课题 2.1 因数和倍数的认识
授课者： 课型：新授 课时：第1课时
一、教材内容分析： 以学生熟悉的整数除法为切入点，通过对比"整除"与"非整除"两种情况的算式实例，自然引出因数和倍数的概念定义。教材设计遵循"具体-抽象-应用"的认知路径，先结合具体算式（如12÷2=6）阐明"除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数"的相互关系，再通过"找18的因数"和"找2的倍数"的探究活动，引导学生掌握列举因数和倍数的方法，并最终归纳出"一个数的最小因数是1，最大因数是它本身""一个数的倍数个数无限"等重要性质，帮助学生构建完整的概念体系。
二、学情分析： 学生在前期已掌握整数除法的运算方法，具备理解因数和倍数概念的知识基础，但首次接触这种相互依存的数学关系时，容易混淆因数和倍数的表述（如误说"12是因数"）。在寻找因数时，学生往往能找出部分因数但容易遗漏，特别是成对出现的因数（如18的因数中的2和9）；在寻找倍数时，对"倍数个数无限"这一抽象性质理解困难。教学中需通过大量实例操作和对比练习，帮助学生建立有序思考的习惯，突破概念理解的难点。
三、核心素养目标： ①情境与问题：通过学校社团分组的生活情境，引导学生发现人数分配中的数学关系，提出"如何理解数与数之间的因数和倍数关系"的探究问题 ②知识与技能：掌握因数和倍数的概念，理解其相互依存关系，能有序地找出一个数的因数和倍数 ③思维与表达：能够通过观察、分类和概括建立因数和倍数的概念体系，用数学语言准确描述数与数之间的因倍关系 ④交流与反思：在小组合作探究因数和倍数特征的过程中，分享不同的发现策略，反思有序思考的重要性
思政元素： 在数学概念学习中培养严谨有序的思维品质，通过合作探究渗透团队协作精神
四、教学重难点： 教学重点：理解因数和倍数的概念及其相互依存关系，掌握找一个数的因数和倍数的方法 教学难点：理解因数和倍数的相互依存性，掌握有序寻找因数和倍数的方法
五、教学准备：数字卡片、分组情境图、因倍数学习单、多媒体课件展示概念关系
六、学习活动设计：
教学环节一：情境导入，发现问题
教师活动 学生活动 设计意图 二次备课
活动一： （出示情境）学校组织社团活动，音乐社团招募了36人，现要将这36人进行分组，你能提出什么问题？ 活动二：初步揭示因数和倍数的概念。 以36÷4=9为例，4和9都是36的因数，36是4的倍数，也是9的倍数。 像老师这样说一说4、9、36之间的关系。 活动三： 这节课来研究因数和倍数，组织学生自学课本第5页因数、倍数的知识，并同桌间说一说你的收获。 师小结：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说商和除数是被除数的因数；被除数是除数和商的倍数。 1.出示36÷2=18，2×18=36，说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数吗？ 师小结：乘法和除法可以相互转化，像36÷2=18，那18×2=36。在这两个算式里，都能看出2和18是36的因数。36是2和18的倍数。 2.请举一个算式，并说一说各数之间的关系？ 强调：研究对象是指非0的自然数。 3.出示2×18=36和18÷3=6， 这两个算式中，18的表述一样吗？ 强调：因数和倍数是相互依存的，在表述因数和倍数关系的时候，一定要说清谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 活动一：学生根据情景，提出问题：要将这36人进行分组，要求每组人数一样多，可以怎样分？ 学生交流36人的分组方法。 预设1：2人一组，分18组。算式是2×18=36。 3人一组，分12组，算式是3×12=36， 4人一组，分9组，算式是4×9=36，… 预设2：共36人，每4人一组，分9组，算式是36÷4=9。 活动二：学生初步理解因数、倍数的概念。 同桌间尝试仿照例子表述4、9、36之间的因数、倍数关系。 活动三：学生打开课本第5页，学习因数和倍数的知识。 预设：整数除法，商是整数且没有余数（整除），研究对象一般指非零的自然数。 1.学生根据算式表述2、18、36之间的关系。 预设：2和18是36的因数。36是2和18的倍数。 2.同桌间互相说算式并表述各数之间的关系。 预设1：举整数乘法算式例子并表述； 预设2：举整数除法算式例子并表述； 预设3：1.5×3=4.5 学生小组交流讨论，研究因数和倍数时，指非0的自然数，所以4.5不是3和1.5的倍数，1.5和3也不是4.5的因数。 3.学生思考18在不同算式中的不同表述，体会因数和倍数相互依存的关系。 预设：在2×18=36中，18是36的因数；在18÷3=6中，18是3和6的倍数。 初步探究因数倍数的概念，激发学习兴趣及探究欲望。 初步认识、理解因数和倍数的概念。 进一步多角度理解与掌握因数与倍数的概念，渗透因数与倍数相互依存的关系，培养思维的严谨性。
教学环节二：引导合作，探究问题
教师活动 学生活动 设计意图 二次备课
活动一：探究找一个数的因数的方法。 1.在刚刚的分组活动中，36的因数都找全了吗？怎样才能把它所有的因数既不重复又不遗漏地找到并记录下来呢？ 2.根据前面的例子，说说如何找一个数的因数？ 强调：找一个数的因数要一对一对地找，记录的时候要从小到大的记。这样有序的思考，就可以做到既不重复又不遗漏。 活动二：介绍有序记录36的因数的方法。 （1）列举法记录36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 （2）集合图表示36的因数 活动三：探究找一个数倍数的方法。 1.组织学生自学课本P6例3找2的倍数，并完成以下任务。 任务（1）：找到2的倍数并记录下来。 任务（2）：思考书上记录2的倍数时为什么有省略号？ 任务（3）：如何找一个数的倍数？ 2.找一找3的倍数有哪些？ 3.让学生说一说找一个数倍数的方法。 师小结：想乘法，从1开始乘，有序寻找。 活动四：小游戏：比比谁的反应快！ 游戏规则：拿出各自的学号卡，认真听，请符合要求的同学举手。 1.第一组游戏结束，提出问题：为什么8号同学举手两次？ 小结：一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。 2.第二组游戏结束，提出问题：一个数的倍数是无限的，为什么举手的人数是有限的？ 3.第三组游戏结束，提出问题：能否说一个数，让全班同学都举手？ 4.通过这个游戏活动，你对因数、倍数有了哪些进一步的认识。 教师根据学生的汇报进行评价。 活动五：观察找一个数的因数和倍数的方法，它们有什么相同点和不同点？ 小结：思想是相同的，从1开始，都要有序思考，但因数是成对找的，个数是有限的，而倍数是一个一个找的，个数是无限的。 活动一：探究找一个数的因数的方法。 1.学生思考找一个数因数的方法。 预设1：利用乘法算式（ ）×（ ）=36 预设2：利用除法算式36÷（ ）=（ ） 预设3：找的时候要有序进行思考，从1开始。 2.学生小组讨论概括总结寻找因数的方法。 预设1：想乘法算式：从1开始，1×36=36，2×18=36，3×12=36，4×9=36，6×6=36，再往后找的因数就和前面的因数重复了。这样36的因数就全部找到了。 预设2：想除法算式：从1开始想起，36÷1=36，36÷2=18……36÷6 =6。直到找到的因数和前面重复为止。 预设3：可以一对一对地找。 活动二：学生根据老师讲解的因数的记录方法完成课本第6页例2。 预设：18的因数有1、2、3、6、9、18。 活动三：学生自主探究找一个数倍数的方法。 1.学生按要求自学书P6例3找2的倍数，并填空。 预设1：2的倍数有2、4、6…… 预设2：因为2的倍数有无限个，写不完，所以后面用省略号代替。 预设3：可以通过想乘法算式找一个数的倍数，从乘1开始找。 2.学生用列举法或集合图的方法进行记录。 预设1：3的倍数有3、6、9、12…… 3.学生汇报找一个数倍数的方法。 预设：想乘法算式，从1开始找，1×2=2、2×2=4、3×2=6…… 活动四：学生按要求进行小游戏。 1.第一组游戏： （1）学号是8的因数的同学请举手。 （2）学号是8的倍数的同学请举手。 预设：8既是8的因数，又是它的倍数。 2.第二组游戏： 请学号是9的倍数的同学举手。 请学号是5的倍数的同学举手。 预设：在一定范围内，一个数的倍数是有限的。 3.第三组游戏： 学生自主游戏，一名学生说要求，其余人根据要求举手。 预设：学号是1的倍数，所有人举手。 4.学生汇报游戏中的收获。 （1）一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。 （2）一个数的倍数个数是无限的，但是在一定范围内，是有限的。 （3）一个数的最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 活动五：学生同桌交流分享找一个数的因数和倍数的方法的相同之处和不同之处。 预设： 相同点：从1开始，有序思考。 不同点：一个数的因数是一对一对地找；一个数的倍数是一个一个地找。 掌握找一个数的因数的方法，体会有序思考的重要性，培养思维的严谨性，提升数感。 掌握一个数的因数的记录方法，形成有条理的思维习惯。 掌握有序寻找一个数的倍数的方法及一个数的倍数的表示方式，培养迁移、分析概括的能力，提升数感。 培养观察分析，比较概括的能力，提升数感，培养严谨的思维意识。
教学环节三：辅导练习，解决问题
教师活动 学生活动 设计意图 二次备课
1.基础练习 分别写出下面两个数的因数和倍数。 提醒：注意有序寻找，且既不重复也不遗漏。 2.变式练习 下面3组数中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？ 5和45 56和7 65和13 你发现了什么？ 3.提升练习 学校开展大课间活动，要把同学们分成人数相等的几个小组，五（1）班有48人，要求每组有4~ 12人（包含4人和12人），可以怎样分组？注意思考： （1）你能举例说说可以怎样分吗？ （2）通过这几种分法，你发现解决这个问题的关键是什么？ 1.基础练习 预设：24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24。 6的倍数：6、12、18、24、36…… 2.变式练习 预设：5是45的因数，45是5的倍数。7是56的因数，56是7的倍数。13是65的因数，65是13的倍数。每组的两个数都是倍数关系，较大数是较小数的倍数，较小数是较大数的因数。 3.提升练习 预设： 48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 符合条件的有4、6、8、12，所以可以每组分4、6、8、12人。解决这个题的关键是先找48的因数，再看哪些数满足要求。 夯实基础，巩固因数和倍数的概念。 进一步巩固因数和倍数的概念，培养学生观察分析能力，提升思维严谨性。 综合运用知识解决问题的能力，发展数感。
教学环节四：引导反思，提升问题
教师活动 学生活动 设计意图 二次备课
活动一：本节课我们研究了因数和倍数，在知识和方法上都有哪些收获？ 活动一：学生同桌总结回顾并汇报 预设1：知识上，知道了因数、倍数的概念，还知道找一个数因数和倍数的方法。 预设2：方法上，知道了要有序思考。 培养学生总结概括的能力，养成爱探究的意识，感悟数学的魅力。
七、作业设计： 基础作业：完成基本的因数和倍数识别练习，巩固概念理解 巩固作业：解决需要找出特定数的因数和倍数的问题，应用有序思考方法 提升作业：完成复杂的因倍数应用问题，进行知识的综合运用
八、板书设计： 因数和倍数的认识 4×9=36 4和9是36的因数 相互依存 36是4和9的倍数 36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36 有序思考 3的倍数：3，6，9，12，15……
九、教学反思与改进： 成功之处：本节课通过分组情境有效激发了学生的学习兴趣，学生在操作活动中积极参与因倍数概念的建构，能熟练应用有序思考方法寻找因数和倍数。游戏环节增强了学习的趣味性，学生能清晰表达因倍数的相互关系。 不足之处：部分学生对因数和倍数的相互依存关系理解不够深入，在复杂情境中应用概念存在困难。个别学生在有序思考方面需要加强引导。 改进措施：增加更多表征相互依存关系的实例，通过直观演示强化理解；设计有序思考的专项训练，提高思维严谨性；提供更多生活化案例，增强知识的实用性和趣味性。第二单元 单元整体设计
单元名称 因数和倍数
一、单元教材分析： 本单元以数的认识为核心，系统学习因数和倍数的概念、2、5、3的倍数的特征、质数与合数的分类及奇偶性规律。教材通过整数除法情境引入因数和倍数的定义，借助百数表探究倍数特征，并通过分类活动构建质数、合数的认知体系。内容编排注重实例引导与规律发现相结合，例如通过列举法找因数、观察个位总结倍数特征，并融入数学文化（如完全数、哥德巴赫猜想），渗透分类思想和推理能力培养，为后续学习约分、通分奠定数论基础。
二、学情分析： 五年级学生已掌握整数乘除法运算，但因数和倍数的抽象关系（如相互依存性）仍是难点，学生易混淆因数与倍数的主体角色。在判断倍数特征时，可能机械记忆个位规律而忽略算理本质（如3的倍数需看各位和）；质数合数的分类中，学生易忽略1的特殊性，且对复杂数的因数分解缺乏策略。奇偶性规律需通过具体操作（如摆小棒）化解抽象性。
三、单元教学目标： 学生能理解因数与倍数的概念，掌握2、5、3的倍数的特征，准确区分质数与合数，探索奇偶运算规律，并能运用这些知识解决实际问题，形成有序思考和分类归纳的能力。
四、核心素养目标： ①情境与问题：能在生活情境（如编码规则、分组活动）中识别数与数之间的倍数、因数关系，提出分类与判断问题。 ②知识与技能：掌握因数倍数的表达方法、倍数特征判断技巧及质数合数的分类标准，能灵活运用奇偶性规律。 ③思维与表达：通过百数表观察与分类活动发现数学规律，能用数学语言解释特征判定依据和分类逻辑。 ④交流与反思：在探究中验证猜想（如奇偶性），反思分类的完备性，体会数论知识的实际应用价值。
五、教学重难点： 重点：引导学生构建因数倍数的概念体系，掌握2、5、3的倍数特征及其算理，理解质数合数的本质区别。 难点：帮助学生突破3的倍数特征的理解障碍（为何看各位和），厘清1既非质数也非合数的特殊性，并能将奇偶性规律迁移至复杂运算的推理分析。
