2026年高考数学一轮练习卷（三）-全国甲卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2026年高考数学一轮练习卷（三）-全国甲卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 866.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-01 00:00:00 | ||
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文档简介
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2026年高考数学一轮练习卷（三）-全国甲卷
一、选择题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．随机变量，若，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
3．若函数至少有一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（ ）
A． B． C．1 D．e
7．如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若，则圆柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为分别为的左 右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．下列命题是真命题的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对、两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、.则下列判断正确的有（ ）.
A．且. B．且.
C．且. D．.
11．已知抛物线：，两平行直线，分别交于点，，，，O为坐标原点，且，M，N分别是，的中点，且，则（ ）
A．恒过的焦点
B．，的横坐标之积为定值4
C．，距离的最大值为6
D．直线的斜率恒为定值
三、填空题
12．已知，则函数在区间上的所有零点之和为 .
13．已知数列.的前项和为，且.若，则 .
14．已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．在中，角所对的边长组成公差为1的等差数列.
（1）若，求的周长和面积；
（2）为锐角三角形，求整数的最小值.
16．已知函数，．
（1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若为函数的极值点，求a的值；
（3）设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围．
17．已知非零等差数列的前n项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）已知正项数列满足：，且是和的等差中项，求数列的前n项和；
（3）在条件（2）下，记正项数列的前n项和为．求证：．
18．如图，在长方体中，，点E是棱的中点．
（1）求证：平面BDE；
（2）求直线与平面BDE所成角的正弦值．
19．平面直角坐标系中，点，动点满足以为直径的圆与圆内切，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）是曲线上的任意一点，过斜率存在的直线交曲线于两不同点A、B，射线交曲线于点.
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）求面积的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】A,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】5
13．【答案】116
14．【答案】
15．【答案】（1）解：由题可设，，
因为，所以由正弦定理可得，
解得，，，
所以的周长为，
又由余弦定理可得，则，
所以.
（2）解：根据题意可知，若为锐角三角形，则为锐角，
由余弦定理得，
解得或者，
又由三角形三边关系可得，解得，
因为，故.
16．【答案】（1）解：的定义域为，，
令，得，故函数在上单调递增，
因为函数在上单调递增，所以，解得，
故实数a的取值范围是．
（2）解：令，得；令，得；令，得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得．
（3）解：由（1）知：当时，函数有最小值，
若，则，
又因为对任意总存在，使得，
则当时，的最小值不大于，
函数的图象开口向上，对称轴为，
当，即时，则在上单调递增，
故的最小值为，
解得，故；
当，即时，则在上单调递减，
故的最小值为，解得，故；
当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为，解得或．
故或，
综上所述，实数b的取值范围是．
17．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，因为，
由，得，
当时，由，得，
得，得．
所以，所以．
（2）解：因为是和的等差中项，所以，又，
所以，得，又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即；
令，可知，
因为，
所以，
两式相减得，
所以．
（3）证明：由（2）可得，由于，
所以．
因为，所以，
当时，，
综上，成立．
18．【答案】（1）证明：连接AC与BD交于点O，连接OE．
则O为AC的中点，又点E是棱的中点，所以，
又平面BDE，平面BDE，所以平面BDE．
（2）解法一：解：以DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则，
则点，，，，
则，，，
设平面BDE的法向量为，
则得，
令，得平面BDE的一个法向量为，
设直线与平面BDE所成角的大小为，则，
故直线与平面BDE所成角的正弦值是．
解法二：解：（几何法）
设直线与平面BDE所成角为，则，
其中d为点到平面BDE的距离，即点C到平面BDE的距离．
设，过C作于点H，则平面BDE，所以．
在中，易求得，又，∴．
19．【答案】（1）解：设的中点为，依题意，以为直径的圆内切于圆，
所以，即，
设，因为，所以，
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
则，，可得，
所以的轨迹的方程为.
（2）解：
（i）证明：设，则，令，由，则，
所以，所以，故为定值.
（ii）解：设，，直线的方程为，由题设知，
联立直线与的方程，
消去得：，
由在曲线内，所以且，
所以
，
原点到直线的距离；
由（i）知到直线的距离，
所以，
令，因为是曲线上的任意一点，
联立方程组，整理得，
可得，整理得，所以，
函数，
当时，面积的最大值为，
故面积的取值范围为.
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2026年高考数学一轮练习卷（三）-全国甲卷
一、选择题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．随机变量，若，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
3．若函数至少有一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（ ）
A． B． C．1 D．e
7．如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若，则圆柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为分别为的左 右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．下列命题是真命题的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对、两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、.则下列判断正确的有（ ）.
A．且. B．且.
C．且. D．.
11．已知抛物线：，两平行直线，分别交于点，，，，O为坐标原点，且，M，N分别是，的中点，且，则（ ）
A．恒过的焦点
B．，的横坐标之积为定值4
C．，距离的最大值为6
D．直线的斜率恒为定值
三、填空题
12．已知，则函数在区间上的所有零点之和为 .
13．已知数列.的前项和为，且.若，则 .
14．已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．在中，角所对的边长组成公差为1的等差数列.
（1）若，求的周长和面积；
（2）为锐角三角形，求整数的最小值.
16．已知函数，．
（1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若为函数的极值点，求a的值；
（3）设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围．
17．已知非零等差数列的前n项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）已知正项数列满足：，且是和的等差中项，求数列的前n项和；
（3）在条件（2）下，记正项数列的前n项和为．求证：．
18．如图，在长方体中，，点E是棱的中点．
（1）求证：平面BDE；
（2）求直线与平面BDE所成角的正弦值．
19．平面直角坐标系中，点，动点满足以为直径的圆与圆内切，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）是曲线上的任意一点，过斜率存在的直线交曲线于两不同点A、B，射线交曲线于点.
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）求面积的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】A,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】5
13．【答案】116
14．【答案】
15．【答案】（1）解：由题可设，，
因为，所以由正弦定理可得，
解得，，，
所以的周长为，
又由余弦定理可得，则，
所以.
（2）解：根据题意可知，若为锐角三角形，则为锐角，
由余弦定理得，
解得或者，
又由三角形三边关系可得，解得，
因为，故.
16．【答案】（1）解：的定义域为，，
令，得，故函数在上单调递增，
因为函数在上单调递增，所以，解得，
故实数a的取值范围是．
（2）解：令，得；令，得；令，得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得．
（3）解：由（1）知：当时，函数有最小值，
若，则，
又因为对任意总存在，使得，
则当时，的最小值不大于，
函数的图象开口向上，对称轴为，
当，即时，则在上单调递增，
故的最小值为，
解得，故；
当，即时，则在上单调递减，
故的最小值为，解得，故；
当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为，解得或．
故或，
综上所述，实数b的取值范围是．
17．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，因为，
由，得，
当时，由，得，
得，得．
所以，所以．
（2）解：因为是和的等差中项，所以，又，
所以，得，又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即；
令，可知，
因为，
所以，
两式相减得，
所以．
（3）证明：由（2）可得，由于，
所以．
因为，所以，
当时，，
综上，成立．
18．【答案】（1）证明：连接AC与BD交于点O，连接OE．
则O为AC的中点，又点E是棱的中点，所以，
又平面BDE，平面BDE，所以平面BDE．
（2）解法一：解：以DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则，
则点，，，，
则，，，
设平面BDE的法向量为，
则得，
令，得平面BDE的一个法向量为，
设直线与平面BDE所成角的大小为，则，
故直线与平面BDE所成角的正弦值是．
解法二：解：（几何法）
设直线与平面BDE所成角为，则，
其中d为点到平面BDE的距离，即点C到平面BDE的距离．
设，过C作于点H，则平面BDE，所以．
在中，易求得，又，∴．
19．【答案】（1）解：设的中点为，依题意，以为直径的圆内切于圆，
所以，即，
设，因为，所以，
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
则，，可得，
所以的轨迹的方程为.
（2）解：
（i）证明：设，则，令，由，则，
所以，所以，故为定值.
（ii）解：设，，直线的方程为，由题设知，
联立直线与的方程，
消去得：，
由在曲线内，所以且，
所以
，
原点到直线的距离；
由（i）知到直线的距离，
所以，
令，因为是曲线上的任意一点，
联立方程组，整理得，
可得，整理得，所以，
函数，
当时，面积的最大值为，
故面积的取值范围为.
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