2026年高考数学一轮练习卷（一）-全国甲卷（含答案）

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2026年高考数学一轮练习卷（一）-全国甲卷
一、选择题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．若，则（　　）
A． B． C． D．
3．若，，且，则（　　）
A． B． C． D．
4．若，，则（　　）
A． B． C． D．
5．长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色．某个假期期间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（　　）
A．90 B．120 C．150 D．180
6．已知正六棱柱的各个顶点都在半径为R的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球半径为r．若，则当最小时，该正六棱柱的体积为（　　）
A．36 B．42 C．48 D．24
7．定义：在空间直角坐标系中、两点的“网线距离”为.设、、，其中、、均为整数，若满足的点的个数为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，椭圆的离心率为，则椭圆的焦距为（　　）
A．1 B．2 C． D．
二、多项选择题
9．已知函数，则（　　）
A．的最小正周期为
B．是奇函数
C．曲线关于直线对称
D．在上单调递减
10．若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则的取值可以为（　　）
A．0 B． C．2 D．6
11．已知抛物线：与圆M：交于A，B两点，圆M与y轴的负半轴交于点P，为坐标原点，则（　　）
A．
B．若为等边三角形，则
C．存在，使得
D．直线与抛物线C相切
三、填空题
12．某公园有4条同心圆环步道，其长度构成公比为2的等比数列，若最长步道与最短步道之差为，则最长步道为　 　．
13．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点在直线：上，过向抛物线引两条切线PQ，PR，切点分别为，，过点引直线QR的垂线，垂足为点，则直线FH的斜率的取值范围是　 　.
14．设随机变量，且．若8名团员中有名男生，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则　 　．
四、解答题
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求的面积；
（2）若，求的值．
16．甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱中随机摸出2个球.已知摸到白球的概率是.
（1）求m；
（2）记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和均值.
17．在三棱锥中，，.为的中点，为的中点，平面.
（1）求证：平面平面；
（2）若与底面所成角的正切值是2，求二面角的余弦值.
18．已知，分别为椭圆：的左右焦点，直线与椭圆交于A、B两点，当时，的面积为.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知椭圆E与x轴负半轴交于点M，直线与的斜率之积为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）设与的面积分别为，，若，求直线的方程.
19．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第站、第站、第站、、第站，共站，设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第站（获胜）或第站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数、、、、、）．
（1）求、、，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示；
（2）求证：为等比数列；
（3）求玩该游戏获胜的概率．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】A,C,D
10．【答案】B,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】960
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：利用余弦定理可得，
化简可得
设BC边上的高为h，
则，
因为，
所以，解得，
所以的面积为．
（2）解：由，
解得，，
由（1）知，，故，
由正弦定理得，，所以，
又因为，
所以．
16．【答案】（1）解：记＂摸到白球＂，＂掷一枚质地均匀的骰子点数为1或2＂，
则＂摸出的2个球都是红球＂，＂朕一枚质地均匀的 子点数为，
则，
根据全概率公式：，即，
整理得：，解得
（2）解：的所有可能取值为：，由题可知，
，
故的分布列为：
0 1 2
从而，故的均值为．
17．【答案】（1）证明：延长与相交于M，连接，
根据，为的中点，则，，则，
在中，，为的中点，则.
在中，，则，
同理在中，，
在中，
，
由于，则，即.
已知平面，平面，则.
平面，且.
则平面，平面，则平面平面.
（2）解：由于平面，，以为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，过O作，可作为z轴，建立空间直角坐标系如图所示：
由于平面，则与底面所成角为，
根据题意，，则.
得到相关点坐标：，
所以，，.
设平面的法向量为，则且.
； ；
令，则，，所以.
设平面的法向量为，同理且.
； ；
令，则，所以.
设二面角为，且；
；
.
所以.
通过观察图形可知二面角是锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
18．【答案】（1）解： 根据，
化简可得，
由于，所以，
故椭圆的方程为
（2）解：，设直线方程为，
，化简可得，
设，如图所示：
，
由题意可得，
，代入可得，
故，
，化简可得，
解得或（舍去），
当时，，此时直线恒过点，且该点位于椭圆内，符合题意.
故直线恒过点，
（ii）设的面积为，由于，则的面积为，
因此的面积为，
故，故，
由于，故，
因此，化简可得，
由于，故，所以，
故直线方程为，即
19．【答案】（1）棋子开始在第站是必然事件，∴，棋子跳到第站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，
其概率为，∴；
棋子跳到第站，包括两种情形，
①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为；
②前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为，
∴；
棋子跳到第站，包括两种情形，
①棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为；
②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点，其概率为，
故，
（2）证明：由（1）可得
且n=1时，，
∴数列为等比数列，且公比为
（3）由（2）可知，∴
．
∴玩该游戏获胜的概率为
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