2025年1月适应性测试
1．双曲线x2－=1的渐近线方程为( C )
A．y=±x B．y=±2x
C．y=±3x D．y=±4x
【解析】 双曲线的渐近线方程为 y=±x，即y=±3x．
2．底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为( A )
A．π B．π
C．2π D．3π
【解析】 由题知圆锥的底面半径r=1，母线长 l=2，则高h==，体积V=πr2h=π．
3．在△ABC中，BC=8，AC=10，cos∠BAC=，则△ABC的面积为( C )
A．6 B．8
C．24 D．48
【解析】 方法一： 在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由余弦定理得a2=b2＋c2－2bccos∠BAC，即c2－12c＋36=0，解得c=6．又sin∠BAC==，所以S△ABC=bcsin∠BAC=×10×6×=24．
方法二：因为sin∠BAC=sin A===，所以sin B=1，故△ABC是以AC为斜边的直角三角形，直角边长分别为6，8，则面积为×6×8=24．
4．已知函数f(x)=x|x－a|－2a2，若当x＞2时，f(x)＞0，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，1］ B．［－2，1］
C．［－1，2］ D．［－1，＋∞)
【解析】 方法一：当a＞2，x＞2时，f(x)=x|x－a|－2a2=因为当2＜x＜a时，f(x)=－x2＋ax－2a2，此时Δ=a2－4×2a2=－7a2＜0，所以f(x)＜0，不满足当x＞2时，f(x)＞0，故a＞2不符合题意．当0＜a≤2，x＞2时，f(x)=x|x－a|－2a2=x2－ax－2a2=(x－2a)(x＋a)＞0，解得x＞2a或x＜－a(舍去)．由于当x＞2时，f(x)＞0，故2a≤2，解得0＜a≤1．当a=0，x＞2时，f(x)=x2＞0恒成立，符合题意．当a＜0，x＞2时，f(x)=x|x－a|－2a2=x2－ax－2a2=(x－2a)(x＋a)＞0，解得x＞－a或x＜2a(舍去)．由于当x＞2时，f(x)＞0，故－a≤2，解得－2≤a＜0．综上，实数a的取值范围是［－2，1］．
方法二：根据题意知f(2)≥0，即2|2－a|－2a2≥0，解得－2≤a≤1，此时f(x)=x(x－a)－2a2=x2－ax－2a2，x=2在其对称轴x=右侧，符合题意，因此实数a的取值范围是［－2，1］．
5．(多选)已知F(2，0)是抛物线C：y2=2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点，则( ABC )
A．p=4
B．|MF|≥|OF|
C．以M为圆心且过点F的圆与C的准线相切
D．当∠OFM=120°时，△OFM的面积为2
【解析】 对于A，因为F(2，0)为抛物线y2=2px的焦点，所以=2，即p=4，故A正确．对于B，设M(x0，y0)，过点M向准线x=－，即x=－2作垂线，垂足为G，则|MF|=|MG|=x0＋．又|OF|=，x0≥0，则|MF|≥|OF|，故B正确．对于C，因为|MF|=|MG|，故以M为圆心，|MF|为半径的圆与准线相切，故C正确．对于D，方法一：因为∠OFM=120°，不妨设点M在第一象限，则x0=2＋，M，代入抛物线方程y2=8x，得=8，整理得－8y0－16=0，解得y0=4或y0=－(舍去)，所以S△OFM=|OF|·|y0|=4，故D错误．
方法二：因为∠OFM=120°，所以∠GMF=180°－∠OFM=60°．又|MG|=|MF|，故△GMF为等边三角形，点M到x轴的距离d=|MG|=×2p=×2×4=4，所以S△OFM=·|OF|· d=×2×4=4，故D错误．
6．(多选)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数sin h x=，双曲余弦函数cos h x=，双曲正切函数tan h x=，则( ACD )
A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数
C．双曲正切函数是增函数 D．tan h(x＋y)=
【解析】 对于A，设f(x)=，则f′(x)= ＞0，所以sin h x=是增函数，故A正确．对于B，方法一：设g(x)=，则g′(x)=．令g′(x)=0，得x=0．又g′(x)单调递增，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误．
方法二：设g(x)=，则g(x)=g(－x)，所以g(x)为偶函数，且g(x)不是常数函数，故g(x)不是增函数，故B错误．
对于C，设h(x)=tan h x== ．方法一：h′(x)=＞0，则h(x)= tan h x为增函数，故C正确．
方法二：h(x)===1－ =1－．因为y=在R上单调递减，所以h(x)在R上单调递增，故C正确．
对于D，tan h(x＋y)=，= ===tan h(x＋y)，故D正确．
7．已知函数f(x)=ax(a＞0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)=8，则a=__e__．
【解析】 f(ln 2)f(ln 4)=aln 2·aln 4=aln 2＋ln 4=aln 8=8，所以a=e．
8．有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为____．
【解析】 因为8张卡片上的数字之和为36，所以3张卡片上的数字之和为18，只有3，7，8；4，6，8；5，6，7三种情况，故所求概率p==．
9．已知曲线C：y=x3－，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点．若△OPM的面积为，则△MNQ的面积为__2__．
【解析】 如图，由y=x3－为奇函数，y=kx为奇函数，知M与N，P与Q分别关于原点对称，可知四边形MPNQ为平行四边形，则S△MNQ=2S△OMQ=2S△OMP=2．
10．已知函数f(x)=aln x＋－x．
(1) 设a=1，b=－2，求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程；
【解答】 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)=－－1=－(x2－ax＋b)．f(x)=ln x－－x，f′(x)=＋－1．设切点坐标为(x0，f(x0))，则＋－1=2，解得x0=－(舍去)或x0=1，f(x0)=－3．因此所求切线方程为y=2x－5．
(2) 若x=1是f(x)的极小值点，求实数b的取值范围．
【解答】 由题意知f′(1)=0，即a=b＋1，故f′(x)=－(x－1)(x－b)．若b≤0，则当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，则x=1是f(x)的极大值点，不合题意；若0＜b＜1，则当x∈(b，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，故x=1是f(x)的极大值点，不合题意．若b=1，则f′(x)≤0，x=1不是f(x)的极值点．若b＞1，则当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，b)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，故x=1是f(x)的极小值点，符合题意．综上，实数b的取值范围是(1，＋∞)．
11．已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)．
(1) 求椭圆C的方程；
【解答】 设椭圆C的方程为＋=1(a＞b＞0)，由题设得e==，c=1，故a=2，则b=，所以椭圆C的方程为＋=1．
(2) 已知点M0(1，4)，证明：线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点；
【解答】 方法一：由题知kF1M0=2，F1M0的中点为G(0，2)，则线段F1M0的垂直平分线方程为y=－x＋2，代入椭圆C：＋=1中，得x2－2x＋1=0，解得x=1，此时y=，故线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点．
方法二：记线段 F1M0的垂直平分线为l，T是直线l上一点，则|TF1|＋|TF2|=|TM0|＋|TF2|．当点T在线段F2M0上时，有|TM0|＋|TF2|=|M0F2|=4，于是点T同时在椭圆C上；当点T不在线段 F2M0上时，有|TM0|＋|TF2|＞|M0F2|=4，于是点T在椭圆C外．因此直线l上有且仅有一点在椭圆C上，即为与线段F2M0的交点，命题得证．
(3) 设M是坐标平面上的动点，且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明：M的轨迹为圆，并求该圆的方程．
【解答】 方法一：设M(X，Y)，则线段F1M的中点为 ．当Y≠0时，线段F1M的垂直平分线方程为y－=－，即y=－［2(X＋1)x－(X2＋Y2－1)］．联立得［3Y2＋4(X＋1)2］x2－4(X＋1)(X2＋Y2－1)x＋(X2＋Y2－1)2－12Y2=0．由题意知Δ=16(X＋1)2(X2＋Y2－1)2－4［3Y2＋4(X＋1)2］［(X2＋Y2－1)2－12Y2］=0．化简得(X2＋Y2－1)2－12Y2－16(X＋1)2=Y42＋(2X2－14)Y2＋(X2＋2X＋1)(X2－2X－15)=［(X＋1)2＋Y2］［(X－1)2＋Y2－16］=0．因为(X＋1)2＋Y2＞0，所以(X－1)2＋Y2=16．当Y=0时，线段F1M的垂直平分线方程为 x=．由题意知=－2或=2，解得 X=－3或 X=5．(－3，0)，(5，0)均满足方程(x－1)2＋y2=16．综上，M的轨迹为圆，其方程为(x－1)2＋y2=16．
方法二：如图，设线段F1M的垂直平分线l与C 恰有一个公共点为 P，则当点P不在长轴上时，线段F1M的垂直平分线l即为点 P 处的切线，也为∠F1PM的平分线，作∠F1PF2的平分线PH，根据椭圆的光学性质得PH⊥l，所以∠F1PE＋∠F1PH= 90°，则∠F2PH＋∠EPM=90°，故∠F2PF1＋∠F1PM= 180°，所以M，P，F2三点共线，所以|MF2|=|MP|＋|PF2|=|PF1|＋ |PF2|=4，所以点M的轨迹是以F2为圆心，4为半径的圆．当点P在椭圆长轴上时，点M为(5，0)或(－3，0)，也满足|MF2|=4，故点M的轨迹是圆，该圆的方程为(x－1)2＋y2=16．
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2025年1月适应性测试
【解析】
C
【解析】
A
【解析】
C
4．已知函数f(x)＝x|x a| 2a2，若当x＞2时，f(x)＞0，则实数a的取值范围是 ( )
A．( ∞，1］ B．［ 2，1］
C．［ 1，2］ D．［ 1，＋∞)
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】ABC
【解析】
【答案】ACD
7．已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝______．
【解析】
f(ln 2)f(ln 4)＝aln 2·aln 4＝aln 2＋ln 4＝aln 8＝8，所以a＝e．
e
8．有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为
______．
【解析】
【解析】
【解答】
【解答】
若b＝1，则f′(x)≤0，x＝1不是f(x)的极值点．
若b＞1，则当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，b)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，故x＝1是f(x)的极小值点，符合题意．
综上，实数b的取值范围是(1，＋∞)．
【解答】
【解答】
【解答】
方法二：如图，设线段F1M的垂直平分线l与C 恰有一个公共点为 P，
当点P在椭圆长轴上时，点M为(5，0)或( 3，0)，也满足|MF2|＝4，故点M的轨迹是圆，该圆的方程为(x 1)2＋y2＝16．
则当点P不在长轴上时，线段F1M的垂直平分线l即为点 P 处的切线，也为∠F1PM的平分线，作∠F1PF2的平分线PH，根据椭圆的光学性质得PH⊥l，所以∠F1PE＋∠F1PH＝ 90°，则∠F2PH＋∠EPM＝90°，故∠F2PF1＋∠F1PM＝180°，所以M，P，F2三点共线，所以|MF2|＝|MP|＋|PF2|＝|PF1|＋ |PF2|＝4，所以点M的轨迹是以F2为圆心，4为半径的圆．2025年1月适应性测试
1．双曲线x2－=1的渐近线方程为( )
A．y=±x B．y=±2x
C．y=±3x D．y=±4x
2．底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为( )
A．π B．π
C．2π D．3π
3．在△ABC中，BC=8，AC=10，cos∠BAC=，则△ABC的面积为( )
A．6 B．8
C．
24 D．48
4．已知函数f(x)=x|x－a|－2a2，若当x＞2时，f(x)＞0，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1］ B．［－2，1］
C．［－1，2］ D．［－1，＋∞)
5．(多选)已知F(2，0)是抛物线C：y2=2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点，则( )
A．p=4
B．|MF|≥|OF|
C．以M为圆心且过点F的圆与C的准线相切
D．当∠OFM=120°时，△OFM的面积为2
6．(多选)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数sin h x=，双曲余弦函数cos h x=，双曲正切函数tan h x=，则( )
A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数
C．双曲正切函数是增函数 D．tan h(x＋y)=
7．已知函数f(x)=ax(a＞0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)=8，则a=____．
8．有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为____．
9．已知曲线C：y=x3－，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点．若△OPM的面积为，则△MNQ的面积为____．
10．已知函数f(x)=aln x＋－x．
(1) 设a=1，b=－2，求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程；
(2) 若x=1是f(x)的极小值点，求实数b的取值范围．
11．已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 已知点M0(1，4)，证明：线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点；
(3) 设M是坐标平面上的动点，且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明：M的轨迹为圆，并求该圆的方程．
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