分段函数与抽象函数

专题
函数与导数
分段函数与抽象函数
1.
以分段函数为载体是常考题型．主要以填空题的形式考查，难度为中档偏上．二轮复习中，应该重点训练函数性质的综合应用能力，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他知识的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题能力．
2.抽象函数即没有函数关系式，通过对函数性质的描述，对函数相关知识进行考查，此类题目难度较大，也是近几年来高考命题的热点．对函数图象问题，以基本函数为主，由基本函数进行简单的图象变换，主要是平行变换和对称变换，这样的题目都离不开函数的单调性与奇偶性．
高频考点一、分段函数
题型1.
分段函数中的求值
例1（1）设函数，则
__________.
(2)(2016·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f
＝f
，则f(5a)的值是________．
题型2.
分段函数中的单调性
例2（1）设，函数，，．
⑴当时，求的值域；
⑵试讨论函数的单调性．
题型3.
分段函数中的参数范围
例3
(2016·青岛模拟)对实数a和b，定义运算“ ”：a b＝设函数f(x)＝
(x2－2) (x－x2)，x∈R.若函数y＝f
(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是________．
高频考点2简单的抽象函数问题
题型1.
抽象函数的赋值问题
例4（1）(2015·苏州联考)定义在R上的函数f(x)满足f(m＋n2)＝f(m)＋2[f(n)]2，m，n∈R，且f(1)≠0，则f(2
014)＝________.
（2）(2016·南京行知中学)已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调函数，若对任意x∈(0，＋∞)都有，则f
的值是________．
题型2.
抽象函数的单调性问题
例5（1）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
（2）(2015·阜宁中学调研)若函数y＝f(x)在(0，＋∞)上的导函数为f
′(x)，且不等式xf
′(x)>f(x)恒成立，又常数a，b满足a>b>0，则下列不等式一定成立的是________．
①bf(a)>af(b)；②af(a)>bf(b)；③bf(a)高频考点3其他综合性问题
例6（1）已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足：
①f(0)＝f(1)＝0；
②对所有x，y∈[0,1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<|x－y|.
若对所有x，y∈[0,1]，|f(x)－f(y)|（2）定义在上的函数满足：
①当时，②.
（ⅰ）
；
（ⅱ）若函数的零点从小到大依次记为，则当时，_____________.
（3）
(2015·苏州开学调研)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．
(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x－4a(a∈R)，试判断f(x)是否为“局部奇函数”？并说明理由；
(2)若f(x)＝2x＋m是定义在区间[－1,1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
(3)若f(x)＝4x－m2x＋1＋m2－3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
跟踪演练3
专题一
函数与导数
第2讲　分段函数与抽象函数
1.
以分段函数为载体是常考题型．主要以填空题的形式考查，难度为中档偏上．二轮复习中，应该重点训练函数性质的综合应用能力，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他知识的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题能力．
2.抽象函数即没有函数关系式，通过对函数性质的描述，对函数相关知识进行考查，此类题目难度较大，也是近几年来高考命题的热点．对函数图象问题，以基本函数为主，由基本函数进行简单的图象变换，主要是平行变换和对称变换，这样的题目都离不开函数的单调性与奇偶性．
高频考点1　分段函数
例1　(1)(2016·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，则f(5a)的值是________．
(2)(2016·青岛模拟)对实数a和b，定义运算“ ”：a b＝设函数f(x)＝(x2－2) (x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是________．
答案　(1)－　(2)(－∞，－2]∪(－1，－)
解析　(1)由已知f＝f＝f
＝－＋a，
f
＝f＝f＝＝.
又∵f＝f，则－＋a＝，a＝，
∴f(5a)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－1＋＝－.
(2)f(x)＝
即f(x)＝
f(x)的图象如图所示，由图象可知c的范围是(－∞，－2]∪(－1，－)．
点评　(1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
(2)在求分段函数f(x)的解析式时，一定要首先判断x属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．
跟踪演练1（2）若函数f(x)＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log(－x)，x<0，))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是__________.
　已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的取值范围是________．
答案　(－1，－1)
解析　画出f(x)＝的图象如图．
由图象可知，若f(1－x2)＞f(2x)，
则
即
得x∈(－1，－1)．
设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，1]∪[4，＋∞)
解析　如图，
画出f(x)＝的图象，若使函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则a＋1≤2或a≥4，解得实数a的取值范围是(－∞，1]∪[4，＋∞)．
(2014·苏锡常镇二模)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋2k，若函数g(x)恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围为________．
高频考点2题型一　与函数性质有关的简单的抽象函数问题
例1　5．(2015·苏州联考)定义在R上的函数f(x)满足f(m＋n2)＝f(m)＋2[f(n)]2，m，n∈R，且f(1)≠0，则f(2
014)＝________.
6．对a，b∈R，记min{a，b}＝函数f(x)＝min(x∈R)的最大值为________．
7．(2016·南京行知中学)已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调函数，若对任意x∈(0，＋∞)都有f＝2，则f的值是________．
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案　充要
解析　①∵f(x)在R上是偶函数，
∴f(x)的图象关于y轴对称．
∵f(x)为[0,1]上的增函数，
∴f(x)为[－1,0]上的减函数．
又∵f(x)的周期为2，
∴f(x)为区间[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的减函数．
②∵f(x)为[3,4]上的减函数，且f(x)的周期为2，
∴f(x)为[－1,0]上的减函数．
又∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)为[0,1]上的增函数．
由①②知“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．
(2015·阜宁中学调研)若函数y＝f(x)在(0，＋∞)上的导函数为f
′(x)，且不等式xf
′(x)>f(x)恒成立，又常数a，b满足a>b>0，则下列不等式一定成立的是________．
①bf(a)>af(b)；②af(a)>bf(b)；③bf(a)(2016·江苏南菁中学)设函数F(x)＝f(x)＋f(－x)，x∈R，其中[－π，－]是函数F(x)的一个单调递增区间，将函数F(x)的图象向右平移π个单位，得到一个新的函数G(x)的图象，则G(x)的一个单调递减区间是________．
(2014·江苏省苏州实验中学检测)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时不等式f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝30.3·f(30.3)，b＝logπ3·f(logπ3)，c＝log3·f(log3)，则a，b，c的大小关系是________．
高频考点3题型二　与抽象函数有关的综合性问题
题型1.
分段函数中的求值
14．设函数，则
__________.
【来源】【百强校】2017届江西抚州市七校高三上学期联考数学（文）试卷（带解析）
【答案】
【解析】
试题分析：，，故
，故答案为.
例1(1)(2016·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，则f(5a)的值是________．
题型2.
分段函数中的单调性
设，函数，，．
⑴当时，求的值域；
⑵试讨论函数的单调性．
【来源】江门市2009年高考模拟考试（文）21
【答案】⑴----------1分，时，----------2分；
当时，，根据指数函数与幂函数的单调性，是单调递增函数--------3分，-------4分。所以时，的值域为-------5分。
⑵依题意--
---6分。
①，当时，，递减，当时，，递增
----8分。
②，当时，解得，当时，，递减，当时，，递增。当时，，递增--
---10分。
③，当时，，递减。当时，解得，当时，，递增，当时，，递减-----12分。
④，对任意，，在每个定义域区间上递减---
--13分。
综上所述，时，在或上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增，在或上单调递减；时，在每个定义域区间上递减----
-14分。
11．已知函数则满足不等式的的取值范围是
．
【来源】【百强校】2016-2017学年安徽六安一中高二理上段测二数学试卷（带解析）
【答案】
【解析】
试题分析：因为，所以在上递增，作出的图象，如图所示，根据图象，由，得，解得．
考点：分段函数的值.
跟踪演练设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
题型3.
分段函数中的参数范围
(2)(2016·青岛模拟)对实数a和b，定义运算“ ”：a b＝设函数f(x)＝(x2－2) (x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是________．
高频考点2简单的抽象函数问题
题型1.
抽象函数的赋值问题
例2（1）(2015·苏州联考)定义在R上的函数f(x)满足f(m＋n2)＝f(m)＋2[f(n)]2，m，n∈R，且f(1)≠0，则f(2
014)＝________.
（2）(2016·南京行知中学)已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调函数，若对任意x∈(0，＋∞)都有，则f的值是________．
题型2.
抽象函数的单调性问题
（1）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
（3）(2015·阜宁中学调研)若函数y＝f(x)在(0，＋∞)上的导函数为f
′(x)，且不等式xf
′(x)>f(x)恒成立，又常数a，b满足a>b>0，则下列不等式一定成立的是________．
①bf(a)>af(b)；②af(a)>bf(b)；③bf(a)高频考点3与抽象函数有关的综合性问题
定义在上的函数满足：
①当时，②.
（ⅰ）
；
（ⅱ）若函数的零点从小到大依次记为，则当时，_____________.
【来源】2014届北京市海淀区海淀高三上学期期中考试文科数学试卷（带解析）
【答案】3，
【解析】
试题分析：因为，定义在上的函数满足：①当时，；
②.所以，的构成规律是：对于任意整数，在每一个区间，，，且在此区间满足；
所以，（i）；
（ii）当时，的零点从小到大依次满足，
所以，
考点：分段函数，函数的零点，等比数列的求和.
例2　对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．
(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x－4a(a∈R)，试判断f(x)是否为“局部奇函数”？并说明理由；
(2)若f(x)＝2x＋m是定义在区间[－1,1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
解　f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)＋f(－x)＝0有解．
(1)当f(x)＝ax2＋2x－4a(a∈R)时，
方程f(x)＋f(－x)＝0即2a(x2－4)＝0.
因为方程有解x＝±2，
所以f(x)为“局部奇函数”．
(2)当f(x)＝2x＋m时，f(x)＋f(－x)＝0可化为2x＋2－x＋2m＝0，
因为f(x)的定义域为[－1,1]，所以方程2x＋2－x＋2m＝0在[－1,1]上有解．
令t＝2x∈[，2]，则－2m＝t＋.
设g(t)＝t＋，t∈[，2]，
则g′(t)＝1－，t∈[，2]．
当t∈时，g′(t)＜0，故g(t)在(0,1)上为减函数；
当t∈(1,2)时，g′(t)＞0，故g(t)在(1,2)上为增函数．
所以函数g(t)＝t＋，t∈[，2]的值域为[2，]，
由2≤－2m≤，得－≤m≤－1，
故实数m的取值范围是[－，－1]．
变式训练2　已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足：
①f(0)＝f(1)＝0；
②对所有x，y∈[0,1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<
|x－y|.
若对所有x，y∈[0,1]，|f(x)－f(y)|答案　
解析　取y＝0，则|f(x)－f(0)|<|x－0|，
即|f(x)|取y＝1，则|f(x)－f(1)|<|x－1|，
即|f(x)|<(1－x)．
∴|f(x)|＋|f(x)|∴|f(x)|<.
不妨取f(x)≥0，则0≤f(x)<，0≤f(y)<，
∴|f(x)－f(y)|<－0＝，
要使|f(x)－f(y)|∴k的最小值为.
9．已知函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数．若直线y＝k(x＋1)(k>0)的图象与函数y＝f(x)的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是____________．
答案　
解析　根据[x]表示的意义可知，当0≤x<1时，f(x)＝x，当1≤x<2时，f(x)＝x－1，当2≤x<3时，f(x)＝x－2，以此类推，当k≤x2．(2015·天津改编)已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R.若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是________．
答案　
解析　由f(x)＝
得f(2－x)＝
所以f(x)＋f(2－x)＝
即f(x)＋f(2－x)＝
y＝f(x)－g(x)＝f(x)＋f(2－x)－b，所以y＝f(x)－g(x)恰有4个零点等价于方程f(x)＋f(2－x)－b＝0有4个不同的解，即函数y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)的图象有4个公共点，由图象知＜b＜2.
6．(2014·徐州市第三中学模拟)对于函数f(x)＝(其中a为实数，x≠1)，给出下列命题：
①当a＝1时，f(x)在定义域上为单调函数；
②f(x)的图象关于点(1，a)对称；
③对任意a∈R，f(x)都不是奇函数；
④当a＝－1时，f(x)为偶函数；
⑤当a＝2时，对于满足条件2其中正确命题的序号为________．