2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理科（浙江卷）

2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学理
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1.
已知集合
则
A．[2,3]
B．(
-2,3
]
C．[1,2)
D．
【答案】B
【解析】根据补集的运算得．故选B．
2.
已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足
则
A．m∥l
B．m∥n
C．n⊥l
D．m⊥n
【答案】C
3.
在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=
A．2
B．4
C．3
D．
【答案】C
【解析】如图为线性区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，即，而，由得，由得，．故选C．
4.
命题“，使得”的定义形式是
A．，使得
B．，使得
C．，使得
D．，使得
【答案】D
【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D．
5.
设函数，则的最小正周期
A．与b有关，且与c有关
B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关
D．与b无关，但与c有关
【答案】B
6.
如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，
，（）.
若
A．是等差数列
B．是等差数列
C．是等差数列
D．是等差数列
【答案】A
【解析】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．
7.
已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则
A．m>n且e1e2>1
B．m>n且e1e2<1
C．m1
D．m【答案】A
【解析】由题意知，即，，代入，得．故选A．
8.
已知实数a，b，c
A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100
B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2<100
C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2<100
D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2<100
【答案】D
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9.
若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．
【答案】
【解析】
10.
已知2cos2x+sin
2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0)，则A=______，b=________．
【答案】
【解析】，所以
11.
某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是
cm2，体积是
cm3.
【答案】
【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为
12.
已知a>b>1.若logab+logba=，ab=ba，则a=
，b=
.
【答案】
【解析】设，因为，
因此
13.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N
，则a1=
，S5=
.
【答案】
14.
如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是
.
【答案】
【解析】中，因为，
所以.
由余弦定理可得
，
所以.
设，则，.
在中，由余弦定理可得
.
故.
在中，，.
由余弦定理可得，
所以.
过作直线的垂线，垂足为.设
则，
即，
解得.
而的面积.
设与平面所成角为，则点到平面的距离.
故四面体的体积
.
设，因为，所以.
则.
（2）当时，有，
故.
此时，
.
由（1）可知，函数在单调递减，故.
综上，四面体的体积的最大值为.
15.
已知向量a、b,
｜a｜
=1，｜b｜
=2，若对任意单位向量e，均有
｜a·e｜+｜b·e｜
,则a·b的最大值是
．
【答案】
【解析】，即最大值为
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.
（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
已知b+c=2a
cos
B.
（I）证明：A=2B；
（II）若△ABC的面积，求角A的大小.
【试题分析】（I）由正弦定理及两角和的正弦公式可得，再判断的取值范围，进而可证；（II）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得，再利用三角形的内角和可得角的大小．
（II）由得，故有
，
因，得．
又，，所以．
当时，；
当时，．
综上，或．
17.
(本题满分15分)如图,在三棱台中,平面平面
,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(I)求证：EF⊥平面ACFD；
(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
【试题分析】（I）先证，再证，进而可证平面；（II）方法一：先找二面角的平面角，再在中计算，即可得二面角的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面和平面的法向量，进而可得二面角的平面角的余弦值．
（II）方法一：
过点作，连结．
因为平面，所以，则平面，所以．
所以，是二面角的平面角．
在中，，，得．
在中，，，得．
所以，二面角的平面角的余弦值为．
18.
（本小题15分）已知，函数F（x）=min{2|x 1|，x2 2ax+4a 2}，
其中min{p，q}=
（I）求使得等式F（x）=x2 2ax+4a 2成立的x的取值范围；
（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；
（ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.
【试题分析】（I）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；（II）（i）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；（ii）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的最大值．
（II）（i）设函数，，则
，，
所以，由的定义知，即
．
（ii）当时，
，
当时，
．
所以，
．
19.
（本题满分15分）如图，设椭圆（a＞1）.
（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.
【试题解析】（I）设直线被椭圆截得的线段为，由得
，
故
，．
因此
．
（II）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足
．
记直线，的斜率分别为，，且，，．
20.（本题满分15分）设数列满足，．
（I）证明：，；
（II）若，，证明：，．
【试题分析】（I）先利用三角形不等式得，变形为，再用累加法可得，进而可证；（II）由（I）可得，进而可得，再利用的任意性可证．
（II）任取，由（I）知，对于任意，
，
故
．
从而对于任意，均有