四川省成都七中2025-2026学年上学期高三数学一模模拟试卷（含答案）

成都七中高2026届一模模拟考试数学试题
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数满足，则复数在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 二项式的展开式中，第三项的系数为（ ）
A.18 B.
C.27 D.
4. 设数列的前项和为，已知，，则（ ）
A.9 B.11 C.12 D.14
5. 若一组样本数据，，，的平均数为3，方差为2，若新增一个数据3，则新样本的方差为（ ）
A.1.7 B.1.8 C.1.9 D.2
6. 横断山脉是中国最长、最宽和最典型的南北向山系，在它以西，雪岭冰峰嵯峨逶迤；在它以东，人口稠密城市繁华。贡嘎山为横断山脉第一高峰，海拔高度超过7000米，被称为“蜀山之王”。如图，测量队员在贡嘎山的山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的坡向上走7km后到达山腰处，在该处测得山顶的仰角为，已知处的海拔高度约为2600米，求此次测量过程中贡嘎山的海拔高度约为（ ）米。（参考数据：，）
A.7500 B.7600 C.7700 D.7800
7. 在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，，切点为，，已知是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 若函数存在最大值，且满足恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。
9. 小明同学参加学校组织的投篮比赛，连续投篮2次，已知小明初始投进的概率为0.8，若第一次投进，则下次投进的概率为0.6；若第一次未投进，则下次投进的概率为0.4。记事件为小明第次投进，随机变量为小明投进的球数，下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. ，相互独立
D.
10. 如图，四边形是由两个直角三角形拼接而成，，。现在将沿进行翻折，使平面平面，连接，得到三棱锥。若，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面平面
B. ，，不共面
C. 异面直线与所成角的正弦值为
D. 三棱锥外接球的体积为
11. 若存在，则称其为二元函数在点处对变量的偏导数，记为（同理可得对变量的偏导数）。设给定二元函数和附加条件，为寻找在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数，其中为参数。
然后令对，和的一阶偏导（函）数等于零，即①，②，③，联立方程①②③解出的，就是函数在附加条件下的可能极值点，此即拉格朗日乘数法。若附加条件是一条连续有界的封闭曲线，此时连续函数在该条件下的最值点就是极值点，下列说法正确的是（ ）
A. 函数在处对变量的偏导数为
B. 函数对变量的偏导（函）数为
C. 已知，其中，则的最大值为
D. 已知，其中，则的取值范围是
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡上．
12．已知平面向量和，若，则．
13．已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，满足，且到轴的距离为，则椭圆的离心率是．
14．已知正项数列满足，（此处疑似原文档有误，推测应为？），不等式对恒成立，则的取值范围是．
四、解答题：本大题共5小题，其中15题13分，16—17题15分，18—19题17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知抛物线，直线过抛物线焦点，且与抛物线交于，两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若轴上一点在以为直径的圆上，求点的坐标．
16．记的内角，，的对边分别为，，，已知的面积，角的平分线交边于点．
（1）求角；
（2）若，且的周长为，求长．
17．如图，三棱柱中，侧面为菱形，．
（1）证明：；
（2）若，，，，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次向左或向右移动一个单位，且每次向左的概率为，设移动次后质点位于位置。
（1）求；
（2）求；
（3）指出质点移动次后，最有可能位于哪个位置，并说明理由。
19. 已知函数，其中，，常数为自然对数的底数。
（1）设是的导函数，讨论在区间上的单调性；
（2）若在区间内存在一个零点，且，求的取值范围；
（3）在第（2）问的条件下，当时，证明：。
（参考数据：，）
成都七中高2026届一诊模拟考试数学试题（参考答案）
一、选择题
1-8：CDAB BACC
二、选择题
9-11：ABD ACD BCD
三、填空题
12. ； 13. ； 14. ；
四、解答题
15. 解：（1） 由题，点的坐标为， 2分
所以抛物线的方程为. 5分
（2） 设，，，
联立可得，则， 7分
因为点在以为直径的圆上，所以，且，， 9分
，，，，
化简可得，即，解得， 12分
所以或. 13分
16. 解：（1）因为，，2分
又，所以，则，即，4分
又，所以。6分
（2）方法一：因为角的平分线交边于点，由（1）知，则，
所以，又，即，所以，8分
（方法二：分别在与中，由正弦定理得，，联立可得，所以）
由（1）知。由余弦定理，所以10分
所以的周长，解得，则，12分
由，解得。15分
17. 解：（1）连接，交于，连接，由面为菱形，，
为与的中点。1分
又，而，，平面，所以平面，3分
而平面，故，5分
又，垂直平分，故。6分
（2）方法一：因为，且为的中点，所以，又因为，，，
故，由菱形，故，故，故
，从而，，两两垂直。
建立如图所示的空间直角坐标系。
因为，所以为等边三角形。又，所以，，8分
（方法二：因为，所以为等腰直角三角形，由可得，由于，
可得，，故，故，从而，，两两垂直。）
则，，，．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
此时，代入解得或，
（注：也可用表示，解得或）分
所以质点最有可能位于位置或。（注：也可用表示，最可能位于位置或）分
19. 解：（1），， 分
①当时，，故在上单调递增，②当时，，故在上单调递减，③当时，令，解得，故在上单调递减，令，解得，所以在上单调递增。 分
综上，①当时，在上单调递增；②当时，在上单调递减；
③当时，在上单调递减，在上单调递增。（注：用闭区间表示也正确） 分
（2）由得：， 分
由以及连续可知，在区间上至少有两个极值点，所以在区间内至少有两个零点，由（1）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点；当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点，均不符合题意。因此，若存在这样的实数满足条件，必有。 分
此时，在上单调递减，在上单调递增，故在区间内有且仅有两个零点，可设在区间内存在零点，在区间内存在零点，因此，必有：
解不等式①②可得， 分
现考虑不等式③，令，，，令解得，
可知在单调递增，在单调递减，所以，代入的近似值计算可知，所以不等式③在上恒成立。
综上，的取值范围是。 分
（3）由题意知：，故，而，
代入可知：。
令，12分
当时，是开口向上的二次函数，其对称轴为，故，
因为，
根据的单调性可以得出，15分
所以当，，16分
而，所以。17分
（2）另解：在上有两根，注意到令，易知，，
记，，，如下图，注意到，故，。
，解得。