5 平方差公式
第1课时
学习目标：
1.会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的计算.
2.能用几何拼图的方法验证平方差公式,增强数形结合的数学思想.
3.经历探索平方差公式的过程,进一步建立符号感,养成推理应用能力.
4.重点:平方差公式及简单应用.
【预习导学——不看不讲】
问题探究一:平方差公式
1.完成教材本课时最上面的4个计算题.
(1)x2-4;(2)1-9a2;(3)x2-25y2;(4)4y2-z2.
2.上面4个小题的左边两题有什么共同的特征?
都是二项式乘以二项式,且乘式是两个数之和与这两个数之差相乘.
3.观察4个小题的结果,你又发现了什么?
积是二项式,它们的积等于乘式中这两个数的平方差.
4.观察以上算式及其运算过程,你知道它们的积为什么是二项式吗?
因为具备这样特点的两个二项式相乘,积的四个项中,会出现互为相反数的两项,合并这两项的结果为零,于是就剩下两项了.2·1·c·n·j·y
5.你能用一个公式来描述上面这种类型的二项式的乘法运算吗?
(a+b)(a-b)=a2-b2.
6.你能用文字来描述平方差公式吗?
两数和与这两数差的积,等于它们的平方差.
7.下图是聪聪在学习平方差公式后画的辅助记忆图,你能明白吗?
【归纳总结】平方差公式的特征:1.公式的左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项 完全相同 ,另一项 互为相反数 ;2.右边是因式中的两项的平方差: 相同项的平方 减去 相反项的平方 .?【来源：21·世纪·教育·网】
【预习自测】(1)(m+n)(m-n)= m2-n2 ;(2)(2y+3)(2y-3)=( 2y )2- 3 2= 4y2-9 .?
问题探究二:平方差公式的应用
阅读教材本课时中的例题,完成下面的问题.
1.教材“例1”中我们发现算式左边两括号内的第一项 相同 (填“相同”或“相反”),第二项 相反 (填“相同”或“相反”),积为第一项的平方 减去 第二项的平方.?
2.平方差公式中的 a和b 可以代表数和式吗?可以.
3.教材“例2”第(2)题的解答过程中,每一步的理由是什么?
第一步根据平方差公式,第二步根据积的乘方运算律.
【归纳总结】平方差公式(a+b)(a-b)= a2-b2 ,其中a,b可以代表数, 也可以 (填“也可以”或“不可以”)代表整式.?21世纪教育网版权所有
【预习自测】1.(1)(-2+a)(-2-a)= 4-a2 ;(2)(2m+3n)(2m-3n)=( 2m )2-( 3n )2=4m2-9n2.?21教育网
2.计算:2x2+(y-2x)(y+2x).
解:原式=2x2+y2-4x2=y2-2x2.
【合作探究——不议不讲】
互动探究1:下列多项式的乘法,可以利用平方差公式计算的是(C)
A.(a-nb)(nb-a) B.(-1-a)(a+1)
C.(-m+n)(-m-n) D.(ax+b)(a-bx)
互动探究2:若x-y=4,x+y=7,则x2-y2= 28 . ?
[变式演练]等式(x-4y)( )=x2-16y2中括号内应填入下式中的(A)
A.x+4y B.x-2y C.2y+x D.y-2x
【方法归纳交流】注意平方差公式的逆运用: a2-b2=(a+b)(a-b) .?
互动探究3:计算:(1)(an-bn)(an+bn);(2)(3m-n)(-3m-n);(3)(x2+y2)(x+y)(x-y).
解:(1)原式=(an)2-(bn)2=a2n-b2n;(2)原式=-(3m-n)(3m+n)=-(9m2-n2)=-9m2+n2.
(3)原式=(x2+y2)[(x+y)(x-y)]=(x2+y2)(x2-y2)=(x2)2-(y2)2=x4-y4.21·cn·jy·com
[变式演练]计算:(x2+y2)(x+y)(x-y)(x4+y4).
解:原式=(x+y)(x-y)(x2+y2)(x4+y4)=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)21·世纪*教育网
=(x4-y4)(x4+y4)=x8-y8.
【方法归纳交流】 多个二项式的乘法中,注意平方差公式的多次应用从而进行简便运算 .?
*互动探究4:为了应用平方差公式计算(a-b+c)(a+b-c),必须先适当变形,下列各变形中,正确的是(D)www-2-1-cnjy-com
A.[(a+c)-b][(a-c)+b] B.[(a-b)+c][(a+b)-c]
C.[(b+c)-a][(b-c)-a] D.[a-(b-c)][a+(b-c)]
[变式演练1]计算:(2x+y-z)(2x-y+z).
解:原式=[2x+(y-z)][2x-(y-z)]=(2x)2-(y-z)2=4x2-(y2-yz-yz+z2)=4x2-y2+2yz-z2.
[变式演练2]填空:(a-b-c-d)(a+b-c+d)=[ (a-c ) + (b+d ) ][ (a-c) - (b+d) ].?
【方法归纳交流】两个项数相同的多项式相乘,能否应用平方差公式,应观察哪些是 相同的项 ,哪些是 相反的项 ,从而确定它们分别为公式中的a和b.?21cnjy.com
*互动探究5:观察下列等式:
(1)4×2=32-12;
(2)4×3=42-22;
(3)4×4=52-32;
(4)( )×( )=( )2-( )2;
…
则第4个等式为 4×5=62-42 ;?
则第2011个等式为 4×2012=20132-20112 ;?
第n个等式为 4×(n+1)=(n+2)2-n2 .(n是正整数)?
*互动探究6:利用平方差公式计算:20102-2009×2011.
解:原式=20102-(2010-1)×(2010+1)=20102-(20102-1)=20102-20102+1=1.www.21-cn-jy.com
课件14张PPT。5 平方差公式第2课时1.会利用平方差公式进行简便运算,能进行综合计算.
2.经历拼图验证平方差公式的过程,体会平方差公式的几何背景.
3.在练习中灵活运用平方差公式进一步养成符号感和推理能力.
4.能运用平方差公式进行简便的数字运算.
5.重点:平方差公式的综合应用.平方差公式的几何背景1.阅读教材本课时“想一想”上面的内容,并解决其中的问题.2.(2x+y)(2x-y)= ;4x2-y23.小颖的拼图过程还可以得到什么等式?它与平方差公式有什么关系?4.用文字表述你得到的这个等式.【归纳总结】我们可以用几何图形验证平方差公式,体现了 的数学思想.?数形结合【预习自测】从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后,将其裁成四个相同的等腰梯形(如图(1)),然后拼成一个平行四边形,这可以验证什么公式?平方差公式的运用1.阅读教材本课时“想一想”至“例4”,完成下面的问题.
(1)若想用平方差公式进行简便计算,需要把这两个因数相乘化成什么形式?(2)请你编两道能运用平方差公式计算的题目,并写出解答过程.(3)“例4”中第(1)题每一步的理由是什么?(4)“例4”中第(2)题每一步的理由是什么?【归纳总结】运用平方差公式, (填“可以”或“不可以”)简化计算.?
【预习自测】1.利用平方差公式进行计算:10.5×9.5.2.计算:(x+y)(x-y)-(y-2x)(y+2x).可以若x2-y2=12,且x+y=-3,则x-y的值是 ( )
A.4 B.3 C.-4 D.以上都不对
[变式演练1]等式(x+2y)(x-2y)( )=x4-16y4中括号内应填入下式中的( )
A.x+4y B.x2-2y2 C.4y2+x2 D.y2-4x2
[变式演练2]等式(-x-2y)( )(x2+4y2)=x4-16y4中括号内应填入下式中的( )
A.x+2y B.x-2y C. y+2x D.-x+2y
?CCD【方法归纳交流】注意平方差的逆运用:a2-b2
= . 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b),再沿虚线剪开,如图(1),然后拼成一个梯形,如图(2),那么分别计算两个图中阴影部分的面积,可以验证成立的公式是 .?(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a2-b2利用平方差公式进行计算:2012×1988.计算:(1)x2(x+y)(x-y)-(xy+2)(xy-2);
(2)3x(x+1)+(x+2)(x-2)-(2x+1)(2x-1).计算: (2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1).第2课时
学习目标：
1.会利用平方差公式进行简便运算,能进行综合计算.
2.经历拼图验证平方差公式的过程,体会平方差公式的几何背景.
3.在练习中灵活运用平方差公式进一步养成符号感和推理能力.
4.能运用平方差公式进行简便的数字运算.
5.重点:平方差公式的综合应用.
【预习导学——不看不讲】
问题探究一:平方差公式的几何背景
1.阅读教材本课时“想一想”上面的内容,并解决其中的问题.
(1)a2-b2;(2)长:a+b,宽:a-b;(a+b)(a-b);(3)根据阴影部分面积相等可得(a+b)(a-b)=a2-b2,所以可以验证平方差公式.21世纪教育网版权所有
2.(2x+y)(2x-y)= 4x2-y2 ;?
3.小颖的拼图过程还可以得到什么等式?它与平方差公式有什么关系?
a2-b2=(a+b)(a-b),这个等式与平方差公式相反.
4.用文字表述你得到的这个等式.
两数的平方差等于两数和与这两数的差的积.
【归纳总结】我们可以用几何图形验证平方差公式,体现了 数形结合 的数学思想.?
【预习自测】从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后,将其裁成四个相同的等腰梯形(如图(1)),然后拼成一个平行四边形,这可以验证什么公式?
可以验证平方差公式:(1)中的四个梯形的面积为a2-b2,这四个梯形组成了如图(2)中的平行四边形,一条边长为a+b,其高为a-b(由图(1)得),故平行四边形的面积为(a+b)(a-b),由此可验证(a+b)(a-b)=a2-b2.
问题探究二:平方差公式的运用
1.阅读教材本课时“想一想”至“例4”,完成下面的问题.
(1)若想用平方差公式进行简便计算,需要把这两个因数相乘化成什么形式?
(a+b)(a-b).
(2)请你编两道能运用平方差公式计算的题目,并写出解答过程.1001×999=(1000+1)×(1000-1)=10002-1=999 999,10×9=(10+)×(10-)=102-()2=100-=99.
(3)“例4”中第(1)题每一步的理由是什么?第一步:乘法的结合律,平方差公式;第二步:单项式与多项式的乘法;第三步:合并同类项(整式的加减法).21教育网
(4)“例4”中第(2)题每一步的理由是什么?
第一步:平方差公式,单项式与多项式的乘法;第二步:去括号;第三步:合并同类项(整式的加减法).
【归纳总结】运用平方差公式, 可以 (填“可以”或“不可以”)简化计算.?
【预习自测】1.利用平方差公式进行计算:10.5×9.5.
10.5×9.5=(10+0.5)×(10-0.5)=100-0.25=99.75.
2.计算:(x+y)(x-y)-(y-2x)(y+2x).
解:原式=x2-y2-(y2-4x2)=x2-y2-y2+4x2=5x2-2y2.
【合作探究——不议不讲】
互动探究1:若x2-y2=12,且x+y=-3,则x-y的值是(C)
A.4 B.3 C.-4 D.以上都不对
[变式演练1]等式(x+2y)(x-2y)( )=x4-16y4中括号内应填入下式中的(C)
A.x+4y B.x2-2y2 C.4y2+x2 D.y2-4x2
[变式演练2]等式(-x-2y)( )(x2+4y2)=x4-16y4中括号内应填入下式中的(D)
A.x+2y B.x-2y C. y+2x D.-x+2y
【方法归纳交流】注意平方差的逆运用:a2-b2= (a+b)(a-b) .?
互动探究2:在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b),再沿虚线剪开,如图(1),然后拼成一个梯形,如图(2),那么分别计算两个图中阴影部分的面积,可以验证成立的公式是 (a+b)(a-b)=a2-b2 .?21cnjy.com
互动探究3:利用平方差公式进行计算:2012×1988.
解:2012×1988=(2000+12)×(2000-12)=20002-122=400 000 0-144=399 985 6.
互动探究4:计算:(1)x2(x+y)(x-y)-(xy+2)(xy-2);
(2)3x(x+1)+(x+2)(x-2)-(2x+1)(2x-1).
解:(1)原式=x2 [(x+y)(x-y)]-[(xy)2-4]=x2(x2-y2)-x2y2+4=x4-x2y2-x2y2+4=x4-2x2y2+4.
(2)原式=3x2+3x+x2-4-(4x2-1)=3x2+3x+x2-4-4x2+1=3x-3.
*互动探究5:计算: (2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1).
解:(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)…(232+1)=(24-1)(24+1)…(232+1)=(232-1)(232+1)=264-1.21·cn·jy·com
课件17张PPT。5 平方差公式第1课时1.会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的计算.
2.能用几何拼图的方法验证平方差公式,增强数形结合的数学思想.
3.经历探索平方差公式的过程,进一步建立符号感,养成推理应用能力.
4.重点:平方差公式及简单应用.平方差公式1.完成教材本课时最上面的4个计算题.2.上面4个小题的左边两题有什么共同的特征? 3.观察4个小题的结果,你又发现了什么?4.观察以上算式及其运算过程,你知道它们的积为什么是二项式吗?5.你能用一个公式来描述上面这种类型的二项式的乘法运算吗?6.你能用文字来描述平方差公式吗?7.下图是聪聪在学习平方差公式后画的辅助记忆图,你能明白吗?【归纳总结】平方差公式的特征:1.公式的左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项 ,另一项 ;2.右边是因式中的两项的平方差:
减去 .?
【预习自测】(1)(m+n)(m-n)= ;
(2)(2y+3)(2y-3)=( )2- 2= .?互为相反数阅读教材本课时中的例题,完成下面的问题.完全相同互为相反数相反项的平方相反项的平方2y34y2-91.教材“例1”中我们发现算式左边两括号内的第一
项 (填“相同”或“相反”),第二项 (填“相同”或“相反”),积为第一项的平方 第二项的平方.2.平方差公式中的 a和b 可以代表数和式吗?3.教材“例2”第(2)题的解答过程中,每一步的理由是什么?相同相反减去【归纳总结】平方差公式(a+b)(a-b)= ,其中a,b可以代表数, (填“也可以”或“不可以”)代表整式.?
【预习自测】1.(1)(-2+a)(-2-a)= . ;(2)(2m+3n)(2m-3n)=( )2-( )2=4m2-9n2.?
2.计算:2x2+(y-2x)(y+2x).a2-b2也可以4-a22m3n下列多项式的乘法,可以利用平方差公式计算的是 ( )
A.(a-nb)(nb-a) B.(-1-a(a+1)
C.(-m+n)(-m-n) D.(ax+b)(a-bx)若x-y=4,x+y=7,则x2-y2= . ?[变式演练]等式(x-4y)( )=x2-16y2中括号内应填入下式中的 ( )
A.x+4y B.x-2y C.2y+x D.y-2xC28A【方法归纳交流】注意平方差公式的逆运用:
.? 计算:(1)(an-bn)(an+bn);(2)(3m-n)(-3m-n);
(3)(x2+y2)(x+y)(x-y).a2-b2=(a+b)(a-b)[变式演练]计算:(x2+y2)(x+y)(x-y)(x4+y4).【方法归纳交流】
.?多个二项式的乘法中,注意平方差公式的多次应用从而进行简便运算 为了应用平方差公式计算(a-b+c)(a+b-c),必须先 适当变形,下列各变形中,正确的是 ( )
A.[(a+c)-b][(a-c)+b] B.[(a-b)+c][(a+b)-c]
C.[(b+c)-a][(b-c)-a] D.[a-(b-c)][a+(b-c)]
[变式演练1]计算:(2x+y-z)(2x-y+z).D[变式演练2]填空:(a-b-c-d)(a+b-c+d)=[
+ ][ - ].?
【方法归纳交流】两个项数相同的多项式相乘,能否应用平方差公式,应观察哪些是 ,哪些是 ,从而确定它们分别为公式中的a和b.(a-c )(b+d )(a-c)(b+d)相同的项相反的项 观察下列等式:
(1)4×2=32-12;
(2)4×3=42-22;
(3)4×4=52-32;
(4)( )×( )=( )2-( )2;
…
则第4个等式为 ;?
则第2011个等式为 ;?
第n个等式为 .(n是正整数)?4×5=62-424×2012=20132-201124×(n+1)=(n+2)2-n2利用平方差公式计算:20102-2009×2011.
