(共18张PPT)
伽菲尔德是美国第二十任总统，同样他也是一名卓越的数学家，1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证明.
他的方法直观、简捷、易懂、明了，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统”证法.
你能说出勾股定理的内容吗？
伽菲尔德是利用图1验证了勾股定理.
a
b
c
a
b
c
图1
你也能利用它验证勾股定理吗？
如图2，是四个全等的直角三角形，两直角边分别为a和b，斜边为c.请你开动脑筋，用它们拼出一个正方形，对勾股定理进行验证.
a
c
b
图2
a
c
b
a
c
b
a
c
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
图3
3.观察两种表示方法，它们表示的是同一个图形，所以结果应
.
1.图3中正方形ABCD的边长是
，
正方形ABCD的面积可表示为
.
还可以表示为
.
2.图3中正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，因此正方形ABCD的面积
(a+b)2
a+b
相等
c2
+4
ab
你能验证勾股定理吗？
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
图4
利用图4如何验证勾股定理？
∵
c2=
4
ab
+(b-a)2
c2=2ab+b2-2ab+a2
c2=a2+b2
∴a2+b2=c2
同学们，你能利用美国总统伽菲德所拼的图形验证勾股定理吗？
a
b
c
a
b
c
图5
a2+2ab+b2=2ab+c2
∴a2+b2=c2
∵
(a+b)(a+b)=
ab
+
ab+
c2
观察图6，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
a
b
c
b
c
a
图6
计算图中正方形的面积分别是多少？
观察图6，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
a
b
c
b
c
a
图6
锐角三角形的三边长满足的关系是什么？
钝角三角形的三边长满足的关系是什么？
例：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗
解：由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，即5002=BC2+4002，所以BC=300.敌方汽车10s行驶了300m，则1h行驶的距离为108000m，所以它行驶的速度为108km/h.
1．如图7，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行
米
2．如图8是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M、O、Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是5000万元/千米，该沿江高速的造价预计是多少？
图7
图8
10
90亿元
同学们，通过这节课的学习相信大家收获颇丰，谁愿意与大家一起分享分享？
钝角三角形满足：a2+b2>c2
直角三角形满足：a2+b2=c2
锐角三角形满足：a2+b21．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，c=13，则b=
.（2）若a:b=3:4，c=20，则a=
，b=
.
（3）若a=8，c=b+4，则b=
，c=
.
2．学校升国旗的一名国旗手发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，旗杆的高是
.
第3题图
3．如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米，小明到达的终止点与原出发点的距离为
米．
12
12
16
6
10
12
100
4．已知直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的平方为
.
5．如图，长方形纸片ABCD中，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=CD=8，BC=AD=10，求EC的长.
A
B
D
F
E
C
第5题图
25或7
3
基础题：课本
第6页
习题1.2
第1、2题.
拓展题：从网上收集有关勾股定理的资料，撰写小论文，与同伴进行交流.
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MTEditEquationSection2
Equation
Chapter
1
Section
1课题：1.1.2探索勾股定理
课型：新授课
年级：八年级
教学目标：
1．掌握用面积法如何验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题．
2．经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.
教学重点与难点：
重点：应用勾股定理解决简单的实际问题.
难点：用面积法验证勾股定理.
课前准备：
教师准备：多媒体课件.
学生准备：四个全等的直角三角形.
教学过程：
一、创设情境，引入主题
师：伽菲尔德是美国第二十任总统，同样他也是一名卓越的数学家，1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证明，他的方法直观、简捷、易懂、明了，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统”证法.
问题1：你能说出勾股定理的内容吗？
问题2：伽菲尔德是利用图1验证了勾股定理，你也能利用它验证勾股定理吗？
处理方式：问题1学生可以直接回答，对于问题2学生解决还有一定的难度，教师可先不作出解答，让学生带着疑惑走进课堂.
【教师板书课题：1.1探索勾股定理（2）】
设计意图：上节课仅仅是通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形进行探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形仍需进行验证.巧妙引用“总统证法”引出如何验证勾股定理，激起学生的好奇心，点燃学生的求知欲，以景激情，以情促思，引领学生不断探索，不断深入.
二、合作交流，共同验证
活动一：拼图验证勾股定理
活动内容：如图2，是四个全等的直角三角形，两直角边分别为a和b，斜边为c.请你开动脑筋，用它们拼出一个正方形，对勾股定理进行验证.
处理方式：不要限制学生的思维，留给学生充分的时间和空间，鼓励学生经过尝试、合作、交流、探索多样的拼图方法.教师可参与到学生的讨论中，发现同学们不足的地方，给予提示和指导,之后利用实物投影展示学生的成果，从中选择两种拼图方法为下面进行勾股定理的证明作准备.(课件动画展示拼图过程)
问题1：图3中正方形ABCD的边长是
，正方形ABCD的面积可表示为
.
问题2：图3中正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，因此正方形ABCD的面积还可以表示为
.
问题3：观察两种表示方法，它们表示的是同一个图形，所以结果应
.
问题4：现在，你能验证勾股定理吗？
问题5：利用图4如何验证勾股定理？
处理方式：学生借助问题1、2小组讨论交流各自的表示方法，对比发现两种计算图3面积的结果存在相等的关系，从而化简得出a2+b2=c2成立.
教师巡视,多注意有困难的学生,给出适当的提示和帮助.
对于问题5，学生先独立探究，再小组交流，最后请一位同学上台讲解验证过程.
设计意图：设计这个活动，让学生体会数形结合的思想，通过探究图形的构成，亲身验证勾股定理的正确性，学生的动手、动脑能力得到了加强.图3、图4都能够证明勾股定理,并且这两个图形的证明方法类似,因此师生共同来完成一个即可，剩下的一个由学生独立证明,目的是学以致用，以实践操作强化对知识的理解.
活动二：拓宽视野，深入了解勾股定理的证法
师：用图4验证勾股定理的方法，据记载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的.事实上，勾股定理的证明方法十分丰富，几千年来，人们已经发现了400多种，其中有一类方法尤为独特，单靠移动几个图形就能直观地证出了勾股定理，被誉为“无字的证明”，我们来欣赏几种！（课件出示）
问题：同学们，你能利用美国总统伽菲德所拼的图形验证勾股定理吗？
处理方式：在教师的介绍下，学生通过欣赏几幅图片，了解中外古人对勾股定理证明的研究.学生尝试独立利用图5验证勾股定理，然后在班内交流展示，教师对学生的方法进行适当的指导.
设计意图：介绍中外古代人们对勾股定理证明的研究，特别是勾股定理的无字证明，从另一个角度让学生感受勾股定理的证明思路，体会拼图方法的多样性,激发学生的学习兴趣.让学生验证总统证法的正确性，希望学生能关注知识、方法之间的内在联系，通过学生自身的实践活动加深对勾股定理的理解.
活动三：探究只有直角三角形才满足a2+b2=c2.
师：我们已经验证了直角三角形满足的关系，那么锐角三角形和钝角三角形也满足这个关系吗？观察图6，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
问题1：利用数格子的方法计算图中正方形的面积分别是多少？
问题2：比较正方形的面积，锐角三角形的三边长满足的关系是什么？钝角三角形的三边长满足的关系是什么？
处理方式：学生独立进行计算、观察、比较，然后班内交流，师生共同得出结论：锐角三角形中，a2+b2c2；只有直角三角形才满足a2+b2=c2.
设计意图：学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a,b,c不满足a2+b2=c2这个结论，学生可以加深对勾股定理的认识，也为下一节直角三角形的判别打下基础.
三、典例解析，形成能力
例：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗
处理方式：先让学生独立进行解题，然后找一位同学交流自己的解题思路，最后教师利用课件展示规范的解题过程.
解：由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，即5002=BC2+4002，所以BC=300.敌方汽车10s行驶了300m，则1h行驶的距离为108000m，所以它行驶的速度为108km/h.
设计意图：为了巩固所学的勾股定理知识，教师逐步引导学生初步运用勾股定理解决实际的问题；强化应用的意识，在应用中体会勾股定理的价值.
四、巩固训练，深化提高
1．如图7，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行
米.
2．如图8是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M、O、Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是5000万元/千米，该沿江高速的造价预计是多少？
处理方式：学生在练习本上独立完成，完成后各小组组长负责纠正本组完成的题目，最后老师重点讲解.
设计意图:
在例题的基础上进行拓展，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，运用勾股定理解决实际问题的能力.
五、师生交流，知识升华
同学们，通过这节课的学习相信大家收获颇丰，谁愿意与大家一起分享分享？
学生分享自己的收获.
设计意图：在紧张而热烈的学习之余，需要静下心来，反思自己所学的内容，这是一个对知识沉淀、吸收的过程.在畅谈自己的收获中，不断强化对知识的识记、理解与领悟；同样其他学生在倾听别人的想法、意见、收获的同时，不断丰富自己的知识，取长补短、共同提高.
六、分层挑战，当堂达标
A组：
1．若△ABC中，∠C=90°，
（1）若a=5，c=13，则b=
.
（2）若a:b=3:4，c=20，则a=
，b=
.
（3）若a=8，c=b+4，则b=
，c=
.
2．学校升国旗的一名国旗手发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，旗杆的高是
.
3．如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米，小明到达的终止点与原出发点的距离为
米．
B组：
4．已知直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的平方为
.
5．如图，长方形纸片ABCD中，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=CD=8，BC=AD=10，求EC的长.
处理方式：由于学生学习程度不一样，设计了两种不同层次的题型，学生可选择适合自己的题组独立完成，完成之后，组内交流、展示结果，师生根据完成的情况，及时给予点评、纠正.
设计意图：当堂检测可及时获知学生对所学知识的掌握情况，落实本课的学习目标.分层设计可让不同程度的同学最大限度地发挥他们的潜力，树立学生学好数学的信心.
七、布置作业，课外延伸
基础题：课本
第6页
习题1.2
第1、2题.
拓展题：从网上收集有关勾股定理的资料，撰写小论文，与同伴进行交流.
设计意图：及时作业是巩固课堂学习的重要环节，收集资料、整理资料、网络学习是未来公民的基本素质，鼓励学生上网搜集资料，整理成文是发现学生聪明才智的好机会.
板书设计：
§1.1
探索勾股定理（2）
.直角三角形中，a2+b2=c2；锐角三角形中，a2+b2c2.
例
a
b
c
a
b
c
图1
a
c
b
图2
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
b
b
b
a
a
a
c
c
c
A
C
D
B
图3
a
c
b
图4
A
B
C
D
a
b
c
a
b
c
图5
a
b
c
b
c
a
图6
图7
图8
第3题图
A
B
D
F
E
C
第5题图
投
影
区
学生板演区
