浙江省2025-2026学年强基联盟第一次联考
数 学 试 卷（答案）
一、选择题答案
1.A 【命题意图】本题考查集合的交集运算，要求考生理解集合的概念和运算性质.
2.B 【命题意图】本题考查椭圆，要求考生理解椭圆的概念和性质.
【解题分析】∵椭圆的一个焦点坐标是(0，2)，∴k-5=22=4，∴解得k=9.
3.A 【命题意图】本题考查三角函数的图象及性质，要求考生掌握三角函数的周期性.
4.C 【命题意图】本题考查对数运算，要求考生了解对数的四则运算.
【解题分析】由题知aln-aln=a(ln 9-ln 4)=2a(ln 3-ln 2)=2，则a=loe，则=.
5.【答案】C
【解析】（）当 ，曲线 是圆， 与 有 个交点，不合．
（）当 时，曲线 是 条平行 轴的直线，此时 与 有 个交点，符合．
（）当 时，曲线 是焦点在 轴上椭圆，此时 与 有 个交点，符合．
（）当 时，曲线 是焦点在 轴上椭圆，此时 与 有 个交点，不合．
（）当 时，曲线 是双曲线，此时要使渐近线斜率 ，所以 ．
（）当 时，曲线 是等轴双曲线，渐近线斜率 ，正好两交点，符合．
所以综上所述，．
6.B 【命题意图】本题考查双曲线，要求考生理解双曲线的性质.
【解题分析】设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(-x1，-y1)，Q(x1，-y1).
由=，得E(x1，-2y1)，∴kMN=，kPN=kEN=-.
∵·=0，∴∠NMP=90°，又kMN=，∴kMP=-，
∵ (x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2)，
∴kPM·kPN=，∴kPM·kPN=-·-==，∴e==.
7.D 【命题意图】本题考查几何体的体积，要求考生知道圆台、圆柱体积的计算公式.
8.D 【命题意图】本题考查函数的性质，要求考生了解函数的对称性和周期性.
【解题分析】设g(x)=f(x)-2x，由f(2-x)-f(2+x)+4x=0，得f(2-x)-2(2-x)=f(2+x)-2(2+x)，
即g(2-x)=g(2+x)，等号两边同时求导，得-g'(2-x)=g'(2+x)，令x=0，得g'(2)=0.
又gx+=fx+-2x-1，
因为fx+为奇函数，所以g-x+=f-x++2x-1=-fx++2x-1，
于是gx++g-x+=-2，则g(2-x)+g(x-1)=-2，
将g(2-x)=g(2+x)代入，可得g(2+x)+g(x-1)=-2，所以g(5+x)+g(x+2)=-2，
得g(5+x)=g(x-1)，等号两边同时求导，得g'(5+x)=g'(x-1)，可得g'(x)的周期为6，
所以g'(2024)=g'(2)=0.
由g(x)=f(x)-2x，可得f(x)=g(x)+2x，所以f'(x)=g'(x)+2，得f'(2024)=g'(2024)+2=2.
9.【答案】A；C
【解析】由 得 ，则 ，
即 ，
设 ，
，，
即 在 单调递增，在 单调递减，
即当 时，函数 取得极小值 ．
故选：AC．
10.ACD 【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，要求考生能根据直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.
【解题分析】由题易知，圆O的半径为，设圆心C的坐标为(a，-a)，且a≠0，所以(a-2)2+(1+a)2=5，解得a=1，所以圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=5，|OC|=，故选项A正确，选项B错误.
设直线l1：y=x+t，当直线l1过点B(2，1)时，t=-1，
当直线l1与圆O相切时，=，解得t=±，
当直线l1与圆C相切时，=，
解得t=-2或t=--2，
因为直线l：y=x+b与月牙形只有两个交点，所以b的取值范围为(-2，)∪{-1}，故选项C正确.
连接AC，BC，AB(图略)，易求得△ABC的面积为，
设∠ACB=θ，=(-2，-1)，=(1，2)，所以cos θ==-，所以θ≈π-=，所以月牙形的面积约为5π-2××()2×-=+3，故选项D正确.
11.ACD 【命题意图】本题考查函数的性质，要求考生理解函数的奇偶性和周期性等.
【解题分析】对于A，令x=1，y=0，则f(1)+f(1)=f(1)f(0)，∵f(1)=1，∴f(0)=2，∴A项正确；
对于B，令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(y)，∴f(-y)=f(y)，∴f(x)为偶函数，∴B项错误；
对于C，令x=y，则f(2x)+f(0)=[f(x)]2，∴[f(x)]2=f(2x)+2>f(2x)+1，∴[f(3)]2>f(6)+1，∴C项正确；
对于D，令y=1，则f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x)，∴f(x+2)+f(x)=f(x+1)，∴f(x+2)+f(x-1)=0，
∴f(x+3)=-f(x)，∴f(x+6)=-f(x+3)=-[-f(x)]=f(x)，
∴6是函数f(x)的一个周期，∴D项正确.
三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）
12. 4 【命题意图】本题考查向量的运算，要求考生掌握平面向量数量积的坐标运算.
【解题分析】因为a=(2，2)，b=(λ，-4)，且a⊥b，所以2×λ+2×(-4)=0，解得λ=4.
13.. 【命题意图】本题考查椭圆，要求考生理解椭圆的概念与性质.
【解题分析】：
由题意知=++=(|F1F2|+|PF1|+|PF2|)r=(2a+2c)r=4r，又由△PF1F2的面积是△AF1F2的面积的一半，知4r==，故r=.
14. 6π 【命题意图】本题考查立体几何，要求考生理解立体几何的定理和性质.（2+3）
【解题分析】∵点B和点A1关于平面AB1C1对称，
∴点B和点A1到平面AB1C1的距离相等.设三棱锥A1-AB1C1的高为d，
∵AA1⊥平面A1B1C1，∴=AA1×=×1××1×2=.
∵AC1==，AB1=，B1C1=2，∴A=A+B1，
∴∠AB1C1=90°，∴=d×=d××2×==，
∴解得d=，∴点B到平面AB1C1的距离为.
∵将直三棱柱ABC-A1B1C1补全为以BA，BC，BB1为三条相邻棱的长方体，可知长方体的外接球即为直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球，即为三棱锥A-A1B1C1的外接球，
∴其外接球的半径为R==，∴该球的表面积为S=4πR2=6π.
四、解答题（本大题有5小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分）
15.【命题意图】本题考查解三角形，要求考生理解正、余弦定理.
【解题分析】(1)因为(a+b-c)(b-a+c)-3ac=0，所以b2-(a-c)2-3ac=0，
所以-ac=a2+c2-b2，所以cos B==-，因为B∈(0，π)，所以B=. 6分
(2)因为AD=2DC=，所以b=，因为BD平分∠ABC，所以=，即c=2a，
由(1)知，-ac=a2+c2-b2，解得a=1，c=2，因为S△ABC=S△ABD+S△DBC，所以acsin B=a·BDsin+c·BDsin，解得BD==. 13分
16.【命题意图】本题考查概率和数学期望，要求考生理解概率和数学期望的性质.
【解题分析】(1)设“第1次取出的是纸杯”为事件A，“第2次取出的是玻璃杯”为事件B，则P(B)=×+×=，P(AB)=P(A)P(B|A)=×=，
∴在第2次取出的是玻璃杯的条件下，第1次取出的是纸杯的概率为P(A|B)==. 7分
(2)X=0，1，2，3，
P(X=0)=3=，P(X=1)=×2+××+2×=，
P(X=3)=××=，P(X=2)=1---=，
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=+2×+3×=. 15分
17.【命题意图】本题考查函数与导数，要求考生了解函数的极值点，利用导数研究函数单调性，利用导数证明不等式.
【解题分析】(1)f'(x)=1-， 2分
令f'(x)<0，解得x<-或x>，
故函数f(x)的单调递减区间为和. 4分
(2)由h(x)=sin x-，x>0，知h'(x)=cos x-. 6分
记p(x)=cos x-，x>0，则p'(x)=-sin x+x. 8分
令m(x)=-sin x+x，x>0，则m'(x)=-cos x+1≥0恒成立， 10分
所以m(x)在(0，+∞)上单调递增，所以m(x)>m(0)=0，
所以p'(x)>0，所以p(x)在(0，+∞)上单调递增， 12分
而p(x)>p(0)=cos 0-=0，所以h'(x)>0， 13分
所以h(x)在(0，+∞)上单调递增，所以h(x)>h(0)=0，
故对任意的x>0，h(x)>0恒成立. 15分
18.【命题意图】本题考查面面垂直与二面角问题，要求考生理解面面垂直的性质和判定定理，了解利用空间向量求二面角.
【解题分析】(1)取BC的中点F，连接EF，
∵DE∥BC，DE=CF，∴四边形CDEF为正方形，
∴CD=EF.
又CD=BC，∴EF=BC，∴EC⊥BE. 3分
∵平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE=BE，CE 平面BCDE，∴CE⊥平面PBE. 5分
∵EC 平面PCE，∴平面PBE⊥平面PCE. 6分
(2)取BE的中点H，连接PH，
∵PB=PE，∴PH⊥BE.
∵平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE=BE，PH 平面PBE，
∴PH⊥平面BCDE. 8分
以E为坐标原点，，的正方向分别为x，y轴的正方向，过点E作z轴平行于直线PH，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则C0，2，0，P，0，，E(0，0，0)，B2，0，0， 9分
∴=(-，2，-)，=(2，0，0)，=(，0，)，
设=λ=(-λ，2λ，-λ)(0≤λ≤1)，
∴=+=-λ，2λ，-λ. 11分
设平面BEQ的法向量n=(x，y，z)，
则令y=λ-1，解得x=0，z=2λ，
∴n=(0，λ-1，2λ). 14分
∵平面PBE⊥y轴，∴平面PBE的一个法向量m=(0，1，0)，
∴|cos
|===，解得λ=，满足0≤λ≤1，
此时，Q为PC的中点. 17分
19.【命题意图】本题考查双曲线，要求考生了解双曲线方程和双曲线的切线问题.
【解题分析】(1)设双曲线C的方程为sx2-ty2=1(s，t>0).
因为双曲线C过点(-，)，(2，3)，
所以解得 3分
所以双曲线C的标准方程为x2-=1， 4分
故双曲线C的渐近线方程为y=±x. 5分
(2)当切线方程的斜率存在时，
设过点(x0，y0)的切线的方程为y-y0=k(x-x0)，与x2-=1联立，得
x2+x+=0， 6分
由Δ=-4··=0，
化简得(kx0-y0)2=k2-3，
即k2·(-1)-2kx0y0++3=0， 8分
Δ=4·-4(-1)·(+3)=4-12+12=0，
则k==，
故y-y0=(x-x0)，
整理得x0x-=1. 11分
当切线斜率不存在时，此时切点坐标为(±1，0)，切线方程为x=±1，满足x0x-=1.
综上，双曲线C：x2-=1在点P(x0，y0)处的切线方程为x0x-=1. 12分
(3)设Q(m，n)，则双曲线C：x2-=1在点Q(m，n)处的切线的方程为mx-=1，
双曲线的两条渐近线的方程为y=±x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立mx-=1与y=x，解得
联立mx-=1与y=-x，解得
直线AB的方程为=，即(y-y1)(x2-x1)-(y2-y1)(x-x1)=0，
故点O到直线AB的距离为=，
且|AB|=， 15分
故△AOB的面积为
·
=|x1y2-x2y1|====. 17分
19.【命题意图】本题考查函数与导数的综合，要求考生理解用导数讨论函数的单调性及函数的零点.
【解题分析】(1)f'(x)=2x-a(1+ln x)=2x-aln x-a，
令φ(x)=f'(x)=2x-aln x-a，则φ'(x)=2-. 1分
当a<0时，φ'(x)>0，φ(x)在(0，+∞)上单调递增，当x→0时，φ(x)→-∞，且φ(1)=2-a>0，故存在x1∈(0，1)，使得φ(x1)=0，且当0x1时，φ(x)>0，所以函数f(x)有一个极值点； 3分
当a=0时，f(x)=x2在(0，+∞)上无极值点； 4分
当a>0时，若0，则φ'(x)>0，所以函数φ(x)在0，上单调递减，在，+∞上单调递增，φ=-aln.
当0当a>2时，φ<0且当x→0时，φ(x)→+∞，当x→+∞时，φ(x)→+∞，此时函数f(x)有两个极值点. 6分
综上所述，当a<0时，函数f(x)有一个极值点；当0≤a≤2时，函数f(x)无极值点；当a>2时，函数f(x)有两个极值点. 7分
(2)f(x)=x，即x2-axln x=x，所以x-1-aln x=0， 8分
令G(x)=x-1-aln x，则G'(x)=1-=. 9分
当a≤1时，G(x)在(1，+∞)上单调递增，G(x)>G(1)=0，方程f(x)=x无解， 10分
当a>1时，易知G(x)在(1，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增，
所以G(a)令g(x)=x2-2xln x-1(x>1)，则g'(x)=2x-2(1+ln x)(x>1)，
设h(x)=x-1-ln x(x>1)，则h'(x)=1-=>0，
所以h(x)在区间(1，+∞)上单调递增，所以h(x)>h(1)=0，即g'(x)>0， 15分
所以g(x)在区间(1，+∞)上单调递增，所以g(a)>g(1)=0，即G(a2)>0， 16分
因为G(x0)=0，所以x0数 学 试 卷
试卷类型：A
注意事项:
1.本卷满分150分,考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分。错选、漏选、错选均不给分）
1.设集合A={x∈Z||x+1|≤2}，B={y|y=x2-1}，则A∩B=（ ）
A.{-1，0，1} B.{0，1} C.[-1，1] D.[0，1]
2.若椭圆+=1的一个焦点的坐标是(0，2)，则实数k的值为（ ）
A.1 B.9 C.3 D.7
3.已知函数f(x)=5sin(ωx+φ)ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则ω=（ ）
（第3题图）
A.3 B.4 C. D.2
4.已知函数f(x)=aln，其中a，b均为正数.若f(8b)-f(3b)=2，则=（ ）
A. B. C. D.
5.已知曲线 与曲线 恰好有两个不同的公共点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
6.如图，已知M，N为双曲线G：-=1(a>0，b>0)上关于原点对称的两点，点M与点Q关于x轴对称，=，直线NE交双曲线G的右支于点P.若·=0，则双曲线G的离心率为（ ）
（第6题图）
A. B. C. D.
7.瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器将它近似看作由一个圆柱和一个圆台构成的组合体，其直观图如图所示，该瓷器的体积为（ ）
（第7题图）
A.450π B.448π C.446π D.444π
8.已知函数fx+是定义在R上的奇函数且在R上可导，若f(2-x)-f(2+x)+4x=0恒成立，则f'(2024)=（ ）
A.-2 B.0 C.1 D.2
二、多项选择题（本大题有3小题，每小题6分，共18分。每个小题有2个及以上的选项，少选的部分分，错选不得分）
9.设 为函数 的导函数，已知 ，，则下列结论不正确的是
A． 在 单调递增 B． 在 单调递增
C． 在 上有极大值 D． 在 上有极小值
10.如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，若两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点O和C，A(-1，-2)，B(2，1)，直线l：y=x+b与月牙形只有两个交点，则参考数据：cos≈
（第10题图）
A.|OC|=
B.圆C的方程为(x-2)2+(y+2)2=5
C.b的取值范围为(-2，)∪{-1}
D.月牙形的面积约为+3
11.已知函数f(x)对任意的x，y∈R，恒有f(x+y)+f(x-y)=f(x)·f(y)，且f(1)=1，则下列结论正确的有（ ）
A.f(0)=2 B.f(x)为奇函数
C.[f(3)]2>f(6)+1 D.6是函数f(x)的一个周期
三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）
12.已知向量a=(2，2)，b=(λ，-4)，λ∈R，若a⊥b，则λ= .
13.已知F1，F2分别为椭圆C：+=1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点(不在x轴上)，△PF1F2内切圆的圆心为I，半径为r，A为椭圆C与y轴的一个交点，若△PF1F2的面积是△AF1F2的面积的一半，则r= .
14.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，BC=2，AB⊥BC，则点B到平面AB1C1的距离为 ，（2分）若三棱锥A-A1B1C1的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 . （3分）
（第14题图）
四、解答题（本大题有5小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分）
15.(13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a+b-c)(b-a+c)-3ac=0.
(1)求B；
(2)若∠ABC的角平分线交AC于点D，且AD=2DC=，求BD.
16.（15分）小张家的消毒柜里装有5个型号相同的杯子，其中2个是玻璃杯，3个是纸杯.小张每次使用杯子时，从消毒柜中随机地取出1个杯子，若取出的是纸杯，则使用后直接放入垃圾袋中，若取出的是玻璃杯，则使用后经过清洗再次放入消毒柜中，以备下次取用.
(1)求在第2次取出的是玻璃杯的条件下，第1次取出的是纸杯的概率；
(2)若取了3次，取出的纸杯的个数为X，求X的分布列及数学期望.
17.（15分）已知函数f(x)=x-.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若h(x)=sin x-f(x)，证明：对任意的x>0，h(x)>0恒成立
18.（17分）在矩形ABCD中，AD=2CD=4，E为边AD上的中点.将△ABE沿BE翻折，使得点A到点P的位置，且满足平面PBE⊥平面BCDE，连接PC，PD，EC.
（第18题图）
(1)求证：平面PBE⊥平面PCE.
(2)在线段PC上是否存在点Q，使得二面角P-BE-Q的余弦值为 若存在，求出Q点位置；若不存在，说明理由.
19.(17分)已知抛物线M：y2=ax(a>0)的焦点为A，0，P是抛物线M上一点.
(1)求抛物线M的方程；
(2)过点A且斜率为k的直线l与抛物线M交于B，C两点，若l∥OP(O为坐标原点)且直线OP与直线x=1交于Q点，求·的值.
ZS数学试卷（A）浙江省2025-2026学年强基联盟
四、四、鲜答题（本人题有5小题，第15题13分，第16趣15分，第17
17.(15分)
般284
第一次联考数学答题卡(A)
题15分，第18题17分，第19题17分，共77分)
满分：150分，时间：120分钟
15.(13分)
学校：
姓名：
条形码粘贴区
班级：
专场：
〔1下明上，以匆步线把)
【座：
（正雠填涂：■针误： 西 p)缺光口
1、送辞匙使用2B针竿坊涂：才的使甲0.5头米黑色
签字生与，字体T竖，七与不普边枉，
2、清按照驱号序在么送答区麦内作答，起出
答驱区城片号芒东无效，布卓稀纸、试驱苦卜芒理无
3、保付卡面清治。不云近普，不要弄社，禁州涂女
浪，涂故条。
一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分。铅选、漏选、钳
选均不给分)
1.a
5. D
2.D□
6.B 四D
3. 四
7.B田 四
4.B四
8④D网
二、多项选择题（木大题有3小题，每小题6分，共18分，每个小题有2
16.(15分)
个及以上的选项，少选的部分分，错选不得分)
9.[ACD
10.B@回
11.
三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）
12
口
14.
头3典，六5斯
第1页，5灭
第21,5.
18.(17分)
19.(17分)
非作答区
0
◆
茅4以，5
51,5成
