以数列为背景的新定义问题
图片预览
文档简介
专题四
数
列
以数列为背景的新定义问题
在近几年高考中,“新定义”问题越来越受到
( http: / / www.21cnjy.com )关注和重视.所谓“新定义”问题,是相对于高中教材而言,指在高中教材中不曾出现过的概念、定义.它的一般形式是:由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则,或者给出一个抽象函数的性质等,然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题.“新定义”问题总的来说题型较为新颖,所包含的信息丰富,能较好地考查学生分析问题、解决问题的能力.
1.已知数列｛an｝、｛bn｝、｛cn｝的
( http: / / www.21cnjy.com )通项公式满足bn=an+1-an，cn=bn+1-bn（n∈N
?），若数列｛bn｝是一个非零常数列，则称数列｛an｝是一阶等差数列；若数列｛cn｝是一个非零常数列，则称数列｛an｝是二阶等差数列.
(1)试写出满足条件a１＝１,b1=1，cn=1（n∈N
?）的二阶等差数列｛an｝的前五项；
(2)求满足条件(1)的二阶等差数列｛an｝的通项公式an；
(3)若数列｛an｝首项a１＝２，且满足cn-bn+1+3an＝-2n+1（n∈N
?），求数列｛an｝的通项公式.
【来源】南京市2010年高考数学模拟试卷（三）
【答案】（1）a1=1，a2=2，a3=4，a4=7，a5=11（2）an＝(n2-n+2)/2
（3）an=4n-2n
【解析】（1）a1=1，a2=2，a3=4，a4=7，a5=11-----4分
（2）依题意bn+1-bn=cn=1，n=1，2，3，…
所以bn=（bn-bn-1）＋（bn-1-
( http: / / www.21cnjy.com )bn-2）＋（bn-2-bn-3）＋…+（b2-b1）+b1=1+1+1+…+1=n
---6分
又an+1-an=bn＝n
( http: / / www.21cnjy.com )，n=1，2，3，…所以an＝（an-an-1）＋（an-1-an-2）＋（an-2-an-3）＋…+（a2-a1）＋a１
=（n-1）+（n-2）+…+2+1+1=n（n-1）/2+1=(n2-n+2)/2
--10分
（3）由已知cn-bn+1＋３an=
( http: / / www.21cnjy.com )-2n+1，可得bn+1-bn-bn+1+3an＝-2n+1，即bn-3an=2n+1，∴an+1=4an+2n+1．
-12分
解法一：整理得：an+1＋２n+1=4（an+2n），-------15分
因而数列｛an+2n｝是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，
∴an+2n＝4·4n-1＝４n，即an=4n-2n．（18分）
解法二：在等式an+1＝4an+2n+1两边同时除以2n+1得：an+1/２n+1=2·an/2n＋１．----15分
令kn=an/2n，则kn+1＝２kn+1，即kn+1＋１＝２（kn+1）
故数列｛kn+1｝是首项为2，公比为2的等比数列所以kn+1=2·2n-1＝２n，即kn=2n-1．
∴an=2nkn=2n（２n-1）=4n-2n．
-------18分
解法三：∵a１＝２，∴a2＝１２＝２２×（2２-1），a3＝５６＝２３×（２３-1），a4＝３２＝２４×（２４-1）
猜想：an=2n（2n-1）＝４n-2n．
------15分
下面用数学归纳法证明如下：（i）当n=1时，a１＝２＝4-2，猜想成立；
（ii）假设n=k时，猜想成立，即
( http: / / www.21cnjy.com )ak=4k-2k．那么当n=k+1时，ak+1＝４ak+2k+1＝４（4k-2k）＋２k+1=4
k+1-2
k+1，结论也成立∴由（i）、（ii）可知，an=4n-2n．----18分
2．已知数集具有性质；对任意的
，与两数中至少有一个属于。
（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
（Ⅱ）证明：，且；
（Ⅲ）证明：当时，成等比数列。
【来源】2009年高考北京卷（数学理）第20题
【答案】（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P；
由于都属于数集，∴该数集具有性质P。
（Ⅱ）证明见解析。
（Ⅲ）证明见解析。
【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分
分类讨论等数学思想方法。本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题。
（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P；由于都属于数集，
∴该数集具有性质P。
（Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，
由于，∴，故。
从而，∴。
∵，
∴，故。
由A具有性质P可知。
又∵，
∴，
从而，
∴。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，
∵，∴，∴，
由A具有性质P可知。
由，得，且，∴，
∴，即是首项为1，公比为成等比数列。
3．对任意的数列，定义它的第项为，假设是首项是公比为的等比数列.
（1）求数列的前项和；
（2）若.
①求实数列的通项；
②证明:.
【来源】【百强校】2016-2017学年河北武邑中学高二文周考11.6数学试卷（带解析）
【答案】（1）；（2）①；②证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）令，先求出，进一步求得，这是等比数列，分成，两类来求前项和；（2）①根据，利用累加法求得；②先利用放缩法证明右边：，右边成立；证明左边则先分离常数，然后利用放缩法证明左边也成立.
试题解析：
（1）令,
这里是公比为的
等比数列,
当时，.当时，是公比为，首项为的等比数列.
.综上.
（2）①由题设叠加可得.
②证明：
.又
,,即,.
即.
考点：新定义数列与数列不等式的证明.
【方法点晴】本题是一个综合性很强的题目.题目首先定一个了数列，只需要按新定义的数列的规则，先求表示的数列，进一步求得的数列，然后利用等比数列前项和公式来求前项和，注意要分为两类来讨论.第二问先利用累加法求得的通项公式，然后利用放缩法求证不等式.
4．设数列A：
，
,…,
(N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有＜，则称n是数列A的一个“G时刻”.记是数列A的所有“G时刻”组成的集合.
（Ⅰ）对数列A： 2，2， 1，1，3，写出的所有元素；
（Ⅱ）证明：若数列A中存在使得>，则；
（Ⅲ）证明：若数列A满足 ≤1（n=2,3,
…,N）,则的元素个数不小于 .
【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）
【答案】（Ⅰ）的元素为和；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）关键是理解“G时刻”的定义，根据定义即可写出的所有元素；
（Ⅱ）要证，即证中含有一元素即可；
（Ⅲ）当时，结论成立.只要证明当时结论仍然成立即可.
试题解析：（Ⅰ）的元素为和.
（Ⅱ）因为存在使得，所以.
记，
则，且对任意正整数.
因此，从而.
（Ⅲ）当时，结论成立.
以下设.
由（Ⅱ）知.
设.记.
则.
对，记.
如果，取，则对任何.
从而且.
又因为是中的最大元素，所以.
从而对任意，，特别地，.
对.
因此.
所以.
因此的元素个数p不小于.
【考点】数列、新定义问题.
【名师点睛】数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型，数列的综合问题涉及的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，或)等.
【变式练习】对于数集，其中，，定义向量集.
若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P.例如具有性质P.
（1）若x＞2，且，求x的值；（4分）
（2）若X具有性质P，求证：且当xn＞1时，x1=1；（6分）
（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通
项公式.（8分）
【来源】2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷带解析）
【答案】（1）4；（2）见解析；（3），i=1,
2,
…,
n.
【解析】（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式.
2分
所以x=2b，从而x=4.
4分
（2）证明：取.设满足.
由得，所以、异号.
因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1，
故
7分
假设，其中，则.
选取，并设满足，即，
则、异号，从而、之中恰有一个为-1.
若=-1，则，矛盾；
若=-1，则，矛盾.
所以x1=1.
10分
（3）解法一：猜测，i=1,
2,
…,
n.
12分
记，k=2,
3,
…,
n.
先证明：若具有性质P，则也具有性质P.
任取，.当、中出现-1时，显然有满足；
当且时，、≥1.
因为具有性质P，所以有，、，使得，
从而和中有一个是-1，不妨设=-1.
假设且，则.由，得，与
矛盾.所以.从而也具有性质P.
15分
现用数学归纳法证明：，i=1,
2,
…,
n.
当n=2时，结论显然成立；
假设n=k时，有性质P，则，i=1,
2,
…,
k；
当n=k+1时，若有性质P，则
也有性质P，所以.
取，并设满足，即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.
若，则，所以，这不可能；
所以，，又，所以.
综上所述，
，i=1,
2,
…,
n.
18分
解法二：设，，则等价于.
记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于
原点对称.
14分
注意到-1是X中的唯一负数，共有n-1个数，
所以也只有n-1个数.
由于，已有n-1个数，对以下三角数阵
注意到，所以，从而数列的通项公式为
，k=1,
2,
…,
n.
18分
数
列
以数列为背景的新定义问题
在近几年高考中,“新定义”问题越来越受到
( http: / / www.21cnjy.com )关注和重视.所谓“新定义”问题,是相对于高中教材而言,指在高中教材中不曾出现过的概念、定义.它的一般形式是:由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则,或者给出一个抽象函数的性质等,然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题.“新定义”问题总的来说题型较为新颖,所包含的信息丰富,能较好地考查学生分析问题、解决问题的能力.
1.已知数列｛an｝、｛bn｝、｛cn｝的
( http: / / www.21cnjy.com )通项公式满足bn=an+1-an，cn=bn+1-bn（n∈N
?），若数列｛bn｝是一个非零常数列，则称数列｛an｝是一阶等差数列；若数列｛cn｝是一个非零常数列，则称数列｛an｝是二阶等差数列.
(1)试写出满足条件a１＝１,b1=1，cn=1（n∈N
?）的二阶等差数列｛an｝的前五项；
(2)求满足条件(1)的二阶等差数列｛an｝的通项公式an；
(3)若数列｛an｝首项a１＝２，且满足cn-bn+1+3an＝-2n+1（n∈N
?），求数列｛an｝的通项公式.
【来源】南京市2010年高考数学模拟试卷（三）
【答案】（1）a1=1，a2=2，a3=4，a4=7，a5=11（2）an＝(n2-n+2)/2
（3）an=4n-2n
【解析】（1）a1=1，a2=2，a3=4，a4=7，a5=11-----4分
（2）依题意bn+1-bn=cn=1，n=1，2，3，…
所以bn=（bn-bn-1）＋（bn-1-
( http: / / www.21cnjy.com )bn-2）＋（bn-2-bn-3）＋…+（b2-b1）+b1=1+1+1+…+1=n
---6分
又an+1-an=bn＝n
( http: / / www.21cnjy.com )，n=1，2，3，…所以an＝（an-an-1）＋（an-1-an-2）＋（an-2-an-3）＋…+（a2-a1）＋a１
=（n-1）+（n-2）+…+2+1+1=n（n-1）/2+1=(n2-n+2)/2
--10分
（3）由已知cn-bn+1＋３an=
( http: / / www.21cnjy.com )-2n+1，可得bn+1-bn-bn+1+3an＝-2n+1，即bn-3an=2n+1，∴an+1=4an+2n+1．
-12分
解法一：整理得：an+1＋２n+1=4（an+2n），-------15分
因而数列｛an+2n｝是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，
∴an+2n＝4·4n-1＝４n，即an=4n-2n．（18分）
解法二：在等式an+1＝4an+2n+1两边同时除以2n+1得：an+1/２n+1=2·an/2n＋１．----15分
令kn=an/2n，则kn+1＝２kn+1，即kn+1＋１＝２（kn+1）
故数列｛kn+1｝是首项为2，公比为2的等比数列所以kn+1=2·2n-1＝２n，即kn=2n-1．
∴an=2nkn=2n（２n-1）=4n-2n．
-------18分
解法三：∵a１＝２，∴a2＝１２＝２２×（2２-1），a3＝５６＝２３×（２３-1），a4＝３２＝２４×（２４-1）
猜想：an=2n（2n-1）＝４n-2n．
------15分
下面用数学归纳法证明如下：（i）当n=1时，a１＝２＝4-2，猜想成立；
（ii）假设n=k时，猜想成立，即
( http: / / www.21cnjy.com )ak=4k-2k．那么当n=k+1时，ak+1＝４ak+2k+1＝４（4k-2k）＋２k+1=4
k+1-2
k+1，结论也成立∴由（i）、（ii）可知，an=4n-2n．----18分
2．已知数集具有性质；对任意的
，与两数中至少有一个属于。
（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
（Ⅱ）证明：，且；
（Ⅲ）证明：当时，成等比数列。
【来源】2009年高考北京卷（数学理）第20题
【答案】（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P；
由于都属于数集，∴该数集具有性质P。
（Ⅱ）证明见解析。
（Ⅲ）证明见解析。
【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分
分类讨论等数学思想方法。本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题。
（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P；由于都属于数集，
∴该数集具有性质P。
（Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，
由于，∴，故。
从而，∴。
∵，
∴，故。
由A具有性质P可知。
又∵，
∴，
从而，
∴。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，
∵，∴，∴，
由A具有性质P可知。
由，得，且，∴，
∴，即是首项为1，公比为成等比数列。
3．对任意的数列，定义它的第项为，假设是首项是公比为的等比数列.
（1）求数列的前项和；
（2）若.
①求实数列的通项；
②证明:.
【来源】【百强校】2016-2017学年河北武邑中学高二文周考11.6数学试卷（带解析）
【答案】（1）；（2）①；②证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）令，先求出，进一步求得，这是等比数列，分成，两类来求前项和；（2）①根据，利用累加法求得；②先利用放缩法证明右边：，右边成立；证明左边则先分离常数，然后利用放缩法证明左边也成立.
试题解析：
（1）令,
这里是公比为的
等比数列,
当时，.当时，是公比为，首项为的等比数列.
.综上.
（2）①由题设叠加可得.
②证明：
.又
,,即,.
即.
考点：新定义数列与数列不等式的证明.
【方法点晴】本题是一个综合性很强的题目.题目首先定一个了数列，只需要按新定义的数列的规则，先求表示的数列，进一步求得的数列，然后利用等比数列前项和公式来求前项和，注意要分为两类来讨论.第二问先利用累加法求得的通项公式，然后利用放缩法求证不等式.
4．设数列A：
，
,…,
(N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有＜，则称n是数列A的一个“G时刻”.记是数列A的所有“G时刻”组成的集合.
（Ⅰ）对数列A： 2，2， 1，1，3，写出的所有元素；
（Ⅱ）证明：若数列A中存在使得>，则；
（Ⅲ）证明：若数列A满足 ≤1（n=2,3,
…,N）,则的元素个数不小于 .
【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）
【答案】（Ⅰ）的元素为和；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）关键是理解“G时刻”的定义，根据定义即可写出的所有元素；
（Ⅱ）要证，即证中含有一元素即可；
（Ⅲ）当时，结论成立.只要证明当时结论仍然成立即可.
试题解析：（Ⅰ）的元素为和.
（Ⅱ）因为存在使得，所以.
记，
则，且对任意正整数.
因此，从而.
（Ⅲ）当时，结论成立.
以下设.
由（Ⅱ）知.
设.记.
则.
对，记.
如果，取，则对任何.
从而且.
又因为是中的最大元素，所以.
从而对任意，，特别地，.
对.
因此.
所以.
因此的元素个数p不小于.
【考点】数列、新定义问题.
【名师点睛】数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型，数列的综合问题涉及的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，或)等.
【变式练习】对于数集，其中，，定义向量集.
若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P.例如具有性质P.
（1）若x＞2，且，求x的值；（4分）
（2）若X具有性质P，求证：且当xn＞1时，x1=1；（6分）
（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通
项公式.（8分）
【来源】2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷带解析）
【答案】（1）4；（2）见解析；（3），i=1,
2,
…,
n.
【解析】（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式.
2分
所以x=2b，从而x=4.
4分
（2）证明：取.设满足.
由得，所以、异号.
因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1，
故
7分
假设，其中，则.
选取，并设满足，即，
则、异号，从而、之中恰有一个为-1.
若=-1，则，矛盾；
若=-1，则，矛盾.
所以x1=1.
10分
（3）解法一：猜测，i=1,
2,
…,
n.
12分
记，k=2,
3,
…,
n.
先证明：若具有性质P，则也具有性质P.
任取，.当、中出现-1时，显然有满足；
当且时，、≥1.
因为具有性质P，所以有，、，使得，
从而和中有一个是-1，不妨设=-1.
假设且，则.由，得，与
矛盾.所以.从而也具有性质P.
15分
现用数学归纳法证明：，i=1,
2,
…,
n.
当n=2时，结论显然成立；
假设n=k时，有性质P，则，i=1,
2,
…,
k；
当n=k+1时，若有性质P，则
也有性质P，所以.
取，并设满足，即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.
若，则，所以，这不可能；
所以，，又，所以.
综上所述，
，i=1,
2,
…,
n.
18分
解法二：设，，则等价于.
记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于
原点对称.
14分
注意到-1是X中的唯一负数，共有n-1个数，
所以也只有n-1个数.
由于，已有n-1个数，对以下三角数阵
注意到，所以，从而数列的通项公式为
，k=1,
2,
…,
n.
18分
同课章节目录