2017年高考新课标Ⅱ卷理数试题解析（参考版）

绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
课标II理科数学
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】，故选D。
2.设集合，．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由得，所以，，故选C。
3.我国古代数名著《算法统宗》中有如下问
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（
）
A．1盏
B．3盏
C．5盏
D．9盏
【答案】B
【解析】塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由可得，故选B。
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，
粗
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（
）
B．
C．
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
4.【答案】B
【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为，故选B.
5.设，满足约束条件，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A\
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（
）
A．12种
B．18种
C．24种
D．36种
【答案】D
【解析】
,故选D。
7.甲、乙、丙、丁四位同一起去向老师询问成
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，
给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（
）
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】C
【解析】由于甲不知，所以乙丙一个优秀一个良好，因此乙知道丙，就知道自己成绩，同样丁知道甲成绩，就知道自己成绩，故选C。
8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】B
【解析】
,故选B.
9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（
）
A．2
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】圆心到渐近线
距离为
，所以，故选A.
10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】补成四棱柱
,
则所求角为
因此
，故选C.
11.若是函数的极值点，则的极小值为（
）
A.
B.
C.
D.1
【答案】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
12.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
【解析】以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立坐标，则，，，设，所以，，
所以，
当时，所求的最小值为，故选B。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则
．
【答案】1.96
【解析】，所以.
14.函数（）的最大值是
．
【答案】1
【解析】
，，那么，当时，函数取得最大值1.
15.等差数列的前项和为，，，则
．
【答案】
【解析】设等差数列的首项为，公差为，所以
，解得
，所以，那么
，那么
.
16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则
．
【答案】6
【解析】设，，那么
，点在抛物线上，所以
，所以，那么.
三、解答题：共70分。解答
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
的内角所对的边分别为，已知，
（1）求；
（2）若，的面积为，求．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：利用三角形内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合求出；利用（1）中结论，利用勾股定理和面积公式求出，从而求出．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方法的产量对比，收获时各随机抽取了100
个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg,
新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；
填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P（）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【解析】（1）记事件“旧养殖法的箱产量低于”为事件
记事件“新养殖法的箱产量不低于”为事件
则
（2）
旧养殖法
新养殖法
有的把握认为箱产量与养殖方法有关。
（3）第50个网箱落入“”这组；
取平均值即为中位数的估计值。
19.（12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，
E是PD的中点.
（1）证明：直线
平面PAB
（2）点M在棱PC
上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为
，求二面角M-AB-D的余弦值
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【解析】（1）取中点，连接、、
∵、分别为、中点
∴，又∵
∴，∴四边形为平行四边形
∴平面
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（2）取中点，连，由于为正三角形
∴
又∵平面平面，平面平面
∴平面，连，四边形为正方形。
∵平面，∴平面平面
而平面平面
过作，垂足为，∴平面
∴为与平面所成角，
∴
在中，，∴，
设，，，
∴，∴
在中，，∴
∴，，
以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，，，，
，
设平面的法向量为，，∴
∴，而平面的法向量为
设二面角的大角为（为锐角）
∴。
20.
（12分）
设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.
求点P的轨迹方程；
设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∴过与直线垂直的直线为：
当时，
①代入得
∴过且垂直于的直线过的左焦点。
21.（12分）
（12分）已知函数．
（1）若，求的值；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
【解析】（1）
当时，，时不满足
当时，在，
令
则，∴在，
∴，即
因此时，，满足
（2）由（1）有
∴
∴
∴
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知，证明：
（1）；
（2）．
【解析】∵，，
∴
令，，，则
∴当时，取到最小值。
即。
（2），
∴当即时，取到最大值。
即。