2025-2026学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷(含部分答案)
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷(含部分答案) |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 212.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-03 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
2025-2026学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A. 1，2，1 B. 1，2，3 C. 1，2，2 D. 1，2，4
3.下列运算正确的是（ ）
A. a5-a3=a2 B. （a2）3=a5 C. （-2a）3=-6a3 D. a2 a3=a5
4.下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.“破晓”是复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室科研团队研制的皮秒闪存器件，其擦写速度提升至400皮秒，实现了亚纳秒级操作，已知1皮秒等于1×10-12秒，那么400皮秒用科学记数法表示为（ ）
A. 4×10-10秒 B. 4×10-11秒 C. 4×10-12秒 D. 4×10-14秒
6.在△ABC中，AB=BC，将两个完全一样的三角板如图摆放，它们一组较短的直角边分别在AB，BC上，且这组直角边所对的顶点重合于点P，射线BP交AC于点D，则下列结论错误的是（ ）
A. AB=2AD
B. AD=DC
C. ∠ABD=∠CBD
D. ∠BDA=90°
7.《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文.只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（）
A. B.
C. D.
8.在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是x轴，y轴正半轴上的动点，直线l平分第一象限，点A，B关于直线l的对称点为A'，B'，连接AB，A'B'，线段AB与A'B'的交点为M，给出如下结论：
①点M必在直线l上；
②△B′AM≌△BA′M；
③点P是直线l上一动点，必有PA+PB＞MA+MB；
④线段AA'的长度一定小于线段BB'的长度.
以上结论正确的是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若分式有意义，则实数x的取值范围是______.
10.图1是某平板电脑支架，图2是它的侧面示意图，若EA=ED，∠AED=40°，则∠BDE= °.
11.分解因式：a3-a= ．
12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°，则BD与AB的数量关系是 .
13.如图，某小区准备在一个长为（4a+2b）m,宽为（3a+2b）m的长方形草坪上修建两条宽为b m的小路，则草坪（阴影部分）的总面积为 m2.
14.若关于x的方程的解是x=2，则m的值为 .
15.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，△ABC的面积为27，线段AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F，若点D为BC的中点，点G为直线EF上的动点，则△BDG的周长的最小值为 .
16.甲、乙二人在某公园的健身步道进行健走锻炼，他们从同一起点同时出发，最终到达同一终点.设甲一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走；乙一半时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走.若健走全程为2公里，甲、乙健走全程的时间分别为t1，t2，且a≠b.
（1）t1-t2=______（用含有a,b的式子表示）；
（2）______（填“甲”或“乙”）首先到达终点.
三、解答题：本题共11小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：.
18.(本小题5分)
计算：（x+2y）（2x-y）-x（x-2y）.
19.(本小题5分)
解分式方程：.
20.(本小题5分)
如图，从以下三个条件中选择两个条件作为已知，第三个条件作为结论，构成一个真命题，并证明.
条件：①AC=BD；
条件②：BC=AD；
条件③：∠ABC=∠BAD.
21.(本小题5分)
先化简，再求值：，其中m=-1.
22.(本小题5分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，-2），B（4，-1），C（3，-5）.
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1（其中点A1，B1，C1分别是点A，B，C的对应点）；
（2）若点D（-3，-2），E（-6，-1），F（-5，-5），并且△DEF与△ABC关于直线l对称，画出△DEF和直线l.
23.(本小题5分)
下面是小刚同学设计“作一个角的平分线”的尺规作图过程.
已知：如图1，∠AOB.
求作：射线OP，使OP平分∠AOB.
作法：①在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作OA的垂线l（如图2）；
②在OB边上截取OF=OE；
③过点F作OB的垂线与直线l交于点P；
④作射线OP，则OP平分∠AOB.
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠OEP=∠OFP=90°，
在Rt△OEP和Rt△OFP中，
，
∴Rt△OEP≌Rt△OFP（______）（填推理依据）.
∴∠EOP=∠FOP.
即OP平分∠AOB.
24.(本小题6分)
无人植保机通过导航系统实现厘米级定位，确保喷洒的农药均匀覆盖作物，因其施药精准，高效作业，深受当代农民的喜爱.某农业公司现有A，B两种型号的无人植保机，根据资料显示，一台A型机比一台B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，一台A型机喷洒40公顷农田所用时间与一台B型机喷洒50公顷农田所用时间相等.公司现接到一个订单，要求无人植保机每小时至少喷洒175公顷农田，若公司使用A，B两种型号的无人植保机各10台，能否满足订单需求，并说明理由.
25.(本小题6分)
如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究.
（1）小明的方法是从小到大逐一列举：
3=22-12，5=32-22，7=42-32，8=32-12，9=52-42，11=62-52，…
则小明列举的第8个“智慧数”是______.
（2）小华在小明列举的基础上，发现除1外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明：
设k是正整数，
∵（k+1）2-k2=（k+1+k）（k+1-k）=2k+1，
又∵k是正整数，
∴2k+1为大于或等于3的奇数.
∴除1外，所有的正奇数都是“智慧数”.
她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，参考上面的方法进行证明.
（3）用含有k的式子表示除1，2，4外的其它非“智慧数”______（k是正整数）.
26.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AC延长线上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，连接CE.
（1）求证：∠CAE=∠EBC；
（2）作点C关于直线BD的对称点G，连接CG，EG.
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AE，BE，CG之间的数量关系，并证明.
27.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a,b）和图形W，给出如下定义：若图形W上存在点Q（c,d），使得，则称点P是图形W的“m阶关联点”.已知点A（0，1），B（2，-3），C（4，0）.
（1）若点P是点B的“2阶关联点”，则点P的坐标为______；
（2）若点P是线段AC的“-2阶关联点”，则点P的纵坐标b的取值范围是______；
（3）若点P1是△ABC的“m阶关联点”，点P2是点P1关于x轴的对称点，当△P1OP2为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】x≠1
10.【答案】110
11.【答案】a(a+1)(a-1)
12.【答案】BD=AB
13.【答案】（12a2+7ab+b2）
14.【答案】8
15.【答案】12
16.【答案】；
乙
17.【答案】4．
18.【答案】x2+5xy-2y2．
19.【答案】x=0．
20.【答案】①②作为已知，③作为结论，构成一个真命题，
证明如下：在△ABD和△BAC中，
，
∴△ABD≌△BAC（SSS），
∴∠ABC=∠BAD．
②③作为已知，①作为结论，构成一个真命题，
证明如下：在△ABD和△BAC中，
，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
∴AC=BD．
21.【答案】解：原式=
=
=，
当m=-1时，原式==-1．
22.【答案】
23.【答案】 HL
24.【答案】公司使用A，B两种型号的无人植保机各10台，能满足订单需求，理由如下：
设A种型号无人植保机平均每小时喷洒a公顷农田，则B种型号无人植保机平均每小时喷洒（a+2）公顷农田，
根据题意得：=，
解得：a=8，
经检验，a=8是所列分式方程的解，且符合题意，
∴a+2=10，
即A种型号无人植保机平均每小时喷洒8公顷农田，B种型号无人植保机平均每小时喷洒10公顷农田，
∴10×（8+10）=180（公顷）＞175公顷，
∴公司使用A，B两种型号的无人植保机各10台，能满足订单需求．
25.【答案】13 设n是大于1的正整数，
则（n+1）2-（n-1）2
=n2+2n+1-（n2-2n+1）
=n2+2n+1-n2+2n-1
=4n，
∵n是大于1的正整数，
∴n+1和n-1都是正整数，
∴4n是“智慧数”，
又∵4n能被4整除，
∴除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数” 4 k+2
26.【答案】证明：∵∠ACB=90°，AE⊥BD，
∴∠CDE+∠EBC=∠CDE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠EBC ①如图，即为所作；
②AE=BE+CG，
证明：过点C作CF⊥CE交AE于点F，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=∠BCE=90°-∠BCF，
∵CA=CB，∠CAF=∠CBE，
∴△CAF≌△CBE（ASA），
∴CF=CE，∠CFA=∠CEB，AF=BE，
∴△CFE为等腰直角三角形，
∴∠CFE=45°，
∴∠CFA=∠CEB=135°，
∴∠CED=45°，
由对称可得∠CED=∠GED=45°，EC=EG，
∴∠CEG=90°=∠ECF，CF=EG，
∵CE=EC，
∴△CEG≌△ECF（SAS），
∴EF=CG，
∵AE=AF+FE，
∴AE=BE+CG
27.【答案】（2，-7） -4≤b≤-3
第1页，共1页
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A. 1，2，1 B. 1，2，3 C. 1，2，2 D. 1，2，4
3.下列运算正确的是（ ）
A. a5-a3=a2 B. （a2）3=a5 C. （-2a）3=-6a3 D. a2 a3=a5
4.下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.“破晓”是复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室科研团队研制的皮秒闪存器件，其擦写速度提升至400皮秒，实现了亚纳秒级操作，已知1皮秒等于1×10-12秒，那么400皮秒用科学记数法表示为（ ）
A. 4×10-10秒 B. 4×10-11秒 C. 4×10-12秒 D. 4×10-14秒
6.在△ABC中，AB=BC，将两个完全一样的三角板如图摆放，它们一组较短的直角边分别在AB，BC上，且这组直角边所对的顶点重合于点P，射线BP交AC于点D，则下列结论错误的是（ ）
A. AB=2AD
B. AD=DC
C. ∠ABD=∠CBD
D. ∠BDA=90°
7.《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文.只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（）
A. B.
C. D.
8.在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是x轴，y轴正半轴上的动点，直线l平分第一象限，点A，B关于直线l的对称点为A'，B'，连接AB，A'B'，线段AB与A'B'的交点为M，给出如下结论：
①点M必在直线l上；
②△B′AM≌△BA′M；
③点P是直线l上一动点，必有PA+PB＞MA+MB；
④线段AA'的长度一定小于线段BB'的长度.
以上结论正确的是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若分式有意义，则实数x的取值范围是______.
10.图1是某平板电脑支架，图2是它的侧面示意图，若EA=ED，∠AED=40°，则∠BDE= °.
11.分解因式：a3-a= ．
12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°，则BD与AB的数量关系是 .
13.如图，某小区准备在一个长为（4a+2b）m,宽为（3a+2b）m的长方形草坪上修建两条宽为b m的小路，则草坪（阴影部分）的总面积为 m2.
14.若关于x的方程的解是x=2，则m的值为 .
15.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，△ABC的面积为27，线段AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F，若点D为BC的中点，点G为直线EF上的动点，则△BDG的周长的最小值为 .
16.甲、乙二人在某公园的健身步道进行健走锻炼，他们从同一起点同时出发，最终到达同一终点.设甲一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走；乙一半时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走.若健走全程为2公里，甲、乙健走全程的时间分别为t1，t2，且a≠b.
（1）t1-t2=______（用含有a,b的式子表示）；
（2）______（填“甲”或“乙”）首先到达终点.
三、解答题：本题共11小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：.
18.(本小题5分)
计算：（x+2y）（2x-y）-x（x-2y）.
19.(本小题5分)
解分式方程：.
20.(本小题5分)
如图，从以下三个条件中选择两个条件作为已知，第三个条件作为结论，构成一个真命题，并证明.
条件：①AC=BD；
条件②：BC=AD；
条件③：∠ABC=∠BAD.
21.(本小题5分)
先化简，再求值：，其中m=-1.
22.(本小题5分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，-2），B（4，-1），C（3，-5）.
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1（其中点A1，B1，C1分别是点A，B，C的对应点）；
（2）若点D（-3，-2），E（-6，-1），F（-5，-5），并且△DEF与△ABC关于直线l对称，画出△DEF和直线l.
23.(本小题5分)
下面是小刚同学设计“作一个角的平分线”的尺规作图过程.
已知：如图1，∠AOB.
求作：射线OP，使OP平分∠AOB.
作法：①在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作OA的垂线l（如图2）；
②在OB边上截取OF=OE；
③过点F作OB的垂线与直线l交于点P；
④作射线OP，则OP平分∠AOB.
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠OEP=∠OFP=90°，
在Rt△OEP和Rt△OFP中，
，
∴Rt△OEP≌Rt△OFP（______）（填推理依据）.
∴∠EOP=∠FOP.
即OP平分∠AOB.
24.(本小题6分)
无人植保机通过导航系统实现厘米级定位，确保喷洒的农药均匀覆盖作物，因其施药精准，高效作业，深受当代农民的喜爱.某农业公司现有A，B两种型号的无人植保机，根据资料显示，一台A型机比一台B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，一台A型机喷洒40公顷农田所用时间与一台B型机喷洒50公顷农田所用时间相等.公司现接到一个订单，要求无人植保机每小时至少喷洒175公顷农田，若公司使用A，B两种型号的无人植保机各10台，能否满足订单需求，并说明理由.
25.(本小题6分)
如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究.
（1）小明的方法是从小到大逐一列举：
3=22-12，5=32-22，7=42-32，8=32-12，9=52-42，11=62-52，…
则小明列举的第8个“智慧数”是______.
（2）小华在小明列举的基础上，发现除1外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明：
设k是正整数，
∵（k+1）2-k2=（k+1+k）（k+1-k）=2k+1，
又∵k是正整数，
∴2k+1为大于或等于3的奇数.
∴除1外，所有的正奇数都是“智慧数”.
她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，参考上面的方法进行证明.
（3）用含有k的式子表示除1，2，4外的其它非“智慧数”______（k是正整数）.
26.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AC延长线上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，连接CE.
（1）求证：∠CAE=∠EBC；
（2）作点C关于直线BD的对称点G，连接CG，EG.
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AE，BE，CG之间的数量关系，并证明.
27.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a,b）和图形W，给出如下定义：若图形W上存在点Q（c,d），使得，则称点P是图形W的“m阶关联点”.已知点A（0，1），B（2，-3），C（4，0）.
（1）若点P是点B的“2阶关联点”，则点P的坐标为______；
（2）若点P是线段AC的“-2阶关联点”，则点P的纵坐标b的取值范围是______；
（3）若点P1是△ABC的“m阶关联点”，点P2是点P1关于x轴的对称点，当△P1OP2为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】x≠1
10.【答案】110
11.【答案】a(a+1)(a-1)
12.【答案】BD=AB
13.【答案】（12a2+7ab+b2）
14.【答案】8
15.【答案】12
16.【答案】；
乙
17.【答案】4．
18.【答案】x2+5xy-2y2．
19.【答案】x=0．
20.【答案】①②作为已知，③作为结论，构成一个真命题，
证明如下：在△ABD和△BAC中，
，
∴△ABD≌△BAC（SSS），
∴∠ABC=∠BAD．
②③作为已知，①作为结论，构成一个真命题，
证明如下：在△ABD和△BAC中，
，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
∴AC=BD．
21.【答案】解：原式=
=
=，
当m=-1时，原式==-1．
22.【答案】
23.【答案】 HL
24.【答案】公司使用A，B两种型号的无人植保机各10台，能满足订单需求，理由如下：
设A种型号无人植保机平均每小时喷洒a公顷农田，则B种型号无人植保机平均每小时喷洒（a+2）公顷农田，
根据题意得：=，
解得：a=8，
经检验，a=8是所列分式方程的解，且符合题意，
∴a+2=10，
即A种型号无人植保机平均每小时喷洒8公顷农田，B种型号无人植保机平均每小时喷洒10公顷农田，
∴10×（8+10）=180（公顷）＞175公顷，
∴公司使用A，B两种型号的无人植保机各10台，能满足订单需求．
25.【答案】13 设n是大于1的正整数，
则（n+1）2-（n-1）2
=n2+2n+1-（n2-2n+1）
=n2+2n+1-n2+2n-1
=4n，
∵n是大于1的正整数，
∴n+1和n-1都是正整数，
∴4n是“智慧数”，
又∵4n能被4整除，
∴除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数” 4 k+2
26.【答案】证明：∵∠ACB=90°，AE⊥BD，
∴∠CDE+∠EBC=∠CDE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠EBC ①如图，即为所作；
②AE=BE+CG，
证明：过点C作CF⊥CE交AE于点F，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=∠BCE=90°-∠BCF，
∵CA=CB，∠CAF=∠CBE，
∴△CAF≌△CBE（ASA），
∴CF=CE，∠CFA=∠CEB，AF=BE，
∴△CFE为等腰直角三角形，
∴∠CFE=45°，
∴∠CFA=∠CEB=135°，
∴∠CED=45°，
由对称可得∠CED=∠GED=45°，EC=EG，
∴∠CEG=90°=∠ECF，CF=EG，
∵CE=EC，
∴△CEG≌△ECF（SAS），
∴EF=CG，
∵AE=AF+FE，
∴AE=BE+CG
27.【答案】（2，-7） -4≤b≤-3
第1页，共1页
同课章节目录