2017年北京市高考真题——数学理（含答案）

绝密★本科目考试启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
数
学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。&考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题
共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB=
（A）{x|–2x–1}
（B）{x|–2x3}
（C）{x|–1x1}
（D）{x|1x3}
【答案】A
（2）若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
（A）（–∞，1）
（B）（–∞，–1）
（C）（1，+∞）
（D）（–1，+∞）
【答案】B
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
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（A）2
（B）
（C）
（D）
【答案】C
（4）若x，y满足
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则x
+
2y的最大值为
（A）1
（B）3
（C）5
（D）9
【答案】D
（5）已知函数，则
（A）是奇函数，且在R上是增函数
（B）是偶函数，且在R上是增函数
（C）是奇函数，且在R上是减函数
（D）是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
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"欢迎登陆21世纪教育网?)
（A）3
（B）2
（C）2
（D）2
【答案】B
（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
（A）1033
（B）1053?
（C）1073
（D）1093
【答案】D
第二部分（非选择题
共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若双曲线的离心率为，则实数m=_________.
【答案】2
（10）若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=_______.
【答案】1
（11）在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为___________.
【答案】1
（12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=___________.
【答案】
（13）能够说明“设a，b，c是任意实数
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"欢迎登陆21世纪教育网?)．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________．
【答案】-1，-2，-3
（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天
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"欢迎登陆21世纪教育网?)中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的&零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.
①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.
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"欢迎登陆21世纪教育网?)
【答案】；
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
在△ABC中，
=60°，c=a.
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.
【答案】
（1）根据正弦定理
（2）当时
△ABC中
（16）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．
（I）求证：M为PB的中点；
（II）求二面角B-PD-A的大小；
（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
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"欢迎登陆21世纪教育网?)
【答案】
（1）连接AC，BD..连接OM
∵PD∥平面MAC且平面PBD平面MAC=MO
∴PD∥MO
∵O为BD中点
∴M为PB中点
（2）取AD中点E，连接PE
∵PA=PD
∴PE⊥AD
又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD平面ABCD=AD
∴PE⊥平面ABCD
建立如图所示坐标系
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则B(-2，4，0)
P(0，0，)
D(2，0，0)
A(-2，0，0)
易知平面PDA的法向量
设平面BPD的法向量，则
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∴
∴二面角B-PD-A的平面角
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（17）（本小题13分）
为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机
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"欢迎登陆21世纪教育网?)分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“”表示服药者，“+”表示为服药者.
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"欢迎登陆21世纪教育网?)
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机.选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；学￥科
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）
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"欢迎登陆21世纪教育网?)
分布列如下
0
1
2
p
，即所求数学期望为1.
（Ⅲ）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大。
（18）（本小题14分）
已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.
【答案】
（Ⅰ）把P（1,1）代入y2=2Px得P=∴C:y2=x∴焦点坐标（，0）准线：x=-。
（Ⅱ）设l：y=kx+，A（x1，y1），B(x2，y2)，OP：y=x，ON：y=，由题知A(x1，x1)，B(x1，)
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"欢迎登陆21世纪教育网?)k2x2+（k-1）x+=0，x1+x2=，x1·x2=。
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"欢迎登陆21世纪教育网?)，由x1+x2=，x1x2=，
上式
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"欢迎登陆21世纪教育网?)∴A为线段BM中点。
（19）（本小题13分）
已知函数f（x）=excosx?x.
（Ⅰ）求曲线y=
f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值.
【答案】
（Ⅰ）f(x)=ex·cosx－x∴f(0)=1
∴f?(x)=ex（cosx－sinx）－1
f?(0)=0
∴y=f(x)在（0，f(0)）处切线过点（0,1），k=0
∴切线方程为y=1
（Ⅱ）f?(x)=ex（cosx-sinx）－1，设f?(x)=g(x)
∴g?(x)=－2sinx·ex≤0
∴g(x)在［0，］上单调递减，
∴g(x)≤g(0)=0
∴f’（x）≤0∴f(x)在［0，］上单调递减，
f(x)max=f(0)=1
∴f(x)min=f()=－
（20）（本小题13分）
设和是两个等差数列，记
，
其中表示这个数中最大的数．
（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．
【答案】
（Ⅰ）当时，
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所以，对于且，都有，只需比较与其他项的大小比较
当且1=（1-k）n+2(k-1)=
（k-1）(2-n)
因为k-1>0,且2-n<0,
所以
所以
对于且=1-n
所以
又
所以是以首项d=-1为公差的等差数列。
（Ⅱ）
（1）设、的公差为，
对于
其中任意项（,1①若
则对于给定的正整数n，
此时，故数列为等差数列
②若
则对于给定正整数n，
此时，∴数列为等差数列
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(3)若此时为一个关于n的一次函数，
故必存在，当n≥S，
则当n≥S时，
因此当n≥S时，
此时，
令,,
下证：对任意正数M，存在,学%科%当n≥m时
①取取
([x]取不大于x的整数)
n≥m时，=A()+B＞A
成立
②若C＜0，取
当n≥m时，
成立
综上，对任意正整数M存在，当n≥m时
命题得证.