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第二章
二次函数
义务教育教科书(北师大版)九年级数学下册
2.2
二次函数的图像和性质(3)
问题1：二次函数的图象是一
条
．
抛物线
问题2
：二次函数y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-5的图象有什么关系，它们是如何通过平移得到的？
y=2x2+1的图象可以由y=2x2向上平移1个单位得到。
y=2x2-5的图象可以由y=2x2向下平移5个单位得到。
问题3：上题的三个函数的图像开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？
开口方向都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标分别为（0，0），（0，1），（0，-5）
x
y
y=x2
y=(x-1)2
x
y
y=x2
y=(x+1)2
o
y
x
函数y=x2的图象
函数y=(x-1)2的图象
向右平移1个单位
x=1
y=x2
y=(x-1)2
o
y
x
函数y=x2的图象
函数y=(x-1)2的图象
向左平移1个单位
x=-1
y=x2
y=(x-1)2
二次函数图像左右平移
左加右减
o
y
x
x=1
y=
(x-1)2
2
1
由y=
(x-1)2向上平移2个单位得到那个函数的图像？
y=
(x-1)2+2
对吗？
列表、描点、连线
x
y
-1
y
x
x=1
y=
(x+1)2
2
O
由y=
(x+1)2向下平移2个单位得到那个函数的图像？
y=
(x+1)2-2
o
y
x
x=1
y=x2+2
由y=x2+2向右平移1个单位呢？
2
1
y=(x-1)2+2
o
y
x
向上平移2个单位得
x=1
y=x2+2
y=x2
y=x2
再向右平移1个单位得
2
1
y=(x-1)2+2
y=x2+2
y=(x-1)2+2
o
y
x
向右平移1个单位得
x=1
y=x2
y=(x-1)2
2
1
y=(x-1)2+2
y=x2
再向上平移2个单位得
y=(x-1)2
y=(x-1)2+2
把函数y=-3x2的图像先向右平移2个单位，再向下平移4个单位可以得到哪个函数的图像？
x
y
y=-3(x+2)2+4
形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图像可以由y=ax2的图像平移得到．
y=a(x-h)2+k我们称为二次函数的顶点式．它的开口方向、顶点坐标、对称轴分别由a、h、k决定，尝试完成下表：
y=a(x-h)2+k
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0
a<0
y=a（x-h）2+k的性质
开口方向
a＞0向上
a＜0向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h，k）
增减性
a＞0
x＜h时y随x增大而减小
x＞h时y随x增大而增大
a＜0
x＜h时y随x增大而增大
x＞h时y随x增大而减小
最值
x=h时ymin=k
x=h时ymax=k
1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)
y=2(x-3)2
-5
(2)
y=
-0.5(x+1)2-2
(3)
y=
3(x+4)2+2
2.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到。
(4)
y=
-4(x-4)2+2
谈谈本节课你的学习有哪些收获.
达标检测
1．y=
-(x+4)2+2的图象是怎样由y=
-x2平移而来的，并指出它的开口方向，对称轴和顶点坐标．
2．二次函数y=2x2的图像先向下平移2个单位，再向左平移3个单位可以得到y=ax2+bx+c的图像，那么
a=
,
b=
,
c=
．
3．指出下列函数的顶点坐标和对称轴．
(1)
y=3(x-2)2+4；
(2)
y=2(x-3)2-5；
(3)
y=-2(x+3)2-3；
(4)y=
(x+2)2+3.
.必做题：
习题2.4
第1、2题；
选做题：
习题2.4
第3、4题．
90%
×
90%
×
90%
×
90%
×
90%
=
0.59049
每一天我们都要投入百分之百的努力！课题：2.2.3
二次函数的图像和性质
课型：新授课
年级：九年级
教学目标：
1．通过学生自己动手列表、描
点、连线，能够正确作出二次函数y=a(x-h)2+k的图象，提高学生的作图能力；
2．通过观察图象能够正确指出y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标，训练学生的概括、总结能力；
3．理解二次函数关系式中系数a，h，k对函数图象的影响．
教学重、难点：
重点：能够正确作出y=a(x-h)2+k的图象，并抽象出它的图象特征．
难点：理解二次函数关系式中系数a，h，k对函数图象的影响．
课前准备：多媒体课件
教学过程：
一、复习提问，做好铺垫
活动内容：结合以下几个问题回顾一下上节课学习的内容：
问题1．二次函数的图象是一条
．
问题2．二次函数y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-5的图象有什么关系，它们是如何通过平移得到的？
问题3．上题的三个函数的图像开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？
处理方式：学生结合函数图象，在黑板画草图回答
（1）二次函数的图像是一条抛物线．
（2）y=2x2的图像向上平移1个单位可以得到y=2x2+1的图像，y=2x2+1的图像向下平移6个单位可以得到y=2x2-5的图像．
y=2x2的图像向下平移5个单位也可以得到y=2x2-5的图像．
（3）三个函数图像开口方向都向上，对称轴都是y轴（直线x=0），顶点坐标分别是（0,0）、（0,1）、（0，-5）．
设计意图：此环节通过对前几节课所学内容的复习，让学生回忆如何根据函数关系式的特征，判定y=ax2和y=ax2+k的图像特征，让学生类比它们的探索方法，为探索y=a(x-h)2+k的图像特征作铺垫，从而引入本节新课．
二、活动探究，小组学习
师：本节课我们继续来探究其他不同形式的二次函数．
活动一：函数图像左右平移
在同一直角坐标系中，作出以下函数的图像
一三两排：①
y=x2
和②
y=(x-1)2
二四两排：①
y=x2
和②
y=(x+1)2．
处理方式：学生自己动手列表、描点、画图；
老师在巡视过程中适当提示；
学生独立画图结束后，让学生进行小组讨论，优秀生帮助后进生学会作图的基本步骤，避免掉队．老师在学生交流的过程中，注意观察，同时把一些典型错误收集起来，在全班展示．让学生进行辩驳并分析，找出错误和不完善的地方，尤其画成对号形式的，老师加以指引，从而得出正确的函数图象
设计意图：本节课需要通过图像总结出规律，分组完成不同的函数图象可以增加本节课所做的函数图象数量，在节约时间的同时还能让学生深入参与，为结论的发现做铺垫．
教师可以提以下问题：
1、在填表过程中①
y=x2与②
y=(x-1)2
【①
y=x2与②
y=(x+1)2】的函数值之间有什么关系？
2、通过作图①
y=x2与②
y=(x-1)2【①
y=x2与②
y=(x+1)2】的图像之间有什么关系？
3、x取哪些值时，函数y=(x-1)2的值随x增大而增大？x取哪些值时，函数y=(x-1)2的值随x增大而减小？
4、类比我们上节课所学的知识，通过对比你有什么发现？
5、结合刚才的体验，猜测一下，函数y=x2的图像向右平移2个单位可以得到那个函数的图象？
学生回答预设：
通过表格可以看出相应的y的值往后错开一格后相等．
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
x2
9
4
1
0
1
4
9
（x-1）2
16
9
4
1
0
1
4
①y=x2与②
y=(x-1)2的图像开口方向开口大小都相同，对称轴和顶点坐标不一样；对称轴和顶点坐标都向右平移了一个单位；对称轴我们可以记做直线x=；由图像可知：当x＜1时，函数y=(x-1)2的值随x增大而增大，当x＞1时函数y=(x-1)2的值随x增大而减小；也可以说对称轴的右边函数y=(x-1)2的值随x增大而增大，对称轴的左边函数y=(x-1)2的值随x增大而减小；
y=(x-1)2的图像可以由y=x2的图像向右平移1个单位得到；
y=(x+1)2的图像可以由y=x2的图像向左平移1个单位得到．
教师利用课件演示函数图像的左右平移．提问：你有哪些体会呢？
生：函数图象左右平移时，改变了自变量，向右平移n个单位时，x变成(x-n)，向左平移n个单位时，x变成(x+n)
．
师：我们可以简单的记做——左加右减．
设计意图：通过活动一使学生掌握函数y=ax2左右平移的规律，在规律探究的过程中充分让学生动手，参与讨论，发表自己的见解，形成善于思考的习惯．
活动二：函数图像上下左右平移
问题：如果把y=(x-1)2的图像向上平移2个单位能得到哪个函数的图像呢？（一、三两排）；把y=(x+1)2向下平移2个单位呢？（二、四两排）
处理方式：
部分学生会感到困惑，个别学生会说是y=(x-1)2+2，y=(x+1)2-2．
教师适时提问：是不是y=(x-1)2+2呢，我们作图看一下．
在同一坐标系中作出函数③y=(x-1)2+2（一三两排）
二四两排同学画y=(x+1)2-2的图象．
由于刚刚获得了正确的作图经验，因此很多学生都可以正确作出y=(x-1)2+2或y=(x+1)2-2的图象，把一些典型的错例展示出来，让学生进行辩析，加深学生对函数图象的认识．
教师提问：通过作图你有什么收获？
学生小组交流讨论
学生回答预设：
1：y=(x-1)2的图像向上平移2个单位能得到y=(x-1)2+2的图像．
2：y=(x+1)2向下平移2个单位能得到y=(x+1)2-2的图像．
教师提问：类比之前的学习经历，大家能结合图像叙述一下y=(x-1)2+2的性质吗？
学生回答预设：函数y=(x-1)2+2的图像是一条抛物线，开口向上，对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，2），是抛物线的最低点，当x=1时，y有最小值2，当x＜1时，y的值随x增大而增大，当x＞1时y的值随x增大而减小．
多找几个学生不断补充完善．
设计意图：通过作图让学生切实感受到图像之间的区别与联系，通过动手操作获得的知识理解的更透彻．
活动三：结论总结
问题：观察函数y=x2、
y=(x-1)2、y=(x-1)2+2的图像，y=(x-1)2+2的图像可以由y=x2的图像的到吗？
处理方式：学生小组交流讨论，教师课件演示
学生回答预设：
y=(x+1)2-2的图像由y=x2的图像先向左平移1个单位，再向下平移2个单位．
也可以y=x2的图像先向上平移2个单位，再向右平移1个单位也可以得到y=(x-1)2+2的图像．y=x2的图像先向下平移2个单位，再向在平移1个单位也可以得到y=(x+1)2-2的图像．
教师适时提问：大家想一下把函数y=-3x2的图像先向右平移2个单位，再向下平移4个单位可以得到哪个函数的图像？
学生思考回答：y=-3(x-2)2-4.
课件显示图像
问题1：这个函数的对称轴、顶点坐标分别是什么？
问题2:函数y=-3(x+2)2+4的图像可以由哪个函数如何平移得到？
问题3：它的对称轴，顶点坐标分别是什么？
问题4：通过一系列的图像探究我们可以看出：形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图像可以由y=ax2的图像平移得到．y=a(x-h)2+k我们称为二次函数的顶点式．它的开口方向、顶点坐标、对称轴分别由a、h、k决定，尝试完成下表：
y=a(x-h)2+k
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0
a<0
学生依次回答生，结合本节课所作图像，小组交流，完成填表．
y=a(x-h)2+k
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0
向上
直线x=h
(h、k)
a<0
向下
设计意图：此环节是在学生经历了前面学习过程的基础上，已具有一定的经验，可让学生先进行猜测，在小组内交流，再适当引导学生进行抽象和归纳，总结出二次函数y=a(x-h)2+k的图像特征，以及系数a,h,k对二次函数图像的影响．渗透数形结合的思想方法．
巩固练习：
指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．指出是如何通过平移得到的．
；
；
。
设计意图：通过训练使学生加深对二次函数顶点式的特征的理解与记忆，不断地完善新的认知结构．
三、课堂小结，提炼升华
请你说说本节课我们学到了什么？
1．二次函数y=a(x-h)2+k的图象．
2．二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k之间的关系．
3．二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象关系．
4．……
这里可以让学生自由回答，老师加以概括和归纳．然后让学生回忆二次函数图象特征，完整学生的知识结构．
设计意图：通过开放式小结，使学生自主回顾、总结梳理所学知识，培养学生归纳、概括和表达能力．
四、评价反馈，巩固提高
课件出示当堂检测题，要求学生在导学案上5分钟内独立完成．
（课件出示检测题）
1．y=
-(x+4)2+2的图象是怎样由y=
-x2平移而来的，并指出它的开口方向，对称轴和顶点坐标．
2．二次函数y=2x2的图像先向下平移2个单位，再向左平移3个单位可以得到y=ax2+bx+c的图像，那么a=
,b=
,c=
．
3．指出下列函数的顶点坐标和对称轴．
(1)
y=3(x-2)2+4；
(2)
y=2(x-3)2-5；
(3)
y=-2(x+3)2-3；
（4）y=(x+2)2+3。
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
五、作业布置，落实目标
必做题：课本P39
知识技能
第1、2题
选做题：课本P39
数学理解
第3、4题
设计意图：通过作业及时地了解学生的学习效果，及时调整下节课的内容，使学生在原有的基础上取得一定的进步．
板书设计：
§2.2视图（3）
活动一
活动二
活动三
投影区
学
生
活
动
区
