课题：2.2.1二次函数的图象与性质
课型：新授课
年级：九年级
教学目标：
1．能够利用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数的性质；
2．猜想并能作出二次函数的图象，并能比较它与的图象的异同；
3．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验；
4．由函数的图象及性质，对比地学习的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同存异思维．
教学重点与难点：
重点：作出函数和的图象，并根据图象认识和理解二次函数和的性质；
难点：由的图象及性质对比地学习的图象及性质，并能比较出它们的异同点．
课前准备：多媒体课件、几何画板．
教学过程:
一、回顾旧知，导入新课
活动内容：复习回顾
问题1：你还记得我们按照什么步骤研究一次函数和反比例函数的吗？（多媒体出示）
问题2：我们知道一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是两条双曲线，通过上节课的练习，你认为二次函数的图象是直线吗？是双曲线吗？（多媒体出示上节课练习）
问题3：从今天我们开始来研究二次函数的图象及性质（板书课题），由于二次函数（）的图象较为复杂，我们从最简单的开始，你认为最简单的二次函数a，b，c分别为多少？
（多媒体出示）
下面我们先在平面直角坐标系中作出的图象．
处理方式：
问题1让学生回忆研究函数的步骤，“认识函数——研究图象——函数应用”，学生回答会有困难，可进行多媒体投放目录同时在教师的引导下进行．问题2多媒体投放一次函数和反比例函数的图象，以及上节课练习中的表格，让学生猜测二次函数的形状，从而引入新课．问题3的提出为整个本节埋下伏笔后，学生自然会想到最简单的系数为a
=
1，b
=
0，c
=
0，继而得到本节课的第一个函数图象的研究．
设计意图：本章为初中阶段最后一种函数的研究，所以在开篇让学生回顾一次函数及反比例函数研究顺序及方法，并对比着探索二次函数的研究方法，使其对知识的生成与使用有更高层次的升华．而后续问题让学生了解到，本节课所研究的二次函数只是本节的基础，为后续函数做好基础性的准备与铺垫．
二、探究学习，感悟新知
活动内容一：画二次函数的图象
问题1
你还记得画函数图象的一般步骤吗？
问题2
（利用几何画操作如图1）
（1）观察的表达式，任意选择x值，并计算相应的y的值，完成下表：
（2）在直角坐标系中描点．
（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数的图象．
图1
处理方式：
问题1
让学生回顾一次函数和反比例函数的图象画法，很容易得出“列表、描点、画图”．
问题2
利用几何画板讲解，处理方法与操作说明：（1）让学生任选数据后，教师可以在左上角中填入数字后回车，y就会有相应的结果与之对应（教师可以适当点拨学生x是否可以选择负数、小数或0），然后双击表格，此数据就会记录在表格中（特别说明：几何画板的制表为竖表，无法转换成横表，制表时可以在黑板上写出横表或给学生说明）；（2）在表格上单击右键，选择“绘制表中数据”后点“绘制”，即可得到相应点；（3）选中x轴上的“拖动此点”并向右拖动或按键盘上“→”，边拖动边讲解因为图象不是直线，所以需要用光滑的曲线连接，即可描出图象．最后点右上角“显示”按钮即可显示关系式．
活动内容二：观察图象理解性质
问题1
图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
问题2
当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？
问题3
当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？
问题4
图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．
问题5
你能描述图象的形状吗？
处理方式：本部分对于课本问题有所改编，（直接利用几何画板呈现问题）
问题呈现顺序为：
第一步出现问题1、2、3，留给学生足够的时间思考并交流后，让学生自主展示．在学生回答完毕后教师点拨：这三个问题都与一个神秘的点有关，就是（0，0）点，它叫做顶点．
第二步同时出现问题4，学生自己考虑，并举手回答．在学生回答完毕后教师点拨：二次函数的图象为轴对称图形，对称轴为y轴，也可写成直线x
=
0．所以我们以后在列表时可以对称着列出各个点的数据．
第三步出现问题5，并给学生时间交流讨论．在学生完成后，教师利用课件动画演示并点拨：二次函数的图象是一条抛物线，并且抛物线的开口向上．如果你在地球的另一端向斜上方扔一件物体，就是这种样子．（课件演示反向抛物的动画）
设计意图：本环节分为两个活动，活动1为画图，利用几何画板呈现，可以让点的取值更有随意性，更直观且更高效．活动2打破了课本的问题呈现顺序，让学生先通过认识图象的性质后，总结出抛物线的概念，原因有两个：一是此图为开口向上的抛物线，学生不容易得到抛物线，二是如果学生通过课本找到概念，也无法理解．因此将第一问置于最后．
三、动手操作，总结归纳
活动内容一：研究二次函数图象的性质（多媒体出示问题）
问题1.
回顾一下画二次函数图象的步骤，你认为作图时需要注意什么？
问题2.
二次函数的图象是什么形状？先猜一猜，然后在课本33页画出它的图象．
问题3.类比研究图象的方式，请回答：
（1）你能描述图象的形状吗？开口方向向哪？
（2）图象的顶点坐标是什么？
（3）y有最大值还是最小值？当x取什么值时，y的最值是什么？
（4）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（5）当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？
处理方式：先出示问题1，让学生充分回顾思考后回答，（1）列表的选点的对称性，（2）描点的准确性，（3）连线的平滑性，如果学生回答不全，教师可适当提示或补充．
再出示问题2，先让学生猜一猜，然后带着疑问作图．学生作图完毕后，选取部分学生的作图进行展示．
最后出示问题3，选取作图优秀的同学作业作为展示，同时出示5个问题，学生自主思考，如有困难可适当讨论，思考完毕后举手回答．（特别的：其中问题的问法与顺序重新做了调整．）
活动内容二：比较与的异同
（教师将提前准备两个图象画到同一直角坐标系中，用不同颜色标出后多媒体展示）
问题1
（1）点A（2，4）在二次函数的图象上吗？
（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的坐标、关于原点O的对称点D的坐标；
（3）点B，C，D在二次函数的图象上吗？在二次函数的图象上吗？
问题2.请你比较一下与的图象有什么关系？
处理方式：本环节问题比较大，可先留出时间让学生充分思考后，在组织交流讨论后，让学生．函数的图象与的图象形状相同，但是开口向下；或者说函数的图象与的图象关于x轴对称．学生可以有不同说法，只要意思正确即可．教师在引导式可以分别从相同点：开口大小、对称轴、顶点；不同点：开口方向、增减性、最值，联系：轴对称性、中心对称性，等方面进行引导．
设计意图：本环节有两个活动，活动一主要是让学生仿照研究的方法来探究的图象，但因为前面已经学过了抛物线，对称轴，顶点的概念了，所以在此将问题串进行更换．活动二是通过对比，让学生感受二次函数中a的符号和绝对值对于抛物线的影响，在此只是感受不做强调．
四、回顾反思，提炼升华
师：通过这节课的学习，你有哪些收获？先想一想，再分享给大家．
师生共同完成下表：
函数表达式
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（直线x
=
0）
增减性
当x＜0时，y随x的增大而减小当x＞0时，y随x的增大而增大
当x＜0时，y随x的增大而增大当x＞0时，y随x的增大而减小
顶点坐标
原点（0，0）
最值
当x
=
0时，y有最小值0
当x
=
0时，y有最大值0
设计意图：总结以学生为主，教师辅助的方式完成，让学生养成及时总结反思的习惯．并且利用表格的形式让学生对本节课的总体内容有一个全面的回顾.
五、达标检测，反馈提高
师：所有解法我们都已经学会了，用几道题目来检测自己到底掌握的如何．（多媒体出示题目）
A组：
1．在函数上有两点，（－1，y1），（－3，y2），那么y1，y2，0的大小关系是（
）
A．y1＜y2＜0
B．y2＜y1＜0
C．y1＞y2＞0
D．y2＞y1＞0
2．判断正误：
（1）函数与的图象都是抛物线
（
）；
（2）函数与的图象对称轴都是x轴
（
）；
（3）函数与的图象没有公共点
（
）；
（4）函数与的图象形状相同，开口方向相反
（
）．
3．设正方形的边长为a，面积为S，试画出S随a的变化而变化的图象．观察图象，你都发现了什么？
B组：
4．如图边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，抛物线和分别经过A，B，C，D点，将正方形成几部分，则图中阴影部分的面积为
．
处理方式：给学生适当的时间做题，教师巡视，完成后教师给出答案，并让学生自我纠错，对于有能力的同学可以继续完成B组题目．
设计意图：利用几道题目来检测学生对于解法的掌握情况，加深对本节课知识的理解和应用，教师可以根据学生的完成状况及时调整并做好课后辅导．
六、布置作业，课堂延伸
必做题：完成助学本课内容．
选做题：在同一坐标系内，尝试画出，，的图象．
设计意图：选做题为练习画图，并为下节课的学习做好准备．
板书设计：
投影区
2.2.1二次函数的图象与性质
表格总结
学
生
活
动
区(共8张PPT)
若a
=
1，b
=
0，c
=
0，
物体从某一高度落下，已知下落的高度h（m）和下落的时间t（s）的关系是：h=4.9t2，填表表示物体在前5
s下落的高度：
t/s
1
2
3
4
5
h/m
4.9
19.6
44.1
78.4
122.5
1．你还记得画函数图像的一般步骤吗？
列表、描点、连线
2．在平面直角坐标系中画二次函数y=x2
的图像.
链接至几何画板
1．你认为作二次函数图像需要注意什么？
2．二次函数y=x2
的图像是什么形状？
请你在课本33页画出它的图像.
（1）你能描述图像的形状吗？开口方向向哪？
（2）图像的顶点坐标是什么？
（3）y有最大值还是最小值？当x取什么值时，y的最值是什么？
（4）图像是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（5）当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？
1．（1）点A（2，4）在二次函数
y
=
x2的图像上吗？
（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的
坐标、关于y轴的对称点C的坐标、关于原点
O的对称点D的坐标；
（3）点B，C，D在二次函数y
=
x2的图像上
吗？在二次函数y
=
x2的图像上吗？
2.请你比较一下y
=
x2与y
=
x2的图像有什么关系？
1．通过这节课的学习你有哪些收获？先想一想，再分享给大家．
2．填表
函数表达式
开口方向
对称轴
增减性
顶点坐标
最值
向上
向下
y轴（直线x
=
0）
当x＜0时，y随x的增大而减小
当x＞0时，y随x的增大而增大
当x＜0时，y随x的增大而增大
当x＞0时，y随x的增大而减小
原点（0，0）
当x
=
0时，y有最小值0
当x
=
0时，y有最大值0
A组
1．在函数y
=
x2上有两点，（－1，y1），（－3，y2），那么y1，y2，0的大小关系是（
）
A.y1
＜
y2
＜0
B.
y2
＜
y1
＜0
C.
y1
＞
y2
＞0
D.
y2
＞
y1
＞0
2.判断正误
（1）函数y
=
x2与y
=
－x2的图像都是抛物线（
）；
（2）函数y
=
x2与y
=
－x2的图像对称轴都是x轴
（
）；
（3）函数y
=
x2与y
=
－x2的图像没有公共点（
）；
（4）函数y
=
x2与y
=
－x2的图像形状相同，开口方向相反（
）.
3.设正方形的边长为a，面积为S，试画出S随a的变化而变化的图像．观察图像，你都发现了什么？
B组
4.如图边长为2的正方形ABCD的中心在直
角坐标系的原点O，AD∥x轴，抛物线y
=
x2和
y
=
－x2别经过A，B，C，D点，将正方形成几部
分，则图中阴影部分的面积为
．
