二次函数的应用（2）
学习目标:
掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
学习重点:
本节的重点是应用二次函数解决图形有关的最值问题，这是本书惟一的一种类型，也是二次函数综合题目中常见的一种类型．在二次函数的应用中占有重要的地位，是经常考查的题型，根据图形中的线段之间的关系，与二次函数结合，可解决此类问题．
学习难点:
由图中找到二次函数表达式是本节的难点，它常用的有三角形相似，对应线段成比例，面积公式等，应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式．
学习过程:
一、例题及练习：
例1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上.
(1).设矩形的一边,那么边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为,当取何值时,的最大值是多少
练习
1、如图⑴，在△中，，四边形为矩形，其中、在两直角边上，设矩形的一边．当取何值时，矩形的面积最大？最大是多少？
2、如图⑵，在△中，作一个长方形，其中边在斜边上，，那么长方形的面积最大是多少？
3、如图，已知△，矩形的边在边上．分别在边上，为，为△在边上的高，求△的内接长方形的最大面积．
例2、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为.当等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到 此时,窗户的面积是多少
练习：某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为．当等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到）？此时，窗户的面积是多少？
二、课后练习：
1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是，宽是，抛物线可以用表示．
（1）一辆货运卡车高，宽，它能通过该隧道吗？
（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？
（3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？
2．在一块长为，宽为的矩形地面上修建一个正方形花台．设正方形的边长为，除去花台后，矩形地面的剩余面积为，则与之间的函数表达式是
，自变量x的取值范围是
．y有最大值或最小值吗？若有，其最大值是
，最小值是
，这个函数图象有何特点？
3．一养鸡专业户计划用长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门宽，门和的宽都是，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？
4．把根长度均为的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，哪个面积最大？为什么？
5．周长为的矩形的最大面积为
，此时矩形的边长为
，实际上此时矩形是
．
6．当
时，抛物线的对称轴是轴．
7．已知二次函数的最小值为，则的值是
．
8．如果一条抛物线与抛物线的形状相同，且顶点坐标是，则它的表达式是
．
9．若抛物线的顶点在轴的负半轴上，则的值为
．
10．将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，则所得抛物线为（
）
A．
B．
C．
D．
11．二次函数，若，则它的图象必经过点（
）
A．（－1，1）
B．（1，－1）
C．（－1，－1）
D．（1，1）
12．如图是二次函数的图象，点是坐标平面内的点，则点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
13．已知：如图1，是边长为的正△的边上一点，交于，交于，设．
（1）求△的面积与的函数表达式和自变量的取值范围；
（2）当为何值时，△的面积最大？最大面积是多少；
（3）若△与由、、三点组成的三角形相似，求长．
14．如图2，有一块形状是直角梯形的铁皮，它的上底，下底，垂直于底的腰．现要裁成一块矩形铁皮，使它的顶点、、分别在、、上．当是多长时，矩形的面积有最大值？
15．如图3，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，，抛物线顶点到的距离是．要在铁皮上截下一矩形，使矩形顶点、落在上，、落在抛物线上，试问这样截下的矩形铁皮周长能否等于？
16．如图4，在一直角三角形中建造一个内接于△的矩形水池．其中在上，．
（1）求△中边上的高；
（2）设，当取何值时，水池的面积最大？
（3）实际施工时，发现在上距点处有一棵大树，问这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？回顾与思考
函数中，有一种多项式函数形如(为常数,)，最高次数是2，这种函数，我们称之为二次函数。二次函数知识点颇多，初高中都会出现，在初中，刚刚出现在一次函数数形结合学习之后，因此，二次函知识点离不开数形结合思想。
二次函数主要有哪些知识点？
步骤/方法
1.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
(为常数,且决定函数的开口方向，时，开口方向向上，时，开口方向向下，还可以决定开口大小，越大开口就越小，越小开口就越大.）
则称为的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
二次函数的三种表达式
一般式：(为常数,)
顶点式：[抛物线的顶点]
交点式：[仅限于与轴有交点和的抛物线]
2.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
3.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点
特别地，当时，抛物线的对称轴是轴（即直线）
2.抛物线有一个顶点，坐标为
当时，在轴上；当时，在轴上.
3.二次项系数决定抛物线的开口方向和大小.
当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口.
越大，则抛物线的开口越小.
4.一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置.
当与同号时（即），对称轴在轴左；
当与异号时（即），对称轴在轴右.
5.常数项决定抛物线与轴交点.
抛物线与轴交于
6.抛物线与轴交点个数
时，抛物线与轴有个交点。
时，抛物线与轴有个交点。
时，抛物线与轴没有交点。
4.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数），
当时，二次函数为关于的一元二次方程（以下称方程），
即.
此时，函数图像与轴有无交点即方程有无实数根。
函数与轴交点的横坐标即为方程的根。
画抛物线时，应先列表，再描点，最后连线.列表选取自变量值时常以为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势.
二次函数解析式的几种形式
(1)一般式：(为常数,)
(2)顶点式：(，，为常数，).
(3)两根式：，其中，是抛物线与轴的交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，.
说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式，抛物线的顶点坐标是，时，抛物线的顶点在轴上；当时，抛物线的顶点在轴上；当且时，抛物线的顶点在原点.
如果图像经过原点，并且对称轴是轴，则设；如果对称轴是轴，但不过原点，则设.
练习
一、填空题：
⑴．抛物线的对称轴是
.这条抛物线的开口向
.
⑵.用配方法将二次函数化成的形式是
.
⑶．已知二次函数的图象的顶点的横坐标是1，则b=
.
⑷.
二次函数的图象的顶点坐标是
，在对称轴的右侧y随x的增大而
⑸．已知抛物线的顶点坐标是（-2，3），则=
.
⑹．若抛物线的顶点在x轴上，则c=
.
⑺.
已知二次函数的最小值是1,那么m的值是
.
⑻.
若抛物线经过原点，则m=
.
⑼.
已知二次函数的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y轴的负半轴，则m的取值范围是
.
⑽.
若抛物线的顶点在y轴上,
则
m的值是
二、选择题：
若直线不经过一、三象限，则抛物线（
）.
(A)开口向上，对称轴是轴;
(B)
开口向下，对称轴是轴;
(C)开口向上,
对称轴是直线;
(D)
开口向下，对称轴是直线;
⑵.
抛物线的顶点坐标是(
).
(A)(-1,-3);
(B)(1,3);
(C)(-1,8);
(D)(1,-8);
⑶.
若二次函数的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于轴的正半轴;
则点在（
）.
第一象限;
(B)
第二象限;
(C)
第三象限;
(D)
第四象限;
⑷.
对于抛物线,下列结论正确的是（
）.
对称轴是直线,有最大值为;
对称轴是直线,有最小值为;
对称轴是直线,有最大值为;
对称轴是直线,有最小值为;
⑸．已知直线与抛物线相交于两点，则实数的取值范围是(
).
(B)
(C)
(D)
⑹.若一条抛物线的顶点在第二象限，交于轴的正半轴，与轴有两个交点，则下列结论正确的是（
）.
(A)
(B)
(C)
(D)
⑺.
抛物线不经过（
）.
第一象限;
(B)
第二象限;
(C)
第三象限;
(D)
第四象限
⑻.
已知抛物线的顶点坐标是(2,1),
且抛物线的图象经过(3,0)点,
则这条抛物线的解析式是（
）.
(A)
,
(B),
(C)
,(D)
,
⑼.在同一直角坐标系中，抛物线与直线的交点个数是(
).
(A)0个;
(B)1个;
(C)2个;
(D)3个.
⑽．已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（
）
三、解答下列各题：
（1）.已知二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的解析式.
⑵.
已知抛物线,①求抛物线与轴的交点坐标;②求抛物线与轴的两个交点间的距离.
⑶.已知抛物线(a≠0)
经过和两点.①如果抛物线开口向下，对称轴在轴的左侧，求的取值范围;②若对称轴为.
求抛物线的解析式.
⑷.围猪圈三间（它的平面图为大小相等的三个长方形），一面利用旧墙，其它各墙（包括中间隔墙）都是木料，已知现有木料可围24米长的墙，试求每间猪圈的长与宽各是多少时总面积最大，并求最大面积.
⑸．某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
⑹．已知抛物线的顶点在直线上，设抛物线与
轴交于,两点.①求抛物线的顶点坐标;②求△的外接圆的面积（用准确值表示）.
⑺．如图，在一块三角形区域中，，边，现要在△内建造一个矩形水池，如图的设计方案是使在上.
⑴求△中边上的高;
⑵设,当取何值时，水池的面积最大？
⑶实际施工时，发现在上距点的处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树.
A．
C．
D．
B．二次函数
学习目标
1.通过看例题会总结二次函数的定义.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
学习重点:
1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数.
学习过程
一、自主学习：
由实际问题探索二次函数关系
某果园有棵橙子树，每一棵树平均结个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子．
(1)问题中有哪些变量 其中哪些是自变量 哪些是因变量
(2)假设果园增种棵橙子树，那么这时平均每棵树结多少个橙子
(3)如果果园橙子的总产量为个，那么请你写出与之间的关系式．
二.归纳总结
1.二次函数的定义:_____________________________________.
2.形如(为常数的)函数
当____________时是二次函数.
当____________,__________时是一次函数.
当____________,__________,__________时是正比例函数.
三、解析与交流
例1.
函数是二次函数，则
．
例2.
下列函数中是二次函数的有（
）
①；②；③；④．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
例3.正方形的边长是，若边长增加，面积增加，求与之间的函数表达式．
例4.某商场将进价为元的某种服装按元售出时，每天可以售出套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为，请你得出每天销售利润与售价的函数表达式．
四、交流展示
1.谈谈自己判断二次函数的方法.
2.如何表示简单变量之间的二次函数
五、课堂检测：
1.．当
时，是二次函数．
2．下列不是二次函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．函数是二次函数的条件是（
）
A．为常数，且
B．为常数，且
C．为常数，且
D．可以为任何常数
4．半径为3的圆，如果半径增加，则面积与之间的函数表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知：如图，在△中，点在斜边上，分别作，垂足分别为、，得四边形．设．
（1）用含的代数式表示为：=
；
（2）求与之间的函数表达式，并求出的取值范围；
（3）设四边形的面积为，求与之间的函数表达式．确定二次函数的表达式
学习目标
学会利用二次函数上的三个点确定二次函数的表达式
学会根据不同的条件选择恰当二次函数不同的表达方式。
学习重点:
利用二次函数上的三个点确定二次函数的表达式
学习过程
一、自主学习：
（一）、复习
二次函数的解析式有_______________,___________________,
____________________三种，各有什么特点。
（二）做一做：
1、抛物线经过三点，则
,
,
_____
2、根据条件求二次函数的解析式
（1）抛物线过、和三点.
（2）抛物线的顶点坐标为，且与轴交点的纵坐标为
（3）抛物线在轴上截得的线段长为，且顶点坐标是；
二、归纳总结
用待定系数法求二次函数的表达式，要恰当的选择表达形式是简化解题的关键，如果知道图象上三点的坐标，选用_____________________形式；知道顶点和图上另一点的坐标，选用___________________形式；知道图象与X轴的两个交点和图像上的另一点，选用__________________________形式。
三、解析与交流
例1．已知函数的图象，如图所示，则下列关系式中成立的是（
）
A．0＜－＜1
B．0＜－＜2
C．1＜－＜2
D．－=1
例2.一次函数与二次函数的图象交于和两点，且当时，抛物线取得最值为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；
（3）从图象上观察，为何值时，一次函数与二次函数的值都随的增大而增大．
（4）当为何值时，一次函数值大于二次函数值？
四、课堂测试
把抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得的抛物线的函数关系式是(
)
A.
B.
C.
D.
二次函数有最小值为，当时，，它的图象的对称轴为，则函数的关系式为
________________________________
函数的图象是以为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为
______________________
已知二次函数当时，；当时，，求该函数解析式.
5、若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过和
(1)求此二次函数图象上点关于对称轴对称的点的坐标；
(2)求此二次函数的解析式.二次函数图像与性质(一)
学习目标
1.学生总结二次函数的图象的作法和性质，
2.会利用描点法作出的图象，
3.能够作出二次函数的图象，并比较它与图象的异同
学习重点:
利用描点法作出的图象过程中，理解掌握二次函数的性质
学习过程
一、自主学习：
1.回忆如何作一次函数和反比例函数图像
2.作二次函数的函数图象。
x
...
-3
-2
-1
0
1
2
3
...
y
...
...
二、交流展示
1.
的图象的形状是什么？与同伴交流。
2.图象与轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？
3.当时,增大，的值如何变化？当时呢？
4.当取什么值时，的值最小？
5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流.
6.
作出二次函数的图象，并比较它与图象的异同
三.归纳总结
一般情况下
的函数图象的性质
四.解析与交流
例1.若二次函数的图象过点，
求这个二次函数表达式
判断点是否在该函数图像上
求此函数图像上纵坐标为的点坐标
例2.求出函数与函数的图象的交点坐标．
五.课堂检测
1．函数的图象的对称轴为
，与对称轴的交点为
，函数的顶点是 __________．
2．点是抛物线上的一点，则
；点关于轴的对称点是
，它__________(在,不在)函数
上；点关于原点的对称点是
，它__________(在,不在)函数
上．
3．直线与抛物线的交点坐标_______________．
4．函数与的图象关于
对称，也可以认为，是函数的图象绕
旋转得到．
5．若，点、、都在函数的图象上，判断的大小关系？
6．如图，、分别为上两点，且线段轴，若，则直线的表达式为（
）
A．
B．
C．
D．二次函数图象与性质(三)
学习目标
1．会用描点法画出二次函数与的图象；
2．能结合图象确定抛物线与的对称轴与顶点坐
3．通过比较抛物线与
同
的相互关系，培养观察、分析、总结的能力;
学习重点:
画出形如与的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.
学习过程
自主学习：
复习引入：
1、抛物线
，
与
的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？
2、抛物线
是由抛物线
沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线
呢？
3、物线与同有什么关系？
（二）动手做一做
在同一平面直角坐标系内画出,
与
和的图象．
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
归纳总结：
1.,
与
和的图象的位置关系．
2.根据图象完成表格
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
解析与交流
例1.在平面直角系中，若将抛物线分别向上、向右平移2个单位，则抛物线的解析式是（
）
A．
B.
C.
C.
例2.有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些特点：
甲说：对称轴是直线；
乙说：函数有最大值且等于2；
丙说：此函数图象经过点.
课堂测试
1.已知抛物线顶点坐标是，它的形状、开口方向与抛物线一样，那么这条抛物线的解析式是___________________.
2.若将抛物线向左平移2个单位，在向下平移4个单位，则所得抛物线表示的函数关系式为____________________________.
3.下列抛物线的对称轴是直线x=1的是（
）
A.
B.
C.
D.
4.设是抛物线上的三点，则的大小关系为（
）
5.已知抛物线与抛物线有相同的顶点且进过.
（1）求此二次函数的表达式，并求出顶点的坐标；
（2）求点关于对称轴的对称点的坐标几⊿的面积.二次函数与一元二次方程
学习目标:
体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数（是实数）图象交点的横坐标．
学习重点:
本节重点把握二次函数图象与轴（或）交点的个数与一元二次方程的根的关系．掌握此点，关键是理解二次函数图象与轴交点，即，即，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与轴的交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位．
学习难点:
应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．此点一定要结合二次函数的图象加以记忆．
学习过程:
一、实例讲解：
我们已经知道,竖直上抛物体的高度与运动时间的关系可用公式表示,其中是抛出时的高度,是抛出时的速度.一个小球从地面以的速度竖直向上抛出起,小球的高度与运动时间的关系如图所示,那么
(1).和的关系式是什么？
(2).小球经过多少秒后落地 你有几种求解方法 与同伴进行交流.
二、议一议：
在同一坐标系中画出二次函数,,的图象并回答下列问题：
(1).每个图象与轴有几个交点？
(2).一元二次方程
,有几个根 验证一下一元二次方程有根吗
(3).二次函数的图象和轴交点的坐标与一元二次方程的根有什么关系
三、例题：
【例1】已知二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围为
．
【例2】抛物线与x轴交于点，对称轴为，顶点到轴的距离为2，求此抛物线表达式．
【例5】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线；
乙：与轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．
请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式
．
四、随堂练习：
1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证．
（1）；（2）．
2．你能利用、、之间的某种关系判断二次函数的图象与轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？
五、课后练习：
1．抛物线与轴的交点坐标为
．
2．已知抛物线的对称轴是，它与轴交点的距离等于，它在轴上的截距是，则它的表达式为
．
3．若，＞0，＞0，△＞0，那么抛物线经过
象限．
4．抛物线的顶点坐标是
．
5．若抛物线的对称轴是，则
．
6．抛物线与轴只有一个交点，则
．
7．已知抛物线的系数有，则这条抛物线经过点
．
8．二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围
．
9．抛物线的顶点在直线上，则的值是
．
10．抛物线与两坐标轴交点的个数为（
）
A．3个
B．2个
C．1个
D．无
11．如图1所示，函数的图象过，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知二次函数的图象如图所示，则下列关系正确的是（
）
A．0＜－＜1
B．0＜－＜2
C．1＜－＜2
D．－
13．已知二次函数．求证：无论取何实数，抛物线总与轴有两个交点．
14．已知二次函数．
（1）当实数为何值时，图象经过原点？
（2）当实数在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
15．已知抛物线与轴有两个不同的交点．
（1）求的取值范围；
（2）判断点是否在抛物线上；
（3）当时，求抛物线的顶点及点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标，并过、、三点，画出抛物线草图．
16．已知二次函数的图象是抛物线，如图2-8-10．
（1）试求为何值时，抛物线与轴的两个交点间的距离是？
（2）当为何值时，方程的两个根均为负数？
（3）设抛物线的顶点为，与轴的交点、，求当最短时△的面积．
17．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度与飞行时间的关系满足．
（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？
（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？
18．已知抛物线．（1）试求为何值时，抛物线与轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），与轴的负半轴交于点，试问：是否存在实数，使△与△相似？若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由．二次函数的图象和性质(2)
学习目标
1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．
2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．
3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
学习重点:
二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图象和性质，结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．
学习过程
一、自主学习：
（一）、复习：
二次函数y=x2
与y=-x2的性质：
抛物线
y=x2
y=-x2
对称轴
顶点坐标
开口方向
位置
增减性
最值
（二）、问题引入：
你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？
刹车距离与什么因素有关？
有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式：
晴天时：；雨天时：，请在同一坐标系中分别画出这两个函数的图像：
v
0
10
20
30
40
…
S1
S2
动手操作、探究：
在同一平面内画出函数y1=2x2、y2=2x2+1与y3=2x2-1的图象。
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y1
y2
y3
比较它们的图象，你可以得到什么结论？
二、归纳总结
函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最大（小）值
y=ax2(a＞0)
y=ax2(a＜0)
y=ax2+c(a＞0)
y=ax2+c(a＜0)
三、解析与交流
例1、已知抛物线y=（m＋1）x开口向下，求m的值．
例2、抛物线y=3x2-2可由抛物线y=3x2向_______平移________个单位长度得到，它的顶点坐标是________，对称轴是________，开口方向是________.
四、课堂测试
1．当m=
时，y=（m－1）x－3m是关于x的二次函数．
2．当m=
时，抛物线y=（m＋1）x＋9开口向下，对称轴是
．在对称轴左侧，y随x的增大而
；在对称轴右侧，y随x的增大而
．
3．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k=
，b=
．
4．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（
）
5．求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：
（1）y=ax2经过（1，2）；
（2）y=ax2与y=x2的开口大小相等，开口方向相反；
（3）y=ax2与直线y=x＋3交于点（2，m）．二次函数的应用（1）
学习目标:
体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
学习重点:
本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．
学习难点:
本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．
学习过程:
一、有关利润问题：
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是元时,销售量是件,而单价每降低元,就可以多售出件.
请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多
二、做一做：
某果园有棵橙子树,每一棵树平均结个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结个橙子.
⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在个以上
三、举例：
【例1】某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价元与日销售量件之间有如下关系：
3
5
9
11
18
14
6
2
（1）在所给的直角坐标系甲中：
①根据表中提供的数据描出实数对的对应点；
②猜测并确定日销售量件与日销售单价元之间的函数表达式，并画出图象．
（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为元，根据日销售规律：
①试求出日销售利润元与日销售单价元之间的函数表达式，并求出日销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．
②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润元与日销售单价元之间的函数图象的简图，观察图象，写出与的取值范围．
【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共，购进价格为，物价部门规定其销售单价不得高于，也不得低于．市场调查发现，单价定为元时，日均销售；单价每降低元，日均多售出．在销售过程中，每天还要支出其他费用元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为元，日均获利为元．
（1）求关于的二次函数表达式，并注明的取值范围．
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？
四、随堂练习：
1．关于二次函数的图象有下列命题：
①当时，函数的图象经过原点；②当且函数图象开口向下时，方程必有两个不等实根；③当，函数的图象最高点的纵坐标是；④当时，函数的图象关于轴对称．其中正确命题的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．某类产品按质量共分为个档次，生产最低档次产品每件利润为元，如果每提高一个档次每件利润增加元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产件，每提高一个档次将少生产件，求生产何种档次的产品利润最大？
五、课后练习
1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．
（1）若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
2．将进货为元的某种商品按元一个售出时，能卖出个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少个．为了获得最大利益，售价应定为多少？
3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱元，生产厂家要求每箱售价在元～元之间．市场调查发现，若每箱以元销售，平均每天可销售箱；价格每降低元，平均每天多销售箱；价格每升高元，平均每天少销售箱．
（1）写出平均每天销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数表达式（注明范围）；
（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润（元）与每箱牛奶的售价（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）
（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当时的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；
（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？
4．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量微克（微克=毫克）随时间小时的变化规律与某一个二次函数相吻合．并测得服用时（即时间为时）每毫升血液中含药量为微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为微克．
（1）试求出含药量（微克）与服药时间（小时）的函数表达式，并画出内的函数图象的示意图．
（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．
（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间）
5．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹放养在塘内，此时市场价为元，据测算，此后活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是元．
（1）设天后活蟹的市场价为元，写出关于的函数表达式；
（2）如果放养天后将活蟹一次性出售，并记蟹的销售总额为元，写出关于的函数表达式；
（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？
6．某公司生产的种产品，它的成本是元，售价是元，年销售量为万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的倍，且是的二次函数，它们的关系如下表：
（万元）
…
…
（1）求与的函数表达式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润（万元）与广告费（万元）函数表达式；
（3）如果投入的广告费为万元～万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？确定二次函数的表达式
学习目标
经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点
掌握根据二次函数不同的表达方式，能用图象上的两点确定已知一个系数的二次函数的解析式。
学习重点:
1.能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数进行研究．
2.
用图象上的两点确定已知一个系数的二次函数的解析式。
学习过程
一、自主学习：
（一）、复习
1.表示函数有___________,_______________,___________三种方法，
2.二次函数的解析式有____________,_________________,
_____________________三种
3.如何确定一次函数和反比例函数的解析式的。
（二）做一做：
1.已知矩形周长,并设它的一边长为,面积为，随的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？比较三种表示方式,你能得出什么结论 与同伴交流.
归纳总结
表示方法
优点
缺点
解析法
表格法
图像法
三者关系
2.
已知函数的图象经过点
（1）求这个函数的表达式；
（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当时，求使的的取值范围．
二、归纳总结:
怎么确定已知一个系数的二次函数的解析式。
三、解析与交流
例1.二次函数的图象的顶点坐标_______________.
例2.
二次函数图象的最高点是，则、的值是（
）
例3.是关于的二次函数
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
其对称轴是_________，该函数有最____值，其值是__________
四、课堂测试
1.二次函数的图像的定点坐标为，与y轴交于点，则此二次函数的表达式为（
）
A.
B.
C.
D.
2.
抛物线与x轴交于（－1，0），（－3，0），则与的值是（
）
A.
B.
C
D.
3.
若抛物线的顶点是，且经过点，则此抛物线的函数解析式是_______________________
已知抛物线经过点，.
（1）.求抛物线的解析式.
（2）.求抛物线的顶点坐标.
5.二次函数的图像经过点.
（1）求，的值
（2）求出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴
（3）画出二次函数的图像。二次函数图象与性质(四)
学习目标
会用平移的方法画形如
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804519.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804519.gif"
\
MERGEFORMATINET
的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标
会用配方法分析二次函数图象的性质，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。
学习重点:
会用配方法分析二次函数图象的性质，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。
学习过程
自主学习：
复习引入：
①抛物线
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804545.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804545.gif"
\
MERGEFORMATINET
是由抛物线
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804236.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804236.gif"
\
MERGEFORMATINET
怎样移动得到的？
②抛物线
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804942.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804942.gif"
\
MERGEFORMATINET
是由抛物线
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804474.gif"
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MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804474.gif"
\
MERGEFORMATINET
怎样移动得到的？
③抛物线
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804128.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804128.gif"
\
MERGEFORMATINET
是由抛物线
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804929.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804929.gif"
\
MERGEFORMATINET
怎样移动得到的？
④抛物线
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804207.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804207.gif"
\
MERGEFORMATINET
是由抛物线
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804939.gif"
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MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804939.gif"
\
MERGEFORMATINET
怎样移动得到的？
⑤抛物线
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804207.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804207.gif"
\
MERGEFORMATINET
是由抛物线
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804236.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804236.gif"
\
MERGEFORMATINET
怎样移动得到的？
⑥抛物线
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804207.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804207.gif"
\
MERGEFORMATINET
的开口方向__、对称轴_____及顶点坐标____.
（二）动手做一做
把二次函数用配方法写成形如
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804519.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"http://www./Article/UploadFiles/200509/20050913175804519.gif"
\
MERGEFORMATINET
，并求其对称轴和顶点坐标。
二、归纳总结
1.因为二次函数可配方成，所以其顶点坐标是________，对称轴方程为____________，并且当=___时，最值=___________.
(1)若,当_______时，随的增大而减小；当_______时，随的增大而增大；当_______时，有最____值为_______
(2)
若,当_______时，随的增大而减小；当_______时，随的增大而增大；当_______时，有最____值为_______
2.
、、与抛物线的图象的关系：
（1）的正负决定抛物线的________;时，___________,时__________.决定抛物线的________；越大，则_________
（2）
、同时决定_________;①当时，对称轴是_________；②左同右异，即当
、同号时，对称轴在______________;当
、异号时，对称轴在_______________
（3）决定抛物线与轴______________；①，抛物线与轴交点在___________；②，抛物线与轴交点在_________;③，抛物线经过___________
（4）抛物线经过以下几个特殊点：①（0，____）②(1，_______)③(-1,________)
三、解析与交流
例1.抛物线的开口方向_______顶点坐标为
，对称轴为
．
例2二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是图中的（
）
例3在同一坐标系中，函数与的图象大致是图中的（
）
例4．如图，若，则抛物线的大致图象为（
）
四、课堂测试
1．已知二次函数，当=
时，=
；当
时，随的增大而减小．
2．抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到
的抛物线表达式为
．
3．已知点、、在函数的图象上，则、、的大小关系是（
）
A．＞＞
B．＞＞
C．＞＞
D．＞＞
4．二次函数的图象的最高点是，则、的值是（
）
C．
5．函数和在同一坐标系中如图所示，则正确的是（
）
