课件9张PPT。九年级数学·下 新课标[北师]第二章 二次函数1二次函数（第1课时）学 习 新 知赵州桥,又称大石桥、安济桥,是位于河北省赵县城南五里洨河上的一座石拱桥,是我国古代石拱桥的杰出代表,其设计者是隋代杰出的工匠李春,建造于公元605年.赵州桥的设计构思和工艺的精巧,在我国古桥中是首屈一指的,据世界桥梁的考证,像这样的敞肩拱桥,欧洲到19世纪中期才出现,比我国晚了一千二百多年,赵州桥的雕刻艺术,包括栏板、望柱和锁口石等,其上狮象龙兽形态逼真,琢工的精致秀丽,不愧为文物宝库中的艺术珍品.问题
请同学们观察赵州桥的桥拱的形状,它的形状可以近似地看成一种函数图象,这和我们之前所学的函数图象一样吗?体会函数的模型思想 【引例】 某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.展示：(1)自变量:橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等;因变量:橙子的个数、橙子的质量等.
(2)如果设果园增种x棵橙子树,那么果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.
(3)果园橙子的总产量y与x之间的关系式为y=(x+100)(600-5x)=-5x2+100x+60000.【做一做】
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.与存款有关的知识:
1.银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说,利率是一个变量.
2.利息=本金×利率×期数(时间).
3.本息和=本金+利息.观察y=100x2+200x+100与y=-5x2+100x+60000的相同点.解:y=100(x+1)2=100x2+200x+100.问题1 已知矩形的周长为40 cm,它的面积可能是100 cm2吗?可能是75 cm2吗?还可能是多少?你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗?【想一想】解:(1)设其中一边长为x cm,则 =-x2+20x=100,
解得x1=x2=10.
=-x2+20x=75,
解得x1=5,x2=15.
这个矩形的面积与其一边长的关系为S= =-x2+20x.问题2 两数的和是20,设其中一个数是x,你能写出这两数之积y的表达式吗?解:y=x(20-x)=-x2+20x.二次函数的定义【对比观察】 观察三个式子的共同点:
(1)y=-5x2+100x+60000；(2)y=100x2+200x+100；
（3）y=-x2+20x.二次函数的定义.
一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数.[知识拓展] 理解二次函数概念的注意事项:①常数a≠0；②自变量x的最高次数为2；③等号的右边是整式；④要确定二次函数的关系式,只要确定a,b,c的值就可以了.二次函数的一般形式及自变量的取值范围(一)二次函数的一般形式1.二次函数的一般形式:y=ax2+bx+c (a≠0,b≠0,c≠0).
2.系数a≠0,但是b,c都可以为0.
3.二次函数的几种不同表示形式:(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0).(2) y=ax2+c (a≠0,b=0,c≠0).(3) y=ax2+bx (a≠0,b≠0,c=0).(4)一般形式:y=ax2+bx+c (a≠0,b≠0,c≠0).(二)二次函数自变量的取值范围 自变量的取值范围是函数的一个有机组成部分,今后除了解决最值问题外,一般不刻意讨论自变量的取值范围.检测反馈1.(2014·兰州中考)下列函数解析式中,一定为二次函数的是 ( )
A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c
C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+解析:A,y=3x-1是一次函数,故A错误;B,y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数,故B错误;C,s=2t2-2t+1是二次函数,故C正确;D,y=x2+ 不是二次函数,故D错误.故选C.C2.已知二次函数y=1-3x+5x2,则其二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是 ( )
A.a=1,b=-3,c=5 B.a=1,b=3,c=5
C.a=5,b=3,c=1 D.a=5,b=-3,c=1解析:∵函数y=1-3x+5x2是二次函数,∴a=5,b=-3,c=1.故选D.D解析:当x=2时，y=22+3×2-5=4+6-5=10-5=5.故填5.3.已知二次函数y=x2+3x-5，当x=2时，y= .?54.(2014·安徽中考)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y= .?解析:∵一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,∴二月份研发资金为a×(1+x),∴三月份的研发资金y=a×(1+x)×(1+x)=a(1+x)2.故填a(1+x)2.a(1+x)2课件11张PPT。九年级数学·下 新课标[北师]第二章 二次函数2 二次函数的图象与性质（第1课时）学 习 新 知在你打篮球或观看篮球比赛时,你是否注意投篮时篮球的运行路线是什么样的?这种运行路线所形成的图形在我们日常生活中无处不在,比如喷泉流经过的路线、一些拱形桥的桥拱的形状、导弹运行的路线等.画二次函数y=x2的图象(1)列表.(2)在直角坐标系中描点.(3)用光滑的曲线连接各点.二次函数y=x2的性质(5)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴进行交流.【议一议】 对于二次函数y=x2的图象:(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.(2)图象与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么?(3)当x<0时,随着x值的增大,y的值如何变化?当x>0时呢?(4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?二次函数y=x2的性质向上y轴(或直线x=0)原点(0,0)当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0
时,y随x的增大而增大
当x=0时,y有最小
值,最小值是0xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1y=-x2【做一做】 二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想，然后画出它的图象.它与二次函数y=x2的图象有什么关系?指出二次函数y=-x2的正确图象,并指出其他图象的错误.不正确，连线不平滑.不正确，图象不对称.不正确，图象不完整.正确.画二次函数图象的注意事项:
(1)列表时,选取的自变量的值,应以O为中心,左边取-1,-2,-3,右边对应取1,2,3(取互为相反数的一对数),不要一边多,一边少,不对称.
(2)描点时要严格按照表中所列的对应值描点,绝对不能把点的位置描错.
(3)按自变量从小到大的顺序依次画线,连线时用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接.
(4)图象是延伸的,不要画成有明确的端点.二次函数y=-x2的性质向下y轴(或直线x=0)原点(0,0)当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0
时,y随x的增大而减小
当x=0时,y有最大
值,最小值是0[知识拓展] 二次函数y=x2的图象与二次函数y=-x2的图象的关系:(1)二次函数y=x2的图象与二次函数y=-x2的图象关于x轴对称.(2)如果把两个图象看成一个图形,这个图形是中心对称图形,对称中心是坐标原点.检测反馈1.下列说法正确的是 ( )
A.二次函数y=x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大
B.二次函数y=-x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大
C.二次函数y=x2与y=-x2的图象开口方向不同，其对称轴都是y轴,y值都随着x值的增大而增大
D.当x<0时，y=x2中y随x的增大而减小；当x>0时，y=-x2中y随x的增大而减小解析:二次函数y=±x2的函数图象在对称轴左右两边的增减性是不一样的,所以A，B，C均不正确.故选D.D2.已知点A(2，a)，B(b，9)在抛物线y=x2上，则a= ， b= .?解析:分别把x=2和y=9代入y=x2 ，解得a=4，b=±3.4±33.通过列表、描点、连线的方法画函数y=-x2的图象.解:列表:描点,连线,如图所示.课件11张PPT。九年级数学·下 新课标[北师]第二章 二次函数2 二次函数的图象与性质（第2课时）学 习 新 知观察下面的二次函数表达式:
(1)y=x2 ；(2)y=-x2 ；(3)y=-2x2 ；(4)y=3x2 ；(5)y= x2.观察思考它们有什么共同点和不同点?
(3)(4)(5)与我们学习过的(1)(2)又有什么不同点?二次函数y=ax2的图象与性质探究活动一:画二次函数y=2x2的图象(1)完成下表:(2)在课本图2 - 4中画出y=2x2的图象.y=2x2(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?y=x2y=2x23.二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象的不同点:两个函数图象的开口大小不同,y=2x2的图象在y=x2的图象的内侧,开口较小,它的函数值的增长速度较快.1.二次函数y=2x2的图象是抛物线.2.二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象的相同点:(1)开口方向相同,都向上.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而减小；在y轴右侧,y值随x值的增大而增大.(5)都有最低点,即原点.函数都有最小值.【想一想】 在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=-2x2的图象,会是什么样?探究活动二:画出y= x2的图象【想一想】 在课本图2 - 4中画出y= x2的图象.y=x2y=2x2y= x2【问题】 它与二次函数y=x2，y=2x2的图象有什么相同和不同?小结:
1.相同点:(1)开口方向相同,都向上.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而减小;在y轴右侧,y值随x值的增大而增大.(5)都有最低点,即原点.函数都有最小值.2.不同点：y= x2 的图象在y=2x2 和y= x2 的图象的外侧，开口较大.y= x2中函数值的增长速度较慢. 强调：二次函数y=ax2(a≠0)中,二次项系数a的作用:(1)a确定了抛物线的开口方向:①a>0时,开口向上；②a<0时,开口向下.(2)a确定了抛物线的开口大小:①︱a︱越大,开口越小,函数值变化得越快；②︱a︱越小,开口越大,函数值变化得越慢.[知识拓展] 二次函数y=ax2的图象和性质:
1.当a>0时:(1)开口向上.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而减小;在y轴右侧,y值随x值的增大而增大.(5)当x=0时,y最小=0.
2.当a<0时:(1)开口向下.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而增大;在y轴右侧,y值随x值的增大而减小.(5)当x=0时,y最大=0.二次函数y=ax2+c的图象与性质y=2x2y=2x2+1二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象的关系:1.相同点:(1)它们的图象都是抛物线,且形状相同,开口方向都向上.(2)它们都是轴对称图形,且对称轴都是y轴.(3)在y轴左侧,y随x的增大而减小;在y轴右侧,y随x的增大而增大.(4)都有最低点,y都有最小值.2.不同点:
(1)它们的顶点不同:y=2x2的顶点在原点,顶点坐标为(0,0);y=2x2+1的顶点在y轴上,顶点坐标为(0,1).
(2)最小值不同,y=2x2的最小值为0,y=2x2+1的最小值为1.总结：二次函数y=2x2,y=2x2+1,y=2x2-1的图象之间的关系:二次函数y=2x2,y=2x2+1,y=2x2-1的图象都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同.将函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度,就得到函数y=2x2+1的图象;将函数y=2x2的图象向下平移1个单位长度,就得到函数y=2x2-1的图象.[知识拓展] 1.二次函数图象的平移规律:y=ax2+c的图象可以看成是由y=ax2的图象整体上下移动得到的,当c>0时,向上移动|c|个单位长度;当c<0时,向下移动|c|个单位长度.简记为:“上加下减”.2.二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质:检测反馈1.下列函数中,当x>0时,y随x的增大而增大的是 ( )
A.y=-x+1 B.y=x2-1
C.y= D.y=-x2+1解析:A,y=-x+1,一次函数,k<0,故y随着x的增大而减小,错误;B,y=x2-1(x>0),故图象在对称轴右侧,y随着x的增大而增大,而在对称轴左侧(x<0),y随着x的增大而减小,正确.C,y= ,k=1>0,在每个象限里,y随x的增大而减小,错误;D,y=-x2+1(x>0),故图象在对称轴右侧,y随着x的增大而减小,而在对称轴左侧(x<0),y随着x的增大而增大,错误.故选B.B解析:抛物线y=-2x2+1的对称轴是y轴(或直线x=0).故选C.2.抛物线y=-2x2+1的对称轴是 ( )
A.直线x= B.直线x=-
C.y轴 D.直线x=2C解析:因为抛物线y=(2-a)x2的开口方向向下,所以2-a<0,即a>2.故填a>2.3.如果抛物线y=(2-a)x2的开口方向向下,那么a的取值范围是 .?解析:抛物线y=4x2与抛物线y=-4x2的图象形状、大小、顶点坐标都一样,只是开口方向相反,所以它们关于x轴对称.故填x.4.抛物线y=4x2与抛物线y=-4x2的图象关于 轴对称.?xxa>25.在同一个直角坐标系中作出y= x2,y= x2-1的图象,比较它们的异同,并找出它们的关系.解:列表:描点、连线,图象如图所示.由图象可知两个函数图象的开口大小、方向和对称轴相同，只有顶点的位置不同.课件11张PPT。九年级数学·下 新课标[北师]第二章 二次函数2 二次函数的图象与性质（第3课时）学 习 新 知 如图所示,小明同学在做一游戏,他制作了一张画有一条拋物线的透明胶片,且拋物线上有一点P,他首先把透明胶片放在了平面直角坐标系中的左图的位置,他得到了此时点P的坐标为(2,4).然后他将此透明胶片向上、向右移动后,他得拋物线的顶点坐标为(7,2),你能帮助他求出此时点P的坐标吗?二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 画二次函数y=2(x-1)2的图象.(1)完成下表:(2)在课本图2-5中画出y=2(x-1)2的图象.y=2(x-1)2【议一议】 二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?y=2(x-1)2小结:二次函数y=2(x-1)2的图象也是抛物线.1.相同点:(1)开口方向相同,开口大小相同.
(2)在对称轴的左侧,都是y值随x值的增大而减小;在对称轴的右侧,都是y值随x值的增大而增大.
(3)都有最低点,即函数都有最小值.2.不同点:(1)对称轴:y=2x2的图象的对称轴是y轴(或直线x=0),y=2(x-1)2的图象的对称轴是直线x=1.
(2)顶点坐标:y=2x2图象的顶点坐标是(0,0),y=2(x-1)2图象的顶点坐标是(1,0).
(3)最值:y=2x2,当x=0时,y最小=0,而y=2(x-1)2,当x=1时,y最小=0.3.图象之间的关系:二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度得到的.二次函数y=a(x-h)2的图象与y=ax2的图象的关系.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质【想一想】 由二次函数y=2x2的图象,你能得到二次函数y=2x2- ,y=2(x+3)2,y=2(x+3)2- 的图象吗?你是怎样得到的?与同伴进行交流.(1)将二次函数y=2x2的图象向下平移 个单位长度,就得到二次函数y=2x2- 的图象.结论交流(2)将二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位长度,就得到二次函数y=2(x+3)2的图象.（3)将二次函数y=2x2的图象先向下平移 个单位长度,再向左平移3个单位长度(或先向左平移3个单位长度,再向下平移 个单位长度),就得到二次函数y=2(x+3)2- 的图象.图示总结:
一般地,平移二次函数y=ax2的图象便可以得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象.因此,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质:(h,k)(h,k)直线x=h直线x=h向上向下在对称轴的左侧,y随着x的
增大而减小;在对称轴的右
侧,y随着x的增大而增大在对称轴的左侧,y随着x的增
大而增大;在对称轴的右侧,y
随着x的增大而减小当x=h时,y最小=k当x=h时,y最大=k[知识拓展]
1.二次函数图象之间的平移规律:“左右平移在括号,上下平移在末梢,左加右减须牢记,上加下减错不了”.简记为“上加下减,左加右减”.
2.二次函数的关系式:y=a(x-h)2+k被称之为“顶点式”.检测反馈1.(2015·沈阳中考)在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可能是 ( )解析:二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象的顶点坐标为(h,0),它的顶点坐标在x轴上.故选D.D解析:∵将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,∴平移后的抛物线的解析式为y=(x-2)2+3.故选B.2.(2015·河池中考)将抛物线y=x2向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度后,所得抛物线的解析式为 ( )
A.y=(x+2)2+3
B.y=(x-2)2+3
C.y=(x+2)2-3
D.y=(x-2)2-3B解析:∵抛物线y=3(x-2)2+5,∴顶点坐标为(2,5).故填(2,5).3.(2014·长沙中考)抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是 .?(2,5)4.在二次函数y=-2(x-3)2+1中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是 .?解析:∵a=-2<0,∴二次函数图象开口向下,又对称轴是直线x=3,∴当x<3时,函数图象在对称轴的左边,y随x的增大而增大.故填x<3.x<35.画出函数y=- (x-1)2+2的图象,观察图象回答下列问题.
(1)求顶点坐标与对称轴;
(2)当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,y随x的增大而减小?
(3)当x取何值时,函数有最大值或最小值,其值是多少?解:如图所示.(1)顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1.
(2)当x<1时,y随x的增大而增大,当x>1时,y随x的增大而减小.
(3)当x=1时,二次函数有最大值,为2.课件10张PPT。九年级数学·下 新课标[北师]第二章 二次函数2 二次函数的图象与性质（第4课时）学 习 新 知 某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系:m=162-3x.请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式. 由题意,得每件商品的销售利润为(x-30)元,那么m件的销售利润为y=m(x-30).又∵m=162-3x,∴y=(x-30)(162-3x),即y=-3x2+252x-4860.问题
这个二次函数关系式:y=-3x2+252x-4860与我们前面学的形如y=a(x-h)2+k(顶点式)的形式一样吗?问题思考探究一般式与顶点式的转化问题
你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗?研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质的关键是把二次函数y=2x2-4x+5转化成y=a(x-h)2+k的形式.解:y=2x2-4x+5=2(x2-2x)+5=2(x2-2x+1)+5-2=2(x-1)2+3.解析:根据上面的分析,要求y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标,首先要利用配方法把y=2x2-8x+7转化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式.求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.解:y=2x2-8x+7
=2(x2-4x)+7
=2(x2-4x+4)-8+7
=2(x-2)2-1.因此,二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,-1).【做一做】确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:
(1)y=3x2-6x+7； (2)y=2x2-12x+8.解:(1)y=3x2-6x+7=3(x2-2x)+7=3(x2-2x+1)+7-3=3(x-1)2+4.
因此,二次函数y=3x2-6x+7图象的对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,4).(2)y=2x2-12x+8=2(x2-6x)+8=2(x2-6x+9)+8-18=2(x-3)2-10.
因此,二次函数y=2x2-12x+8图象的对称轴是直线x=3,顶点坐标为(3,-10).一般式y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标公式的推导求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.解:把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方,得
y=ax2+bx+c因此,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线 ,
顶点坐标是 .一般式y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标公式的实际应用如图所示,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用 表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称.(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少?
(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少?∴对称轴为直线x=-20,顶点坐标为(-20,1).
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1 m.
(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20=40(m).(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少?
(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少?∴对称轴为直线x=-20,顶点坐标为(-20,1).
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1 m.
(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20=40(m).1.(2014·新疆中考改编)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正确的是 ( )
A.开口向下 B.对称轴是直线x=-1
C.顶点坐标是(1,2) D.与x轴有公共点解析:二次函数y=(x-1)2+2的图象开口向上,顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,抛物线与x轴没有公共点.故选C.C2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的大致图象为 ( )
检测反馈解析:∵二次函数图象开口方向向上,∴a>0.∵对称轴为直线x= >0,∴b<0.∵与y轴的正半轴相交,∴c>0,∴y=ax+b的图象经过第一、三象限,且与y轴的负半轴相交,反比例函数y= 的图象在第一、三象限,只有B选项图象符合.故选B.B?
解析:将(-1,10)代入y=ax2+bx+c,得a-b+c=10.故填10.3.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10),则a-b+c= .104.某市政府大楼前广场有一喷水池,水从地面喷出,喷出水的路径是一条抛物线.如果以水平地面为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:m)的一部分,则水喷出的最大高度是 m.?解析:∵水在空中喷出的曲线是抛物线y=-x2+4x的一部分,∴喷水的最大高度就是水在空中喷出的抛物线y=-x2+4x的顶点坐标的纵坐标,∵y=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴顶点坐标为(2,4),∴水喷出的最大高度为4 m.故填4.45.写出下面抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.
(1)y=-2x2+6x; (2)y= x2+2x-3.解:(1)y=-2x2+6x=-2(x2-3x )=-2（x2-3x+ ）+
=-2 ， 开口向下,对称轴是直线x= ,顶点坐标为 .(2)y= x2+2x-3= (x2+4x)-3= (x2+4x+4)-2-3= (x+2)2-5,开口向上,对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,-5).课件9张PPT。九年级数学·下 新课标[北师]第二章 二次函数3 确定二次函数的表达式（第1课时）学 习 新 知生活中有很多类似抛物线形状的建筑物,如果你是设计师,你能设计出这些建筑物吗?初步探究确定二次函数表达式所需要的条件如图所示,这是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的图象,你能求出其表达式吗?解:∵(4,3)是抛物线的顶点坐标,∴设二次函数表达式为y=a(x-4)2+3,
把点(10,0)代入y=a(x-4)2+3,解得a= ,
因此铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y=- (x-4)2+3.总结:
(1)形如y=ax2的二次函数,因为只有一个系数a是未知的,所以只需要知道图象上一个点的坐标即可.
(2)形如y=a(x-h)2和y=ax2+k的二次函数,有两个系数是未知的,所以需要知道图象上两个点的坐标即可.
(3)形如y=a(x-h)2+k的二次函数,如果已知二次函数的顶点坐标,那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.二次函数表达式的确定方法〔解析〕 由于函数图象经过点(2,3)和(-1,-3),所以直接把两个点的坐标代入y=ax2+c,得到关于a和c的二元一次方程组,解方程组得出a,c的值即可.例1 已知二次函数y=ax2+c的图象经过点(2,3)和(-1,-3),求这个二次函数的表达式.解:将点(2,3)和(-1,-3)的坐标分别代入表达式y=ax2+c,得解这个方程组,得所以,所求二次函数表达式为y=2x2-5.用待定系数法求二次函数表达式【做一做】 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次函数的表达式.思考下面的问题:
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点坐标是什么?
2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交点的纵坐标与系数c有什么关系?
3.二次函数表达式y=ax2+bx+c中除了系数c之外,还有几个未知系数?解:因为二次函数图象与y轴交点的纵坐标为1,所以c=1.设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1,将点(2,5)和(-2,13)代入y=ax2+bx+1,得解得所以所求二次函数的表达式为y=2x2-2x+1.归纳确定二次函数表达式所需要的条件【想一想】在什么情况下,已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式?总结:
1.二次函数y=ax2+bx+c可化成:y=a(x-h)2+k,顶点坐标是(h,k),如果已知顶点坐标,那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.
确定表达式的步骤和方法:
可以利用待定系数法设表达式为顶点式:y=a(x-h)2+k,再把另一个点的坐标代入,求出a的值,就可以确定所求二次函数的表达式.2.已知二次函数y=ax2+bx+c中一项系数,再知道图象上的任意两个点的坐标,也可以确定二次函数的表达式.
确定表达式的步骤和方法:
把两个点的坐标代入表达式,得到二元一次方程组,解这个方程组,得到两个未知系数的值,就可以确定所求二次函数的表达式.检测反馈解析:∵抛物线的顶点坐标为(1,-2),且经过(2,1),∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-2,把(2,1)代入得1=a(2-1)2-2,解得a=3,∴y=3(x-1)2-2=3x2-6x+1.故选B.1.某抛物线的顶点坐标为(1,-2),且经过(2,1),则抛物线的解析式为 ( )
A.y=3x2-6x-5 B.y=3x2-6x+1
C.y=3x2+6x+1 D.y=3x2+6x+5 B2. 二次函数的图象如图所示,则它的解析式正确的是( )
A.y=2x2-4x B.y=-x(x-2)
C.y=-(x-1)2+2 D.y=-2x2+4x解析:根据图象得:抛物线的顶点坐标为(1,2),设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2,将(2,0)代入解析式,得0=a+2,解得a=-2,则抛物线解析式为y=-2(x-1)2+2=-2x2+4x.故选D.D解析:设二次函数的解析式为y=a(x-3)(x-4),而a=1,所以二次函数的解析式y=(x-3)(x-4)=x2-7x+12.故填y=x2-7x+12.3.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(3,0)和(4,0),则这个二次函数的表达式是 .?y=x2-7x+124.已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为 .?解析:∵抛物线过(0,-3),∴c=-3,设二次函数的表达式为y=ax2+bx-3, 把(-1,0),(3,0)分别代入二次函数表达式y=ax2+bx-3中,得 解这个方程组,得
∴这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3.故填y=x2-2x-3.y=x2-2x-35.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是A(2,1),且经过点B(1,0),求此抛物线的解析式.解析:设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1,将点B(1,0)代入解析式即可求出a的值,从而得到二次函数解析式.解:设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1,
将B(1,0)代入y=a(x-2)2+1,得a=-1,
所以二次函数解析式为y=-(x-2)2+1,展开得y=-x2+4x-3.课件10张PPT。九年级数学·下 新课标[北师]第二章 二次函数3 确定二次函数的表达式（第2课时）学 习 新 知某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的B处安装一个喷头向外喷水,该喷泉喷出的最远距离,即地面点A距离点B所在的柱子的距离(OA的长度)是3 m,李冰同学建立了如图所示的直角坐标系,得到该抛物线还经过(2,1), 两点,你能根据李冰同学给出的数据求出此抛物线的表达式吗?思考下面的问题:
1.题目中给出了几个点的坐标?
2.你能运用上节课的知识求该抛物线的表达式吗?
3.应该把二次函数表达式设成什么形式?顶点式还是一般式?用待定系数法求二次函数的表达式(1)【引例】 已知一个二次函数的图象经过(1,-1),(2,-4)和(0,4)三点,求这个二次函数的表达式.解:∵抛物线经过(0,4),∴c=4.
故可设二次函数的表达式为y=ax2+bx+4,
把(1,-1),(2,-4)分别代入二次函数y=ax2+bx+4中,得解方程组,得∴这个二次函数的表达式为y=x2-6x+4.解:设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将三点(1,-1),(2,-4)和(0,4)分别代入表达式,
得 ∴这个二次函数的表达式为y=x2-6x+4.用待定系数法求二次函数的表达式(2)例2 已知二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,求这个二次函数的表达式,并写出它的对称轴和顶点坐标.〔解析〕 由于(-1,10),(1,4),(2,7)三个点都不是特殊点,所以设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,然后把三个点代入,得到三元一次方程组,进而解出a,b,c的值即可.解:设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将三点(-1,10),(1,4),(2,7)的坐标分别代入表达式,得解这个方程组,得所以所求二次函数的表达式为y=2x2-3x+5.因为y=2x2-3x+5=所以二次函数图象的对称轴为直线x= ，二次函数的表达式的求法的综合运用一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?与同伴进行交流.解法1:∵二次函数图象与y轴的交点的纵坐标为1,∴c=1.
设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1,将点(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+1,∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.解法2:由A(0,1),B(1,2),C(2,1)三个点的特征以及二次函数图象的对称性,可得点B(1,2)是函数图象的顶点坐标.∴二次函数的表达式为y=a(x-1)2+2,
将点(0,1)代入y=a(x-1)2+2,
得a=-1.
∴二次函数的表达式为y=-(x-1)2+2,即y=-x2+2x+1.解法3:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将点(0,1),(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+c,
得 ∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.检测反馈1.一个二次函数,当x=0时,y=-5;当x=-1时,y=-4;当x=-2时,y=5.则这个二次函数的关系式是 ( )
A.y=4x2+3x-5 B.y=2x2+x+5
C.y=2x2-x+5 D.y=2x2+x-5解析:设二次函数的关系式是y=ax2+bx+c(a≠0),∵当x=0时,y=-5,当x=-1时,y=-4,当x=-2时,y=5,∴ 解方程组,得
∴二次函数的关系式为y=4x2+3x-5.故选A.A2.过A(-1,0),B(3,0),C(1,2)三点的抛物线的顶点坐标是 ( )
A.(1,2) B.
C.(-1,5) D.解析:设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,把(-1,0),(3,0),(1,2)分别代入,得 解方程组,得
所以该函数的解析式为y=- x2+x+ ,顶点坐标是(1,2).故选A.A3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10)和(2,7),且3a+2b=0,则该抛物线的解析式为 .?解析:根据题意,得 解方程组,得
所以该抛物线的解析式为y=2x2-3x+5.故填y=2x2-3x+5.y=2x2-3x+54.已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求该抛物线的顶点坐标.解:(1)设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.由题意知抛物线经过
A(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点,可得
解这个方程组,得
∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x-4.
(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2
∴该抛物线的顶点坐标为 .课件9张PPT。九年级数学·下 新课标[北师]第二章 二次函数 4 二次函数的应用（第1课时）学 习 新 知 同学们在路边、闹市区经常会看到很多的大型广告牌,大家平常见到的广告牌一般什么形状的比较多?思考下面的问题:
现在一个广告公司接到了一笔业务,需要设计一块周长为12 m的矩形广告牌,由于公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费,如果你是该公司的设计员,你能否设计出令广告公司老总满意的广告牌?探究几何图形的最大面积问题如图所示,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上.
(1)如果设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示?
(2)设矩形的面积为y m2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?思考下面的问题:
1.△EBC和△EAF有什么关系?
2.如果设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示?
3.如何表示矩形ABCD的面积?
4.若矩形的面积为y m2,如何确定矩形ABCD面积的最大值?解:(1)∵AB=x,∴CD=AB=x.
∵BC∥AD,∴△EBC∽△EAF.又AB=x,∴BE=40-x,(2)由矩形面积公式,得y=AB·AD=所以当x=20时,y的值最大,最大值是300.
即当AB边长为20 m时,矩形ABCD的面积最大,是300 m2.【议一议】 在上面的问题中,如果把矩形改为如图所示的位置,其他条件不变,那么矩形的最大面积是多少?你是怎样知道的?解:如图所示,过点G作GN⊥EF于点N,交AD于点M.再由等积法求斜边上的高,得 GE·GF= EF·GN,
即 ×30×40= ×50×GN,∴GN=24.设矩形的一边AD=x m,由△GAD∽△GEF, 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部分是半圆,下半部分是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多? (结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少? (结果精确到0.01m2)探究窗户透光最大面积问题因此当x约为1.07 m时，窗户通过的光线最多，此时，窗户的面积约为4.02 m2.检测反馈1.已知二次函数y=3x2-12x+13,则函数值y的最小值是( )
A.3 B.2 C.1 D.-1解析:∵二次函数y=3x2-12x+13可化为y=3(x-2)2+1,∴当x=2时,二次函数y=3x2-12x+13有最小值,为1.故选C.C2.用长为8 m的铝合金制成的形状为矩形的窗框,则窗框的透光面积最大为 ( )
A. m2 B. m2 C. m2 D.4 m2解析:设矩形的一边长为x m,则另一边长为(4-x)m,矩形的面积S=x(4-x)=-(x-2)2+4,因为a=-1<0,所以当x=2时,S有最大值,最大值为4.故选D.D3.周长为16 cm的矩形的最大面积为 cm2.?解析:设矩形的一边长为x cm,所以另一边长为(8-x)cm,其面积为S=x(8-x)=-x2+8x=-(x-4)2+16,∴周长为16 cm的矩形的最大面积为16 cm2.故填16.164.如图所示,一边靠墙(墙足够长),用120 m篱笆围成两间相等的矩形鸡舍,要使鸡舍的总面积最大,则每间鸡舍的长与宽分别是 m, m.?解析:由题意,得2x+3y=120,所以y=40- x,鸡舍的总面积S=2x =- (x-30)2+1200,所以当x=30时,鸡舍的总面积最大,此时y=20.30205.一块三角形废料如图所示,∠C=90°,AC=8,BC=6.用这块废料剪出一个矩形CDEF,其中,点D,E,F分别在AC,AB,BC上.当AE为多长时所剪出的矩形CDEF面积最大?最大面积是多少?解:∵∠C=90°,AC=8,BC=6,
∴AB= =10.
∵四边形CDEF是矩形,
∴EF∥AC,∴△BEF∽△BAC,设AE=x,则BE=10-x,同理可得DE= x.
矩形CDEF的面积S=DE·EF= x· (10-x)= (x-5)2+12(0∴当x=5时,S有最大值,为12.
即当AE为5时,所剪出的矩形CDEF面积最大,最大面积为12. 课件8张PPT。九年级数学·下 新课标[北师]第二章 二次函数4 二次函数的应用（第2课时）学 习 新 知请同学们思考下面的问题:
某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数L=-x2+2000x-10000,则产量是多少时总利润最大?最大利润是多少?求总利润最大就是求二次函数L=-x2+2000x-10000的最大值是多少.
即L=-x2+2000x-10000=-(x2-2000x+10002-10002)-10000=-(x-1000)2+990000.
∴当产量为1000件时,总利润最大,最大利润为99万元.问题思考我们可以通过求二次函数最大值来确定最大利润,你能利用这种思路求解下面的问题吗?利用二次函数解决最大利润问题 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销500件.
请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多?思考下面的问题:
1.此题主要研究哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
2.此题的等量关系是什么?
3.若设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元,请完成下面的填空题:
(1)销售量可以表示为 ;?
(2)每件T恤衫的销售利润可以表示为 ;?
(3)所获利润与批发价之间的关系式可以表示为 .?
4.求可以获得的最大利润实质上就是求什么?解:设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元.由题意得 =(70000-5000x)(x-10)=-5000(x-12)2+20000.
∴当x=12时,y最大=20000.∴厂家批发价是12元时可以获利最多.例2 某旅馆有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?〔解析〕 此题的等量关系是:客房日租金总收入=提价后每间房的日租金×提价后所租出去的房间数.如果设每间房的日租金提高x个10元,那么提价后每间房的日租金为(160+10x)元,提价后所租出去的房间数为(120-6x)间.解:设每间房的日租金提高10x元,则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元,
则y=(160+10x)(120-6x),
即y=-60(x-2)2+19440.∵x≥0,且120-6x＞0, ∴0≤x＜20.
当x=2时,y最大=19440,
这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元),
因此,每间客房的日租金提高到180元时,客房总收入最高,最高收入为19440元.利用二次函数图象解决实际问题【议一议】 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000.问题(1):利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.问题(2):增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?结论1:当x＜10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加;当x=10时,橙子的总产量最大;当x＞10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少.结论2:由图象可知,增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵,都可以使橙子总产量在60400个以上. 1.某商店经营2014年巴西世界杯吉祥物,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956.则获利最多为 ( )
A.3144元 B.3100元 C.144元 D.2956元解析:利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956,∴y=-(x-12)2+3100.∵-1＜0,∴当x=12时,y有最大值,为3100.故选B.B2.某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,床位可全部租出;若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高 ( )
A.4元或6元 B.4元 C.6元 D.8元解析:设每床每晚收费应提高x个2元,获得利润为y元,根据题意得y=(10+2x)(100-10x)=-20x2+100x+1000=-20 +1125.∵x取整数,∴当x=2或3时,y最大,当x=3时,每床收费提高6元,床位最少,即投资少,∴为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高6元.故选C.C检测反馈解析:设应涨价x元,则所获利润为y=(100+x)(500-10x)-90×(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x2-40x+400)+9000=-10(x-20)2+9000,可见当涨价20元,即单价为100+20=120元时获利最大.故填120元.3.某产品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售500件,如果这种商品每涨1元,其销售量就减少10件,为了获得最大利润,其单价应定为 .?120元解析:设最大利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25.∵20≤x≤30,x为整数,∴当x=25时,w有最大值,为25.故填25.4.(2014·沈阳中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为 元.?25(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,
由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90,
∵a=-10＜0,∴当x=9时,w有最大值.
∴当销售单价定为9元时,每天可获利润w最大.5.每年六、七月份,南方某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.
(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?
(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?解:(1)设购进荔枝k千克,荔枝售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本,
由题意,得y·k(1-5%)≥(5+0.7)k.
∵k＞0,∴95%y≥5.7,∴y≥6.
∴水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本.课件8张PPT。九年级数学·下 新课标[北师]第二章 二次函数5 二次函数与一元二次方程（第1课时）学 习 新 知小兰同学画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图所示,你能利用图象求出关于x的方程x2+ax+b=0的解吗?分析:如图所示,∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点坐标分别是(-1,0),(4,0),∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4.【问题】 二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程x2+ax+b=0的根的个数之间有什么关系?图象与x轴的交点的横坐标与方程的根又有什么关系?二次函数与一元二次方程的关系 我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40 m/s的速度竖直向上抛起,小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示.那么:
(1)h与t的关系式是什么?
(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?问题1 回答下面的问题:
1.由图象可得h0= ,v0= .?
2.由h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,可得h与t的关系式为 .?h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,其中的v0为40 m/s,小球从地面被抛起,所以h0=0.把v0=40,h0=0代入上式即可求出h与t的关系式,所以h=-5t2+40t.问题2 怎样求出小球落地所需要的时间?观察图象可得:小球经过8 s后落地.解:令h=0,得-5t2+40t=0,即t2-8t=0,∴t(t-8)=0.解得t1=0,t2=8.∵t=0是小球没抛时的时间,∴t=8是小球落地时的时间.
∴小球经过8 s后落地.【议一议】 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象分别如图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点?
(2)一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个实数根?用判别式验证一下.一元二次方程x2-2x+2=0有实数根吗?(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?二次函数与一元二次方程之间的关系:
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.
与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.[知识拓展] 二次函数与一元二次方程之间的关系:当y=0时,二次函数的解析式y=ax2+bx+c就是一元二次方程ax2+bx+c=0,而一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标,在二次函数与一元二次方程的关系中,判别式Δ=b2-4ac起着极为重要的作用.【想一想】 在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60 m?你是如何知道的?由图象可知:当h=60 m时,直线h=60与函数h=-5t2+v0t+h0的图象有两个交点,分别为(2,60)和(6,60),因此,当小球离开地面2 s和6 s时,高度都是60 m.
解析:利用Δ进行判定,选项A,B,D的Δ都小于0,对于选项C,Δ=36-4×3=24＞0,∴函数图象与x轴有两个交点,故C正确.故选C.1.下列二次函数的图象与x轴有两个交点的是( )
A.y=-x2+2x-5 B.y=-2x2-8x-11
C.y=3x2-6x+1 D.y=4x2+24C2.二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是 ( )
A.-8 B.8 C.±8 D.6解析:由图象可知,抛物线与x轴只有一个交点,∴Δ=m2-4×2×8=0,解得m=±8.∵对称轴为直线x=- ＜0,∴m＞0,∴m的值为8.故选B.B检测反馈3.二次函数y=x2-mx+3的图象与x轴的交点如图所示,根据图中信息可得到m的值是 .?解析:∵抛物线y=x2-mx+3过点(1,0),∴1-m+3=0,∴m=4.故填4.4解:根据图象可知,二次函数y=-x2+2x+m的部分图象经过点(3,0),所以该点适合y=-x2+2x+m,代入,得-9+2×3+m=0,解得m=3.把m=3代入一元二次方程-x2+2x+m=0,得-x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=-1.4.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,求关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解.课件6张PPT。九年级数学·下 新课标[北师]第二章 二次函数5 二次函数与一元二次方程（第2课时）学 习 新 知如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1.6,那么另外一个根是多少?分析:由抛物线可知其对称轴为直线x=3,∵抛物线是轴对称图形,∴抛物线与x轴的两个交点关于直线x=3对称,设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1,x2,那么两根满足2×3=x1+x2,∵x1=1.6,∴x2=4.4.【问题】 关于这个问题,我们是利用抛物线的对称轴估计一元二次方程的根,如果不知道对称轴又该如何估计一元二次方程的根呢?利用函数图象估算一元二次方程ax2+bx+c=0的根你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗?函数图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.所以方程x2+2x-10=0的两个根一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.借助表格和计算器进一步确定根的范围 从上表可知,当x取-4.3或-4.4时,对应y的值由负变正,可见在-4.4和-4.3之间一定有一个x值使y=0,即有方程x2+2x-10=0的一个根.由于当x=-4.3时,y=-0.11比y=0.56(x=-4.4)更接近0,所以x=-4.3更接近方程的根.
因此,方程x2+2x-10=0在-5和-4之间精确到0.1的根为x=-4.3.利用函数图象估算一元二次方程ax2+bx+c=k的根【做一做】 利用函数图象估算一元二次方程x2+2x-10=3的根.由图可知,函数图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为x1=-4.7,x2=2.7.利用教材图2-17求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.检测反馈1.下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几组对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是 ( )解析:结合表格可以得出y=0介于-0.02和0.03之间,对应的x的值介于3.4和3.5之间.故选C.A.3.25 B.3.35 C.3.45 D.3.55C2.如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,图象上有两点分别为A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),则方程ax2+bx+c=0的一个近似解只可能是 ( )
A.2.18 B.2.68 C.-0.51 D.2.45解析:根据二次函数与一元二次方程的关系,由图看出图象与x轴的交点的横坐标在2.18和2.68之间.故选D.D3.如图所示,已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0,-3),请你确定一个b的值,使该抛物线与x轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间.你所确定的值是 .?
解析:由抛物线可知c=-3,当x=1时,y＜0;当x=3时,y＞0,从而可联立不等式,得到 ∴-2＜b＜2,故可在-2~2之间取值.答案不唯一.故可填-1.-1
