第01题 集合的性质与运算-2018原创精品之高中数学（理）黄金100题系列

第1题 集合的性质与运算
I．题源探究·黄金母题
【例1】已知集合
求，，，.
，
.
精彩解读
【试题来源】人教版A版必修一第14页A组第10题
【母题评析】本题以不等式为载体，考查集合的运算问题.本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到一箭双雕的目的.
【思路方法】借助数轴为工具，利用集合各类运算的方法直接求解，但需要注意区间方向以及区间端点值的验证，确保准确无误！
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2017高考天津，理1】设集合
，则
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】,选B.
【例3】【2017高考山东，理1】设函数的定义域，函数的定义域为,则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，由得，故，选D.
【命题意图】本类题通常主要考查集合的交、并、补运算.
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数的定义域、值域、解不等式有联系.
【难点中心】对集合运问题，首项要确定集合类型，其次确定集合中元素的特征，先化简集合，若元素是离散集合，紧扣集合运算定义求解，若是连续数集，常结合数轴进行集合运算，若是抽象集合，常用文氏图法，本题是考查元素是离散的集合交集运算，是基础题.
III．理论基础·解题原理
考点一 集合的基本概念
1．元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；
（2）集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为和；
（3）集合的表示法：列举法、描述法、Venn图.
2．常见数集及其表示符号
自然数集用表示，正整数集用或表示，整数集用表示，有理数集用表示，实数集用表示.
考点二 集合间的基本关系
（1）子集：对任意的，都有，则（或）；{xk;w}
（2）真子集：若集合，但存在元素，且，则?（或?）；
（3）性质：；
（4）集合相等：若，且，则.
考点三 集合的并、交、补运算：
（1）并集：，或；
（2）交集：，且；
（3）补集：，且；为全集，表示集合相对于全集的补集．
（4）集合的运算性质：
① ；
② ；
③ ；
④ .
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数的定义域、值域、解不等式有联系.
【技能方法】
解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算，先化简集合，常借助数轴求交集.求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.
【易错指导】
（1）在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如（），则有和两种可能；
（2）在子集个数问题上，要注意是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，任何集合是其本身的子集，在列举时千万不要忘记；
（3）在用数轴法判断集合间的关系时，其端点值能否取到，一定要注意用回代检验的方法确定.如果两个集合的端点值相同，则这两个集合是否能取到端点值往往决定这两个集合之间的关系.
V．举一反三·触类旁通
考向1 集合关系的判断
【例4】【2016河北石家庄质检二，理1】设集合，，则下列结论正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，所以，，，故选C.
考向2 根据集合关系求参数的值或范围
【例5】【2017高考课标II，理2】设集合。若，则
A. B. C. D.
【答案】C
【点评】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。两个防范：一是不要忽视元素的互异性；二是保证运算的准确性。
【例6】【2017高考江苏，1】已知集合，，若则实数的值为 ▲ .
【答案】1
【解析】由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1．
【考点】元素的互异性
【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
(3)防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.
考向3 集合中的子集或元素个数问题
【例7】【2017高考全国III，理1】已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【例8】【2017北京朝阳区二模】已知两个集合，满足．若对任意的，存在，使得（），则称为的一个基集．若 ，则其基集元素个数的最小值是 ．
【答案】4
【解析】若基集元素个数不超过三个： 互不相等），则最多可表示九个元素，因此基集元素个数的最小值是4个，如。
【例9】【2015高考湖北文10理】已知集合，，9定义集合，则中元素的个数为 （ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
【答案】.
【点评】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力.
考向4 集合与不等式
【例10】【2017高考新课标，理1】已知集合则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由可得，则，即故选A.
【例11】【江西百校联盟2017年2月联考】已知集合，，则的元素的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】因为，，故，应选答案C。
【点评】本题考查集合的概念与运算，利用解一元二次不等式的解法化简集合并求集合的补集、交集，本题属基础题，要求学生最基本的算运求解能力.
考向5 集合与解析几何
【例12】设集合
.若，则实数的取值范围是 .
【答案】.
或，所以实数的取值范围是.解决此类问题要挖掘问题的条件，并适当转化，画出必要的图形，得出求解实数的取值范围的相关条件.
考向6 集合与计数原理、数学归纳法
【例13】【2015江苏高考，23】已知集合，，整除或整除，令表示集合所含元素的个数. 学.科*网
（1）写出的值；
（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.
【答案】（1）13（2）
【分析】（1）根据题意按分类计数：共13个（2）由（1）知，所以当时，的表达式要按除的余数进行分类，最后不难利用数学归纳法进行证明
下面用数学归纳法证明：
①当时，，结论成立；
②假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，，中产生，分以下情形讨论：
1）若，则，此时有
，结论成立；
2）若，则，此时有
，结论成立；
3）若，则，此时有
6）若，则，此时有
，结论成立．
综上所述，结论对满足的自然数均成立．
【点评】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：
①归纳奠基：证明当取第一个自然数时命题成立；
②归纳递推：假设，(，)时，命题成立，证明当时，命题成立；
③由①②得出结论.