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第6章 图形的初步认识单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 杭州月考）在下面这些图形中，表示立体图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 汉川市期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 泗阳县期末）如图，某同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．经过一点有无数条直线
4．（2024秋 温岭市期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A．延长线段AB到C
B．射线BC经过点A
C．直线a与直线b相交于点P
D．射线CD与线段AB没有交点
5．（2024秋 余杭区期末）兰兰家在超市的北偏东50°的方向上，则超市在兰兰家的（ ）方向上．
A．南偏西50° B．南偏西40° C．西偏东50° D．西偏南50°
6．（2024秋 丽水期末）已知线段AB，C是直线AB上的一点，AB＝8cm，BC＝4cm，点M是线段AC的中点，则线段AM的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2cm或6cm D．4cm或6cm
7．（2024秋 江北区期末）将一副直角三角板按如图所示各位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，点E为长方形纸片ABCD的边BC上一点，将长方形纸片分别沿AE，EF折叠，使点B，C分别与点G，H重合，点E，G，H恰好在同一条直线上．若∠AEH＝3∠HEF，则∠AEH﹣∠HEF的度数为（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
9．（2024秋 金东区期末）如图，已知点C在线段AB的延长线上，点P、Q分别在线段AC、BC上，且满足CP＝3AP，CQ＝3BQ．则线段PQ的长（ ）
A．与线段AB、线段AC的长度都有关
B．仅与线段AB的长度有关
C．仅与线段AC的长度有关
D．与线段AB、线段AC的长度都无关
10．（2024秋 萧山区月考）如图，点D为△ABC内一点，满足∠DBC∠ABC，∠DCB∠ACB，过点B、点C分别作BD、CD的垂线相交于点E．设∠A＝α，∠E＝β，则α与β之间的数量关系为（ ）
A．α+3β＝180° B．3α+β＝180° C．α+β＝90° D．
二．填空题（共6小题）
11．（2025秋 禅城区校级期中）用粉笔尖在黑板上移动，可以画一条线，用数学知识解释为 ．
12．（2025春 岚山区期末）如图，在一次跳远测试中，AB的长度就是跳远的成绩，其中的数学依据是 ．
13．（2024秋 鹿邑县期末）已知∠A＝30°45′，∠B＝30.45°，则∠A ∠B．（填“＞”、“＜”或“＝”）
14．（2024秋 乐清市期末）如图，小聪将一副七巧板拼成了一个滑雪者的图案，则∠α的度数为 度．
15．（2024秋 七台河期末）如图，C是线段AB上任意一点，M，N分别是AC，BC的中点，如果AB＝12cm，那么MN的长为 cm．
16．（2024秋 汝州市期末）如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成两部分，其中一部分是NP和PQ，另一部分是QM，若这两部分的长度相等，即NP+PQ＝QM，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，E为线段AC的中点，CD＝1，CE＝3，则线段BC的长为 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2025春 杭州校级月考）在图中，∠1＝30°，那么∠2、∠3和∠4各等于多少度？图中存在哪些相等关系？
18．（2024秋 拱墅区校级期末）根据条件画出图形，并解答问题：
（1）如图，已知四个点A、B、C、D．
①画射线AD．
②画出一点P，使P到A、B、C、D的距离之和最小，理由是 ．
（2）在（1）的条件下填空：图中共有 条线段．
19．（2024秋 滨江区期末）如图，∠AOC＝3∠AOE，∠BOC＝3∠BOD，∠BOD＝12°．
（1）求∠DOC的度数．
（2）若∠AOB＝78°，求∠EOB的度数．
20．（2024秋 长兴县期末）已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，
（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度；
（2）如图2，若BDABCD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC的长度．
21．（2024秋 湖州期末）一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置．
（1）∠1+∠2＝ °；
（2）若∠1的补角比∠2的2倍多30°，求∠1的度数．
22．（2024秋 临海市期末）一副三角尺按如图方式叠放，∠DFE＝90°，∠BAC＝60°，点A，F重合．为探索∠CAE与∠BAD的关系，某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设∠CAE＝30°，求得∠BAD＝60°，于是三位同学得出不同猜想，甲：∠BAD＝2∠CAE；乙：∠CAE+∠BAD＝90°；丙：∠BAD﹣∠CAE＝30°．
（1）为验证猜想，他们再次假设∠CAE＝25°，并求出∠BAD的度数．请写出求解过程；
（2）①根据题（1）的结果，猜想一定错误的两位同学是 ；
②剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由．
23．（2024秋 宿城区期末）如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，BC＝4，AB＝12．
（1）求点A、B对应的数；
（2）动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为AP的中点，N在线段CQ上，且CNCQ，设运动时间为t（t＞0）．
①求点M、N对应的数（用含t的式子表示）； ②t为何值时，OM＝2BN．
24．（2024秋 路桥区期末）有一副三角板AOB，COD，∠BAO＝∠DCO＝90°，∠AOB＝30°，∠COD＝45°．
（1）如图1，将边OA，OC放在直线EF上，求∠BOD的度数；
（2）如图2，三角板COD固定不动，边OC仍在直线EF上，把三角板AOB绕点O顺时针旋转一周．
①当OB平分∠EOD时，求∠AOE的度数；
②当∠BOD＝2∠AOE时，请直接写出∠AOE的度数．中小学教育资源及组卷应用平台
第6章 图形的初步认识单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 杭州月考）在下面这些图形中，表示立体图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
【解答】解：根据立体图形的概念可知：只有A是立体图形．
故选：A．
2．（2024秋 汉川市期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据角的表示方法和图形选出即可．
【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
故选：D．
3．（2024秋 泗阳县期末）如图，某同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．经过一点有无数条直线
【答案】C
【分析】根据线段的性质，可得答案．
【解答】解：由于两点之间线段最短，
∴剩下树叶的周长比原树叶的周长小，
故选：C．
4．（2024秋 温岭市期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A．延长线段AB到C
B．射线BC经过点A
C．直线a与直线b相交于点P
D．射线CD与线段AB没有交点
【答案】C
【分析】由直线、射线、线段的概念，即可判断．
【解答】解：A、应该是延长线段BA到C，故A不符合题意；
B、射线BC不经过点A，故B不符合题意；
C、几何图形与相应语言描述相符，故C符合题意；
D、射线CD与线段AB有交点，故D不符合题意．
故选：C．
5．（2024秋 余杭区期末）兰兰家在超市的北偏东50°的方向上，则超市在兰兰家的（ ）方向上．
A．南偏西50° B．南偏西40° C．西偏东50° D．西偏南50°
【答案】A
【分析】根据方向的相对性：方向相反，角度不变；据此判断即可．
【解答】解：兰兰家在超市的北偏东50°的方向上，则超市在兰兰家的南偏西50°，
故选：A．
6．（2024秋 丽水期末）已知线段AB，C是直线AB上的一点，AB＝8cm，BC＝4cm，点M是线段AC的中点，则线段AM的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2cm或6cm D．4cm或6cm
【答案】C
【分析】分点C在点B的左右两侧，进行分类讨论，求解即可．
【解答】解：当点C在点B左侧时：
AC＝AB﹣BC＝8﹣4＝4（cm），
∴；
当点C在点B左侧时：
AC＝AB+BC＝8+4＝12（cm），
∴；
综上：AM的长为2cm或6cm；
故选：C．
7．（2024秋 江北区期末）将一副直角三角板按如图所示各位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角，据此逐项判断即可．
【解答】解：A中∠α+∠β＝45°+60°＝ 105°，则A不符合题意；
B中∠α+∠β＝ 45°+30°＝ 75°，则B不符合题意；
C中∠α+∠β不一定是90°，则C不符合题意；
D中∠α+∠β＝ 90°，则D符合题意．
故选：D．
8．如图，点E为长方形纸片ABCD的边BC上一点，将长方形纸片分别沿AE，EF折叠，使点B，C分别与点G，H重合，点E，G，H恰好在同一条直线上．若∠AEH＝3∠HEF，则∠AEH﹣∠HEF的度数为（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【答案】C
【分析】根据纸片的折叠可得∠AEB＝∠AEH，∠HEF＝∠CEF，所以∠AEH+∠HEF＝90°，已知∠AEH＝3∠HEF，可求∠AEH，∠HEF的度数，再求两个角的差．
【解答】解：由纸片折叠可知：∠AEB＝∠AEH，∠HEF＝∠CEF，
∵∠AEB+∠AEH+∠HEF+∠CEF＝180°，
∴∠AEH+∠HEF＝90°．
∵∠AEH＝3∠HEF，
∴∠HEF＝22.5°，∠AEH＝67.5°，
∴∠AEH﹣∠HEF＝67.5°﹣22.5°＝45°．
故选：C．
9．（2024秋 金东区期末）如图，已知点C在线段AB的延长线上，点P、Q分别在线段AC、BC上，且满足CP＝3AP，CQ＝3BQ．则线段PQ的长（ ）
A．与线段AB、线段AC的长度都有关
B．仅与线段AB的长度有关
C．仅与线段AC的长度有关
D．与线段AB、线段AC的长度都无关
【答案】B
【分析】通过已知的线段比例关系，将PQ用AB、AC、BC等线段表示出来，再进行化简，看其最终与哪些线段长度有关．
【解答】解：
将AP和CP用AC表示，
因为CP＝3AP，且AC＝AP+CP，
把CP＝3AP代入AC＝AP+CP中，
可得AC＝AP+3AP＝4AP，
那么 AC，．
将BQ和CQ用BC表示由于CQ＝3BQ，且BC＝BQ+CQ，
把CQ＝3BQ代入BC＝BQ+CQ中，
可得BC＝BQ+3BQ＝4BQ，
所以 BC，．
计算PQ的长度表达式根据线段关系PQ＝CP﹣CQ，将 AC，BC代入可得：，
又因为AC﹣BC＝AB（线段AC由线段AB和线段BC组成），
所以．
故选：B．
10．（2024秋 萧山区月考）如图，点D为△ABC内一点，满足∠DBC∠ABC，∠DCB∠ACB，过点B、点C分别作BD、CD的垂线相交于点E．设∠A＝α，∠E＝β，则α与β之间的数量关系为（ ）
A．α+3β＝180° B．3α+β＝180° C．α+β＝90° D．
【答案】A
【分析】根据题意，运用三角形的内角和和四边形的内角和进行求解．
【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠DBC∠ABC，∠DCB∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB∠ABC∠ACB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）（180°﹣α），
∵∠BDC+∠DBE+∠DCE+∠E＝360°，
∴∠BDC+∠E＝360°﹣（∠DBE+∠DCE）＝360°﹣（90°+90°）＝360°﹣180°＝180°，
即∠BDC+∠E＝360°
∵∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，
∴∠E＝∠DBC+∠DCB，
即β（180°﹣α），
解得α+3β＝180°，
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．（2025秋 禅城区校级期中）用粉笔尖在黑板上移动，可以画一条线，用数学知识解释为 点动成线 ．
【答案】点动成线．
【分析】根据点动成线即可解答．
【解答】解：用粉笔尖在黑板上移动，可以画一条线，用数学知识解释为点动成线．
故答案为：点动成线．
12．（2025春 岚山区期末）如图，在一次跳远测试中，AB的长度就是跳远的成绩，其中的数学依据是 垂线段最短 ．
【答案】垂线段最短．
【分析】明确跳远的成绩就是跳到的地方到起跳线间的距离，即垂线段的长度，然后解答即可．
【解答】解：跳远的成绩就是跳到的地方到起跳线间的距离，即垂线段的长度，
所以其中的数学依据是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
13．（2024秋 鹿邑县期末）已知∠A＝30°45′，∠B＝30.45°，则∠A ＞ ∠B．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】见试题解答内容
【分析】注意1°＝60′，先统一单位，再比较大小即可求解．
【解答】解：∵∠A＝30°45′＝30.75°，∠B＝30.45°，
30.75°＞30.45°，
∴∠A＞∠B．
故答案为：＞．
14．（2024秋 乐清市期末）如图，小聪将一副七巧板拼成了一个滑雪者的图案，则∠α的度数为 135 度．
【答案】135．
【分析】根据左图得到，平行四边形较小的角加等腰直角三角形的45度角等于90度，则求出平行四边形较小角的度数；再根据右图中，与所求的角组成平角，即可求出结果．
【解答】解：90°﹣45°＝45°，
180°﹣45°＝135°，
故答案为：135．
15．（2024秋 七台河期末）如图，C是线段AB上任意一点，M，N分别是AC，BC的中点，如果AB＝12cm，那么MN的长为 6 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于点M是AC中点，所以MCAC，由于点N是BC中点，则CNBC，而MN＝MC+CN（AC+BC）AB，从而可以求出MN的长度．
【解答】解：∵点M是AC中点∴MCAC
∵点N是BC中点∴CNBC
MN＝MC+CN（AC+BC）AB＝6．所以本题应填6．
16．（2024秋 汝州市期末）如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成两部分，其中一部分是NP和PQ，另一部分是QM，若这两部分的长度相等，即NP+PQ＝QM，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，E为线段AC的中点，CD＝1，CE＝3，则线段BC的长为 8或4 ．
【答案】8或4．
【分析】根据题意分两种情况画图解答即可得出答案．
【解答】解：①如图，
∵D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，
∴BD＝CD+AC，
∵E为线段AC的中点，
∴，
∴AC＝6，
∴BD＝CD+AC＝1+6＝7，
∴BC＝BD+CD＝7+1＝8；
②如图，CD＝1，CE＝3，
∵D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，
∴AD＝CD+CB，
∵E为线段AC的中点，
∴，
∴AC＝6，
∴AD＝AC﹣CD＝5，
∴CD+CB＝5，
∴BC＝5﹣CD＝5﹣1＝4；
综上可知，线段BC的长为8或4，
故答案为：8或4．
三．解答题（共8小题）
17．（2025春 杭州校级月考）在图中，∠1＝30°，那么∠2、∠3和∠4各等于多少度？图中存在哪些相等关系？
【答案】∠2＝150°，
∠3＝30°，
∠4＝150°．
∠1＝∠3，∠2＝∠4．
【分析】根据对顶角、邻补角的性质解答即可．
【解答】解：∵∠1＝30°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣30°＝150°，
∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣150°＝30°，
∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣30°＝150°．
由此，我们得到∠1＝∠3，∠2＝∠4．
18．（2024秋 拱墅区校级期末）根据条件画出图形，并解答问题：
（1）如图，已知四个点A、B、C、D．
①画射线AD．
②画出一点P，使P到A、B、C、D的距离之和最小，理由是 两点之间线段最短 ．
（2）在（1）的条件下填空：图中共有 7 条线段．
【答案】（1）①图见解答；②图见解答，两点之间线段最短；
（2）7．
【分析】（1）①根据题意作图即可；②根据两点之间线段最短，连接AC、BD交于点P，点P即为所求，
（2）根据两点确定一条线段求解即可．
【解答】解：（1）①如图所示，即为所求；
②如图所示，连接AC、BD交于点P，点P即为所求，
理由为两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（2）图中有线段PA，PD，PC，PB，AC，BD，AD，共有7条线段，
故答案为：7．
19．（2024秋 滨江区期末）如图，∠AOC＝3∠AOE，∠BOC＝3∠BOD，∠BOD＝12°．
（1）求∠DOC的度数．
（2）若∠AOB＝78°，求∠EOB的度数．
【答案】（1）24°；
（2）40°．
【分析】（1）根据题意，∠BOC＝3∠BOD，∠BOD＝12°，即可得出∠BOC＝36°，再根据∠DOC＝∠BOC﹣∠BOD计算即可得出答案；
（2）根据∠AOC＝3∠AOE＝∠BOC+∠AOB，∠AOB＝78°，可得3∠AOE＝36°+78°＝114°，即可得出∠AOE的度数，再根据∠EOB＝∠AOB﹣∠AOE进行计算，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝3∠BOD，∠BOD＝12°，
∴∠BOC＝3×12°＝36°，
∴∠DOC＝∠BOC﹣∠BOD＝36°﹣12°＝24°；
（2）∵∠AOC＝3∠AOE＝∠BOC+∠AOB，∠AOB＝78°，
∴3∠AOE＝36°+78°＝114°，
∴∠AOE＝38°，
∴∠EOB＝∠AOB﹣∠AOE＝78°﹣38°＝40°．
20．（2024秋 长兴县期末）已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，
（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度；
（2）如图2，若BDABCD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC的长度．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由线段的中点，线段的和差求出线段DB的长度为1cm；
（2）由线段的中点，线段的和差倍分求出AC的长度为18cm．
【解答】解：（1）如图1所示：
∵AC＝AB+BC，AB＝6cm，BC＝4cm
∴AC＝6+4＝10cm
又∵D为线段AC的中点
∴DCAC10＝5cm
∴DB＝DC﹣BC＝5﹣4＝1cm
（2）如图2所示：
设BD＝xcm
∵BDABCD
∴AB＝4BD＝4xcm，CD＝3BD＝3xcm，
又∵DC＝DB+BC，
∴BC＝3x﹣x＝2x，
又∵AC＝AB+BC，
∴AC＝4x+2x＝6xcm，
∵E为线段AB的中点
∴BEAB4x＝2xcm
又∵EC＝BE+BC，
∴EC＝2x+2x＝4xcm
又∵EC＝12cm
∴4x＝12，
解得：x＝3，
∴AC＝6x＝6×3＝18cm．
21．（2024秋 湖州期末）一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置．
（1）∠1+∠2＝ 90 °；
（2）若∠1的补角比∠2的2倍多30°，求∠1的度数．
【答案】（1）90；
（2）∠1＝30°．
【分析】（1）根据三角板的直角顶点落在直尺上，得出∠1+∠2＝90°即可；
（2）设∠1＝x°，则∠2＝90°﹣x°，根据∠1的补角比∠2的2倍多30°，列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵三角板的直角顶点落在直尺上，
∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，
故答案为：90；
（2）设∠1＝x°，则∠2＝90°﹣x°，根据题意得：
180﹣x＝2（90﹣x）+30，
解得：x＝30，
即∠1＝30°．
22．（2024秋 临海市期末）一副三角尺按如图方式叠放，∠DFE＝90°，∠BAC＝60°，点A，F重合．为探索∠CAE与∠BAD的关系，某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设∠CAE＝30°，求得∠BAD＝60°，于是三位同学得出不同猜想，甲：∠BAD＝2∠CAE；乙：∠CAE+∠BAD＝90°；丙：∠BAD﹣∠CAE＝30°．
（1）为验证猜想，他们再次假设∠CAE＝25°，并求出∠BAD的度数．请写出求解过程；
（2）①根据题（1）的结果，猜想一定错误的两位同学是 甲、乙 ；
②剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由．
【答案】（1）55°；
（2）甲、乙；
（3）丙同学的猜想正确，理由见解答过程．
【分析】（1）当∠CAE＝25°时，则∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝35°，进而得∠BAD＝∠DFE﹣∠BAE＝55°；
（2）①根据∠CAE＝25°，∠BAD＝55°得∠BAD≠2∠CAE，∠CAE+∠BAD＝25°+55°＝80°，据此即可得出答案；
②设∠CAE＝α，则∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝60°﹣α，进而得∠BAD＝∠DFE﹣∠BAE＝30°+α，则∠BAD﹣∠CAE＝30°，据此即可得出答案．
【解答】解：（1）假设∠CAE＝25°时，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝60°﹣25°＝35°，
∵∠DFE＝90°，
∴∠BAD＝∠DFE﹣∠BAE＝90°﹣35°＝55°；
（2）①∵∠CAE＝25°，∠BAD＝55°，
∴∠BAD≠2∠CAE，∠CAE+∠BAD＝25°+55°＝80°，
∴甲，乙两位同学的猜想一定错误，
故答案为：甲、乙；
②丙同学的猜想正确，理由如下：
设∠CAE＝α，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝60°﹣α，
∵∠DFE＝90°，
∴∠BAD＝∠DFE﹣∠BAE＝90°﹣（60°﹣α）＝30°+α，
∴∠BAD﹣∠CAE＝30°+α﹣α＝30°，
∴丙同学的猜想正确．
23．（2024秋 宿城区期末）如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，BC＝4，AB＝12．
（1）求点A、B对应的数；
（2）动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为AP的中点，N在线段CQ上，且CNCQ，设运动时间为t（t＞0）．
①求点M、N对应的数（用含t的式子表示）； ②t为何值时，OM＝2BN．
【答案】（1）2，﹣10；
（2）①﹣10+3t，6+t；
②t＝18秒或t秒．
【分析】（1）点B表示的数是6﹣4，点A表示的数是2﹣12，求出即可；
（2）①求出AM，CN，根据A、C表示的数求出M、N表示的数即可；②求出OM、BN，得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）∵点C对应的数为6，BC＝4，
∴点B表示的数是6﹣4＝2，
∵AB＝12，
∴点A表示的数是2﹣12＝﹣10．
（2）①∵动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度，时间是t，
∴AP＝6t，CQ＝3t，
∵M为AP的中点，N在CQ上，且CNCQ，
∴AMAP＝3t，CNCQ＝t，
∵点A表示的数是﹣10，C表示的数是6，
∴M表示的数是﹣10+3t，N表示的数是6+t．
②∵OM＝|﹣10+3t|，BN＝BC+CN＝4+t，OM＝2BN，
∴|﹣10+3t|＝2（4+t）＝8+2t，
由﹣10+3t＝8+2t，得t＝18，
由﹣10+3t＝﹣（8+2t），得t，
故当t＝18秒或t秒时OM＝2BN．
24．（2024秋 路桥区期末）有一副三角板AOB，COD，∠BAO＝∠DCO＝90°，∠AOB＝30°，∠COD＝45°．
（1）如图1，将边OA，OC放在直线EF上，求∠BOD的度数；
（2）如图2，三角板COD固定不动，边OC仍在直线EF上，把三角板AOB绕点O顺时针旋转一周．
①当OB平分∠EOD时，求∠AOE的度数；
②当∠BOD＝2∠AOE时，请直接写出∠AOE的度数．
【答案】（1）∠BOD＝105°；
（2）①∠AOE＝37.5°；②∠AOE的度数为35°或85°．
【分析】（1）根据题意，结合图形，可得到∠BOD的度数；
（2）①根据图2，结合角平分线，得到∠EOB的度数，从而得到结果；
②根据△AOB旋转的不同位置，得到角度之间的数量关系，得到结果．
【解答】解：（1）如图1，
∵∠AOB＝30°，∠COD＝45°，
∴∠BOD＝∠AOC﹣∠AOB﹣∠DOC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
即∠BOD＝105°；
（2）①如图2，
∵∠COD＝45°，
∴∠EOD＝135°，
∵OB平分∠EOD，
∴∠EOB∠EOD＝67.5°，
∵∠AOB＝30°，
∴∠AOE＝∠EOB﹣∠AOB＝37.5°；
②如图2，∠BOD＝2∠AOE，
设∠AOE＝x，则∠BOD＝2x，
∵∠EOA+∠AOB+∠BOD+∠DOC＝180°，
∴x+30°+2x+45°＝180°，
解得x＝35°，
∴∠AOE＝35°，
如图3，设∠AOE＝x，则∠BOD＝2x，
∴∠EOB＝∠AOE﹣∠AOB＝x﹣30°，
∵∠EOD+∠BOD+∠EOB＝360°，
∴135°+2x+x﹣30°＝360°，
解得x＝85°，
即∠AOE＝85°，
综上所述，∠AOE的度数为35°或85°．
