2026年高考数学一轮练习卷（二）-全国甲卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2026年高考数学一轮练习卷（二）-全国甲卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 911.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-01 00:00:00 | ||
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文档简介
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2026年高考数学一轮练习卷（二）-全国甲卷
一、选择题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列的前项和为，且，若，，成等比数列，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知向量，，则（ ）
A． B． C．34 D．65
4．已知（）为纯虚数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
5．某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆，圆，过动点P分别作圆圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．已知定义在上的函数的导数为，若，且，则下列式子中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．某市为丰富市民的业余生活，春节前举办“迎春杯”歌手大奖赛，比赛分青年组、中年组和老年组.每组由6位专业评委对演唱评分（满分10分），老年组的甲和乙参加比赛得分的折线统计图如下图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B．甲得分的极差大于乙得分的极差
C．甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
11．已知定义在上的可导函数满足：，若单调递增数列满足：则（ ）
A．的通项公式是 B．函数是增函数
C．可能是等比数列 D．若，则
三、填空题
12．已知，则 .
13．设直线与抛物线C：相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点.若，则点F的坐标为 .
14．已知函数，数列满足，.
给出下列四个结论：
①若，则有3个不同的可能取值；
②若，则；
③对于任意，存在正整数，使得；
④对于任意大于2的正整数，存在，使得；
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题
15．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，且的面积为.
（1）求A；
（2）若，求的最小值.
16．已知函数.
（1）当时，求函数的最值；
（2）若函数有两个不同极值点，证明：.
17．已知数列为等差数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式；
（3）已知数列满足：，求数列的前项和.
18．如图所示，在圆柱中，矩形为圆柱的轴截面，圆柱过点的母线为，点，为圆上异于点，且在线段AB同侧的两点，且，点为线段的中点，.
（1）求证：平面；
（2）若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的大小；
（3）若，平面经过点，且直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线（垂足为），求直线AQ与直线所成角的范围.
19．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线交于，两点，当直线垂直于轴时，的周长为16.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）与轴不重合的直线过点，双曲线上存在两点，关于对称，且AB的中点的横坐标为.
（ⅰ）若，求实数的值；
（ⅱ）若，为双曲线右支上两个不同的点，过点，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】A,C
10．【答案】A,B,D
11．【答案】B,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】①②④
15．【答案】（1）解：已知，
可得，
所以，所以，
由正弦定理可得，由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）解：因为的面积为，所以，所以，
由，可得，
所以，
所以
，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
16．【答案】（1）解：当时，对函数求导可得.
令，解得.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
因此，在处取得最大值，最大值为，无最小值.
（2）证明：函数 对求导可得
令，得到.
设是的两个根，则①，②
①-②得③；①+②得④.
③④得，
即，
不妨设，令则，
即.
要证，即证，
即证，即证，即证，即证.
设，对求导可得
恒成立，故在上单调递增，
即故成立，即成立.
17．【答案】（1）解：因为数列为等差数列，则，可得，
所以，数列的公差为，
故.
（2）解：当时，，解得，
当且时，由得，
上述两个等式作差可得，可得，
所以，数列是首项和公比均为的等比数列，故.
（3）解：由（1）（2）可得，
所以，，
则，
上述两个等式作差得
，
整理得.
18．【答案】（1）证明：延长交于点Q，连接，如图所示：
因为，是中点，所以是的中位线，则点是中点，
又因为是圆柱的母线，所以平行且相等，
所以易得相交与点，是的中点，则在中，，
又因因为，在延长线上，所以可得平面，而不在平面内，
所以平面.
（2）解：由题意可知面，且因为直径，所以则，三线两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，如图所示：
又因为，所以设，则，
可得点坐标为，，，，
则，
由题意平面在平面内，所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则解得，所以，
又因为平面与平面所成夹角的余弦值，解得或（舍），
且因为，则，即.
（3）解：因为过点的平面与直线所成的角为，又因为过点作平面的垂线（垂足为）
所以为直角三角形，且，
所以点是绕旋转的圆，且半径，圆心距离点的长度为
所以设点且，又因为点为，所以，
而，所以，
又因为，所以，
且因为，所以，
所以直线AQ与直线所成角的范围为.
19．【答案】（1）解：因为当直线 垂直轴时，将代入，得 ，
所以，所以 ，
因为双曲线的离心率为的周长为16，
所以由题得， 解得 ，
所以双曲线的标准方程为 ；
（2）解：设 ，
（i）因为两点在双曲线上，所以 两式相减得 ，
得 ，
即 ，所以 ，
因为是的垂直平分线，有，所以 ，
即 ，化简得 ，故 .
（ii）由题意可知直线 斜率存在且 ，
设直线 的方程为： ，
由，消去并整理得 ，
则 ，
即 ，
于是 点的坐标为 ，
易知，所以 ，解得： ，
代入得 ，
得或 ，
由在双曲线的右支上得： ，
得，即 ，
且 ，
综上得， ，
又 ，
所以
因为，所以，故 ，
所以 ，
所以， 所以 .
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2026年高考数学一轮练习卷（二）-全国甲卷
一、选择题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列的前项和为，且，若，，成等比数列，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知向量，，则（ ）
A． B． C．34 D．65
4．已知（）为纯虚数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
5．某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆，圆，过动点P分别作圆圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．已知定义在上的函数的导数为，若，且，则下列式子中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．某市为丰富市民的业余生活，春节前举办“迎春杯”歌手大奖赛，比赛分青年组、中年组和老年组.每组由6位专业评委对演唱评分（满分10分），老年组的甲和乙参加比赛得分的折线统计图如下图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B．甲得分的极差大于乙得分的极差
C．甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
11．已知定义在上的可导函数满足：，若单调递增数列满足：则（ ）
A．的通项公式是 B．函数是增函数
C．可能是等比数列 D．若，则
三、填空题
12．已知，则 .
13．设直线与抛物线C：相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点.若，则点F的坐标为 .
14．已知函数，数列满足，.
给出下列四个结论：
①若，则有3个不同的可能取值；
②若，则；
③对于任意，存在正整数，使得；
④对于任意大于2的正整数，存在，使得；
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题
15．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，且的面积为.
（1）求A；
（2）若，求的最小值.
16．已知函数.
（1）当时，求函数的最值；
（2）若函数有两个不同极值点，证明：.
17．已知数列为等差数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式；
（3）已知数列满足：，求数列的前项和.
18．如图所示，在圆柱中，矩形为圆柱的轴截面，圆柱过点的母线为，点，为圆上异于点，且在线段AB同侧的两点，且，点为线段的中点，.
（1）求证：平面；
（2）若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的大小；
（3）若，平面经过点，且直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线（垂足为），求直线AQ与直线所成角的范围.
19．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线交于，两点，当直线垂直于轴时，的周长为16.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）与轴不重合的直线过点，双曲线上存在两点，关于对称，且AB的中点的横坐标为.
（ⅰ）若，求实数的值；
（ⅱ）若，为双曲线右支上两个不同的点，过点，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】A,C
10．【答案】A,B,D
11．【答案】B,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】①②④
15．【答案】（1）解：已知，
可得，
所以，所以，
由正弦定理可得，由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）解：因为的面积为，所以，所以，
由，可得，
所以，
所以
，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
16．【答案】（1）解：当时，对函数求导可得.
令，解得.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
因此，在处取得最大值，最大值为，无最小值.
（2）证明：函数 对求导可得
令，得到.
设是的两个根，则①，②
①-②得③；①+②得④.
③④得，
即，
不妨设，令则，
即.
要证，即证，
即证，即证，即证，即证.
设，对求导可得
恒成立，故在上单调递增，
即故成立，即成立.
17．【答案】（1）解：因为数列为等差数列，则，可得，
所以，数列的公差为，
故.
（2）解：当时，，解得，
当且时，由得，
上述两个等式作差可得，可得，
所以，数列是首项和公比均为的等比数列，故.
（3）解：由（1）（2）可得，
所以，，
则，
上述两个等式作差得
，
整理得.
18．【答案】（1）证明：延长交于点Q，连接，如图所示：
因为，是中点，所以是的中位线，则点是中点，
又因为是圆柱的母线，所以平行且相等，
所以易得相交与点，是的中点，则在中，，
又因因为，在延长线上，所以可得平面，而不在平面内，
所以平面.
（2）解：由题意可知面，且因为直径，所以则，三线两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，如图所示：
又因为，所以设，则，
可得点坐标为，，，，
则，
由题意平面在平面内，所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则解得，所以，
又因为平面与平面所成夹角的余弦值，解得或（舍），
且因为，则，即.
（3）解：因为过点的平面与直线所成的角为，又因为过点作平面的垂线（垂足为）
所以为直角三角形，且，
所以点是绕旋转的圆，且半径，圆心距离点的长度为
所以设点且，又因为点为，所以，
而，所以，
又因为，所以，
且因为，所以，
所以直线AQ与直线所成角的范围为.
19．【答案】（1）解：因为当直线 垂直轴时，将代入，得 ，
所以，所以 ，
因为双曲线的离心率为的周长为16，
所以由题得， 解得 ，
所以双曲线的标准方程为 ；
（2）解：设 ，
（i）因为两点在双曲线上，所以 两式相减得 ，
得 ，
即 ，所以 ，
因为是的垂直平分线，有，所以 ，
即 ，化简得 ，故 .
（ii）由题意可知直线 斜率存在且 ，
设直线 的方程为： ，
由，消去并整理得 ，
则 ，
即 ，
于是 点的坐标为 ，
易知，所以 ，解得： ，
代入得 ，
得或 ，
由在双曲线的右支上得： ，
得，即 ，
且 ，
综上得， ，
又 ，
所以
因为，所以，故 ，
所以 ，
所以， 所以 .
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