将沿AC对折，点与点重合，则全等的三角形有（ ）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
C
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.两条直角边分别相等的两个直角三角形 全等．（填“一定”“不一定”或“一定不”）
5.如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则
．
一定
225°
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.如图，为的中线，延长至D，使,连接,已知，，则与的周长差是 ．
8
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的异侧，AB=DC，BF=CE，∠B=∠C．求证：AE//DF．
证明：∵，∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴AE//DF．
05
课堂小结
全等三角形的判定定理（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
几何语言
在△ABC和△A B C 中，
∴△ABC(边角边)
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是（ ）
A．
B．
C．
D．
D
06
作业布置
2.如图，中，，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
A
06
作业布置
3.如图所示，，,,,,则 ．
55°
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图，已知、、、在同一条直线上，，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
06
作业布置
在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
07
板书设计
判定定理：
几何语言：
注意事项：
4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）
习题讲解书写部分
Thanks!
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分课时教学设计
第二课时《4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《全等三角形的判定定理（边角边）》是湘教版八年级上册第4章《三角形》的第三节第二课时的内容。本节课是全等三角形判定体系的核心章节，紧承全等三角形的定义与性质，为后续“角边角”“边边边”等判定定理的探究奠定基础。本节课主要学习了全等三角形的判定定理——边角边，通过例题和练习，强化定理在证明线段相等、角相等及解决实际问题中的应用，凸显数学结论的严谨性与实用性，体现从特殊到一般、从操作到推理的数学思想。
学习者分析 八年级学生已具备初步的几何认知基础，能理解全等三角形的定义与性质，但“边角边”定理的探究需要较强的逻辑推理能力和空间想象能力，对学生而言仍具挑战性。知识层面，学生对“对应边”“对应角”的识别有一定基础，但在复杂图形中易混淆夹边与对角，需通过具体操作强化理解；能力层面，学生具备基本的尺规作图技能，但部分学生操作不规范，且在证明过程中易忽略“对应”关系的表述，需加强规范训练。此外，学生对定理的证明过程理解困难，需从直观操作逐步过渡到抽象推理。
教学目标 1.理解“边角边”（SAS）判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和夹角。 2.掌握定理的证明方法，能运用SAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。 3.通过观察、操作、猜想、验证等活动，经历SAS定理的抽象过程，培养几何直观和逻辑推理能力。
教学重点 掌握SAS判定定理的内容、格式及适用条件。
教学难点 理解“夹角”在判定中的必要性，能用反例说明SSA不能保证全等。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 问题1：什么是全等三角形？ 问题2：全等三角形有什么性质？ 问题3：如何判断两个三角形全等？ 教师讲授： 能完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 如果两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，那么这两个三角形全等.学生活动1： 快问快答，举手回答问题 认真听讲，回顾旧知活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：新知探究教师活动2： 【思考】如果两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，那么这两个三角形全等. 能否用更少的条件来判定两个三角形全等？ 【画一画】一条边对应相等：在△ABC和△ABC中，BC=BC， △ABC和△ABC是否全等？ 一个角对应相等：在△ABC和△ABC中，∠B=∠B， △ABC和△ABC是否全等？ 两条边分别对应相等：在△ABC和△ABC中，AB=AB，BC=BC， △ABC和△ABC是否全等？ 两个角分别对应相等：在△ABC和△ABC中，∠BAC=∠A，∠B=∠B， △ABC和△ABC是否全等？ 一条边和一个角分别对应相等：在△ABC和△ABC中， BC=BC ，∠B=∠B， △ABC和△ABC是否全等？ 教师讲授：综上可知，当两个三角形只有一条边（或一个角）相等时，两个三角形不一定全等；当只有两条边（或一边一角、两个角）分别对应相等时，两个三角形也不一定全等. 【做一做】每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为 50°，夹这个角的两边长分别为2cm，2.5cm. 将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？ 猜测：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 【合作探究】任务一：将△ABC沿射线BB′的方向平移，平移的距离等于线段 BB′的长度。在这个平移下，将△ABC 的像记为△A1B1C1。 任务二：将△A1B1C1绕点B‘旋转，旋转角的大小等于∠C1B′C′。在这个旋转下，将△A1B1C1的像记为△A2B2C2 。 任务三：作△A2B2C2关于直线B'C'成轴对称的图形，将其像记为△A3B3C3。 全等三角形的判定定理（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 几何语言 在△ABC和△ABC中， ∴△ABC(边角边) 教师讲授：书写时需按照与图形中“边角边”对应的顺序排列条件学生活动2： 认真思考，分情况讨论 动手操作，直观感受 动手操作，直观感受 动手操作，直观感受 动手操作，直观感受 动手操作，直观感受 认真听讲 动手操作，直观感受 观察思考，举手回答问题 学生动手操作，直观感受 认真听讲，理解全等三角形的判定定理（边角边）活动意图说明：通过动手操作可以让学生的认知更直观，使学生亲自经历获取知识的过程，能提高对数学结论的认可程度。环节三：探究性质教师活动3： 例2如图，AB和CD相交于O，且AO=BO，CO=DO. 求证：△ACO≌△BDO. 证明：在△ACO和△BDO中， ∴△ACO≌△BDO(边角边) 【议一议】“两条边与其中一条边的对角分别对应相等的两个三角形全等”是真命题还是假命题？与同学交流你的想法. 教师举例：学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 合作交流 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 全等三角形的判定定理（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 几何语言 在△ABC和△ABC中， ∴△ABC(边角边)学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列命题是真命题的是（ ） A．三角形的外角大于它的任何一个内角 B．两边及一角对应相等的两个三角形全等 C．满足的、、三条线段一定能组成三角形 D．对顶角相等 2.如图，已知，欲用“边角边”证明≌，需补充条件（ ） A． B． C． D． 3.如图，将沿AC对折，点与点重合，则全等的三角形有（ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 选做题： 4.两条直角边分别相等的两个直角三角形 全等．（填“一定”“不一定”或“一定不”） 5.如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则 ． 6.如图，为的中线，延长至D，使,连接,已知，，则与的周长差是 ． 【综合拓展类作业】 7.如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的异侧，AB=DC，BF=CE，∠B=∠C．求证：AE∥DF．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是（ ） A． B． C． D． 2.如图，中，，，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 3.如图所示，，,,,,则 ． 4.如图，已知、、、在同一条直线上，，，，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【综合拓展类作业】 4.如图，已知、、、在同一条直线上，，，，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数．
教学反思 课堂中，学生能顺利复述SAS，但作业里仍有“两边一对角”就写全等的错误，说明反例冲击不够深刻；下次将加入“SSA能否全等”辩论赛，让学生亲手构造反例并现场演示重合失败。此外，证明书写时不少学生遗漏顶点对应顺序，我临时投影典型错例进行“大家来找茬”，效果良好，后续准备把“对应顶点对齐”设为每次证明的必检项，用持续提醒固化习惯。
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第4章 三角形
4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解“边角边”（SAS）判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和夹角。
2.掌握定理的证明方法，能运用SAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。
3.通过观察、操作、猜想、验证等活动，经历SAS定理的抽象过程，培养几何直观和逻辑推理能力。
学习重点：
掌握SAS判定定理的内容、格式及适用条件。
学习难点：
理解“夹角”在判定中的必要性，能用反例说明SSA不能保证全等。
学习过程
一、复习回顾
问题1：什么是全等三角形？
问题2：全等三角形有什么性质？
问题3：如何判断两个三角形全等？
二、新知探究
探究：全等三角形的判定定理
教材第106页
【思考】如果两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，那么这两个三角形全等. 能否用更少的条件来判定两个三角形全等？
【画一画】一条边对应相等：在△ABC和△ABC中，BC=BC， △ABC和△ABC是否全等？
一个角对应相等：在△ABC和△ABC中，∠B=∠B， △ABC和△ABC是否全等？
两条边分别对应相等：在△ABC和△ABC中，AB=AB，BC=BC， △ABC和△ABC是否全等？
两个角分别对应相等：在△ABC和△ABC中，∠BAC=∠A，∠B=∠B， △ABC和△ABC是否全等？
一条边和一个角分别对应相等：在△ABC和△ABC中， BC=BC ，∠B=∠B， △ABC和△ABC是否全等？
【做一做】每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为 50°，夹这个角的两边长分别为2cm，2.5cm. 将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？
【合作探究】任务一：将△ABC沿射线BB′的方向平移，平移的距离等于线段 BB′的长度。在这个平移下，将△ABC 的像记为△A1B1C1。
任务二：将△A1B1C1绕点B‘旋转，旋转角的大小等于∠C1B′C′。在这个旋转下，将△A1B1C1的像记为△A2B2C2 。
任务三：作△A2B2C2关于直线B'C'成轴对称的图形，将其像记为△A3B3C3。
三、例题探究
例2如图，AB和CD相交于O，且AO=BO，CO=DO.
求证：△ACO≌△BDO.
【议一议】“两条边与其中一条边的对角分别对应相等的两个三角形全等”是真命题还是假命题？与同学交流你的想法.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．满足的、、三条线段一定能组成三角形
D．对顶角相等
2.如图，已知，欲用“边角边”证明≌，需补充条件（ ）
A． B． C． D．
3.如图，将沿AC对折，点与点重合，则全等的三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
选做题
4.两条直角边分别相等的两个直角三角形 全等．（填“一定”“不一定”或“一定不”）
5.如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则 ．
6.如图，为的中线，延长至D，使,连接,已知，，则与的周长差是 ．
【综合拓展类作业】
7.如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的异侧，AB=DC，BF=CE，∠B=∠C．求证：AE∥DF．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在计算过程中须注意什么
六、作业布置
1.如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，中，，，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.如图所示，，,,,,则 ．
4.如图，已知、、、在同一条直线上，，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】D
【解析】解：A、∵三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，而和它相邻的角大小关系不确定，故A不符合题意；
B、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS），故B不符合题意；
C、三条线段能组成三角形的关键条件是：任意两边之和大于第三边，例如，但是1，2，3中，不能构成三角形，故C不符合题意；
D、对顶角相等，故D符合题意.
故答案为：D．
2.【答案】C
【解析】解：添加的条件是AD=CB，
理由是：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
故答案为：C.
3.【答案】C
【解析】解：∵沿AC对折，点与点重合
∴△ABC≌△AEC
∴AB=AE，BC=EC，∠BAC=∠EAC，∠BCA=∠ECA，∠ABC=∠AEC
∵AB=AE，∠BAC=∠EAC，AD=AD
∴△ABD≌△AED
∵BC=EC，∠BCA=∠ECA，CD=CD
∴△BDC≌△EDC
∴一共有3对全等三角形
故答案为：C.
4.【答案】一定．
【解析】解：∵两个直角三角形的两条直角边相等，而且所夹的角为直角，
∴根据可知这两个直角三角形全等．
故答案为：一定．
5.【答案】．
【解析】解：如图所示：
，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：．
6.【答案】．
【解析】解：∵为的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
的周长为：，
的周长为：，
∴与的周长差是∶
故答案为：8．
7.【答案】证明：∵，∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴AE∥DF．
作业布置：
1.【答案】D
【解析】解：如图：
∵是和的中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴，
∴小明离地面的高度支点到地面的高度，故D正确．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】解：在△BDE和△CFD中，
，
∴，
∴∠BED=∠CDF，
∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠B=∠C，
∴∠A+2∠B=180°，∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，∠BDE=180°-∠B-∠BED，∠EDF=a，
∴180°-∠B-∠BED+a+∠CDF=180°，
∴∠B=a，
即2a+∠A=180°．
故答案为：A ．
3.【答案】
【解析】解：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
4．【答案】（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
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