课件16张PPT。九年级数学下册
二次函数回顾与思考
二次函数定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。
图象：是一条抛物线。
图象的特点：（1）有开口方向，开口大小。（2）有对称轴。（3）有顶点（最低点或最高点）。 二次函数y=ax2的图象与二次函数y=ax2+k的图象的关系
二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2的图象向上（或向下）平移得到：
当k＞0时，抛物线y=ax2向上平移k的绝对值个单位，得y=ax2+k
当k＜0时，抛物线y=ax2向下平移k的绝对值个单位，得y=ax2+ky=2x2y=2x2-2y=2x2+2二次函数y=ax2的图象与二次函数y=a(x-h) 2的图象的关系
二次函数y=a(x-h) 2的图象可由二次函数y=ax2的图象向左（或向右）平移得到：
当h＞0时，抛物线y=ax2向左平移h的绝对值个单位，得y=a(x-h) 2
当h＜0时，抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位，得y=a(x-h) 2
二次函数y=ax2的图象与二次函数y=a(x-h) 2+k的图象的关系
二次函数y=a(x-h) 2+k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位,在向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得到.二次函数y=ax2+bx+c的图象的画法因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特征是：（1）有开口方向；（2）有对称轴；（3）有顶点。所以，画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤是：
先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点m并用虚线画出对称轴；
求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点；当抛物线与x轴有两个交点时，描出着两个交点A、B及抛物线与 y轴的交点 C,再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连结起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象。二次函数y=ax2+bx+c的性质当a﹥0时：抛物线开口向上。
对称轴是x=- ,顶点坐标是 （- ， )
当a﹥0时,在对称轴的左侧，即当x＜- 时，y随x的增大而减小；
在对称轴的右侧，即当x ﹥ - 时， y随x的增大而增大。简记左减右增。抛物线有最低点，当x=- 时， y最小值=当a ＜ 0时：抛物线开口向下。
对称轴是x=- ,顶点坐标是(- ， )
在对称轴的左侧，即当x ＜- 时，y随x的增大而增大；
在对称轴的右侧，即当x ﹥ - 时， y随x的增大而减小。简记左增右减。抛物线有最高点， 当x=- 时， y最大值=
二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的根。
当Δ＜0时，抛物线与x轴没有交点；
当Δ=0时，抛物线与x轴只有一个交点；
当Δ >0时，抛物线与x轴有两个交点，且其解析式可写成两根式：y=a(x-x1)(x-x2).
抛物线与x轴的两个交点的距离x1-x2＝二次函数解析式的确定二次函数的解析式有三种形式：
一般式： y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0)
顶点式： y=a(x-h)2+k (a,h,k是常数,a≠0)
两根式：y= a(x-x1)(x-x2) (a, x1，, x2是常数,a≠0)
当已知抛物线上任意三点时，通常解析式设为一般式，列出三元一次方程组求出待定系数。
当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式求出待定系数。
当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常设解析式为两根式，求出待定系数。规律小结二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线，这条抛物线的形状（开口方向、开口大小）是由二次项系数a决定的。
a相同 抛物线的形状相同；
a＞0 抛物线的开口向上；
a <0 抛物线的开口向下。 上正下负
抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点的位置是由常数项c决定的。
1、C ＞0 抛物线与y轴
相交于正半轴；
2、C =0 抛物线与y轴 上正下负
相交于原点；
3、 C＜0 抛物线与y轴
相交于负半轴；
抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的位置是由a和b联合决定的 a与 b同号 对称轴在y轴的左侧；
a与 b异号 对称轴在y轴的右侧； 左同右异
b=0 对称轴就是y轴。抛物线与x轴交点的个数由b2-4ac的符号决定b2-4ac＞0 抛物线与x轴有2个交点；
b2-4ac=0 抛物线与x轴有1个交点；
b2-4ac＜0 抛物线与x轴没有交点。二次函数y=ax2+bx+c的值恒大于0（或恒小于0）的条件y恒大于0 a＞0
b2-4ac＜0
y恒小于0 a＜0
b2-4ac＜0
二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标是 （- , )
顶点在x轴上 =0 即b2-4ac=0
顶点在 y轴上 - =0 即b=0第2章 二次函数
一、选择题（每小题4分，共40分）每小题只有一个正确答案，请将正确答案的番号填在括号内.
1、下列各关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)（ ）
A、y=x2 B、y= C、y= D、y=a2x
2、函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是（ ）
A、a≠0，b≠0，c≠0 B、a<0，b≠0，c≠0
C、a>0，b≠0，c≠0 D、a≠0
3、函数y=ax2(a≠0)的图象与a的符号有关的是（ ） 图1
A、顶点坐标 B、开口方向 C、开口大小 D、对称轴
4、二次函数的图象如图1所示，则下列关系式不正确的是（ ）
A、＜0 B、＞0 C、＞0 D、＞0
5、函数y=x2+2x+1写成y=a(x－h)2+k的形式是（ ）
A、y=(x－1)2+2 B、y=(x－1)2+ C、y=(x－1)2－3 D、y=(x+2)2－1
6、若函数y=4x2+1的函数值为5，则自变量x的值应为（ ）
A、1 B、－1 C、±1 D、
7、关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（ ）
①当c=0时，函数的图象经过原点;②当b=0时，函数的图象关于y轴对称;③函数的图象最高点的纵坐标是;④当c>0且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
8、为了备战2008奥运会，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高(球门横梁底侧高)入网.若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c(如图2所示)，则下列结论正确的是（ ）
①a<－ ②－
0 ④0A、①③ B、①④ C、②③ D、②④
图2 图3 图4
9、如图3，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=－x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A、6 m B、12 m C、8 m D、10 m
10、某幢建筑物，从10 m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图4，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（ ）
A、2 m B、3 m C、4 m D、5 m
二、填空题(每小题3分，共30分)
11、设一圆的半径为r，则圆的面积S=______，其中变量是_____.
12、有一长方形纸片，长、宽分别为8 cm和6 cm，现在长宽上分别剪去宽为x cm (x<6)的纸条(如图5)，则剩余部分(图中阴影部分)的面积y=________________-__，其中_____是自变量，_____是因变量.
图5 图6
13、下列函数中：①y=－x2；②y=2x；③y=22+x2－x3；④m=3－t－t2是二次函数的是______(其中x、t为自变量).
14、抛物线y=－3(2x2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.
15、抛物线y=(x+3)2的顶点坐标是______.
16、将抛物线y=3x2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.
17、半径为r的圆，如果半径增加m，那么新圆的面积S与m之间的函数关系式是______.
18、如图6，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m).
19、找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代号填在相应的横线上.
(1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系.对应的图象是______.
(2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______.
(3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系.对应的图象是______.
(4)在220 V电压下，电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______.
[来源:21世纪教育网
20、将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价______元，最大利润为______元.
三、解答题;（每小题10分，共30分）
21、(10分)已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5）。
①求该函数的关系式；
②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积.
21世纪教育网
22、(10分)一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；
（2）求支柱的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
23、(10分)红星公司生产的某种时令商品每件成本为20 元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的 日销售量（件）与时间（天）的关系如下表：
时间（天）
1
3
6
10
36
…
日销售量（件）
94
90
84
76
24
…
未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与t时间（天）的函数关系式为：y1=1/4t+25（1≤t≤20且t为整数）；后20天每天的价格y2（原/件）与t时间（天）的函数关系式为：y2= —1/2t+40（21≤t≤40且t为整数）。下面我们来研究 这种商品的有关问题。
（1）认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；
（2）请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润（a＜ 4）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大， 求a的取值范围。
参考答案
选择题 1、A ；2、D；3、B；4、C；5、D；6、C；7、B；8、B；9、D；10、B
〔提示：设水流的解析式为y=a(x－h)2+k,
∴A(0，10)，M(1，).
∴y=a(x－1)2+，10=a+.
∴a=－.
∴y=－(x－1)2+.
令y=0得x=－1或x=3得B(3，0),
即B点离墙的距离OB是3 m〕
二、填空题 11、πr2 S、r； 12、(6－x)(8－x) x y；
13、①④；14、向下 y轴 ；
15、(－3，0)； 16、(0，3)；
17、S=π(r+m)2 ; 18、y=－x2+2x+1 16.5；
19、(1)A (2)D (3)C (4)B 20、5 625
三、解答题
21、解：（1）；（2）（0,3），（－3,0），（1,0）。
22、解：（1）根据题目条件，的坐标分别是．
设抛物线的解析式为，
将的坐标代入，得
解得．
所以抛物线的表达式是．21世纪教育网
（2）可设，于是
21世纪教育网
从而支柱的长度是米．
（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，21世纪教育网
则点坐标是．
过点作垂直交抛物线于，则．
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
23、解：（1）y=-2x+96；
（2）设销售利润为w，则
或，整理得
或
综上知，当t=14时，利润最大，最大利润是578元。
（3）由题意得，
整理得，
则，，解得，。。
第二章 《二次函数》复习课教案
复习目标：
知识目标：1、了解二次函数解析式的三种表示方法；
2、抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及抛物线与对称轴的交点坐标等;
3、一元二次方程与抛物线的结合与应用。
4、利用二次函数解决实际问题。
技能目标：培养学生运用函数知识与几何知识解决数学综合题和实际问题的能力。
情感目标：1、通过问题情境和探索活动的创设，激发学生的学习兴趣；
2.让学生感受到数学与人类生活的密切联系，体会到学习数学的乐趣。
复习重、难点：函数综合题型
复习方法：自主探究、合作交流
复习过程：
一、知识梳理（学生独立练习，分小组批改）
1、二次函数解析式的三种表示方法：
（1）顶点式： （2）交点式： （3）一般式：
2、填表：
抛物线
对称轴
顶点坐标21世纪教育网
开口方向
y=ax221世纪教育网
当a＞0时，
开口 21世纪教育网
当a＜0时,
开口
Y=ax2+k21世纪教育网
Y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
Y=ax2+bx+c
3、二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增大而 ，在对称轴左侧，y随x的增大而 ；当a＜0时，在对称轴右侧，y随x的增大而 , 在对称轴左侧，y随x的增大而
4、抛物线y=ax2+bx+c，当a＞0时图象有最 点，此时函数有最 值 ；当a＜0时图象有最 点，此时函数有最 值
自评 分（每空4分，共100分）
二、探究、讨论、练习（先独立思考，再分小组讨论，最后反馈信息）
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试判断下面各式的符号：
(1)abc (2)b2-4ac (3)2a+b (4)a+b+c
（上题主要考查学生对二次函数的图象、性质的掌握情况：b2-4ac的符号看抛物线与x轴的交点情况；2a+b看对称轴的位置；而a+b+c的符号要看x= 1时y的值）
2、已知抛物线y=x2+（2k+1）x-k2+k
(1) 求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设A（x1，0）和B（x2，0）是此抛物线与x轴的两个交点，且满足x12+x22= -2k2+2k+1，①求抛物线的解析式
②此抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积等于3，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
（此题主要考查抛物线与一元方程的根的判别式、根与系数的关系的联系，以及函数与几何知识的综合）
三归纳小结：
提问：通过本节课的练习，你学到了什么知识？
四、用数学（利用二次函数解决实际问题）
一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到的最大高度是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮球中心到地面的距离为3.05米，
（1）根据题意建立直角坐标系，并求出抛物线的解析式。
（2）该运动员的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
（此题把学生熟悉的运动员投篮问题与二次函数结合在一起，溶入了一定的生活背景，使学生产生数学学习兴趣；同时培养了学生把实际问题抽象成数学模型的能力。）
五、思维训练（供学有余力的学生做）:
已知抛物线y=x2+(1-2a)x+a2 (a≠0)与x轴交于两点A（x1,0），B(x2,0) ， (x1≠x2)
（1）求a的取值范围，并证明A、B两点都在原点的左侧；
（2）若抛物线与y轴交于点C，且OA+OB=OC-2，求a的值。
课件18张PPT。二次函数的应用第二章创设问题意境 学习的目的在于应用，日常生活中，工农业生产及商业活动中，方案的最优化、最值问题，如盈利最大、用料最省、设计最佳等都与二次函数有关。
一、根据已知函数的表达式解决实际问题：D解：当x=15时，Y=-1/25 × 152
=-9问题1： 问题2：炮弹从炮口射出后，飞行的高度h(m)与飞行时间t(s)之间的函数关系式是h=V0tsinα－5t2，其中V0是炮弹发射的初速度，α是炮弹的发射角，当V0=300（m/s）, α=30?时,炮弹飞行的最大高度是 m.
?
1125二、根据实际问题建立函数的表达式解决实际问题问题3： 如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形
状相同的抛物线落下。建立如图所示的坐标系，如果喷头所在
处A（0，1.25），水流路线最高处B（1，2.25），则该抛物线
的表达式为 。如果不考虑其他因素，那么水
池的半径至少要____米，才能使喷出的水流不致落到池外。y= －(x-1)2 +2.252.5问题4：某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？分析：利润=（每件商品所获利润）× （销售件数） 设每个涨价x元， 那么（3）销售量可以表示为（1）销售价可以表示为（50+x）元（x≥ 0，且为整数）
(500-10x) 个
（2）一个商品所获利润可以表示为（50+x-40）元（4）共获利润可以表示为(50+x-40)(500-10x)元答：定价为70元/个，利润最高为9000元.
解：设每个商品涨价x元， 那么 y=(50+x-40)(500-10x) =-10 x2 +400x+5000 =-10[ （x-20）2 -900] (0 ≤ x≤50 ,且为整数 ) =- 10（x-20）2 +9000问题5:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。 解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
(3) ∵墙的可用长度为8米
(2)当x＝ 时，S最大值＝ ＝36（平方米）∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米小试牛刀
如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°，
点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动，
点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度
移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，
几秒后ΔPBQ的面积最大？
最大面积是多少？PQ解：根据题意，设经过x秒后ΔPBQ的面积y最大AP=2x cm PB=（8-2x ） cm QB=x cm则 y=1/2 x（8-2x）=-x2 +4x=-（x2 -4x +4 -4）= -（x - 2）2 + 4所以，当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大
最大面积是 4 cm2（0则 y=60-x2 -（10-x）（6-x）=-2x2 + 16x（0“二次函数应用” 的思路 1.理解问题;2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;3.用数学的方式表示出它们之间的关系;4.做数学求解;5.检验结果的合理性,拓展等.拓展提高 问题5:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。
(1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式；
(2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC 解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等∴AP=CQ=x当P在线段AB上时 即S＝ (02） (2)当S△PCQ＝S△ABC时，有 ＝２此方程无解② ＝２
∴ x1=1+ , x2=1－ (舍去) ∴当AP长为1+ 时，S△PCQ＝S△ABC