18.(本小题满分17分)藏.高合超交豪
如图，斜三棱柱ABC一A1B1C1的体积为1，D为BC上→点，A1B∥平面
ADC1,AD⊥DC1,AA1=BC=√2AB=2AC=2,∠B1BC为锐角
(1)求证：ADL平面BCC1B1;
（2)求二面角ABB-C的正弦值.
B
滴京问程合部司
器大
5
19.(本小题满分17分)
将平面内任意向量OP(x,y)绕坐标原点O逆时针方向旋转角得到向量
OP =(x cosa-ysina,xsina+ycosa).
已知双曲线C一之1，将双曲
线C,绕点O逆时针旋转后得到曲线C。
(1)求C2的方程，
(2)点A在曲线C2,曲线C2在点A处的切线为直线L.
(1)若1与两坐标轴分别交于M,N两点，求△OMN的面积；
(ⅱ)若B,C两点都在曲线C2上（异于点A),且满足ABAC=O,求
证：BC.
要
·度密藏，人
高三数学〔一)第4页共4页
NT20名校联合体高三年级1月质检考试篱
，
数学（一）
A门组A球赞一羚.
AA。CA有
考试说明：1.本试卷共150分。考试时间120分钟。
门酒泽草滨
2.请将各题答案填在答题卡上。
、
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1.复
2-
的共轭复数的虚部为
11
A.2
3
B.-
C.-
2
2.样本数据3,8,4,6,27,9,1,5的第75百分位数为
A.7.5
B.8
C.8.5
D.9
3.
已知向量a=(-2,4)与b=(n,2),若a∥(a十b),则n=
A.4
B.-4
C.1
D斗膏骤小本)专
4量已知数列{a心}是等比数列，心若a2三一1，a8=一4，则a6=商意均襄
湘A打
B.
C.士2
D.2
若椭圆士21a>1)
的离心率为
、,则该椭圆的焦距为
年对
喷浦啦)点，)
A.4
B.
C
2√3
43模
3
D,3双
6.
已知直线l1:3x-3a+5=0,i21一a)x年2y-7=0,则“a-兰1是“11
∥12”的西
:4。
kA.充分不必要条件
B.必要不充分条件。等(
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件重
7.已知函数f(x)及其导函数g()的定义域均为R,g(5十x)为奇函数，
f(x十y)十f(x-y)=2f(x)cosy,f(0)=0,若方程f(x)=m(m>0)在区间
[0,3π]上恰有四个不同的实数根x1,x2,x3,x4,则x1十x2十x十x4
A.2π
B.4π
C.8π
D.6π
8.如图，几何体ABCA1B1C1中，△ABC是正三角形，AA1=CC1=AB=8,
BB1=4,AA1∥BB1∥CC1,AA1⊥平面ABC,E,F分别
为AB1,AC1的中点，直线AB与平面EFC相交于点M.
则
MB
的值为
A.2
B.3
C.2
D.4
高三数学（·)
第1页￥共4页NT20 名校联合体高三年级 1 月质检考试
数学（一）参考答案
1．【答案】B
2 i3 2 i 2 i 1 i 1 3 3
【解析】 i1 i 1 i 1 i 1 i 2 2 ，所以共轭复数的虚部为 ，故选 B. 2
2．【答案】C
【解析】数据1,3,4,5,6,8,9,27共8个，则8 75% 6，
8 9
因此第75百分位数为 8.5，故选 C.
2
3．【答案】D
【解析】a b 2 n,6 ，因为 a // (a b)，则 ( 2) 6 4 2 n ，解得 n 1 .故选 D.
4.【答案】C
2
【解析】由等比数列的性质得 a2 a8 a5 ，解得 a5 2 .故选 C.
5.【答案】C
y2
x2 1 a 1 a
2 1
【解析】因为椭圆 2 的离心率为 ，a a
a2 1 1 a 2 3 c a2 1 3 2 3所以 ，即 ， ，所以该椭圆的焦距为 .故选 C.
a 2 3 3 3
6.【答案】A
【解析】 l1//l2 3a a 1 2 3 0，且3 ( 7) 5(1 a)，解得 a 1或a 2 .
由 a 1可得 l1//l2；而 l1 // l2还可能得 a 2，
由此可知：“ a 1”是“ l1//l2”的充分不必要条件，故选 A.
7.【答案】D
【解析】取 x 0，得 f (y) f ( y) 0，即 f (x)为奇函数；
y π π π取 ，得 f (x ) f (x ) 0，所以 f (x ) f (x)，
2 2 2
所以 f (x 2π) f (x π) f (x)，所以 f (x)的周期为 2 .
π
又 g( x)为奇函数,所以 g(x)
π π
的图象的一个对称中心为 ( ,0) ，故 f (x)图象的对称轴为直线 x ，结合
2 2 2
5π
上面结论可得直线 x 也是 f (x)图象的对称轴，
2
又方程 f (x) m(m 0)在区间 0，3 上恰有四个不同的实数根 x1, x2 , x3, x4 ,则 x1 x2 x3 x4 6π .
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8.【答案】D
【解析】因为 E， F 分别为 A1B1， A1C1的中点，
所以 EF∥B1C1，延长BB1至点K，使得 BB1 BK 4，连接CK，
所以 B1K C1C 8，且 B1K∥C1C，所以四边形 B1KCC1为平行四边形，
所以KC∥B1C1，所以KC∥EF .
连接 EK ，交 AB于点M ，过点 E作 AB的垂线，垂足为Q，
则 EQ∥B1K，又 E为 A1B1的中点，
A A B B
所以Q为 AB的中点，所以 EQ 1 1 6，
2
又 AB 8，QB 4 .
由 EQM KBM
BM BK BM 4 8
易知， BM MQ EQ ，即 ，解得 ，4 BM 6 5
8
AM 8
所以 58 4 .故选 D.MB
5
9．【答案】ABC
【解析】选项 A，斜二测画法可能会改变边长比例，A选项错误；
选项 B，当点在直线外时，直线与该点可确定一个平面，当点在直线上时，直线与该点不能确定一个平面，
故选项 B错误；
选项 C，过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积是否最大，取决于轴截面三角形的顶角是否不大于90 ，
故 C错误；
选项 D，用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面，故 D正确；故选 ABC.
10.【答案】AB
f x 2x3 x2【解析】函数 ， f x 6x2 2x 2x 3x 1 ，
1 1
由 f x 0得 x 或 x 0，所以 f x 的单调增区间为 , 0 , , ，A选项正确；
3 3
1 1 1
当 x 0时，f (x)有极大值 f (0) 0，B选项正确；当 x 时，f (x)有极小值 f ( ) ，又 f (2) 12 0，
3 3 27
所以 f (x)的图象与 x轴有两个交点，C选项错误； f 1 4， f 1 1，所以切线方程为 y 1 4(x 1)，
即 4x y 3 0，D选项错误.故选 AB.
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11.【答案】ABD
【解析】对于 A选项：由题知 a 2，b 5，c 3，
3
所以双曲线 C的离心率为 .A选项正确；
2
对于 B选项：如图 1所示，
设圆O1与 AF1F2 的三边分别相切于点 P,M ,N ，
延长 F2D交 AF1于点 E，连接OD，
则 |OD | 1 | EF
2 1
|，
| AF1 | | AF |
1
2 | AF1 | | AE | | EF1 | 2a， |OD | | EF1 | a 2，2
因此 B选项正确；
对于 C选项：如图 1所示，
| AF1 | | AF2 | | AN | | NF1 | (| AM | |MF2 |) | NF1 | |MF2 | | PF1 | | PF2 | (xp 3) (3 xp ) 4
解得 xp 2，故圆心O1的横坐标为 2，故 C选项错误；
对于 D选项，如图 2，设双曲线 C在点 A处的切线为GH ，作 AT GH ，
由光学性质可以知道 F2AT SAT , GAS F2AH ，
又 F2AH GAF , GAS F1AH ，
所以 F2AH F1AH ，所以 AH 为 F1AF2 的平分线，
故 A,H ,O1三点共线.故 D选项正确.故选 ABD.
12．【答案】 3 3
a π
【解析】由题意可得直线 ax 3y 2 0的斜率为 ，所以 tan 3
a
，解得
3 3 3 a 3 3
.
13.【答案】6
【解析】由题意知 F 0,2 是抛物线 x2 8y的焦点，
过点M 作准线的垂线，垂足为M ，记点M 到抛物线 x2 8y的准线的距离为d，
所以 MA MB MA MF 1 MA d 1 5 2 1 6，
当且仅当直线 AM 与抛物线的准线垂直，点 B在线段MF上时，等号成立，
所以 MA MB 的最小值为 6.
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14. 3【答案】
3
【解析】因为 BC SC，所以 S在过C点且与BC垂直的平面 内，
设 平面ABC l，过 A作 l的垂线,垂足为 A1，则 AA1 ，且
AA 3 51 ，因为 SA ，所以 S点在以 A1为底面圆心的圆周上，2 2
如图平面SCA1 平面ABC，且平面SCA1 平面ABC l，由
图可知 S到底面 ABC的最大距离为 SA2 AA21 2，所以三棱
1 1 3 3
锥体积的最大值为VS ABC S3 ABC
2 2 .
3 2 3
15.【解析】
（1）因为 sin 2C sinAsinB sin 2A sin 2B，
所以由正弦定理得 c2 a2 b2 ab，................................................................................................................3分
c2 a2 b2 2abcosC, cosC 1 ，
2
C 0,π , C 2π ．......................................................................................................................................6分
3
π π
（2）因为 AC CD，所以 ACD , DCB ，
2 6
因为 S ABC S ACD S BCD，................................................................................................................................9分
1 2π 1
所以 absin b CD
1
a π CD sin ，
2 3 2 2 6
1
即 3 5 3 1 3 CD 1 5 CD 1 15 3 ，解得CD ........................................................................13分
2 2 2 2 2 11
16.【解析】
（1）因为 BC为直径，则 B(5, 2),C(1,0)的中点为D(3,1)，所以圆心为D(3,1)，..................................3分
(5 1)2 (2 0)2
半径 r 5，所以圆D的标准方程为 (x 3)2 (y 1)2 5 .......................................6分
2
（2）设M (x, y), A(x0 , y0 )，
因为C(1,0)，M 是线段 AC的中点，
x 1 y 0
由中点坐标公式得 x 0 , y 0 ，所以 x0 2x 1, y0 2y，.........................................................9分2 2
由（1）知，点 A的轨迹方程为 (x 3)2 (y 1)2 5 ，
第 4 页 共 7 页
将 x0 2x 1, y0 2y
1 5
代入得 (2x 4) 2 (2y 1) 2 5 2 2，即 (x 2) (y ) ........................................13分
2 4
M 2
1 2 5
所以动点 的轨迹方程为 (x 2) (y ) (除 (1,0), (3,1)两点 ).........................................................15分
2 4
17.【解析】
（1）因为焦距为 2，所以 2c 2,即 c 1，................................................................................................2分
1
又椭圆上顶点到点 F的距离与到直线 l : y 4的距离之比为 ，
2
a 1 1
上顶点 P 0,a ,则 ，.....................................................................................................................4分
4 a 2
解得 a 2，即 a2 4,b2 3，
y2 x2
所以椭圆C的标准方程为 1; ........................................................................................................6分
4 3
（2）由题知 F(0,1)，设直线 AB : y kx 4， A x1, y1 ,B x2 , y2 ，
y kx 4
联立 y2 x2 ，得 3k 2 4 x2 24kx 36 0，................................................................................8分
1 4 3
2 2
则Δ 24k 4 3k 4 36 0，解得 k 2或 k 2，
x x 24k , x x 36由韦达定理可得 1 2 2 1 2 2 ，.................................................................................10分3k 4 3k 4
所以
k k y1 1 y2 1 kx1 3 x 2 kx2 3 x1AF BF x1 x2 x1x2
36 24k
2kx1x 3 x
2k 2 3
2 1 x2 3k 4 3k
2 4 72k 72k
x 36
0
1x2 36
3k 2 4
所以 kAF kBF为定值 0...........................................................................................................................15分
18.【解析】
（1）证明：连接 A1C交 AC1于点O，
在斜三棱柱中，四边形 ACC1A1为平行四边形，
O
∴O为 A1C的中点，连接OD，
∵ A1B∥平面 ADC1， H
A1B 平面 A1BC，平面 A1BC 平面 ADC1 OD，
第 5 页 共 7 页
∴ A1B∥OD，又在 A1BC中，O为 A1C的中点，...............................................................................3分
∴D为 BC中点，又 AB AC ,
∴ AD BC，又∵ AD DC1，且 BC DC1 D ,BC ,DC1 平面BCC1B1 ，
∴ AD 平面BCC1B1 .................................................................................................................................6分
1 1
（2）∵ S ABC BC AD 2 1 1，所以斜三棱柱 ABC A2 2 1
B1C1的高为 1.
又 AD 平面BCC1B1，AD 平面 ABC，∴平面ABC 平面BCC1B1 .................................................8分
过B1作B1H BC于H，则B1H 平面ABC，即B1H为斜三棱柱的高，
∴ B1H 1，
∵ B1B 2,∴ BH 3 ..........................................................................................................................10分
以D为原点，DA，DB所在直线分别为 x轴， y轴，
在平面 B1BCC1内过D作垂直于平面 ABC的直线为 z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则 A(1,0,0)， B(0,1,0)，C(0, 1,0)，B1(0,1 3,1)，则 AB ( 1,1,0)，BB1 (0, 3,1)，
设平面 A1ABB1的法向量为n1 (x, y, z)，则
n1 AB 0 x y 0
，
n1 BB1 0 3 y z 0
所以 n1 (1,1, 3)，...........................................................................13分
取平面 BCC1B1的一个法向量为n2 (1,0,0)，
| cos n ,n | | n1 n2 | 1所以 1 2 | n | | n | ，........................................................................................15分1 2 5
所以二面角 A1 B B C
2 5
1 的正弦值为 ......................................................................................17分5
19.【解析】
（1）取曲线C2上任一点 P(x, y),则点 P由双曲线C1上一点 P0 (x0 , y0 )绕坐标原点O逆时针旋转 得到，4
2 2
x x y 2 0 2 0
则
2 2
y x0 y 2 2 0
第 6 页 共 7 页
x 20 y
2
0 2, 2x 2y 2,即 xy 1. ......................................................................................................4分
1
（2）(i)设 A(x1, y1), y
1
, 过 A的切线 l的方程为 y y
x2 1
2 (x x )x 11
y 1 1即 2 (x x
2
x x 1
),令 x 0，得 y ；令 y 0，得 x 2xx 1；...............................................7分1 1 1
可设 l与 x轴的交点M (2x y1,0),与 轴的交点 N (0,
2 )，
x1
S 1 2 OMN | 2x1 | | | 22 x .......................................................................................................................10分1
1 1
(ii)由C2的方程得 y , y 2 ,设 A(x1, y1),B(x2 , y2 ),C(x3, y ),x x 3
1 1
过 A的切线 l的斜率 k 1 , k y 3 y1 x3 x 1 1 ,
x2 AC1 x3 x1 x3 x1 x1x3
1 1
同理 kAB x x ，
kBC x x ，........................................................................................................14分1 2 2 3
k k 1 1 2由已知 AB AC 1 , x x x 1.x x x x 1 2 31 2 1 3
k k 1 1 1 BC ( ) x x x2 x2
1
x x ，所以 l BC .......................................................................17分2 3 1 1 2 3
第 7 页 共 7 页
